精品解析：广东省汕头市潮南区司马浦镇2025-2026学年上学期八年级数学期末考试卷

2025～2026学年度第一学期 八年级期终考试数学试卷（F） 说明：1.本卷满分120分；2.考试时间120分钟；3.答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案． 【详解】解：A、x=0时分式无意义，故A不符合题意； B、无论x取何值，分式总有意义，故B符合题意； C、当x=-1时，分式无意义，故C不符合题意； D、当x=0时，分式无意义，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分母不为零分式有意义． 2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断． 【详解】，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项正确，符合题意； ，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 5. 如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ） A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE =∠OED D. ∠ODE=∠OFE 【答案】D 【解析】 【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果． 【详解】解：∵OB平分∠AOC ∴∠AOB=∠BOC 当△DOE≌△FOE时，可得以下结论： OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF． A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确； B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确； C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确； D答案中，若∠ODE=∠OFE， 在△DOE和△FOE中， ∴△DOE≌△FOE（AAS） ∴D答案正确． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键． 6. 已知点、关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点坐标特征，代数式求值，根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出和的值，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故选：． 7. 已知A为整式，若计算的结果为，则（ ） A. x B. y C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 9. 若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵解为正数， ∴， ∴， ∵分母不能为0， ∴， ∴，解得， 综上所述：且， 故选：B． 【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键． 10. 如图中，的垂直平分线HD与的外角平分线CD交于点，于，于，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据外角平分线和垂直平分线可得；②在 上截取 ，证明，即可通过全等三角形的性质构造线段和差关系；③通过构造角度和差关系求解；④通过构造角度和差关系求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握基本的概念是解题关键． 【详解】解：①是的外角平分线，，， ，， 在的垂直平分线上， ， 在和中， ， 故①正确， ②在 上截取 ， ∵ ， ∴为垂直平分线上的点， ∴ ， ∴ ，, ∵， ∴ ，, ∴ , 在和中， ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ③∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故③正确； ④∵ ，， ∴ ， ∵ ，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故④错误， 综上所述：①②③ 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用科学记数法表示数0.0002026为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，科学记数法表示小数时，为负整数，由小数点向右移动的位数确定． 【详解】解：将用科学记数法表示，需使满足，故将小数点向右移动位，得到，， 因此表示为． 故答案为：． 12. 要使展开式中不含项，则k的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，解题关键是掌握不含某项、则某项的系数为零是解题的关键． 先根据多项式乘法展开，然后合并同类项，然后让项的系数为零，据此列出关于k的方程求解即可． 【详解】解：， ∵展开式中不含项， ∴项的系数，解得：． 故答案为：． 13. 如图，在等边三角形中，是边上的中线，过点D作于点E．若，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，可知的长度，根据含有的直角三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，含有的直角三角形的性质，灵活运用相关性质进行求解是解题关键． 【详解】在等边三角形中，,， ∵是边上的中线， ， ∵， ∴， 在中，，, ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知 ，，则的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂和乘方，利用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：12． 15. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点．点分别是和上的动点，则的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，掌握垂线的性质是解题关键． 【详解】解：如图，在上取一点,使,连接, ∵是的角平分线， ∴, 在和中， , , , , 当点,,共线时，取最小值，最小值为， 由垂线段最短得，当时，取得最小值， 此时,， , 解得． 故答案为：5． 三、解答题（一）（每小题7分．共21分） 16. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】解： 两边同乘，得， 整理，得， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以，原分式方程的解为． 18. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同． （1）绳子和实心球的单价各是多少元？ （2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？ 【答案】（1）绳子的单价为7元，实心球的单价为30元 （2）购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个 【解析】 【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同”列出分式方程，解分式方程即可解题； （2）根据“总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍”列出一元一次方程即可解题． 【小问1详解】 解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元， 根据题意，得：， 解分式方程，得：， 经检验可知是所列方程的解，且满足实际意义， ∴， 答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元． 【小问2详解】 设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为条， 根据题意，得：， 解得 ∴ 答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 20. 因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解．如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法，已知；．请利用以上方法解决下列问题： （1）分别把多项式A和B分解因式； （2）已知a，b分别为等腰的腰和底边，试比较分式与1的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解； （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将进行约分化简后，结合三角形的三边关系，进行判断即可． 掌握分组分解法，分式的基本性质，是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 ； ∵a，b分别为等腰的腰和底边， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，最后根据外角的性质得到的度数． （2）首先通过证明，得到对应边相等，继而证明为等边三角形，得到，继而得到的长度． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. （1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】 （1）， 证明如下： ． （2）解：① ． （2）①；②25 【解析】 【分析】本题考查了分式规律探究，异分母减法，分式方程，理解题意，观察得到规律，并熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明； （2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解； ②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解． 【详解】（1）略 ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为25． 23. 在中，，为的中点，分别为上的点，连接． 【探究发现】 （1）如图①，若，为的中点，，求证：； 【类比猜想】 （2）如图②，若，，试说明之间的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若，，，求的长度． 【答案】 （1）证明：，， ， 为等边三角形， ． ， ， ， ， 为BC的中点， ， 为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）， 证明：，， ， 为的中点， ，， ， ． ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）24． 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，可得，即可求解； （2）根据题意证明,可得，即可求解； （3）取的中点,证明，即可根据对应线段关系求解． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，适当添加辅助线是解题关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：取的中点，连接， ， ，为的中点， ，平分，， ， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ． 答：的长度为24． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期 八年级期终考试数学试卷（F） 说明：1.本卷满分120分；2.考试时间120分钟；3.答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（　　） A. B. C. D. 2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 5. 如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ） A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE =∠OED D. ∠ODE=∠OFE 6. 已知点、关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知A为整式，若计算的结果为，则（ ） A. x B. y C. D. 8. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图中，的垂直平分线HD与的外角平分线CD交于点，于，于，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用科学记数法表示数0.0002026为______． 12. 要使展开式中不含项，则k的值等于______． 13. 如图，在等边三角形中，是边上的中线，过点D作于点E．若，则的长为______． 14. 已知 ，，则的值为_____． 15. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点．点分别是和上的动点，则的最小值是______． 三、解答题（一）（每小题7分．共21分） 16. 已知，求的值． 17. 解方程：． 18. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同． （1）绳子和实心球的单价各是多少元？ （2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？ 20. 因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解．如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法，已知；．请利用以上方法解决下列问题： （1）分别把多项式A和B分解因式； （2）已知a，b分别为等腰的腰和底边，试比较分式与1的大小． 21. 如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. （1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 23. 在中，，为的中点，分别为上的点，连接． 【探究发现】 （1）如图①，若，为的中点，，求证：； 【类比猜想】 （2）如图②，若，，试说明之间的数量关系； 【拓展延伸】 （3）如图③，若，，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $