第15章 分式（知识清单）数学新教材华东师大版八年级下册

第15章 分式 1.分式定义：形如 (A、B是 ，且B中含有 )的式子，其中A叫分式的 ，B叫分式的 ； 2.有理式的定义： 和 统称有理式； 3.有意义的条件：分式分母 ； 4.无意义的条件：分式分母 ； 5.分式值为零的条件：分子 ,且分母 ； 6.分式的基本性质：分式的分子和分母都 （或 ） 不等于 的整式，分式的值不变； 7.约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的 约去，不改变分式的值； 8.最简分式：分子与分母没有 的分式； 9.通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式 的 的分式；通分的关键是确定 ； 10.最简公分母：各分母 的 的 作为公分母； 11.分式的乘除：分式乘以分式，用 作为积的分子， 作为积的分母； 12.分式除以分式，把除式的 后，与被除式 ； 13. ； 14.分式加减：同分母的分式相加减， 不变，分子 ；异分母的分式相加减，先 ，变为 的分式，然后再 ； 15.分式方程的定义：含有 ，并且 中含有 的方程； 16．分式方程的解法：解分式方程的关键是 ，即方程两边 方程转化为 方程； 17.增根的定义：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中 ，那么就会出现不适合原方程的根——增根． 18.检验根：将所得的根 中，看它是否 ，如果 ，即为增根， ，就是原方程的解． 19.分式方程的实际应用主要环节： 、 、 、 、 ； 20. （ ）； 21. （ ，n是 ） 22. ， ， ， ； 23.绝对值较小的数，用科学记数法表示为 ，其中n是 ， 一、分式及其基本性质 1. 整式与分式的混淆 错误：将分母不含字母的式子（如）误认为是整式． 注意：分母必须含有字母才是分式． 2. 分式值为0的条件 错误：只考虑到了分子值为0，忽略分母不能为0的条件． 注意：分子为0，分母不为0两个条件需要同时成立；一般有两种做法，一是分子值为0求出字母的值，带入分母验证，二是由分母不为零求出字母的范围，再结合分子为零，从而最终确定字母的值． 3. 约分时的错误 错误：约分后没有检查是否为最简分式；不理解约分的依据，比如认为． 关键：约分后应检验分子分母是否还有公因式，当分子分母为多项式时，应考虑是否可以因式分解；扎实掌握约分的依据，即分式的基本性质，而不是想当然地进行约分． 二、分式的运算 1. 分式乘除 错误：未将结果化为最简分式． 注意：除法运算时，先将除法转化为乘法运算；乘法运算时，先约分再计算． 2. 分式加减 错误：通分时，分子分母未同时乘以相同的因式；在进行分式减法运算时，分子相减，减式分子未加括号． 注意：牢记通分的步骤；两分式作差时，若减式分子是多项式，则在分子相减时，多项式外需添加括号． 三、可化为一元一次方程的分式方程 1. 解分式方程时的常见错误 错误：忘记去分母时要乘以最简公分母；解方程后未检验，直接将解作为原方程的解． 建议：强调"解分式方程的基本思想是把含有未知数的分母去掉，将分式方程转化为整式方程来解。这时可能会出现增根，必须进行检验"． 2. 增根的理解 错误：认为只要使得分母值为0就是方程的增根． 注意：增根需要满足两个条件：一是整式方程的根，二是使得分式方程的分母为零． 四、零指数幂与负整数指数幂 1. 零指数幂 错误：忽略了零指数幂成立的前提． 强调：只有非零数的零次方才是1． 2. 负整数指数幂 错误：指数中的符号错误理解表示幂的正负． 注意：紧扣公式，即求负整数指数幂时，应先写成整数指数幂的倒数这一形式． 1．下列代数式是分式的是（  ） A． B． C． D． 2．下列各式是分式的是（    ） A． B． C． D． 3．已知分式的值为，则的值为 ． 4．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 5．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（   ） A．若分式值为0，则x的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中，，都扩大2倍，分式的值不变 D．分式不是最简分式 7．计算：． 8．化简：＝ ． 9．先化简，再求值：，并在，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值． 10．把分式方程化为整式方程正确的是（ ） A． B． C． D． 11．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 12．解方程： (1) (2) 13．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．计算： 15．计算： 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 分式 1.分式定义：形如(A、B是整式，且B中含有字母)的式子，其中A叫分式的分子，B叫分式的分母； 2.有理式的定义：整式和分式统称有理式； 3.有意义的条件：分式分母不为0； 4.无意义的条件：分式分母值为0； 5.分式值为零的条件：分子值为0,且分母值不为0； 6.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变； 7.约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值； 8.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 9.通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式；通分的关键是确定几个分式的公分母； 10.最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母； 11.分式的乘除：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母； 12.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 13. ； 14.分式加减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减； 15.分式方程的定义：含有分式，并且分母中含有未知数的方程； 16．分式方程的解法：解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程； 17.增根的定义：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根——增根． 18.检验根：将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 19.分式方程的实际应用主要环节：设、列、解、验、答； 20. 1（ ）； 21. （，n是正整数） 22. ， ， ， ； 23.绝对值较小的数，用科学记数法表示为 ，其中n是正整数， 一、分式及其基本性质 1. 整式与分式的混淆 错误：将分母不含字母的式子（如）误认为是整式． 注意：分母必须含有字母才是分式． 2. 分式值为0的条件 错误：只考虑到了分子值为0，忽略分母不能为0的条件． 注意：分子为0，分母不为0两个条件需要同时成立；一般有两种做法，一是分子值为0求出字母的值，带入分母验证，二是由分母不为零求出字母的范围，再结合分子为零，从而最终确定字母的值． 3. 约分时的错误 错误：约分后没有检查是否为最简分式；不理解约分的依据，比如认为． 关键：约分后应检验分子分母是否还有公因式，当分子分母为多项式时，应考虑是否可以因式分解；扎实掌握约分的依据，即分式的基本性质，而不是想当然地进行约分． 二、分式的运算 1. 分式乘除 错误：未将结果化为最简分式． 注意：除法运算时，先将除法转化为乘法运算；乘法运算时，先约分再计算． 2. 分式加减 错误：通分时，分子分母未同时乘以相同的因式；在进行分式减法运算时，分子相减，减式分子未加括号． 注意：牢记通分的步骤；两分式作差时，若减式分子是多项式，则在分子相减时，多项式外需添加括号． 三、可化为一元一次方程的分式方程 1. 解分式方程时的常见错误 错误：忘记去分母时要乘以最简公分母；解方程后未检验，直接将解作为原方程的解． 建议：强调"解分式方程的基本思想是把含有未知数的分母去掉，将分式方程转化为整式方程来解。这时可能会出现增根，必须进行检验"． 2. 增根的理解 错误：认为只要使得分母值为0就是方程的增根． 注意：增根需要满足两个条件：一是整式方程的根，二是使得分式方程的分母为零． 四、零指数幂与负整数指数幂 1. 零指数幂 错误：忽略了零指数幂成立的前提． 强调：只有非零数的零次方才是1． 2. 负整数指数幂 错误：指数中的符号错误理解表示幂的正负． 注意：紧扣公式，即求负整数指数幂时，应先写成整数指数幂的倒数这一形式． 1．下列代数式是分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，注意：已知A、B都是整式，式子的分母B中含有字母，那么式子是分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解： A、是整式，不是分式，不符合题意； B：是分数，分母为常数，无字母，不是分式，不符合题意； C、，分母为x，含有字母，是分式，符合题意； D：是整式，无分母，不是分式，不符合题意， 故选：C． 2．下列各式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的定义，分母中必须含有字母的代数式是分式．据此可得答案． 【详解】解：根据分式的定义可知，四个式子中，只有是分式， 故选：D． 3．已知分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为的条件，绝对值的运算，因式分解，掌握“分式值为的条件”是解题关键． 分式的值为，则分子为且分母不为，求解分子方程并验证分母是否不为． 【详解】解：由分式的值为，得分子，即，解得或， 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 4．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1)当时，分式有意义 (2)当时，分式的值为零 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 5．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的定义，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式．通过检查各选项，A、B、D均可约分，只有C无法约分． 【详解】解：A项：，分子分母有公因式a，可约分； B项：，分子分母有公因式a，可约分； C项：，分子y与分母无公因式，不可约分； D项：，分子分母有公因式，可约分． 故选：C． 6．下列说法正确的是（   ） A．若分式值为0，则x的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中，，都扩大2倍，分式的值不变 D．分式不是最简分式 【答案】B 【分析】本题考查了分式的相关知识点，根据分式值为零的条件、分式的基本性质、分式值的变化和最简分式的定义逐一判断各选项即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若分式值为0，则且，解得，故原说法错误，不符合题意； B、根据分式的基本性质，可以变形为，故原说法正确，符合题意； C、，故分式中，，都扩大2倍，分式的值扩大倍，故原说法错误，不符合题意； D、分式中分子分母没有公因式，是最简分式，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 【详解】解： ． 8．化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，先将除法运算转化为乘法运算，再约分化简． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ 故答案为： 9．先化简，再求值：，并在，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】；． 【分析】本题考查了分式的化简求值，考虑分式无意义的情况是解题的关键． 按照分式的化简法则，将分式化简，再根据分式无意义的条件，选择合适的值，代入求值即可． 【详解】解： ； ∵计算过程中出现的分母以及除数不能为0， ∴，且， ∴的取值为， 故原式 ． 10．把分式方程化为整式方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程变形后，两边乘以最简公分母化简得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程变形得， 去分母得， 故选：D． 11．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程；先确定分式的最简公分母为，并注意，然后等式两边同时乘以去分母． 【详解】解：原方程化为：， 两边同乘：， 即． 故选：B． 12．解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 所以，是原方程的根． 13．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是零指数幂，熟知非零数的零次幂等于1是解题的关键．根据零指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得． 故选：B． 14．计算： 【答案】 【分析】解答本题主要考查了分式的混合运算，负整数次幂，先根据负整数次幂可得，再根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 15．计算： 【答案】 【分析】此题考查了乘方，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 6 / 11 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