2026年中考数学二轮复习专题练习：动态几何与函数（双函数）

初三数学中考专题复习练习：动态几何与函数（双函数） 1．如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4．E，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），且AE＝CF，连接BE，DF．用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为y1．矩形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S1，△CDF的面积为S2，y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 2．如图，正方形ABCD中，点P是AB的中点，点M是AB边上任意一点（与点A，点B不重合），点E在BC边上，连接ME，NE⊥ME交射线CD于点N．已知BE＝2，CE＝4，设BM＝x，PM＝y1，CN＝y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 3．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为边AC上的中点，连接BD．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着A—D—B的路线运动，到达点B停止．同时动点M以相同的速度从点A出发，沿AC运动，到达点C停止，连接BM，过点P作PQ∥BC交AB于点Q．运动的时间为x秒．点P，Q的距离为y1，△ABC的面积与△ABM的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 4．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，连接BD，动点E从B到A以每秒1个单位/秒运动，到A停止运动，运动过程中，连接CE交DB于F，用x表示E运动时间（0＜x＜6）△BCE面积y1线段CF与EF的比值为y2． （1）直接写出y1，y2函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2的函数图象，并写出函数y1，y2的一条性质：　 　 ． （3）根据函数图象，直接写出当y2≤y1＜4时，x的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P从点C出发，沿折线C﹣D﹣A运动，当它到达点A时停止运动．点E为射线BA上一动点，点F为边BC上一动点，BF的长度为点P运动路程的一半且△BEF的面积为2，设点P的运动路程为x（0＜x＜6），△ACP的面积记为y1，BE的长记为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的直角坐标系中，画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）根据图象直接写出不等式y1＞y2成立时，x的取值范围． 6．如图1，矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P以1cm/s的速度从点B沿折线B﹣A﹣C运动，连接PC、PB，同时，动点Q以0.5cm/s的速度从点A出发沿AC运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动．过点Q作QH⊥AD于点H，设点P的运动时间为x，记△PBC的面积为y1，记△ACD与△AQH的周长比为y2，请回答下列问题： （1）请直接写出y1、y2分别与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1、y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当y1＜y2时x的取值范围：　 　 ．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 7．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，对角线AC＝12，动点P沿A→B→C以每秒2.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动；同时，动点Q沿A→C以每秒1.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动．连接PQ，BQ，设点P的运动时间为x秒，点P，Q的距离为y1，菱形ABCD的面积与△ABQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 8．如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点P以每秒1个单位长度从点A出发，沿着A→C→D运动，当点P到达D点时停止运动，动点Q以每秒个单位长度从点A出发，沿A→D方向运动，P、Q两点同时停止运动，点E为直线AC上的动点，满足2S△AEQ＝S△ABC，设点P，Q的运动时间均为x秒，记△BCP的面积为y1，点E到直线AD的距离为y2． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD，动点P从点A出发沿折线A﹣B﹣D方向运动，同时动点Q沿射线CB方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点同时停止运动，连接DP，DQ．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），记△ADP的面积为y1，△BCD的面积与△DCQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 10．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°．动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→B→C的方向运动；同时动点E以相同的速度从点C出发，沿折线C→B→A的方向运动，当动点D运动到点C时两点都停止运动．设运动时间为t（t＞0）秒．记点D、B之间的距离与点E、B之间的距离之和为y1：△ABC的周长与点D的运动时间之比为y2． （1）请直接写出y1、y2关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出y1、y2的函数图象，并写出y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当一次函数y3＝kx+5与y1的图象有两个交点时k的取值范围． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，点D为线段BC上一点（不与点B，C重合），CD＝x，△ACD的面积为y1，△ABC的面积与△ACD的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，点P为线段AD上一点（不与A，D两点重合），过点P作PM⊥AD交AB于点M，交AC于点N．设AP的长度为x，点M、N之间的距离为y1，△ABC的周长与△AMN的周长之比为y2． （1）直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 13．如图1，在△ABC中，AD为BC边上的高，∠ACB＝45°，tan∠ABC，AB＝5，动点P从点B出发，沿B→C运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x，过点P作PQ⊥BC交△ABC的边AB于点Q，点P，Q的距离为y1，△ABD的面积与点P运动的路程之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1≤y2时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 14．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．AB＝10，AC＝12，点E是AB的中点．动点P从点B出发，沿折线B→O→A方向以每秒2个单位长度的速度运动．动点Q从C出发，沿C→O方向以每秒0.5个单位长度的速度运动．当点P到达点A时，点P与点Q同时停止运动．过点Q作QF∥BD交CD于点F．设运动时间为x秒（0＜x＜7），记△BEP的面积为y1，△COD的周长与△CQF的周长之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 15．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，E是AB边上一点，BE＝2．动点F从点E出发以每秒2个单位长度的速度沿射线EA运动，同时动点G也从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿E→B→C方向运动．连接DE，DF，CE，CG，设运动时间为x秒（0＜x＜7）△DEF与△DEA的面积之比为y1，△CEG的面积为y2 （1）直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y2的一条性质； （3）观察y1，y2的函数图象，结合必要的计算，直接写出y2＞y1时x的取值范围． 16．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P从点A出发，沿着折线A→C→B方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点B出发沿射线BC方向运动，当点P运动到B点时两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒（0＜x＜7），记△ABP的面积为y1，△ABC的面积与△ABQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当y1≥y2时，x的取值范围．（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2） 参考答案：动态几何与函数（双函数） 1．如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4．E，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），且AE＝CF，连接BE，DF．用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为y1．矩形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S1，△CDF的面积为S2，y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【解答】解：（1）∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB＝3，BC＝4， ∴∠ABC＝90°，，∴AO＝CO＝2.5， 当时，AE＝CF＝x，如图， ∴y1＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣x﹣x＝5﹣2x， 5时，AE＝CF＝x，如图，∴y1＝EF＝AE+CF﹣AC＝x+x﹣5＝2x﹣5，∴， 如图，过点B作BM⊥AC 于点M， ∵，∴，∴△ABE的面积为， 同理可得△CDF 的面积为， 又∵矩形ABCD的面积为S＝3×4＝12，∴，∴； （2） 作图如下：性质：当时，y1随x的增大而减小；当时，y1随x的增大而增大（不唯一）； 当0＜x＜5时，y2随x的增大而减小； （3）结合函数图象，可得y1＜y2时x的取值范围为0＜x＜3.3（或0＜x＜3.1＜或0＜x＜3.2或0＜x＜3.4或0＜x＜3.5）． 2．如图，正方形ABCD中，点P是AB的中点，点M是AB边上任意一点（与点A，点B不重合），点E在BC边上，连接ME，NE⊥ME交射线CD于点N．已知BE＝2，CE＝4，设BM＝x，PM＝y1，CN＝y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【解答】解：（1）∵BE＝2，CE＝4，∴BC＝BE+CE＝6，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝6， ∵点P是AB的中点，∴， 当0＜x＜3时，y1＝PM＝3﹣x，当3≤x＜6时，y1＝PM＝x﹣3， 在正方形ABCD中， ∵∠B＝∠C＝90°，NE⊥ME，∴∠MEN＝90°，∴∠MEB＝90°﹣∠NEC＝∠ENC，∴△MEB∽△ENC， ∴，∴，∴，即， 综上，，； （2）列表： x 0 1 2 3 4 6 y1 3 0 3 y2 8 4 2 描点，连线，图象如下： ； 当x＝3时，y1的最小值为0；y2在0＜x＜6区间内，y2随x的增大而减小； （3）联立方程组， 解得或（舍去），观察图象，y1≤y2时x的取值范围为0＜x≤4.7． 3．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为边AC上的中点，连接BD．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着A—D—B的路线运动，到达点B停止．同时动点M以相同的速度从点A出发，沿AC运动，到达点C停止，连接BM，过点P作PQ∥BC交AB于点Q．运动的时间为x秒．点P，Q的距离为y1，△ABC的面积与△ABM的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【解答】解：（1）在直角三角形ABC中，由勾股定理， ∵D是AC中点，∠ABC＝90°，∴AD＝DC＝5． 当0≤x≤5时，∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC，∴，即，解得． 在直角三角形AQP中，根据勾股定理． 当5＜x≤10时，∵∠ABC＝90°，D为边AC上的中点，∴BD＝AD＝CD＝5，∴DP＝x﹣5， AD＝BD＝CD，如图1，过D作DH⊥AB于H， ∴AH＝BH，∴，PQ∥BC∥DH，∴△BDH∽△BPQ， ∴，即，解得，∴． 综上，．， 设AM＝x，则∴，x的取值范围是0＜x＜10． （2）在平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，如图2即为所求； 当0≤x≤5时，，是过原点（0，0）和点（5，4）的线段； 当5＜x≤10时，，过点（5，4）和（10，0）． y1的性质：当0≤x≤5时，y1随x的增大而增大；当5＜x≤10时，y1随x的增大而减小． （3）当y1＞y2时，找到y1图象在y2图象上方对应的x取值范围，可得3.5＜x＜8.5． 4．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，连接BD，动点E从B到A以每秒1个单位/秒运动，到A停止运动，运动过程中，连接CE交DB于F，用x表示E运动时间（0＜x＜6）△BCE面积y1线段CF与EF的比值为y2． （1）直接写出y1，y2函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2的函数图象，并写出函数y1，y2的一条性质：　当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大，当0＜x＜6时，y2随x的增大而减小　 ． （3）根据函数图象，直接写出当y2≤y1＜4时，x的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 【解答】解：（1）根据题意得：BE＝x，则 AE＝6﹣x， 矩形ABCD中，∵AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝3，AB∥CD， ∴△BEF∽△DCF，，∴，即， ∴y1，y2函数关系式分别为1，； （2）根据题意得：函数的图象过点（0，0），（2，3），（6，9）， 函数的图象过点（1，6），（2，3），（3，2），（6，1）， 画出函数图象，如图， 函数y1，y2的一条性质：当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大，当0＜x＜6时，y2随x的增大而减小； 故答案为：当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大，当0＜x＜6时，y2随x的增大而减小； （3）观察图象得：两函数图象交于点（2，3）， 对于， 当y1＝4时，， 观察图象得：当2≤x＜2.7时，y2≤y1＜4， 即当y2≤y1＜4时，x的取值范围为2≤x＜2.7． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P从点C出发，沿折线C﹣D﹣A运动，当它到达点A时停止运动．点E为射线BA上一动点，点F为边BC上一动点，BF的长度为点P运动路程的一半且△BEF的面积为2，设点P的运动路程为x（0＜x＜6），△ACP的面积记为y1，BE的长记为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的直角坐标系中，画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）根据图象直接写出不等式y1＞y2成立时，x的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得，∵点P运动路程为x，∴， 当点P在AB上时，即：0＜x≤2，， 当点P在BC上时，即：2＜x≤6，． ∵△BEF的面积为2，∴y2＝2×2（0＜x＜6），∴；； （2）描点，连线得， 性质1：当x＝2时，y1取到最大值4；性质2：当0＜x＜2时，y1随x的增大而增大，当2＜x＜6时，y1随x的增大而减小； （3）由图象可得，在2＜x＜4时，y1的图象在y2上方， ∴不等式y1＞y2成立时x的取值范围为：2＜x＜4． 6．如图1，矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P以1cm/s的速度从点B沿折线B﹣A﹣C运动，连接PC、PB，同时，动点Q以0.5cm/s的速度从点A出发沿AC运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动．过点Q作QH⊥AD于点H，设点P的运动时间为x，记△PBC的面积为y1，记△ACD与△AQH的周长比为y2，请回答下列问题： （1）请直接写出y1、y2分别与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1、y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当y1＜y2时x的取值范围：　2.2＜x＜6.8　 ．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，∴AC5（cm）， 当0≤x≤3时，∵∠B＝90°，BP＝x cm，BC＝4cm，∴y1BC•BP4x＝2x； 当3＜x≤8时，如图，过P作PE⊥BC于E， ∴PE∥AB，∴△CPE∽△CAB，∴，∴，∴PE， ∴y1BC•PHx， 综上所述y1， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4cm，CD＝AB＝3cm，∴△ACD的周长为3+4+5＝12（cm）， ∵QH⊥AD，∴QH∥CD，∴△AQH∽△ACD，∴，∴，∴AHx，HQx， ∴△AQH的周长为xxxx，∴y2（0≤x≤8）； （2）如图所示， 当0≤x≤3时，y1随x的增大而增大； （3）由图象得，当y1＜y2时x的取值范围为2.2＜x＜6.8， 故答案为：2.2＜x＜6.8． 7．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，对角线AC＝12，动点P沿A→B→C以每秒2.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动；同时，动点Q沿A→C以每秒1.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动．连接PQ，BQ，设点P的运动时间为x秒，点P，Q的距离为y1，菱形ABCD的面积与△ABQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 【解答】解：（1）当点P在AB上时，过点Q作QH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝10，AC⊥BD，，BD＝2BO， ∵AB＝10，∴，则BD＝16， ∵在Rt△ABO中，sin，， 由题意得：AQ＝1.5x，AP＝2.5x， ∴在Rt△AQH中，QH＝AQ×sin∠OAB＝1.5x•5＝1.2x，， ∴PH＝AP﹣AH＝2.5x﹣0.9x＝1.6x， ∴，∴y1＝2x（0＜x≤4）； 当点P在BC上时，此时CQ＝AC﹣AQ＝12﹣1.5x，BP＝2.5x﹣10， ∵BA＝BC，∴∠BCO＝∠BAO， 在Rt△QHC中，，CH＝CQ×cos∠BCO＝（12﹣1.5x）×π＝7.2﹣0.9x， ∴PH＝BC﹣CH﹣BP＝10﹣（7.2﹣0.9x）﹣（2.5x﹣10）＝12.8﹣1.6x． ∴， ∴y1＝16﹣2x（4＜x＜8）； 如第一幅图： ， 综上：，； （2）画出函数图象为： 由函数图象可知，该函数有如下性质：当0＜x＜4时，y1随x增大而增大，当4＜x＜8，y1随x增大而减小；当0＜x＜8时，y2值x增大而减小； （3）由图象得，当y1＞y2，即函数y1图象在函数y2图象上方时，x的取值范围为2.8＜x＜6.9． 8．如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点P以每秒1个单位长度从点A出发，沿着A→C→D运动，当点P到达D点时停止运动，动点Q以每秒个单位长度从点A出发，沿A→D方向运动，P、Q两点同时停止运动，点E为直线AC上的动点，满足2S△AEQ＝S△ABC，设点P，Q的运动时间均为x秒，记△BCP的面积为y1，点E到直线AD的距离为y2． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝4， ∴， 当0＜x≤5时，作PF⊥BC于点F，如图所示， ∵AP＝x，∴CP＝5﹣x，BC＝4， ∵，∴， ∴，∴； 当5＜x≤8时，如图所示， ∴CP＝x﹣5，∴； 综上所述，； ∵，∴， ∵2S△AEQ＝S△ABC，∴，∴； （2）画函数图象，如图所示， 当0≤x≤5时，y随x的增大而增大，当5＜x≤8时，y随x的增大而减小； （3）由图象可知，当6＜x≤8时，y1＞y2． 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD，动点P从点A出发沿折线A﹣B﹣D方向运动，同时动点Q沿射线CB方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点同时停止运动，连接DP，DQ．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），记△ADP的面积为y1，△BCD的面积与△DCQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【解答】解：（1）过点P作PE⊥AD于点E， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，∴， ∴当0＜x≤3时，AP＝x，∴， 当3＜x＜8时，DP＝3+5﹣x＝8﹣x， 作PE⊥AD，则，∴（8﹣x）； ∵CQ＝x，∴； 综上：； ； （2）列表如下： x 1 2 3 5 8 y1 2 1 6 0 y2 5 2.5 1 描点，连线如上： 由图可知，当0＜x＜3时，y1随着x的增大而增大； （3）由图象可知：y1＜y2时x的取值范围为0＜x＜1.6或7.4＜x＜8． 10．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°．动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→B→C的方向运动；同时动点E以相同的速度从点C出发，沿折线C→B→A的方向运动，当动点D运动到点C时,两点都停止运动．设运动时间为t（t＞0）秒．记点D、B之间的距离与点E、B之间的距离之和为y1：△ABC的周长与点D的运动时间之比为y2． （1）请直接写出y1、y2关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出y1、y2的函数图象，并写出y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当一次函数y3＝kx+5与y1的图象有两个交点时k的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得：， ①当D在AB上，即0≤t≤4时，则有：AD＝t，BD＝4﹣t， 此时，E在BC上，则BE＝5﹣t，∴y1＝BD+BE＝4﹣t+5﹣t＝﹣2t+9； ②当D在BC上，E在BC上，即4＜t≤5时，同理得：BD＝t﹣4，BE＝5﹣t，∴y1＝t﹣4+5﹣t＝1； ③当D在BC上，E在BC上，即5＜t≤9时，同理得：BD＝t﹣4，BE＝t﹣5，∴y1＝t﹣4+t﹣5＝2t﹣9； 综上，； ∵△ABC的周长为：AB+AC+BC＝12，∴； （2）函数图象如图所示： y1的一条性质：当0≤t≤4时，y1随t的增大而减小；当4＜t≤5时，y1随t的增大而不变；当5＜t≤9时，y1随t的增大而增大； （3）∵一次函数y3＝kx+5恒过点（0，5）， 如图， 当一次函数y3＝kx+5过点 （4，1）时，1＝4k+5， 解得k＝﹣1； 当一次函数y3＝kx+5过点（9，9）时，9＝9k+5， 解得， 故根据图象可得一次函数y3＝kx+5与y的图象有两个交点时，（k≠0）． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，点D为线段BC上一点（不与点B，C重合），CD＝x，△ACD的面积为y1，△ABC的面积与△ACD的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC3，∴y12x（0＜x＜3）， ∵6，∴△ABC的面积与△ACD的面积之比为y2（0＜x＜3）； （2）函数图象如图所示： 当0＜x＜3时，y1随x的增大而增大；当0＜x＜3时，y2随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）由函数图象知，当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜1.2． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，AD＝4，点P为线段AD上一点（不与A，D两点重合），过点P作PM⊥AD交AB于点M，交AC于点N．设AP的长度为x，点M、N之间的距离为y1，△ABC的周长与△AMN的周长之比为y2． （1）直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，PM⊥AD，∴PM∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴， ∴，∴， ∵△AMN∽△ABC，∴△ABC的周长与△AMN的周长之比为y2（0＜x＜4），∴； （2）图象如图所示，当0＜x＜4时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小； （3）观察函数图象，当y1＞y2时x的取值范围是1.6＜x＜4.0． 13．如图1，在△ABC中，AD为BC边上的高，∠ACB＝45°，tan∠ABC，AB＝5，动点P从点B出发，沿B→C运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x，过点P作PQ⊥BC交△ABC的边AB于点Q，点P，Q的距离为y1，△ABD的面积与点P运动的路程之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1≤y2时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【解答】解：（1）在△ABC中，AD为BC边上的高，∠ACB＝45°，tan∠ABC，AB＝5， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠CAD＝90°﹣∠QCB＝45°，∴AD＝CD， ∵，∴， 设AD＝4k，BD＝3k， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，AB＝5，∴（4k）2+（3k）2＝52， 解得k＝1，∴AD＝CD＝4，BD＝3，∴BC＝BD+CD＝7， 当0＜x≤3时，∵PQ⊥BC，∴，∴，∴（0＜x≤3）； 解：（2）在中， x＝0时，得y1＝0；x＝3时，y1＝4； 在中， x＝1时，得y2＝6；x＝2时，得y2＝3；x＝3时，得y2＝2；x＝6时，得y2＝1； 作函数图象如图2； 由函数图象可知，当0＜x≤3时，y1随x增大而增大． （3）由图象看出与交于点A（2.1，2.8）， ∴不等式y1≤y2的解集为0＜x≤2.1． 14．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．AB＝10，AC＝12，点E是AB的中点．动点P从点B出发，沿折线B→O→A方向以每秒2个单位长度的速度运动．动点Q从C出发，沿C→O方向以每秒0.5个单位长度的速度运动．当点P到达点A时，点P与点Q同时停止运动．过点Q作QF∥BD交CD于点F．设运动时间为x秒（0＜x＜7），记△BEP的面积为y1，△COD的周长与△CQF的周长之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝10，AC＝6，∴OA＝OC＝6，AC⊥BD，∴BC8， 过点P作PM⊥AB于点M， 当0＜x≤4时，∵BA＝10，BP＝2x，sin∠ABO， ∴，∴PM，∴； 当4＜x＜7时，如图，过P作PM⊥BA于M， 同理可得sin∠BAO，∴，∴PM，∴28﹣4x； 综上所述，； ∵QF∥DB，∴△COD∽△CQF，∴（0＜x＜7）．∴（0＜x＜7）； （2）如图所示； 性质：当0＜x≤4时，y1随x的增大而增大； （3）由图象知，当y1≥y2时，x的取值范围为2.0≤x≤6.5． 15．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，E是AB边上一点，BE＝2．动点F从点E出发以每秒2个单位长度的速度沿射线EA运动，同时动点G也从点E出发，以每秒1个单位长度的速度沿E→B→C方向运动．连接DE，DF，CE，CG，设运动时间为x秒（0＜x＜7）△DEF与△DEA的面积之比为y1，△CEG的面积为y2 （1）直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y2的一条性质； （3）观察y1，y2的函数图象，结合必要的计算，直接写出y2＞y1时x的取值范围． 【解答】解：（1）AE＝AB﹣BE＝8﹣2＝6， ∵S△DEF，S△DEA15，∴（0＜x＜7）， 当0＜x＜2时，， 当2＜x＜7时，，∴； （2）如图， y2先随着x的增大而增大，再随着x的增大而减小； （3）由得， x， ∴当0＜x时，y2＞y1． 16．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P从点A出发，沿着折线A→C→B方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点B出发沿射线BC方向运动，当点P运动到B点时,两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒（0＜x＜7），记△ABP的面积为y1，△ABC的面积与△ABQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当y1≥y2时，x的取值范围．（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2） 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴． ∵， ，∴y2． 当P在AC上时，即0＜t≤3时，． 当P在BC上时，即3＜t＜7时，， 综上所述：； （2）如图所示，当0＜t≤3时，y随的增大而增大；当3＜t＜7时，y随t的增大而减小； （3）由图可知S△ABC最大为6，S△ABC＝2t． ， 当，解得，1.4（负数舍去）， 当， 解得t16.6，t20.4（舍去）， ∴1.4≤t≤6.6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/26 10:13:20；用户：雪鹏初数；邮箱：xpcs@xyh.com；学号：29543187 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $