第08讲 平行四边形（5个知识点+8个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材人教版

第08讲 平行四边形 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：8大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 平行四边形的概念】 1.定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.表示方法 平行四边形通常用符号“▱”表示。以平行四边形ABCD为例，记作“▱ABCD”，其中A、B、C、D为平行四边形的四个顶点，且顶点字母要按顺时针或逆时针方向依次排列。 【知识点2 平行四边形的性质】 性质 数学语言 图示 边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形， 角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形， 【拓展延伸】 （1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答. （2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据. （3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形. （4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的四分之一；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值. 【规律方法】 （1）平行四边形的邻角互补； （2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积. 【知识点3 两条平行线之间的距离】 1.定义：两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 2.性质： ①如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等. ②两条平行线之间的任意两条平行的线段长都相等. 【知识点4 平行四边形的判定】 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形ABCD是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形ABCD是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 【知识点5 三角形的中位线及其定理】 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 【例1-1】如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，，过点O作分别交于点E、F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据平行四边形的性质得到，可证明得到，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线与交于点O，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例1-2】如图，平行四边形中，相交于点O，交边于E，连接，若，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质和等边对等角的性质，灵活运用相关性质和判定是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，可求的度数，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 【变式1-1】如图，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若的周长是36，，则四边形ABFE的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握利用平行四边形对角线互相平分及对边平行的性质证明三角形全等，进而转化线段求周长是解题的关键． 先证；再由平行四边形周长得；最后转化四边形的周长表达式，代入数值计算． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴，， ∴． ∵的周长是， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 【变式1-2】如图，中垂直平分对角线，若，，则 ． 【答案】/37度 【分析】本题考查平行四边形的性质与垂直平分线性质，解题关键是利用垂直平分线得，结合平行四边形内角的关系求角度，易错点是垂直平分线的性质应用不当． 由平行四边形得，由垂直平分线的性质得到，，再结合平行四边形的性质和角的和差即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵垂直平分对角线， ∴，， ∴； 在中，， 又∵在中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】如图，平行四边形中，交于点F，交于点E， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，先求出，，设，分别对运用角直角三角形的性质和勾股定理表示出边长，再对运用角直角三角形的性质和勾股定理表示出边长，最后再对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ 设， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得（舍负）， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为 ． 【答案】3 或5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出． 根据平行线的性质得到，由平分，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，在中， ∵， ， ∵平分交于点平分交于点， ， ， ， ， ， ； （2）在中，∵， ∵平分交于点平分交于点， ， ， ， ， ， ， 综上所述：的长为3或5． 故答案为：3 或5． 【变式1-5】如图，在平行四边形中，，以点B为圆心、的长为半径作弧交边于点E，连接，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点O，交边于点F，此时，若，则平行四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】由作法可知，平分，证明是等边三角形，由含30度角的直角三角形的性质求出和的长，由平行四边形的面积即可求解． 本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，角平分线的定义． 【详解】解：过A作于H， 四边形是平行四边形， ，，， 根据作法知：，平分， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，，， ， 平分， ， ，， ， ， ， 的面积 故答案为： 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 【例2】（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【详解】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 【变式2-1】如图，在平行四边形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由等腰三角形的性质得，即得，进而得到，再根据全等三角形的性质即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，， ， ∵， ， ． 在和中， ， ， ； （2）解：∵，， ， ， ， ， ∵， ． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到 ，利用即可证明； （2）利用平行四边形对角线互相平分可求，因为，由勾股定理可求，则平行四边形的面积可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 【变式2-3】如图，点是平行四边形的对称中心，点是边上一点，连接并延长，交边于点． (1)求证：； (2)若，．求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)60 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性． （1）由平行四边形的中心对称性可得， ，，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，由平行四边形对边平行可得，，由此可证，即可得出结论； （2）由可得，由可得，再由平行四边形的中心对称性可得平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点是平行四边形的对称中心， ，，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上． 四边形是平行四边形， ． ， ． 又， ． ． （2）解：， ． ， ． ． ． ． 【题型3 利用平行线间距离解决问题】 【例3.1】如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可． 【详解】解：因为在直角三角形中，，，，， 所以点到的距离， 因为， 所以与的距离是． 【例3.2】如图，在中，，，的面积为6，则求的面积． 【答案】16 【分析】本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以及面积公式是解题的关键． 作于G，于H，根据的面积为6，求出，根据两平行线间的距离相等得到的长，根据三角形的面积公式得到答案． 【详解】解∶ 如图，作于G，于H，    ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【变式3-1】在中，，，． (1)请说明的理由； (2)若，，，求与之间的距离． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的面积等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据：得到．推出．结合推出即可求解； （2）过点作于点，根据即可求解； 【详解】（1）解： ． 在中，． ， ． ． （2）解：过点作于点，如图， 即与之间的距离为 【变式3-2】如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】先过作的高，利用得到这两条高相等；再结合同底的条件，证明与面积相等；最后减去它们的公共部分的面积，即可得到与的面积相等． 【详解】证明：如图，过点作于点，过点作于点． ， ． ，． ， ， ． 【变式3-3】如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【答案】100 【分析】本题考查求组合图形面积的相关计算，解题关键在于明确梯形两底之间的距离处处相等并能找到三角形面积的和差关系．利用平行直线之间的距离处处相等，求出的面积，在求出的面积，根据几何关系即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ． 【题型4 平行四边形的判定条件】 【例4.1】已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（    ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法，结合已知，逐一分析各附加条件是否足以证明四边形为平行四边形． 【详解】解：如图， ∵， ①若，四边形可能为等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误． ②若， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故②正确． ③若， ∵， ∴，， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故③正确． ④若，该条件不足以证明平行四边形，可能存在反例（如等腰梯形），故④错误． ∴正确条件为②和③， 故选：C． 【例4.2】如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案． 【详解】解：A、， ， 又， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴， 不能判断四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D、∵， ， 又， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式4-1】如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 【变式4-2】如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 【变式4-3】如图，在四边形中，点，在上，，，请你添加一个条件 ．使四边形是平行四边形． 【答案】（符合题意即可） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．先判定四边形是平行四边形，求得，，当添加时，得到，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：添加， 如图，连接，，，与交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 当添加时， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 【题型5 判断平行四边形个数问题】 【例5】如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，，结合中点的性质得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形、四边形、四边形都是平行四边形，由此即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； 则图中平行四边形有个， 故答案为：． 【变式5-1】如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 【变式5-2】如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当为平行四边形的对角线时，和当为平行四边形的一边时分别画图即可． 【详解】解：如图所示，当为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当为平行四边形的一边时，共有3 种放法．故共有4种放法， 故选：A． 【变式5-3】如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定和网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 以为边的格点平行四边形共有5个，以为对角线的格点平行四边形共有5个， ∴以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形，这样的平行四边形共有10个． 故选：D． 【题型6 证明四边形是平行四边形】 【例6】如图，在四边形中，点、分别是对角线上的两点，且，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据平行线的性质可得，，利用线段和差关系等量代换证得得到，根据全等的性质得到，从而得证． 【详解】证明：，， ，， ， ，即． 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【变式6-1】如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由平行四边形得到，，推出，然后推出，证明出，得到，，然后推出，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式6-2】如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 方法：通过平行四边形的性质得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可；方法：通过平行四边形的性质得到，，，，两直线平行内错角相等可得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，再通过线段的和差关系得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可． 【详解】方法：证明：∵四边形为平行四边形， ． ，， ． 在和中， ， ， ∴四边形为平行四边形． 方法：∵四边形为平行四边形， ，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ，即， ∴四边形为平行四边形． 【变式6-3】如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出，进而得出，同理可得，即可得出四边形为平行四边形． 【详解】证明：，为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ． 又为等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． 【题型7 平行四边形的判定与性质综合】 【例7】如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 【变式7-1】如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理； （1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）证明，可得，在中，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ， ， 在中，． 【变式7-2】如图，在中，分别平分、，交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点E作，垂足为．若的周长为18，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明：连接，交于点O，证明和全等得，进而得，再根据即可得出结论； （2）过点E作于点P，根据角平分线性质得，再根据的周长为18得，进而得，，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，交于点O，如图1所示： 四边形是平行四边形， ，，，，， ， 、分别平分、， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）过点E作于点P，如图2所示： 平分，，， ， 的周长为18， ， ， ，， ． 【变式7-3】如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，过点作于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，继而得到，证明，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到答案； （2）由（1）知四边形为平行四边形，得到，，根据勾股定理求出，根据平行四边形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：由（1）知四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， ， ． 【题型8 三角形中位线定理的应用】 【例8.1】如图，中，是边上的中点，点分别在上，且，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，由等边对等角可得，进而由直角三角形两锐角互余可得，即得，得到，即得到，，再根据线段的和差关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 又∵是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 【例8.2】如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可得的长度，求出，进而计算可以得解． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）知是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 点E为的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中位线，， ，， ， ， 【变式8-1】如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，若是的中点，连接，则 ． 【答案】 【详解】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案． 【解答】解：∵，， ∴． ∵，平分， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 【变式8-2】如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和等腰三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和等腰三角形三线合一是解题的关键． 延长交于点，根据等腰三角形三线合一得到，，根据三角形中位线定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 为的平分线，， ，， 为的中点． 为的中点， ． 【变式8-3】如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点，分别是，的中点，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理； 连接，判定是等边三角形，得到，由平行四边形的性质推出，得到，由三角形中位线定理得到． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：2． 【变式8-4】如图，在中，平分，D是的中点，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，首先延长、交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，又根据点是的中点，可证是的中位线，根据中位线的性质可得的长度． 【详解】解：如图所示，延长、交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 点是的中点， 是的中位线， ． 故答案为：2． 【变式8-5】已知等边，是边上的高． (1)如图1，点E在上，以为边向下作等边，连接．求证：； (2)如图2，M是的中点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，中位线，掌握知识点是解题的关键． （1）推导出，得到，继而证明，则，即可解答． （2）先推导出D是中点，继而证明，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴； 则，即； 在和中， ； ∴， ∴． （2）证明：∵是等边三角形，是高， ∴D是中点； ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴． 1．在四边形中，与相交于点，且，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．从中选个作为条件，能使四边形为平行四边形的选法有（         ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】已知，    加上①可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定四边形为平行四边形，故①正确； 加上②不能判定四边形是平行四边形，故②不正确； 加上③可证明，可根据两组对边平行的四边形是平行四边形进行判定四边形为平行四边形，故③正确； 加上④可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故④正确； 加上⑤得到，根据平行线的性质可证明，则，进而证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故⑤正确； 综上所述，共4种， 故选：C． 2．如图，在中，点是边上的一点，若，，将沿翻折得，连结，点在的延长线上，恰好平分，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质和平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键； 根据平行四边形的性质以及折叠的性质得出，进而得出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵将沿翻折得， ∴，，， 设， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：3． 3．如图，平行四边形中，P是形内任意一点，，，，的面积分别为5，4，3，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．由四边形是平行四边形可知，，于是有，，即有，由此即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， 又 ，，，的面积分别为5，4，3， ， ． 故答案为：4． 4．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，两条平行线之间的距离等，熟练掌握相关知识点，作出适当的辅助线是解题的关键； 过点P作的垂线，交于点M，交于点N，先说明与之间的距离等于线段的长，再利用角平分线的性质定理求出的长． 【详解】解：如图，过点P作的垂线，交于点M，交于点N， 则，， ， ， ， 与之间的距离等于线段的长， ，，平分， ， 同理可得，， ， 与之间的距离等于． 故答案为：． 5．如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 6．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边对等角，平行线的性质，三角形内角和等知识．由点，分别是，的中点，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”得，由点，分别是，的中点，得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如下图，E，F分别是的AD，BC边上的点，且． (1)求证：． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证得； （2）由（1）的结论和中点的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，进而得到，由此可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，． 在和中， ． （2）证明：由（1）得， ，． 又，分别是，的中点， ，， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形． 8．如图，，，，垂足分别为，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，则____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由等角推出与平行，再通过垂直条件和已知边相等，证明三角形全等得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明； （2）利用平行四边形的性质得到边的长度，结合的直角三角形性质，求出相关线段长度，再用勾股定理计算． 【详解】（1）证明：， ， ． ，， ． 在和中： ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，． ， ． 9．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证： ． 四边形为平行四边形． (2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，利用可证 ； （2）根据 ，可得，又因为，则可得四边形为平行四边形； （3）可证是的垂直平分线，则，根据等腰三角形三线合一可知，再由平行线的性质可求． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， 同理可证 ， ． 又， 四边形为平行四边形； （2）解： ， ， ， ， ， ． ， ， ． 10．如图，在中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，点，在对角线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，易证，得到，，进而推出，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明是的中位线，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 又， ， ，， ，． 又， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ，． ， ， ． 又是的中点， 是的中位线， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 平行四边形 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：8大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 平行四边形的概念】 1.定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.表示方法 平行四边形通常用符号“▱”表示。以平行四边形ABCD为例，记作“▱ABCD”，其中A、B、C、D为平行四边形的四个顶点，且顶点字母要按顺时针或逆时针方向依次排列。 【知识点2 平行四边形的性质】 性质 数学语言 图示 边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形， 角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形， 【拓展延伸】 （1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答. （2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据. （3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形. （4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面积的四分之一；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值. 【规律方法】 （1）平行四边形的邻角互补； （2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积. 【知识点3 两条平行线之间的距离】 1.定义：两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离. 2.性质： ①如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等. ②两条平行线之间的任意两条平行的线段长都相等. 【知识点4 平行四边形的判定】 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形ABCD是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形ABCD是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. 【知识点5 三角形的中位线及其定理】 1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 【例1-1】如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，，过点O作分别交于点E、F，若，则的长为 ． 【例1-2】如图，平行四边形中，相交于点O，交边于E，连接，若，，则 ． 【变式1-1】如图，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若的周长是36，，则四边形ABFE的周长为 ． 【变式1-2】如图，中垂直平分对角线，若，，则 ． 【变式1-3】如图，平行四边形中，交于点F，交于点E， ，，则 ． 【变式1-4】在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为 ． 【变式1-5】如图，在平行四边形中，，以点B为圆心、的长为半径作弧交边于点E，连接，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点O，交边于点F，此时，若，则平行四边形的面积是 ． 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 【例2】（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【变式2-1】如图，在平行四边形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 【变式2-3】如图，点是平行四边形的对称中心，点是边上一点，连接并延长，交边于点． (1)求证：； (2)若，．求平行四边形的面积． 【题型3 利用平行线间距离解决问题】 【例3.1】如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【例3.2】如图，在中，，，的面积为6，则求的面积． 【变式3-1】在中，，，． (1)请说明的理由； (2)若，，，求与之间的距离． 【变式3-2】如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 【变式3-3】如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【题型4 平行四边形的判定条件】 【例4.1】已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（    ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④ 【例4.2】如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在四边形中，点，在上，，，请你添加一个条件 ．使四边形是平行四边形． 【题型5 判断平行四边形个数问题】 【例5】如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 【变式5-1】如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式5-2】如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【变式5-3】如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【题型6 证明四边形是平行四边形】 【例6】如图，在四边形中，点、分别是对角线上的两点，且，，，求证：四边形是平行四边形． 【变式6-1】如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，，求证：四边形是平行四边形． 【变式6-2】如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 【变式6-3】如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 【题型7 平行四边形的判定与性质综合】 【例7】如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式7-1】如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 【变式7-2】如图，在中，分别平分、，交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点E作，垂足为．若的周长为18，，求的面积． 【变式7-3】如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，过点作于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【题型8 三角形中位线定理的应用】 【例8.1】如图，中，是边上的中点，点分别在上，且，，若，则的长为 ． 【例8.2】如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【变式8-1】如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，若是的中点，连接，则 ． 【变式8-2】如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为 ． 【变式8-3】如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点，分别是，的中点，则线段的长为 ． 【变式8-4】如图，在中，平分，D是的中点，，则的长为 ． 【变式8-5】已知等边，是边上的高． (1)如图1，点E在上，以为边向下作等边，连接．求证：； (2)如图2，M是的中点，连接，求证：． 1．在四边形中，与相交于点，且，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．从中选个作为条件，能使四边形为平行四边形的选法有（         ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．如图，在中，点是边上的一点，若，，将沿翻折得，连结，点在的延长线上，恰好平分，则的长为 ． 3．如图，平行四边形中，P是形内任意一点，，，，的面积分别为5，4，3，则的面积为 ． 4．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是 ． 5．如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 6．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是 ． 7．如下图，E，F分别是的AD，BC边上的点，且． (1)求证：． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形． 8．如图，，，，垂足分别为，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，则____________． 9．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证： ． 四边形为平行四边形． (2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 10．如图，在中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，点，在对角线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $