精品解析：上海市北郊学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025学年第一学期期末学生学习能力诊断练习八年级数学试卷 说明： 1．本试卷含四个大题，共26题； 2．答题时，请按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，满分18分） 1. 下列二次根式中，与同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化简后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．将各选项的二次根式化简，再进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、与不是同类二次根式． 故选：B． 2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负，即，求解即可得出答案． 【详解】解：∵ 被开方数必须满足， ∴ ， 故选B． 3. 方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一元二次方程根的情况． 根据平方的非负性作答即可． 【详解】∵，， ∴方程的根的情况是没有实数根， 故选：B． 4. 观察如图所示尺规作图痕迹，则线段是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 中垂线 D. 角平分线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规基本作图，掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键． 根据角平分线的尺规作图的作法即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：线段是的角平分线． 故选：D． 5. 用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的长方形，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．设长方形的一边长为米，则邻边长为米，根据围成的长方形的面积为8平方米列出方程即可． 【详解】解：设长方形的一边长为米，根据题意可列方程． 故选：C． 6. 如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲不可以，乙可以 D. 甲可以，乙不可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形剪拼的相关知识，熟练掌握勾股定理与无理数是解决本题的关键. 首先根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形；再根据图形可得图乙可以拼一个边长为的正方形，据此进行解答即可. 【详解】解：所作图形如图所示， 甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形． 故选A． 二、填空题（本题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 25的算术平方根是_____． 【答案】 5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，若一个非负数a的平方等于x，则a是x的算术平方根．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴25的算术平方根是5． 故答案为：5． 8. 已知，化简______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9. 若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键．根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，将长和宽相乘，利用二次根式的乘法法则计算． 【详解】解：长方形面积公式为， 所以． 计算过程： ， ， 因此． 故答案为：． 10. 稀土是我国重要的战略矿产资源．年我国预期新增稀土资源量吨．这个数据用科学记数法表示为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是熟练应用知识点； 将数字用科学记数法表示，即写成 的形式（其中 ， 为整数）． 【详解】解：∵数字共个整数位， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 11. 一元二次方程x2=4x的根是_____． 【答案】，． 【解析】 【分析】移项并采用因式分解的方法解方程. 【详解】解：移项得，， x(x-4)=0，解得x=0或4， 故答案为，. 【点睛】本题考查了因式分解法解方程. 12. 在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，掌握相关知识是解决问题的关键．将原式变形为，利用完全平方公式可得，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意列出方程 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．设运输这批公粮原计划每日行，根据“运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站”，列出分式方程，即可求解． 【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得， ， 故答案为：． 14. 一个直角三角形斜边上的中线长度为5，则斜边的长度为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直接计算斜边长度． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长度为5， ∴斜边的长度为． 故答案为：10． 15. 利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在中，，，点恰好落在数轴上表示的点上，以原点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，使点落在点的左侧，则点所表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数． 依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点C所表示的数． 【详解】解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴点所表示的数是， 故答案为：． 16. 如图，在中，，平分，于点，如果的周长为，长为，则的周长为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，从而根据的周长为得到，再证明得到，根据三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵平分，， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∵在和中 ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∴． 故答案为：20． 17. 如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为，则这棵树断裂处点离地面的高度的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，设，则，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意设，则， 中，，即， 解得； 故答案为：． 18. 定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成两个等腰三角形，则称该线段为原三角形的“双等线”．例如：任意直角三角形斜边上的中线就是一条过直角顶点的“双等线”．问题解决：已知中，，，如果中存在过锐角顶点的“双等线”，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，掌握分类讨论思想是解题的关键．考虑“双等线”从锐角顶点A或B出发的情况，分别讨论使分割后的两个三角形均为等腰三角形的条件，通过几何关系和解方程求得的可能长度． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若“双等线”从顶点A出发，如图，是“双等线”， 则，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． ②若“双等线”从顶点B出发，如图，是“双等线”， 则，是等腰三角形， 设， ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案：或． 三、解答题（本题共5小题，每小题6分，满分30分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质，分母有理化进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 用配方法解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解一元二次方程． 根据配方法求解一元二次方程求解即可． 【详解】解： ∴， 解得，． 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 将方程两边同乘，去分母转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， 解得，， 检验：当时，，所以不是原分式方程的解； 当时，，所以是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 22. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）先运用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据四边形的面积等于与的面积之和，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，，， ． 【小问2详解】 解：∵，， ， ∴是直角三角形，， ∴ ． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为和，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，， 解得； 【小问2详解】 解：∵，方程的两实数根分别为和， ∴， ∴， 解得或； ∵， ∴， ∴． 四、解答题（本题共3题，满分28分） 24. 如图，在四边形中，，过点作于，于且． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由角平分线的判定定理即可证明； （2）根据直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由线段的和差即可证明． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵，， ∴平分． 【小问2详解】 证明：∵在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵ ∴． 25. 根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 【答案】 任务一： 任务二：条 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． 任务一：根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； 任务二：根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【详解】解：任务一： 设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为； 任务二： 设增加条生产线，则每条生产线产能为万个/季度， 根据题意得：， 整理得，即， 解得或， 在增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应增加条生产线． 26. 【问题背景】中，，，点是边的中点，点是边上动点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转（即，得到线段，连接． 【研究特例】 （1）如图1，若点刚好落在边上． ①求证：； ②求证：线段，，满足等量关系：． 【问归一般】 （2）探究：如图2当点落在外部时，是否依然成立，请证明你的结论． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）成立，证明见解析 【解析】 【分析】（1）①由旋转有，得到，从而，即可得证； ②连接，过点D作于点H，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，根据“三线合一”得到，，从而可得．连接，根据垂直平分线的性质得到，根据勾股定理有，等量代换即可得证结论； （2）过点作，且取，证明，得到，证明，得到，从而，证明得到，根据勾股定理有，等量代换即可得证结论． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∵由旋转可得， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图，连接，过点D作于点H， ∵，点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 连接， ∵，点D是的中点， ∴， ∵在中，， ∴． （2）解：结论成立，理由如下， 如图所示，过点作，且取， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵在中，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末学生学习能力诊断练习八年级数学试卷 说明： 1．本试卷含四个大题，共26题； 2．答题时，请按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，满分18分） 1. 下列二次根式中，与同类二次根式是（ ） A B. C. D. 2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 4. 观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 中垂线 D. 角平分线 5. 用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的长方形，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲不可以，乙可以 D. 甲可以，乙不可以 二、填空题（本题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 25的算术平方根是_____． 8. 已知，化简______． 9. 若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为__________． 10. 稀土是我国重要的战略矿产资源．年我国预期新增稀土资源量吨．这个数据用科学记数法表示为____________________． 11. 一元二次方程x2=4x的根是_____． 12. 在实数范围内分解因式：________． 13. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意列出方程 ____________________． 14. 一个直角三角形斜边上的中线长度为5，则斜边的长度为_____． 15. 利用勾股定理可以作出长为无理数线段，如图，在中，，，点恰好落在数轴上表示的点上，以原点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，使点落在点的左侧，则点所表示的数是______． 16. 如图，在中，，平分，于点，如果周长为，长为，则的周长为_____． 17. 如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为，则这棵树断裂处点离地面的高度的长为_____． 18. 定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成两个等腰三角形，则称该线段为原三角形的“双等线”．例如：任意直角三角形斜边上的中线就是一条过直角顶点的“双等线”．问题解决：已知中，，，如果中存在过锐角顶点的“双等线”，则的长为______． 三、解答题（本题共5小题，每小题6分，满分30分） 19. 计算：． 20. 用配方法解方程： 21. 解方程：． 22. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为和，且满足，求实数的值． 四、解答题（本题共3题，满分28分） 24. 如图，在四边形中，，过点作于，于且． （1）求证：平分； （2）求证：． 25. 根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 26. 【问题背景】中，，，点是边的中点，点是边上动点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转（即，得到线段，连接． 【研究特例】 （1）如图1，若点刚好落边上． ①求证：； ②求证：线段，，满足等量关系：． 【问归一般】 （2）探究：如图2当点落在外部时，是否依然成立，请证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $