10.2 二倍角的三角函数课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第10章　三角恒等变换 10.2　二倍角的三角函数 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 2.能利用公式进行简单的应用. 要点深化·核心知识提炼 知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α=2sin αcos α S2α 余弦 cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C2α 正切 tan 2α= T2α 以上这些公式都叫作倍角公式,倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系. 名师点睛 1.配方变形:1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2. 2.升幂公式:1+cos α=2cos2,1-cos α=2sin2.　 3.降幂公式:cos2α=,sin2α=. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)10α是5α的倍角,5α是的倍角.(　　) (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　) (3)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.(　　) (4)对于任意角α,总有tan 2α=.(　　) √ × √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】给角求值 例 1 [链接教材练习,T1]求下列各式的值: (1); (2)(sin 15°-cos 15°)2; 解 (1)=tan 30°= (2)(sin 15°-cos 15°)2=sin215°+cos215°-2sin 15°cos 15° =1-2sin 15°cos 15°=1-sin 30°= (3)2sin 20°cos 20°-2cos225°; (4). 解 (3)2sin 20°cos 20°-2cos225°=sin 40°-(1+cos 50°) =sin 40°-1-cos(90°-40°)=-1. (4)原式==4. 题后反思　给角求值两类问题的解法 (1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 跟踪训练1 (1)计算:=　　　　.  (2)计算:cos4-sin4=　　　　.  解(1)原式=故答案为 (2)cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 【题型二】给值求值(角) 例 2 [链接教材例1](1)设α为锐角,若cos,则sin的值 为　　　　.  解析 ∵α为锐角, <α+ ∵cos,∴sin, ∴sin=sin=2sincos(α+)=2, cos=cos=2cos2-1=2-1=, ∴sin=sin=sincos-cossin 故答案为 (2)已知α∈,β∈,sin α=,cos β=-,则α+2β的值 为　　　　.  - 解析 因为,,sin α=,cos β=-, 所以cos α=,sin β=-=-=-, 所以tan α==7,tan β=, 所以tan 2β=, 所以tan(α+2β)==-1, 因为,, 所以α+2,所以α+2β=- 故答案为- 题后反思　解决条件求值问题的方法 给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向: (1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化; (2)寻找角与角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角与角之间的二倍关系. 跟踪训练2 已知sin α=,且α为第二象限角,则tan=(　　) A.- B.- C.- D.- D 解析 ∵sin α=,且α为第二象限角, ∴cos α==-,∴tan α=-, ∴tan 2α==-, ∴tan(2α+)==- 【题型三】化简与证明 例 3 [链接教材例3、例4](1)已知0<α<,化简; 解 因为0<α<,所以sin α>0,又0<2α<, 则cos 2α>0,因此=sin α. (2)证明:=tan θ. 证明 左边= = ==tan θ=右边,所以等式成立. 题后反思　三角函数式的化简与证明 (1)化简的方法 ①弦切互化,异名化同名,异角化同角;②降幂或升幂;③一个重要结论:(sin θ±cos θ)2=1±sin 2θ. (2)证明三角恒等式的方法 ①从复杂的一边入手,证明一边等于另一边;②比较法,左边-右边=0,=1;③分析法,从要证明的等式出发,一步步寻找等式成立的条件. 跟踪训练3 (1)已知π<α<,化简:; 解 原式=+ ∵π<α<,,∴cos<0,sin>0, ∴上式==-=-cos (2)证明:=-1. 证明 = = ==-1. $