专题02 分式及分式方程的相关计算（专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题02 分式及分式方程的相关计算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式求值 1 题型二、分式的乘除 1 题型三、分式的加减 2 题型四、分式化简求值 2 题型五、解分式方程 2 题型六、零指数幂与负整数幂的相关计算 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式求值 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知，，则的值为 ． 2．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）若，则 ． 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，则分式的值是 ． 题型二、分式的乘除 4．（25-26八年级上·福建莆田·月考）计算： 5．（25-26八年级上·全国·期末）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·四川南充·周测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型三、分式的加减 7．（25-26八年级上·云南昆明·月考）计算： (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·甘肃定西·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 题型四、分式化简求值 10．（25-26八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值：，其中． 11．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）先化简：，再从1，2，3三个数中选取一个合适的数作为的值代入求值． 12．（2026·江苏连云港·模拟预测）若，，则代数式的值是 ． 题型五、解分式方程 13．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）解分式方程： (1)； (2)． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）解分式方程： (1) (2) 15．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）解分式方程： (1) (2)． 题型六、零指数幂与负整数幂的相关计算 16．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）计算：． 17．（25-26八年级上·吉林松原·期末）计算：． 18．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川凉山·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 二、解答题 2．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面是小明探究取值的规律的过程． （ⅰ）分别求出当，，，，，，1，2，3时的值，部分数值如下表所示： 1 2 3 （ⅱ）根据（ⅰ）中的表格，猜想有最小值． 结合上述探究过程，回答下列问题： (1)表中____，____，____； (2)（ⅱ）中的猜想是否正确？如果正确，请证明；如果错误，说明理由； (3)（为正整数）是否有最小值？如果有，直接写出这个最小值；如果没有，说明理由． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 4．（25-26九年级上·吉林·期末）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则， 对于任意x，上述等式均成立，， ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 根据材料解答下列问题． (1)若（是常数），则________，________． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)试说明当时，的最小值为8． 5．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 6．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）已知，其中、为常数，求的值． 7．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）先化简，再求值，，其中． 下面是同学们几种不同解法的部分运算过程： ①原式 ②原式 ③将被除式与除式的位置颠倒，即化简并代入求值后，取结果的倒数． (1)以上解法中正确的是_________； (2)①中这步运算的依据是________； (3)请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程． 8．（25-26八年级上·四川泸州·期末）先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 9．（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式及分式方程的相关计算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式求值 1 题型二、分式的乘除 2 题型三、分式的加减 4 题型四、分式化简求值 7 题型五、解分式方程 9 题型六、零指数幂与负整数幂的相关计算 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式求值 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式求值，熟练掌握分式的性质，是解题的关键．由已知等式可得，代入所求表达式并利用分式性质化简计算即可． 【详解】解：由且，得， 把代入得： ． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）若，则 ． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，将所求分式进行代数变形后代入计算． 本题考查了分式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由，可得， 代入，得， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，则分式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简，解题关键是设参数求解． 通过引入比例常数，将、、用表示，然后代入分式化简． 【详解】解：设，则，，， ． 故答案为：． 题型二、分式的乘除 4．（25-26八年级上·福建莆田·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 5．（25-26八年级上·全国·期末）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟知运算法则和因式分解是解题的关键．通过因式分解分母并利用符号变化简化表达式． 【详解】解：原式 = ， 故选： C． 6．（25-26八年级上·四川南充·周测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （4）先把对应分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （5）先计算乘方，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （6）先计算乘方，再把对应分式的分母分解因式，最后根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型三、分式的加减 7．（25-26八年级上·云南昆明·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． （1）利用同分母分式加减法法则，进行计算即可解答； （2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 8．（25-26八年级上·甘肃定西·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先通分化简括号内的表达式，再将除法转化为乘法，利用平方差公式因式分解后约分． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键． （1）同分母分式，分母不变，分子相加减，化简即可； （2）先通分，再合并同类项，化简即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减，化简即可； 【详解】（1）解： ； （2） （3）（3） 题型四、分式化简求值 10．（25-26八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 先计算括号内，再将分式分子分母因式分解，然后由分式乘除混合运算法则化简，再将代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 11．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）先化简：，再从1，2，3三个数中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式． 【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式的加减计算括号内的，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： 且 当时，原式． 12．（2026·江苏连云港·模拟预测）若，，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式化简求值，先化简得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故答案为：4． 题型五、解分式方程 13．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) 解：； (2) 解：． 【分析】本题考查了分式方程的解法．掌握分式方程解法的一般步骤是解题关键．解分式方程的一般步骤为：①找最简公分母，②去分母，③去括号，④移项、合并同类项，⑤系数化为1，⑥检验根的情况，即可解出对应方程的根． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤及根的检验是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤先去分母，等式两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程再求解即可． （2）根据解分式方程的步骤先去分母，等式两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程再求解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， ∴， 解得：， 检验：当时，且， ∴原方程的解为． （2）解：， ∴， 方程两边同乘，得， ∴， 解得：， 检验：当时，且， ∴原方程的解为． 15．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）解分式方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)分式方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．解分式方程步骤：先去分母化为整式方程，解整式方程，再进行检验根得出分式方程的解． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：两边同时乘以，去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验是原方程的解， ∴原分式方程的解为． （2）解：两边同时乘以，去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验是原方程的增根， ∴原分式方程无解． 题型六、零指数幂与负整数幂的相关计算 16．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂的运算，掌握各运算的基本性质，注意绝对值的化简和指数运算规则是解题的关键． 根据有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 17．（25-26八年级上·吉林松原·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简，再进行计算，即可求解． 【详解】解：    ． 18．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂：先计算乘方、零次幂、负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式． 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川凉山·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可． 【详解】解：根据题意得， 则， ， 故选：D． 二、解答题 2．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面是小明探究取值的规律的过程． （ⅰ）分别求出当，，，，，，1，2，3时的值，部分数值如下表所示： 1 2 3 （ⅱ）根据（ⅰ）中的表格，猜想有最小值． 结合上述探究过程，回答下列问题： (1)表中____，____，____； (2)（ⅱ）中的猜想是否正确？如果正确，请证明；如果错误，说明理由； (3)（为正整数）是否有最小值？如果有，直接写出这个最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)2，2， (2)（ⅱ）中的猜想正确，最小值为2 (3)有最小值，最小值为2 【分析】本题考查了求分式的值，完全平方公式等知识，解题的关键是： （1）把，，分别代入计算即可； （2）利用完全平方公式求出，然后根据非负数的性质可得出，故当，即时，，即可求解； （3）类似（2）判断即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：2，2，； （2）解：（ⅱ）中的猜想正确，最小值为2 证明：∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时，， 即有最小值为2； （3）解：（为正整数）有最小值为2， 理由：∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时，， 即有最小值为2． 3．（25-26八年级上·山东德州·月考）阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了分式的值和完全平方变形求值，理解题干中给出的方法是解题的关键． （1）先用倒数法求出，再计算求值即可； （2）①先用倒数法求出，再求解，最后求解的倒数即可；②先用倒数法求出，再用完全平方变形求解，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵由可知， ∴， 即：， ∴； （2）①由，得， 则， ∴． ②解：由可知， 可得：， 即， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·吉林·期末）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则， 对于任意x，上述等式均成立，， ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 根据材料解答下列问题． (1)若（是常数），则________，________． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)试说明当时，的最小值为8． 【答案】(1)，； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键． （1）先计算的值，进而求解即可； （2）参照例题材料，设，然后求出m、n的值，从而即可得出答案； （3）由得到，进而，，即可解答． 【详解】（1）解： ， 即，． 故答案为：，； （2）解：由分母为，设， 则 ， 对于任意，上述等式均成立， ， ，， ； （3）解：由（2）得， 当时，， ∴，， ∴当且仅当时，和同时取得最小值， ∴， 即， ∴的最小值为8． 5．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)丰收2号 (2) 【分析】本题考查分式的运算应用，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高； （2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是 “丰收2号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是 ， ，，， ∴ ∴， ∵， 所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高． （2） 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍． 6．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：， ． 7．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）先化简，再求值，，其中． 下面是同学们几种不同解法的部分运算过程： ①原式 ②原式 ③将被除式与除式的位置颠倒，即化简并代入求值后，取结果的倒数． (1)以上解法中正确的是_________； (2)①中这步运算的依据是________； (3)请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①③ (2)分式的基本性质 (3)见解析 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的运算法则和运算顺序进行判断即可； （2）根据通分的依据进行解答即可； （3）按照准确的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：以上解法中正确的是①③； 故答案为：①③ （2）解：①中运算的依据是分式的基本性质； （3）选择①， 原式 ． 当时，原式． 8．（25-26八年级上·四川泸州·期末）先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值． 【答案】 ，当时，原式 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是关键，根据分式的混合运算法则化简，结合题意得到，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ∵，即 ∴从中选出合适的的整数值为， ∴原式． 9．（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （）依据题意，由，则，从而，即可得解； （）依据题意，由，则，从而得解； 依据题意，由，又，可得，进而得解； （）依据题意得，，可得的最小值为，从而得解； 依据题意得，，则的最小值为，从而得解； （）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，则 ，第三个正方形的边长为，故第三个正方形的面积为，又，可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：由题意，∵， ∴， 故答案为：； 由题意，∵， 又， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $