第15章 分式（复习讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

该初中数学分式复习讲义通过表格系统梳理知识体系，涵盖分式概念、基本性质、运算、方程及整数指数幂等核心内容，将重点归纳与常见易错点对应呈现，清晰展现各知识点内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，含11类基础到综合题型及变式训练，如分式方程应用（例9行程问题）培养模型意识，零指数幂易错点分析强化运算能力。基础巩固与能力提升练习适配不同学生，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

第15章 分式（复习讲义） 1.了解分式、分式方程的意义，体会分式概念、运算、整数指数幂、分式方程之间的整体联系。 2.能用分式的基本性质进行约分、通分，能进行分式的加、减、乘、除及混合运算，能将分式化简求值; 能用整数指数幂的运算性质进行计算，会用科学记数法表示绝对值小于 1的数;能解分式方程，会检验分 式方程的增根。 3.理解并利用分式方程解决实际问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 分式相关概念 1.分式定义：形如(A、B是整式，且B中含有字母)的式子，其中A叫分式的分子，B叫分式的分母； 2.有理式的定义：整式和分式统称有理式； 3.有意义的条件：分式分母不为0； 4.无意义的条件：分式分母值为0； 5.分式值为零的条件：分子值为0,且分母值不为0； 1. 整式与分式的混淆 错误：将分母不含字母的式子（如）误认为是整式． 注意：分母必须含有字母才是分式． 2. 分式值为0的条件 错误：只考虑到了分子值为0，忽略分母不能为0的条件． 注意：分子为0，分母不为0两个条件需要同时成立；一般有两种做法，一是分子值为0求出字母的值，带入分母验证，二是由分母不为零求出字母的范围，再结合分子为零，从而最终确定字母的值． 分式的基本性质 6.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变； 7.约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值； 8.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 9.通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式；通分的关键是确定几个分式的公分母； 10.最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母； 3. 约分时的错误 错误：约分后没有检查是否为最简分式；不理解约分的依据，比如认为． 关键：约分后应检验分子分母是否还有公因式，当分子分母为多项式时，应考虑是否可以因式分解；扎实掌握约分的依据，即分式的基本性质，而不是想当然地进行约分． 分式的运算 11.分式的乘除：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母； 12.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 13. ； 14.分式加减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减； 1. 分式乘除 错误：未将结果化为最简分式． 注意：除法运算时，先将除法转化为乘法运算；乘法运算时，先约分再计算． 2. 分式加减 错误：通分时，分子分母未同时乘以相同的因式；在进行分式减法运算时，分子相减，减式分子未加括号． 注意：牢记通分的步骤；两分式作差时，若减式分子是多项式，则在分子相减时，多项式外需添加括号． 分式方程 15.分式方程的定义：含有分式，并且分母中含有未知数的方程； 16．分式方程的解法：解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程； 17.增根的定义：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根——增根． 18.检验根：将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 19.分式方程的实际应用主要环节：设、列、解、验、答； 1. 解分式方程时的常见错误 错误：忘记去分母时要乘以最简公分母；解方程后未检验，直接将解作为原方程的解． 建议：强调"解分式方程的基本思想是把含有未知数的分母去掉，将分式方程转化为整式方程来解。这时可能会出现增根，必须进行检验"． 2. 增根的理解 错误：认为只要使得分母值为0就是方程的增根． 注意：增根需要满足两个条件：一是整式方程的根，二是使得分式方程的分母为零． 零次幂与负整数幂 20. 1（ ）； 21. （，n是正整数） 22. ， ， ， ； 23.绝对值较小的数，用科学记数法表示为 ，其中n是正整数， 1. 零指数幂 错误：忽略了零指数幂成立的前提． 强调：只有非零数的零次方才是1． 2. 负整数指数幂 错误：指数中的符号错误理解表示幂的正负． 注意：紧扣公式，即求负整数指数幂时，应先写成整数指数幂的倒数这一形式． 题型一 分式的认识 【例1】代数式 ，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】下列式子中属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式：，，，，，，其中分式共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 分式的意义 【例2】分式有意义，x的取值范围是 ；分式的值为0，则x的值为 ． 【变式2-1】下面的分式在实数范围内有意义，则的取值范围是“”的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若的值为零，则的值为 ． 题型三 分式的基本性质 【例3】如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【变式3-1】将分式中的的值同时扩大为原来的倍，则原分式的值（　　） A．扩大倍 B．扩大倍 C．不变 D．扩大倍 【变式3-2】下列式子从左到右的变形，正确的是（  ） A． B． C． D． 题型四 最简分式与约分 【例4】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 题型五 分式的乘除运算 【例5】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】计算 ． 【变式5-2】计算： (1) (2) 题型六 分式的加减运算 【例6】计算：． 【变式6-1】若，则 ． 【变式6-2】化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 题型七 分式的化简求值 【例7】先化简，再求值：，其中． 【变式7-1】先化简，再求值：，其中． 【变式7-2】先化简：，然后从，1，2中选取一个作为的值代入求值． 题型八 解可化为一元一次方程的分式方程 【例8】解方程： 【变式8-1】解方程： (1) (2) 【变式8-2】解分式方程：． 题型九 分式方程的简单应用 【例9】甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 【变式9-1】高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为．高铁开通后，路程缩短了，且高铁的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了．求高铁的平均速度． 【变式9-2】为了改善城市交通环境，提升居民出行品质，某市启动了“城市道路综合提升工程”．在工程实施过程中，一工程队负责一段全长为6千米的排水管道铺设任务．为确保工程早日投入使用，施工时提高了工作效率，实际每天铺设的长度比原计划多，这样不仅加快了进度，还比原计划提前20天完成了全部任务．问：实际每天铺设排水管道多少米？ 题型十 零指数幂与负整数指数幂 【例10】计算：； 【变式10-1】计算： ． 【变式10-2】计算：． 题型十一 科学记数法线 【例11】我国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是芯片工艺的量产，这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．已知，则用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼、蛋黄、牛肝等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．将数据0.0000046用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【变式11-2】为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列式子中，分式是（   ） A． B． C． D． 2．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 3．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 5．若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（   ） A． B． C． D． 6．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 7．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 8．下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．甲型流感病毒的颗粒近似为球形，其直径大约为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．写一个含有字母x的分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．则这个分式可以是 ． 11．使分式有意义的x的取值范围是 ． 12．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义，则 ． 13．已知：，则的值是 ． 14． ． 15．计算： ． 16．计算： ． 17．当x 时，． 18．比较大小： （填“”、“”或“”）． 三、解答题 19．不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 20．计算： (1)； (2)； 21．计算：． 22．计算：． 23．小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 24．化简：． 25．先化简：，然后再从，，1，2中选取一个合适的数代入求值． 26．解方程： (1) (2) 27．我国推进科技自立自强，牢筑钢铁长城．近期，我国自主研制的核动力航母“福建舰”正式下水试航．现“福建舰”在距离A港正东方向50海里的海面以试航速度航行，此时一架监测直升机从A港出发，以比“福建舰”试航的速度多50海里/时的速度沿正东方向追赶“福建舰”，当“福建舰”试航了25海里后，监测直升机刚好追上“福建舰”，求“福建舰”的试航速度． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的积是（） x的取值 4 a 12 分式的值 无意义 0 b A． B．6 C．5 D．2 2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 3．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D．5 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 6．（2021·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、填空题 8．（21-22八年级上·云南红河·期末）一组按规律排列的式子：，，，，（），其中第个式子是 ． 9．（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为 ． x的值 1 分式的值 不存在 0 10．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若，则的值为 ． 11．（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 12．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列结论：①等式成立，则成立；②若有意义，则x的取值范围是且；③若分式的值为0，则x的值为3；④分式的值为整数，则整数x的值有2个；⑤若已知，则整数x的值是3或1或4，其中正确的有 ．（填序号） 13．（21-22八年级下·陕西西安·期中）若，则 ， ． 14．（18-19七年级下·浙江杭州·月考）若，则的值为 ． 15．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）若关于的方程有增根，则的值为 ． 16．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，则 ． 17．（24-25七年级下·广东佛山·期末）石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新型纳米材料，其厚度nm，nmm用科学记数法表示：nm m 三、解答题 18．（21-22八年级下·山西运城·月考）综合与实践 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：． 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． (1)分式是_________分式．（填“真”或“假”） (2)参考上面的方法，将分式化为带分式． (3)如果分式的值为整数，求x的整数值． 19．（25-26八年级上·广东江门·月考）已知，求分式的值． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，．求的值． 21．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 22．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： (1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； (2)求分式的最大值． 23．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以．故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： (1)已知，求的值． (2)已知，，，求的值． 24．（25-26七年级上·上海·期末）深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 25．（25-26八年级上·全国·期末）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． (1)求原计划每天铺设路面多少米？ (2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 26．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）先化简．再求值：，其中． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 分式（复习讲义） 1.了解分式、分式方程的意义，体会分式概念、运算、整数指数幂、分式方程之间的整体联系。 2.能用分式的基本性质进行约分、通分，能进行分式的加、减、乘、除及混合运算，能将分式化简求值; 能用整数指数幂的运算性质进行计算，会用科学记数法表示绝对值小于 1的数;能解分式方程，会检验分 式方程的增根。 3.理解并利用分式方程解决实际问题。 答案：1.；2.分母≠0；3.分母=0；4.分子=0且分母≠0；5.同乘一个不为0的式子，分式值不变；6.同除以一个不为0的式子，分式值不变；7.公因式；8.公因式；9.同分母；10.最小公倍数；11.最高次幂；12. 分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；13. 分式除以分式;把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；14.分母不变，分子相加减；15.先通分，再分母不变，分子相加减；16.各分母的最简公分母；17.为0；18.值不为0；19.1；20.该底数的p次幂的倒数. 知识点 重点归纳 常见易错点 分式相关概念 1.分式定义：形如(A、B是整式，且B中含有字母)的式子，其中A叫分式的分子，B叫分式的分母； 2.有理式的定义：整式和分式统称有理式； 3.有意义的条件：分式分母不为0； 4.无意义的条件：分式分母值为0； 5.分式值为零的条件：分子值为0,且分母值不为0； 1. 整式与分式的混淆 错误：将分母不含字母的式子（如）误认为是整式． 注意：分母必须含有字母才是分式． 2. 分式值为0的条件 错误：只考虑到了分子值为0，忽略分母不能为0的条件． 注意：分子为0，分母不为0两个条件需要同时成立；一般有两种做法，一是分子值为0求出字母的值，带入分母验证，二是由分母不为零求出字母的范围，再结合分子为零，从而最终确定字母的值． 分式的基本性质 6.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变； 7.约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值； 8.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 9.通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式；通分的关键是确定几个分式的公分母； 10.最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母； 3. 约分时的错误 错误：约分后没有检查是否为最简分式；不理解约分的依据，比如认为． 关键：约分后应检验分子分母是否还有公因式，当分子分母为多项式时，应考虑是否可以因式分解；扎实掌握约分的依据，即分式的基本性质，而不是想当然地进行约分． 分式的运算 11.分式的乘除：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母； 12.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 13. ； 14.分式加减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减； 1. 分式乘除 错误：未将结果化为最简分式． 注意：除法运算时，先将除法转化为乘法运算；乘法运算时，先约分再计算． 2. 分式加减 错误：通分时，分子分母未同时乘以相同的因式；在进行分式减法运算时，分子相减，减式分子未加括号． 注意：牢记通分的步骤；两分式作差时，若减式分子是多项式，则在分子相减时，多项式外需添加括号． 分式方程 15.分式方程的定义：含有分式，并且分母中含有未知数的方程； 16．分式方程的解法：解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程； 17.增根的定义：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根——增根． 18.检验根：将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 19.分式方程的实际应用主要环节：设、列、解、验、答； 1. 解分式方程时的常见错误 错误：忘记去分母时要乘以最简公分母；解方程后未检验，直接将解作为原方程的解． 建议：强调"解分式方程的基本思想是把含有未知数的分母去掉，将分式方程转化为整式方程来解。这时可能会出现增根，必须进行检验"． 2. 增根的理解 错误：认为只要使得分母值为0就是方程的增根． 注意：增根需要满足两个条件：一是整式方程的根，二是使得分式方程的分母为零． 零次幂与负整数幂 20. 1（ ）； 21. （，n是正整数） 22. ， ， ， ； 23.绝对值较小的数，用科学记数法表示为 ，其中n是正整数， 1. 零指数幂 错误：忽略了零指数幂成立的前提． 强调：只有非零数的零次方才是1． 2. 负整数指数幂 错误：指数中的符号错误理解表示幂的正负． 注意：紧扣公式，即求负整数指数幂时，应先写成整数指数幂的倒数这一形式． 题型一 分式的认识 【例1】代数式 ，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，逐一判断每个代数式即可． 【详解】解： ，分母为5，不含字母，不是分式； ，分母为n，含字母n，是分式； ，分母为 ，含字母x，是分式； ，分母为 ，π为常数，不含字母，不是分式； ，分母为x，含字母x，是分式； ，分母为 ，含字母x，是分式， 是分式的有 ，，，，共4个， 故选C． 【变式1-1】下列式子中属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，理解分式成立的条件是解答的关键． 分式的定义：如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不属于分式，故本选项不符合题意； B、不属于分式，故本选项不符合题意； C、不属于分式，故本选项不符合题意； D、属于分式，故本选项符合题意； 故选：D 【变式1-2】下列各式：，，，，，，其中分式共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义—分母中含有字母的式子，解题的关键是正确理解分式的定义．逐个判断即可． 【详解】解：，，是分式，共个． 故选：A． 题型二 分式的意义 【例2】分式有意义，x的取值范围是 ；分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 3 【分析】此题考查了分式为0和分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．据此进行解答即可． 【详解】解：当分式 有意义时，分母， 故的取值范围是； 当分式的值为时， 需满足 ， 解得， 故的值为． 故答案为：， 【变式2-1】下面的分式在实数范围内有意义，则的取值范围是“”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，根据分式有意义的条件逐项求解判断即可． 【详解】解：A．，解得，不符合题意； B．，解得，符合题意； C．，解得，不符合题意； D．，x为任意实数，不符合题意． 故选：B． 【变式2-2】若的值为零，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是熟练掌握分式的值为零的条件． 根据分式的值为零时，分子为零，且分母不等于零，直接解答即可． 【详解】解：∵的值为零， ∴，且， 即，且， ∴． 故答案为：． 题型三 分式的基本性质 【例3】如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将x和y同时扩大为原来的3倍后代入分式，化简后与原分式比较． 【详解】解∶∵原分式为， 将x和y分别替换为和， ∴新分式为==， 而原分式为， ∴新分式是原分式的3倍， ∴分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 【变式3-1】将分式中的的值同时扩大为原来的倍，则原分式的值（　　） A．扩大倍 B．扩大倍 C．不变 D．扩大倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式性质等知识，设原分式为，分式中的的值同时扩大为原来的倍后分式为，化简后得到，得到分式的值扩大4倍，问题得解． 【详解】解：设原分式为， ∴分式中的的值同时扩大为原来的倍后分式为， ∴分式的值扩大4倍． 故选：B． 【变式3-2】下列式子从左到右的变形，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．选项A、B、C的变形不符合分式的基本性质，只有选项D通过约分正确变形． 【详解】解：A、当时，，故A错误； B、当时，，故B错误； C、当时，，故C错误 D、（其中），∴变形正确，故D正确， 故选：D． 题型四 最简分式与约分 【例4】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式要求分子与分母没有公因式；选项A有公因数2，选项B有公因式，选项D有公因式，选项C分子分母无公因式，故C为最简分式． 【详解】解：A选项中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式； B选项中分子分解为 ，与分母有公因式，可约分，不是最简分式； C选项中分子分母无公因式，是最简分式； D选项中分子分解为 ，与分母有公因式，可约分，不是最简分式； 故选：C． 【变式4-1】下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的概念和因式分解，分析分子和分母是否有公因式是解题关键． 根据最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式是最简分式，分别检查各选项是否能约分． 【详解】解：对于选项，分子为，分母为，在实数范围内不可分解，且与无公因式，不能约分，是最简分式； 对于选项，，可以约分，不是最简分式； 对于选项，分子，分母，，可以约分，不是最简分式； 对于选项，分子和分母都有公因式，，可以约分，不是最简分式． 故选：A． 【变式4-2】下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式． 根据最简分式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A：，可约分，不是最简分式； B：，分子和分母除了1无其它公因式，是最简分式； C：，可约分，不是最简分式； D：，可约分，不是最简分式； 故选：B． 题型五 分式的乘除运算 【例5】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除运算，提公因式与完全平方公式的运算，将分式的除法变为分式的乘法是解题的关键．先根据提公因式与完全平方公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【变式5-1】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． 先计算乘方，再将除法转化为乘法，利用分式的乘法法则进行运算，最后约分得到结果 ． 【详解】解： ＝÷·   ． 故答案为：． 【变式5-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘除运算法则计算即可． （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 分式的加减运算 【例6】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算先看是同分母加减还是异分母加减，异分母加减关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 先将原式通分后化成同分母的分式再进行加减运算，最后约分化简成最简分式． 【详解】解： ． 【变式6-1】若，则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查分式的通分与等式求解，解决本题的关键是先对等式右边进行通分，然后根据等式两边分子相等来确定的值． 将右边通分后比较分子，得到关于和的方程组，解方程组求得即可． 【详解】解：∵， ∵， 即， ∴． 即， 则有，解得， 综上，的值为． 故答案为：． 【变式6-2】化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简． 将表达式中的各项通分后计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 题型七 分式的化简求值 【例7】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握知识点是解题的关键． 先进行括号内的分式的减法运算，再进行分式的除法运算，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式7-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将x的值代入原式进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式7-2】先化简：，然后从，1，2中选取一个作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】此题考查了分式的化简求值，先运用分式的通分化简括号内的式子，再运算分式的除法，然后根据分式有意义的条件得到，，然后将代入求解即可．熟练掌握分式化简求值以及注意分母不为0是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 题型八 解可化为一元一次方程的分式方程 【例8】解方程： 【答案】 【分析】先找最简公分母转化为整式方程，然后求解即可． 本题考查了解分式方程，掌握去分母的过程是解题关键． 【详解】解： 经检验：当时， 则是原分式方程的解． 【变式8-1】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）解： ， 两边都乘以，得 ， ， ， ， 检验：当时，， 所以是原方程的解； （2）解：， 两边都乘以，得 ， ， ， ， 检验：当时，， 因此是原方程的增解， 所以原方程无解． 【变式8-2】解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边乘，得 解得：． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 题型九 分式方程的简单应用 【例9】甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 【答案】(1)乙骑自行车的速度为300米/分钟 (2)出发6分钟后，两人与学校的距离相等 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟），根据题意列方程即可得到结论； （2）乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟，甲步行600米所需时间（分钟）设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米，然后分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟）， 根据题意得 解得：， 经检验是方程的根，且符合题意 答：乙骑自行车的速度为300米/分钟； （2）解：由（1）可得，乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟 甲步行600米所需时间（分钟） 设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米， 当时，甲与学校的距离为米， 设 解得（不合题意，舍去） 当时，甲与学校的距离为（米） 设 解得 ∴出发6分钟后，两人与学校的距离相等． 【变式9-1】高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为．高铁开通后，路程缩短了，且高铁的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了．求高铁的平均速度． 【答案】高铁的平均速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：高铁的平均速度为． 【变式9-2】为了改善城市交通环境，提升居民出行品质，某市启动了“城市道路综合提升工程”．在工程实施过程中，一工程队负责一段全长为6千米的排水管道铺设任务．为确保工程早日投入使用，施工时提高了工作效率，实际每天铺设的长度比原计划多，这样不仅加快了进度，还比原计划提前20天完成了全部任务．问：实际每天铺设排水管道多少米？ 【答案】60米 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确找到等量关系． 通过设原计划每天铺设管道长度为未知数，根据实际效率提高和提前完成的时间差建立方程，求解得到原计划每天铺设长度，进而求出实际每天铺设长度． 【详解】解：设原计划每天铺设排水管道x米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 实际每天铺设米 答：实际每天铺设排水管道60米． 题型十 零指数幂与负整数指数幂 【例10】计算：； 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，负指数幂，绝对值化简．根据实数运算法则，先乘方，后乘除，最后加减，去绝对值符号，即可求解． 【详解】解： ； 【变式10-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，掌握这两个运算法则是关键；利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解：根据零指数幂法则，任何非零数的零次幂等于1，因此 ； 根据负整数指数幂法则，，因此 ； 故． 故答案为． 【变式10-2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整数幂、零次幂、有理数的乘方，根据以上进行计算即可求解． 【详解】解： ． 题型十一 科学记数法线 【例11】我国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是芯片工艺的量产，这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．已知，则用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，理解“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，n是正数；当原数的绝对值小于时，n是负数．”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式11-1】维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼、蛋黄、牛肝等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．将数据0.0000046用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵， 故选D． 【变式11-2】为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列式子中，分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的判定，分式判定的关键是分母中含有字母，常数分母或整式不是分式． 根据分式的定义，分母中必须含有字母的式子才是分式．分析各选项分母是否含有字母． 【详解】解：∵ 分式要求分母中含有字母， A．分母为2，不含字母，不符合题意； B．分母为，含有字母x和y，符合题意； C．分母为π，不含字母，不符合题意； D．无分母，不是分式，不符合题意． 故选：B． 2．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为0的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式的值为0需分子为0且分母不为0． 【详解】解：∵ 分式值为0， ∴ 分子 且分母 . 解 得 . 当 时，分母 ，分式无意义； 当 时，分母 ，分式有意义. ∴ . 故选：C． 3．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，而，两者不相等，∴ A错误； B、（当），变形正确，∴ B正确； C、与不一定相等，例如当 时，左边，右边，不相等，∴ C错误； D、，而不一定等于其平方，例如当时，左边，右边 ，不相等，∴ D错误； 故选：B． 4．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的值不变．变形中乘以了，因此需满足． 【详解】解：∵左边分式变形为右边分式是通过分子和分母同时乘以得到的， ∴根据分式的基本性质，必须保证，即， 故选：D． 5．若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，通过直接代入验证分式值是否不变即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选D． 6．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 7．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分． 【详解】A、，可约分，所以不是最简分式； B、，可约分，所以不是最简分式； C、，可约分，所以不是最简分式； D、中， 分子无法因式分解，与分母无公因式，所以是最简分式． 故选：D． 8．下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 9．甲型流感病毒的颗粒近似为球形，其直径大约为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：C． 二、填空题 10．写一个含有字母x的分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．则这个分式可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件．根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），构造分式． 【详解】解：当时，分式无意义，因此分母应含有因式；当时，分式的值为，因此分子应含有因式，且分母在时不为零．故分式可以为． 故答案为（答案不唯一）． 11．使分式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：要使分式 有意义，需满足分母 ， 解得 ． 故答案为： ． 12．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的值为0的条件，分式无意义的条件，分式的值为0时分子为0且分母不为0，分式无意义时分母为0，据此求出的值即可． 【详解】解：由题意，， 解得， ∴； 故答案为：2． 13．已知：，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求分式的值，根据比例关系设参数表示变量，再代入所求表达式计算． 【详解】解：由 ，设 ，（）， 则 ． 故答案为 ． 14． ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，分式的乘方运算，熟练运用分式运算法则是解题的关键． 分别计算两个分式的乘方，然后将除法转换为乘法，最后进行约分即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 15．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的加法，熟练掌握运算法则是关键．根据同分母分式的加法运算，分子相加，分母不变即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 16．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，以及平方差公式的运算，解决本题的关键是对括号内的式子进行通分计算． 将除法运算转化为乘法运算，并利用分式的性质进行简化，最后通过约分得到结果． 【详解】解： = ． 故答案为： ． 17．当x 时，． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂的定义，当底数不为零时，零次幂等于1，即可求解. 【详解】解：∵ ∴，即，   故答案为：. 18．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则，分别计算两个式子的值，再比较大小即可． 本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘以10即可． 本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：． 20．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算． （1）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可； （2）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解：原式= = = = （2）解：原式= = = = 21．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除法混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，最后根据分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 22．计算：． 【答案】0． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的加减法法则是解决此题的关键．先通分，然后根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 23．小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 【答案】有；三，，过程见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，观察解答过程知该同学的解答从第三步开始出错；先通分化为同分母的分式相加减．掌握相应的运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：该计算过程有错误，第三步开始错误． 故答案为：有；三； 正确计算过程如下： 原式 ． 24．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 25．先化简：，然后再从，，1，2中选取一个合适的数代入求值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入进行计算，即可解题． 【详解】解：原式 ， 分式有意义， ， ， 当时， 原式=． 26．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解． （2）解：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 27．我国推进科技自立自强，牢筑钢铁长城．近期，我国自主研制的核动力航母“福建舰”正式下水试航．现“福建舰”在距离A港正东方向50海里的海面以试航速度航行，此时一架监测直升机从A港出发，以比“福建舰”试航的速度多50海里/时的速度沿正东方向追赶“福建舰”，当“福建舰”试航了25海里后，监测直升机刚好追上“福建舰”，求“福建舰”的试航速度． 【答案】25海里/时 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题，根据题意确定等量关系，列出方程是解题的关键． 根据监测直升机从A港出发，刚好追上“福建舰”所用的时间与“福建舰”试航所用的时间相等作为等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设“福建舰”的试航速度为海里/时，则监测直升机的速度为海里/时， 由题意得，， 解得， 答：“福建舰”的试航速度为25海里/时． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的积是（） x的取值 4 a 12 分式的值 无意义 0 b A． B．6 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等，利用分式无意义时分母为零求出，分式值为零时分子为零求出，再根据分式值求和，最后计算． 【详解】∵当时，分式无意义， ∴，即， ∴． ∵当时，分式值为， ∴，即． ∴分式为． ∵当时，分式值为， ∴． 交叉相乘得，即， ∴． ∵当时，分式值为， ∴． ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，分式的求值，求一个数的平方根，根据已知等式可推出，根据完全平方公式可得，据此可得答案． 【详解】解：当时，， ∴当时，， ∴两边除以得， ∴， ∵， ∴ ， 故选：D． 3．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数符号的判断及其利用分式的基本性质判断分式值的大小； 由且 ，可得，，故，比较各选项与的大小即可． 【详解】解：∵且 ， ∴，， 故， A、∵，， ∴， ∴比小，故此选项不符合题意； B、∵且， ∴， ∴一定比大，故此选项符合题意； C、∵，故此选项不符合题意； D、∵，但可能大于或小于，故与大小不确定， ∴不一定比大； 故选：B． 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了分式值的变化情况，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数． 当和都扩大为原来的3倍时，分母也扩大3倍，因此分子必须也扩大3倍才能保持分式的值不变．只需验证哪个选项的在和扩大3倍时值也扩大3倍即可． 【详解】∵和都扩大为原来的3倍， ∴分母，即分母扩大3倍．为保持分式值不变，分子也必须扩大3倍． 选项A：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，符合题意． 选项B：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，不符合题意． 选项C：，和都扩大为原来的3倍后，扩大后为，不符合题意． 选项D：，分子的取值与和无关，是常数，不符合题意． 故选A． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，分式有意义的条件，分式值为0的条件，分式的性质；逐一判断每个小题的正误，对比嘉琪的判断，找出他做对的题目． 【详解】解：①∵分母不含字母，不是分式，∴原题说法错误，嘉琪判断“×”正确． ②∵当时，分母，∴分式无意义，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． ③∵分式值为0需分子为0且分母不为0，分子得，但时分母为0，∴只有满足，原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ④∵分式变形需分子分母同乘除非零整式，此处加2不满足，如时两边不相等，∴原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ⑤∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． 综上，嘉琪做对①、②、⑤． 故选：B． 6．（2021·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可． 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 7．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程的分母， ∴两边同乘，得， 化简得， 移项得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验：恒成立， 检验：，解得，即， ∴且， 故选：A． 二、填空题 8．（21-22八年级上·云南红河·期末）一组按规律排列的式子：，，，，（），其中第个式子是 ． 【答案】. 【分析】本题考查数字类规律的探究，根据题意可得式子的第奇数个数为正，第偶数个数为负，分子为序号的平方，分母中的指数为：序号三倍减1.据此规律可得结果． 【详解】∵, ， ， … 第个式子应为：， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为 ． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若，则的值为 ． 【答案】/0.2 【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式．由，利用完全平方公式求出的值，再求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 12．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列结论：①等式成立，则成立；②若有意义，则x的取值范围是且；③若分式的值为0，则x的值为3；④分式的值为整数，则整数x的值有2个；⑤若已知，则整数x的值是3或1或4，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了分式的基本性质、分式有意义的条件、分式值为零的条件等知识，对于每个结论，利用分式的基本性质、分式有意义的条件、分式值为零的条件以及整数解的分析进行判断． 【详解】解：结论①：∵， ∴，即，故正确． 结论②：∵有意义， ∴，， ， ∴，，，故错误． 结论③：∵分式值为零 ∴且， ∴，故正确． 结论④：∵的值为整数， ∴为整数， ∴或或， ∴或或或或或， 又为整数， ∴或，共2个整数解，故正确． 结论⑤：当时，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意， ∴和，故错误． 故答案为∶ ①③④． 13．（21-22八年级下·陕西西安·期中）若，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案． 【详解】解： ∴A=2，B=1 故答案为：2，1． 【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则． 14．（18-19七年级下·浙江杭州·月考）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，正确计算是解题的关键．由已知条件 可得 ，即 ．将所求分式的分子和分母分别用 和 表示，代入化简即可． 【详解】解：由 ，得 ， 所以 ，即 ． 所求分式的分子为 ， 分母为 ． 所以 ． 故答案为：. 15．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查解分式方程，理解分式方程的增根意义是解答的关键． 先确定分式方程的增根为使分母为零的x值，即或；然后去分母得到整式方程，代入增根求解k的值 【详解】解：去分母，两边同乘，得， 化简得，即， ∵方程的分母为，，，其中， 故分母为零时，或，即为可能增根， 若增根为，则，解得； 若增根为，则，解得， 故k的值为4或8， 故答案为：4或8． 16．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）若，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，当时，需考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0，且底数不为0这三种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解：当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，符合题意； 综上所述，x的值为或或， 故答案为：或或． 17．（24-25七年级下·广东佛山·期末）石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新型纳米材料，其厚度nm，nmm用科学记数法表示：nm m 【答案】 【分析】本题考查单位换算及科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用1纳米米的单位换算关系，将纳米转换为米，并用科学记数法表示即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 18．（21-22八年级下·山西运城·月考）综合与实践 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：． 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． (1)分式是_________分式．（填“真”或“假”） (2)参考上面的方法，将分式化为带分式． (3)如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)真； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：原式 ． ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 19．（25-26八年级上·广东江门·月考）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，利用已知条件代入化简求值． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，故． ∴原式． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算和乘法公式，掌握分式的乘除混合运算法则是解题的关键．根据分式的乘除混合运算和乘法公式化简后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 【答案】(1) (2)，或或0或1 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】（1）原式 ； （2）解：原式 ， ∵x为整数，该分式的值也为整数， ∴或或1或2， ∴或或0或1． 22．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： (1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； (2)求分式的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）依题意，原分式可化为，可得解； （2）依题意，原分式可化为，再由推出即可得解． 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， ， ， ， ， 原分式的最大值为． 23．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以．故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： (1)已知，求的值． (2)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新的解题方法—“倒数法”，正确理解题意是解题关键． （1）首先利用“倒数法”可得，然后将整理为，代入数值计算，进一步求解即可获得答案； （2）首先利用“倒数法”可得，，，易知，然后将整理为，代入数值计算，进一步求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由知， 所以，即， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26七年级上·上海·期末）深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【答案】小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时 【分析】设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时，由此列式求解即可本题主要考查分式的运用，理解数量关系，掌握分式解实际问题的方法是解题的关键． 【详解】解：设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时， 可列方程：， 化简得：， ， 解得：， 检验：时，且 ∴原分式方程的解为， ∴， 答：小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时． 25．（25-26八年级上·全国·期末）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． (1)求原计划每天铺设路面多少米？ (2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 【答案】(1)原计划每天铺设路面80米 (2)完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元 【分析】此题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键． （1）设原计划每天铺设路面x米，根据共用13天完成道路改造任务列方程并解方程即可； （2）分别计算出提高工作效率前和提高工作效率后的天数，根据每天支付给工人的工资计算即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米， 由题意可得，， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：原计划每天铺设路面80米； （2）由（1）得， （天），（天）， ∴总费用为：， 答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元． 26．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）先化简．再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，先计算括号里分式的减法，再将除法转化为乘法，计算分式的乘法，然后再算分式的减法，通过零指数幂，负整数指数幂求出的值，再代入求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ∵． ∴原式 ． 21 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $