第09讲 矩形（3个知识点+7个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材人教版

第09讲 矩形 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：7大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 矩形的定义及性质】 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】 （1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法. 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）. 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【注意】 （1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等. （2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点. （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等. 【知识点2 直角三角形斜边上中线的性质】 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，则BD=AC=AD=DC. 【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. 【知识点3 矩形的判定】 判定方法 数学语言 图形 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ， 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， ， 四边形是矩形. 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ， 是矩形 【题型1 利用矩形的性质求解】 【例1-1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为 ． 【答案】102.5° 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解决此题的关键． 由四边形是矩形，得出，由，进而得到，根据得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【例1-2】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若，，则EF的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分． 先根据矩形的性质，推理得到，再根据求得的长，然后通过证明，即可得到的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵， ． ，， ， ． 在中，， 即， 解得． ∵四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 【变式1-1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．已知，则 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，掌握矩形的性质是解题关键．根据矩形的性质，得到，，进而求出，利用直角三角形两锐角互余，得到，再结合等边对等角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：在矩形中，对角线与相交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】如图，矩形中，的平分线交于点，O为对角线和的交点，且，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，由矩形的性质得到，，，则由角平分线的定义可推出，则，证明是等边三角形，得到，，则可推出，，据此可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ． 故答案为． 【变式1-3】如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接可知，的面积等于与的面积和，分别表示出和的面积，再列方程求解即可． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 即， ， ∴． 故答案为：． 【变式1-4】如图， 点 E为矩形边的中点， 点 F为边上一点， 且， 若，， 则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，延长、交于G，由矩形的性质推出，得到，由判定，得到，求出，得到，求出，而，得到，推出． 【详解】解：延长交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：12． 【题型2 利用矩形的性质证明】 【例2】如图，矩形中，点在上，，与相交于点，与相交于点． (1)若平分，求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据，平分得出，再利用直角三角形的性质即可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质和三角形内角和即可证明； （2）利用矩形的性质推出，然后根据垂直定义得，然后利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：四边形为矩形， ， ∵，， ， 由（1）得， ∴ 在中 . 【变式2-1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明； （2）先根据勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵，， 故， 故在中，， ∵的面积为， 即， ∴． 【变式2-2】如图①，已知矩形，平分交于点．​ (1)求证：． (2)如图②，连接，过作，交于，连接．若，，试判断的形状，并求的长．​ 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析； 【分析】（1）根据矩形对边平行，结合角平分线，可证明，再根据等角对等边，得出结论； （2）根据矩形对边相等，结合（1）可知，，接着证明，得到，从而判断的形状，最后利用勾股定理求得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形， 理由如下：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 在中，，， ， ． 【变式2-3】如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接， (1)求证：； (2)求证：； (3)若，直接写出___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线性质证明即可； （2）先求出， 判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得， ， 从而得到，再求出是等腰直角三角形，求出， 然后利用“边角边”证明即可； （3）过点作于点，设， 则，根据等腰直角三角形的性质得到，然后表示和，再求出比值即可． 【详解】（1）证明：∵是矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴； （2）证明∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：过点作于点，如图所示. ， ∴设， 则， ∵， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 故答案为：． 【题型3 直角三角形斜边上中线的性质】 【例3-1】如图，在中，点、分别为边、的中点，点是上一点，且．若，，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形中位线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的知识是关键． 由题意可知，是的中位线，则．在直角中，是斜边上的中线，因此，从而计算出的长． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴， 在直角中，是斜边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：3． 【例3-2】如图，在四边形中，， E为对角线的中点，连接．若， 则的度数为 °． 【答案】35 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即，由等边对等角可得，设，则，再根据三角形外角的性质以及角的和差可得，最后根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， E为对角线的中点， ∴，即 ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35． 【变式3-1】如图，在中，于点于点为的中点，，则的周长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义解答． 【详解】解：，，为的中点， ， ∵， ， 的周长． 故答案为：． 【变式3-2】如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为 ． 【答案】3.5 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，根据三角形斜边中线的性质求得，，由C、M、N在同一直线上时，取最小值，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 在中，，，， ∴， ∵，点M、N分别是、的中点， ∴，， 当C、M、N在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为：． 故答案为：3.5． 【变式3-3】如图，在中，，，那么 ． 【答案】10 【分析】本题考查等角对等边，勾股定理，斜边上的中线，取的中点，连接，根据平行线的性质，得到，根据斜边上的中线得到，等边对等角，结合三角形的外角得到，进而得到，得到，即可得出结果． 【详解】解：取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 【变式3-4】如图，四边形中，，，E、F分别是和的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)6 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质可以证明结论成立； （2）利用直角三角形的斜边上的中线的性质和等边三角形的判定与性质得到，，是等边三角形，可得出结论． 【详解】（1）证明：连接、，如图所示： ，，E、F分别是和的中点， 在中，在中， ， 是的中点， ； （2）解：，，E、F分别是和的中点， 在中， ， ， 是等边三角形， 【题型4 矩形的判定条件】 【例4】下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号） 【答案】（2）（4）（5）（8） 【分析】本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（2）（4）（5）（8）正确，（1）（3）（6）（7）不正确，即可得出结论． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确 ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确； ∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确； ∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确； 故答案为：（2）（4）（5）（8）． 【变式4-1】在中，与相交于点O，要使是矩形，需添加的条件是 （填序号） ①；②；③；④ 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 利用矩形的定义和判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解： ①根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，当时，不能判定是矩形，该选项错误，不符合题意； ②根据对角线相等的平行四边形为矩形，当时，根据平行四边形的性质得，, ∴是矩形，该选项正确，符合题意； ③同②，该选项正确，符合题意； ④根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，当时，为直角， ∴是矩形，该选项正确，符合题意； 综上，符合题意的选项有②③④， 故答案为：②③④． 【变式4-2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形与矩形的判定，掌握矩形的判定需先证平行四边形，再结合对角线相等或有一个角是直角是解题的关键． 对每个选项，先判断能否证明四边形为平行四边形，再看能否进一步判定为矩形，从而找出不能判定的组合． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． B、∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． C、， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形的对边相等，可得到， 即当时，不能得出四边形是矩形，符合题意． D、∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形，符合题意． 故选：C． 【变式4-3】如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 【题型5 证明四边形是平行四边形】 【例5】如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，分别是和的中点． (1)求证：； (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，，，证出，，由证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵和的平分线、分别交、于点E、F， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、H分别为、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵，G为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式5-1】如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线性质，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的性质、三角形中位线性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，当时，求得，推出，于是得到四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵E，F分别是边和的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 证明：连接交于O，如图， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式5-2】如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形．证明见解析 【分析】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． （1）由平行得，进而证明，推出，等量代换可得； （2）由等腰三角形三线合一，可得，再证四边形是平行四边形，可得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：四边形是矩形． 理由：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【变式5-3】如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E．交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)点O在中点时，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，掌握等腰三角形和矩形的判定方法是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的性质，得到相等角，利用等角对等边得到线段的相等关系即可； （2）一个四边形是矩形的前提是该四边形是平行四边形，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，确定点O的位置，再通过角平分线的性质得到直角即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又是的平分线， ∴， ∴， ∴， 同理，可得， ∴； （2）解：当点O为的中点时，四边形是矩形， 理由：当点O为的中点时，， 又由（1），得， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【题型6 矩形的判定与性质综合】 【例6】在中，点是上一点（不与、重合），连接，点为线段的中点，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)过点作，垂足为，交于点，，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据等腰三角形性质推得、，再根据三角形内角和定理推得，最后根据“含一个角的平行四边形是矩形”即可证明； （2）连接，作，通过矩形性质可得，由垂直平分线性质得，利用三角形面积公式和勾股定理解直角三角形即可求得． 【详解】（1）解： 点是线段的中点， ， ， ， ，， 中，， 即， ， 平行四边形是矩形． （2）解：连接，作于点， 矩形中，，，， ，四边形是矩形， ， ，且， ，且， 即， ， 又， ， 中，， ， 中，， ， ． 【变式6-1】已知点P是矩形边的中点，将矩形绕点P顺时针旋转得到矩形，使点D的对应点G落在线段的延长线上，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过连接辅助线、，利用点是中点及旋转性质得出边的关系，先证四边形是平行四边形，再结合矩形性质证其为矩形，从而得到 ，实现的证明． （2）先根据已知条件求出相关线段长度和角度，如利用勾股定理求，结合角度关系得出，进而求出、，最后在中用勾股定理求 ． 【详解】（1）证明：连接， ∵点P是的中点 ∴， 由题可知： ∴四边形是平行四边形 又由题可知： ∴是矩形 ∴ ∴ （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在中，． 【变式6-2】如图，在矩形中，连接，以为对角线作四边形，，平分，交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)延长交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据角平分线的定义以及已知条件得出，根据三角形内角和定理，得出，进而根据矩形的判定定理，即可得证； （2）证明，得出，，勾股定理求得，进而求得，然后根据等面积法即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）在中， ， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵，即， 解得：． 【变式6-3】（1）如图 1 ，平行四边形的对角线相交于点 O ，是等边三角形． ①求证：平行四边形是矩形． ②求的值． （2）如图 2 ，矩形中，点 M 是延长线上一点，连接，点 E，F 分别是的中点，与相交于点 G．求证：． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①由平行四边形的性质和等边三角形的性质可证明，据此可证明结论；②可证明，则，由勾股定理可得，据此可得结论； （2）延长交于T，过点F作于H，可证明，得到，证明四边形是矩形，得到，再证明，则可证明，得到，则．即可证明． 【详解】解；（1）①∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； ②∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，延长交于T，过点F作于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型7 矩形与折叠问题】 【例7】如图，在长方形中，，点E在边上，连接，将沿翻折得到，延长交于点，若四边形的周长为22，则的长为 ． 【答案】 【分析】设，，，，，结合四边形的周长为22，得，得到，根据勾股定理，得． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵长方形中，，沿翻折得到， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，，， ∵四边形的周长为22， ∴， ∴ 解得， 根据勾股定理，得． 故答案为：． 【变式7-1】如图，在矩形纸片中，，，把纸片沿对角线向上折叠，顶点落在处，交于点，连接分别交于点，交于点，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质． 由折叠可知，，，证明，设，，根据勾股定理，即可得． 【详解】解：设，则， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：3． 【变式7-2】如图，在矩形中，，，点M是射线上一动点，作直线．作关于直线的对称图形，得到，当点B的对称点E恰好落在直线上时，的值为 ． 【答案】8或2 【分析】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．分点在线段的延长线上和点在线段上两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， ∵翻折， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8或2． 【变式7-3】在长方形中，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 (3)2或8 【分析】（1）由翻折可得，再利用勾股定理解答即可； （2）分和两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可； （3）分点M在线段上和点M在的延长线上两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1∶四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知∶， ， ， 设，则 在中，，解得：． （2）解：如图2-1中，当，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 如图中，当时， ∵， ∴， 设，则， 在中， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上所述，的长为或． （3）解：如图中，当点在线段上时， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图3-2中，当点在的延长线上时，同法可证， ， ， ． 综上所述，满足条件的的长为2或8． 1．已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】观察题目，本题主要考查矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键； 对于①，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”判断即可； 对于②，根据“对角线垂直的平行四边形是菱形”判断即可； 对于其余的条件，结合矩形的判定定理以及平行四边形的性质判断即可． 【详解】①当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故①正确； ②当时， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故②错误； ③当时， ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形，故③正确； ④当时， ． ∵，四边形为平行四边形， ∴，四边形是矩形， 故④正确． 综上可得平行四边形是矩形的条件的序号是①③④． 故选：D 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是矩形的对角线的延长线上一点，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】50 【分析】此题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．根据矩形的性质得到，，则，由三角形内角和得到，证明，根据等边对等角即可得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 3．如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．若，，则的长是 ． 【答案】14 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质的应用．利用等腰直角三角形性质找全等条件，用证明，得；由等腰直角三角形三线合一求，最后求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中，， ， ， ∵为等腰直角三角形，为边上的高， ， ． 故答案为：14． 4．如图，在矩形中，，M为的中点，连接，E为的中点，连接，，若为直角，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形中位线性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，过点作于，并延长，交于点，根据矩形的性质得出，，，得到，，然后求出，进而得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于，并延长，交于点， 四边形是矩形，， ，，，， ， 四边形是矩形， 为的中点， ， ， ，， ， ． 为的中点， ， ， ， ． 故答案为：4． 5．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，的对应线段与相交于点F，连接交于点G，①若，则= ，②若，则的长为 ． 【答案】 ３ 【分析】根据正方形性质得，，折叠的性质得，，可以得出；若，可得，得，，是等边三角形，得． 【详解】解：∵长方形纸片中，，， ∴， 由折叠可得：, ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：，3． 6．如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是平方厘米，请问：阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】13 【分析】本题主要考查三角形的面积、矩形的性质等知识点，弄清各图形面积间的关系是解题的关键。 由图可知，，据此列式计算即可． 【详解】解：三角形、三角形、三角形都可以以为底，为高，故它们的面积都等于 (平方厘米)， 平方厘米． 故答案为：13． 7．如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等面积法，余角定理，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据矩形的性质得出直角和相等的边，然后利用勾股定理和等面积法求出线段的长度即可； （2）过F作于点M，过F作于点N，利用勾股定理和等面积法求出相关线段的长度，得出，，然后利用等角的余角相等得出，最后利用等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由勾股定理得； ∵， ∴由等面积得，， ∴； （2）证明：过F作于点M，过F作于点N， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由等面积可得， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）， 同理：， ∴， ∴． 8．如图平行四边形对角线、相交于点，点为平行四边形外一点，且，垂足为，求证：四边形是矩形 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定，平行四边形的性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半及矩形的判定方法是解题的关键；根据平行四边形的性质可得，，根据直角三角形的性质可证，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证． 【详解】证明：连接， ，， 和都是直角三角形， 四边形是平行四边形， ，， 在直角中，是斜边中线， ， 在直角中，是斜边中线， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 9．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 10．如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为矩形，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和矩形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． （1）根据可得，，再根据为的中点可得，进而利用证明即可； （2）根据可得，即可证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质证明，即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）证明：， ，． 为的中点， ， ∴在和中， ， ． （2）解：四边形为矩形．证明如下： ， ． ， 四边形为平行四边形． 四边形是平行四边形， ． ， ． ， ， ， 四边形为矩形． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 矩形 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：7大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 矩形的定义及性质】 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】 （1）矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①是平行四边形；②有一个角是直角.这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法. 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）. 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形是矩形， 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【注意】 （1）矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等. （2）矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点. （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等. 【知识点2 直角三角形斜边上中线的性质】 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，则BD=AC=AD=DC. 【拓展】该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. 【知识点3 矩形的判定】 判定方法 数学语言 图形 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ， 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， ， 四边形是矩形. 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ， 是矩形 【题型1 利用矩形的性质求解】 【例1-1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，则的度数为 ． 【例1-2】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若，，则EF的长为 ． 【变式1-1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．已知，则 ． 【变式1-2】如图，矩形中，的平分线交于点，O为对角线和的交点，且，则 °． 【变式1-3】如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 【变式1-4】如图， 点 E为矩形边的中点， 点 F为边上一点， 且， 若，， 则的长为 ． 【题型2 利用矩形的性质证明】 【例2】如图，矩形中，点在上，，与相交于点，与相交于点． (1)若平分，求证：； (2)若，，求的长度． 【变式2-1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-2】如图①，已知矩形，平分交于点．​ (1)求证：． (2)如图②，连接，过作，交于，连接．若，，试判断的形状，并求的长．​ 【变式2-3】如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接， (1)求证：； (2)求证：； (3)若，直接写出___________． 【题型3 直角三角形斜边上中线的性质】 【例3-1】如图，在中，点、分别为边、的中点，点是上一点，且．若，，则线段的长为 ． 【例3-2】如图，在四边形中，， E为对角线的中点，连接．若， 则的度数为 °． 【变式3-1】如图，在中，于点于点为的中点，，则的周长为 ．    【变式3-2】如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为 ． 【变式3-3】如图，在中，，，那么 ． 【变式3-4】如图，四边形中，，，E、F分别是和的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型4 矩形的判定条件】 【例4】下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号） 【变式4-1】在中，与相交于点O，要使是矩形，需添加的条件是 （填序号） ①；②；③；④ 【变式4-2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 【变式4-3】如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【题型5 证明四边形是平行四边形】 【例5】如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，分别是和的中点． (1)求证：； (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【变式5-1】如图，在中，，分别是边和的中点，，在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，，当与满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【变式5-2】如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【变式5-3】如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E．交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 【题型6 矩形的判定与性质综合】 【例6】在中，点是上一点（不与、重合），连接，点为线段的中点，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)过点作，垂足为，交于点，，若，，求的长． 【变式6-1】已知点P是矩形边的中点，将矩形绕点P顺时针旋转得到矩形，使点D的对应点G落在线段的延长线上，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式6-2】如图，在矩形中，连接，以为对角线作四边形，，平分，交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)延长交的延长线于点，若，，求的长． 【变式6-3】（1）如图 1 ，平行四边形的对角线相交于点 O ，是等边三角形． ①求证：平行四边形是矩形． ②求的值． （2）如图 2 ，矩形中，点 M 是延长线上一点，连接，点 E，F 分别是的中点，与相交于点 G．求证：． 【题型7 矩形与折叠问题】 【例7】如图，在长方形中，，点E在边上，连接，将沿翻折得到，延长交于点，若四边形的周长为22，则的长为 ． 【变式7-1】如图，在矩形纸片中，，，把纸片沿对角线向上折叠，顶点落在处，交于点，连接分别交于点，交于点，则 ． 【变式7-2】如图，在矩形中，，，点M是射线上一动点，作直线．作关于直线的对称图形，得到，当点B的对称点E恰好落在直线上时，的值为 ． 【变式7-3】在长方形中，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 1．已知的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④．使得是矩形的条件是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是矩形的对角线的延长线上一点，连接，若，，则的度数为 ． 3．如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．若，，则的长是 ． 4．如图，在矩形中，，M为的中点，连接，E为的中点，连接，，若为直角，则的长为 ． 5．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，的对应线段与相交于点F，连接交于点G，①若，则= ，②若，则的长为 ． 6．如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是平方厘米，请问：阴影部分的面积是 平方厘米． 7．如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 8．如图平行四边形对角线、相交于点，点为平行四边形外一点，且，垂足为，求证：四边形是矩形 9．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 10．如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $