专题01 分式及分式方程的相关概念（专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题01 分式及分式方程的相关概念 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式的认识 1 题型二、分式有意义、无意义、值为0 1 题型三、分式的基本性质 1 题型四、最简分式 2 题型五、分式方程的概念 2 题型六、零指数幂与负整数指数幂成立条件 2 题型七、科学记数法 3 题型八、分式的规律 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式的认识 1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有 ．（只填序号） 3．（25-26八年级上·广西来宾·期中）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 题型二、分式有意义、无意义、值为0 4．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）当取 值时，分式没有意义 6．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为0． 题型三、分式的基本性质 7．（24-25八年级上·北京东城·期末）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2020·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·广东广州·期末）将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 题型四、最简分式 10．（24-25八年级下·重庆·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·广东广州·一模）已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 12．（23-24八年级上·河北承德·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 题型五、分式方程的概念 13．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 14．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 15．下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 题型六、零指数幂与负整数指数幂成立条件 16．（24-25七年级上·上海闵行·期末）将表示成只含正整数指数幂的形式是 ． 17．（20-21八年级上·辽宁盘锦·期中）若，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·上海·期末）利用负整数指数幂将写成不含分母的形式为 ． 题型七、科学记数法 19．（23-24八年级上·湖南永州·期中）2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·广东广州·一模）石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（    ）米． A． B． C． D． 21．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数，用小数表示为 ． 题型八、分式的规律 22．（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·云南文山·期末）一组按规律排列的式子：，，，，…（，n为正整数），第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南开封·期末）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 2．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若分式中x和y都扩大为原来的5倍，分式的值扩大为原来的5倍，则“”中可以为（  ） A．5 B．x C．xy D． 二、填空题 3．（2024·江苏无锡·二模）请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，则分式的值是 ． 5．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若，则的值为 ． 6．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，则 ． 三、解答题 7．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）（1）观察下列命题完成填空： ①若，则有或， ②若，则有或， ③若，则有或， ④若，则有或， … 按规律猜想：若（括号内为 ），则有或______； （2）若把（1）中命题改为：“若，则有或”仍然成立，猜想m，n，k应满足的等量关系式为______，并证明该命题成立； （3）对于（2）中的m，n，k，若满足，求的值． 9．（24-25八年级下·四川内江·期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式及分式方程的相关概念 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式的认识 1 题型二、分式有意义、无意义、值为0 2 题型三、分式的基本性质 3 题型四、最简分式 4 题型五、分式方程的概念 6 题型六、零指数幂与负整数指数幂成立条件 7 题型七、科学记数法 8 题型八、分式的规律 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、分式的认识 1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有 ．（只填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含有字母"这一核心特征（注意是常数，不属于字母）．明确分式定义（分母含字母）；逐个分析式子分母是否含字母（排除等常数）；确定符合分式定义的序号． 【详解】分式的定义是形如 （、 是整式， 中含有字母且 ）的式子， ① ：分母含有字母，是分式； ② ：分母是常数，不是字母，不是分式； ③ ：是整式的和，不是分式； ④ ：分母 含有字母，是分式； ⑤ ：是单项式，不是分式． 故答案为：①④． 3．（25-26八年级上·广西来宾·期中）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的定义，理解分式的分母中必须含有字母（变量）是解题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：分式是分母中含有字母的代数式， A． 可视为分母为1，无字母，不是分式，不符合题意； B．分母为3，无字母，不是分式，不符合题意； C．分母为，有字母x，是分式，符合题意； D． 分母为2，无字母，不是分式，不符合题意． 故选C． 题型二、分式有意义、无意义、值为0 4．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）当取 值时，分式没有意义 【答案】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式无意义的条件是分母为零，据此解答即可． 【详解】解：当分母时，分式没有意义， 即， 解得， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零求解即可． 【详解】解：由分式的值为零的条件，得 且 ． 解 ，得 ， ∴或． 由 ， 得 ． ∴． 故答案为： 题型三、分式的基本性质 7．（24-25八年级上·北京东城·期末）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：，则A不符合题意； 无法进行约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 8．（2020·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵a≠b， ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 9．（22-23八年级上·广东广州·期末）将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：将分式中的、的值同时扩大倍为， 即分式的值保持不变， 故选：C． 题型四、最简分式 10．（24-25八年级下·重庆·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义“分子与分母没有公因式的分式，即一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时这个分式就被称为最简分式”逐项判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式； B、，是最简分式； C、，不是最简分式； D、，不是最简分式． 故选：B． 11．（2025·广东广州·一模）已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式： （1）提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）分选择A、B，选择A、C，选择B、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，再化简分式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：选择A、B，则所得分式为或； 选择A、C，则所得分式为或； 选择B、C，则所得分式为或． 12．（23-24八年级上·河北承德·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式． 【详解】解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型五、分式方程的概念 13．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 14．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 15．下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟记分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，逐个判断即可． 【详解】①④的分母中含有未知数，是关于x的分式方程； ②不是方程，故不是关于x的分式方程； ③⑤的分母中不含有未知数，故不是关于x的分式方程； 关于x的分式方程是①④． 故答案为：①④． 题型六、零指数幂与负整数指数幂成立条件 16．（24-25七年级上·上海闵行·期末）将表示成只含正整数指数幂的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 17．（20-21八年级上·辽宁盘锦·期中）若，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零次幂，根据进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D 18．（24-25七年级上·上海·期末）利用负整数指数幂将写成不含分母的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，根据，再解答即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为： 题型七、科学记数法 19．（23-24八年级上·湖南永州·期中）2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：依题意，， 故选：B． 20．（2024·广东广州·一模）石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.3纳米米米． 故选：D． 21．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数，用小数表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法， （其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得的数，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 题型八、分式的规律 22．（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 23．（24-25八年级上·云南文山·期末）一组按规律排列的式子：，，，，…（，n为正整数），第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了探索规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键．根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律． 【详解】解：分子为，其指数为2，5，8，11，…其规律为， 分母为，其指数为1，2，3，4，…其规律为， 分数符号为，，，，，其规律为， 所以第个式子． 故选：C． 24．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式； 对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 即； 故答案为：； （2）解：第n个等式： ； ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南开封·期末）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是按要求构造分式，解题关键是正确理解题意并列出分式． 先由题意得出该汽车在其它路段行驶的平均速度，再由时间路程速度即可得出汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间． 【详解】解：依题得：该汽车在海底隧道行驶的平均速度为， 则该汽车在其它路段行驶的平均速度为， 汽车通过海底隧道所用的时间为小时，汽车通过其他路段所用的时间为小时， 该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为小时． 故选：． 2．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若分式中x和y都扩大为原来的5倍，分式的值扩大为原来的5倍，则“”中可以为（  ） A．5 B．x C．xy D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 设“”为，为“”扩大5倍后的内容，根据题意得到，化简得到，即的值需为值的5倍，逐项判断即可． 【详解】解：设原分式为，其中为“”内容， 由于x和y均扩大5倍，此时为“”扩大5倍后的内容， 则新分式为， 由于分式值扩大为原来的5倍， 则， 假设，约去得， 化简得， 解得， 即扩大5倍后等于， 选项A、，，不满足； 选项B、，，满足； 选项C、，，不满足； 选项D、，，不满足； 故选：B． 二、填空题 3．（2024·江苏无锡·二模）请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件，结合分式的定义和分式有意义的条件，再根据题意列举符合题意的分式即可． 【详解】解：∵， ∴，即无论x取何值该分式都有意义， ∵当时，分式的值为2， ∴符合题意关于x的分式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，则分式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简，解题关键是设参数求解． 通过引入比例常数，将、、用表示，然后代入分式化简． 【详解】解：设，则，，， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若，则的值为 ． 【答案】/0.2 【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式．由，利用完全平方公式求出的值，再求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，当时，需考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0，且底数不为0这三种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解：当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，符合题意； 综上所述，x的值为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 7．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 【答案】(1)③ (2)2+ (3)整数x的值为或或或． 【分析】本题考查了分式的性质、分式的加减运算，理解题中的定义和转化方法是解答的关键． （1）直接根据真分式的定义判断即可； （2）仿照例题进行转化即可； （3）根据题意只需是整数，进而求解或即可． 【详解】（1）根据真分式的定义，属于真分式的是③． 故答案为：③； （2）解：； （3）解：由（2），得， ∵假分式的值是整数， ∴是整数． ∴或． ∴或或或． ∴整数x的值为或或或． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期末）（1）观察下列命题完成填空： ①若，则有或， ②若，则有或， ③若，则有或， ④若，则有或， … 按规律猜想：若（括号内为 ），则有或______； （2）若把（1）中命题改为：“若，则有或”仍然成立，猜想m，n，k应满足的等量关系式为______，并证明该命题成立； （3）对于（2）中的m，n，k，若满足，求的值． 【答案】（1）4052，；（2）；证明见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了分式的运算，因式分解的应用，数字规律等知识，找规律题是解题的关键． （1）通过观察已知的等式，找出等式中各项的规律，从而得出对应的等式及结论． （2）根据（1）中发现的规律，猜想m、n、k应满足的等量关系式，再通过分式运算进行证明即可． （3）结合（2）中m、n、k的关系式以及已知的，得出，利用因式分解即可求出的值． 【详解】解：（1）对于，等式右边分母为，分子； 对于，等式右边分母为，分子； 对于，等式右边分母为，分子； 对于，等式右边分母为，分子； …．． 若， 故，则有或． 故答案为：4052， （2）证明：由（1）可知， 猜想：， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 则或， 即或 （3）∵且， 将代入中， 得到：， ， 整理得： 即． ∴或． 当时，，则 当时，，则． 综上：或． 9．（24-25八年级下·四川内江·期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴方程有两个解，分别为， 故答案为：1，6； （2）解：， 方程变形得：， 由题中的结论得：有两个解，分别为，2， ∵与互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）解：， 方程整理得， 得或，且， 可得，． ∴． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $