精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试题卷，全卷共6页，三大题25小题，满分150分，考试时间为120分钟． 2．一律在《答题卡》相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 黔东南州，素以“苗乡侗寨”闻名，是山水与人文交织的仙境．下列四个黑体字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 产自中国的“手撕钢”，厚度仅米，约是纸厚度的六分之一，达到世界领先水平，目前广泛应用于手机折叠屏、航天压力传感器、汽车制造等高端领域，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. “横竖”都是世界第一的贵州花江峡谷大桥于2025年9月28日正式建成通车，再一次向世界展现了中国基建的实力，主桥侧面的三角形钢架结构如图，这样的结构蕴含的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形任意两边之和大于第三边 5. 现有两根木棒，它们的长分别是和．若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ） A. B. C. D. 6. 两根木条按如图所示的方式放在地面上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 11. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线与相交于点E，与相交于点D，若，的周长为12，则的周长是（    ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 20 12. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 已知点，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 14. 如图，当时，则________． 15. 若是一个完全平方式，则a的值为______． 16. 如图，在中，，，，点，点分别在线段，上运动，且满足，当最小时，的度数为_____． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）画出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）将向右平移8个单位，画出平移后的， （3）观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，则画出对称轴（直线），若不是，请说明理由． 19. 如图，在中，点D在边上． （1）若，，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 20. 先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的值代入求值． 21. 如图，，有如下条件：①，②，③，④． （1）在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 22. 本学期，我们学习了很多尺规作图的相关知识，数学老师为了激励学生规范作图，决定购买圆规和铅笔奖励给作图优秀的学生．若购买3个圆规和4支铅笔共花费38元；若购买5个圆规和2支铅笔共花费54元． （1）请问圆规和铅笔的单价分别为多少元？ （2）老师的奖励起到了非常好的效果，越来越多的学生作图规范，老师决定再购买一批圆规和铅笔奖励给学生，并且商家降价优惠卖给老师，其中铅笔的售价降低a元，圆规的售价降低元．老师花30元购买2B铅笔，花180元购买圆规，此次购买圆规和2B铅笔的数量相同，求的值． 23. 流经官渡古镇的宝象河两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量宝象河平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点出发，沿着南偏西的方向走到点C，此时恰好测得 观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点向东走到O点，在O点插上一面标杆，继续向东走相同的路程，到达C点后，一直向南走到点D，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 （1）第一小组测得米，则河宽AB为____米； （2）第二小组认为只要测得就能得到河宽．你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明：如果不可行，请说明理由； （3）除上述方法外，请你运用所学知识再设计种方案对河宽进行测量． 24. 【教材原型】 观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图②，图中阴影部分图形的面积_____．若，，则_____． 【知识应用】 （2）若满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图③，有一块梯形空地于点，．计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 25. 如图，为等边三角形，分别延长、至点、，使，连接、． （1）以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接． ①请你依据题意，补全图形； ②求证：； （2）在（1）的条件下，取的中点，连接、，请你猜想的大小，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试题卷，全卷共6页，三大题25小题，满分150分，考试时间为120分钟． 2．一律在《答题卡》相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 黔东南州，素以“苗乡侗寨”闻名，是山水与人文交织的仙境．下列四个黑体字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．不是轴对称图形，不合题意； 故选：A． 2. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．分式有意义时，分母，据此求的取值范围即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 3. 产自中国的“手撕钢”，厚度仅米，约是纸厚度的六分之一，达到世界领先水平，目前广泛应用于手机折叠屏、航天压力传感器、汽车制造等高端领域，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，科学记数法要求形式为，其中，为整数． 将转换为，小数点移动5位，故． 【详解】解：． 故选：B． 4. “横竖”都是世界第一的贵州花江峡谷大桥于2025年9月28日正式建成通车，再一次向世界展现了中国基建的实力，主桥侧面的三角形钢架结构如图，这样的结构蕴含的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形的稳定性．由三角形的稳定性，即可得到答案． 【详解】解：主桥侧面为三角形钢架结构．其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：C． 5. 现有两根木棒，它们的长分别是和．若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系，第三边长度应大于两边之差且小于两边之和． 【详解】解：∵ 两根木棒长分别为和， ∴ 第三根木棒长度x需满足：，即， 故选：B． 6. 两根木条按如图所示的方式放在地面上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解． 【详解】解：由图可知，， 故选：A． 7. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，关键是知识点的熟练应用； 根据因式分解的定义，判断哪个选项是将多项式化为整式的积的形式即可． 【详解】解：∵ 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式； ∴选项A：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项B：右边是，不是积的形式； 选项C：右边是，不是积的形式； 选项D：右边是，是积的形式，符合因式分解； 故选：D． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意； 故选A． 9. 如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，理解题意是解决本题的关键． 设的面积分别为，根据D、E、F是三边的中点，可得，进而求解即可． 【详解】解：设的面积分别为， ∵D、E、F是三边的中点， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和是6， 故选B． 10. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解出的根使分母为零（增根）或化简后方程矛盾．本题通过去分母化简后，得到解，再令分母为零，求的值即可． 【详解】解：原方程可化为，且分母， 两边同乘，得， 展开右边：， 移项：， 化简：， ∴， 当方程无解时，解为增根，即， ∴，解得， 当时，使分母为零，方程无解， 其他值均使方程有解，故， 故选：A． 11. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线与相交于点E，与相交于点D，若，的周长为12，则的周长是（    ） A. 8 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．根据作图方法可知，是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 12. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键． 先利用平方差公式把原式改写为，再计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 已知点，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查知识点为关于轴对称的点的坐标规律：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．解题关键在于牢记关于轴对称的点的坐标变化规律，准确找出横坐标和纵坐标的变化情况．根据关于轴对称的点的坐标规律，已知点的坐标，求出其关于轴对称的点的坐标即可． 【详解】已知点的坐标为，根据关于轴对称的点的坐标特征“纵坐标不变，横坐标互为相反数”： 点纵坐标为，则其关于轴对称的点的纵坐标仍为； 点横坐标为，的相反数是，所以其关于轴对称的点的横坐标为． 综上，点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 14. 如图，当时，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：9． 15. 若是一个完全平方式，则a的值为______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键；根据完全平方式的结构特征，常数项为16，可确定一次项系数的可能值，从而求出a的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式，且常数项为16， ∴一次项系数应满足，即， 当时，解得， 当时，解得； 故a的值为1或； 故答案为1或． 16. 如图，在中，，，，点，点分别在线段，上运动，且满足，当最小时，的度数为_____． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，几何图形中角度的求解，三角形外角性质，准确作出辅助线为解题关键，以为边，为顶点，向下作，使得，连接，先证明，进而推出，当、、三点共线时，最小，此时，求出，，利用三角形外角性质求出结果即可． 【详解】解：如图，以为边，为顶点，向下作，使得，连接， 在与中， ， ， ， ； 当、、三点共线时，最小，此时，点位置如图所示， 此时，， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，多项式乘多项式，熟练掌握零次幂，负整数指数幂，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键； （1）根据零次幂，负整数指数幂，绝对值的定义求解即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）画出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）将向右平移8个单位，画出平移后的， （3）观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，则画出对称轴（直线），若不是，请说明理由． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求；的坐标是； （2） 解：如图所示：即为所求； （3） 解：是，如图所示：直线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，作平移图形，找对称轴． （1）先找出关于轴对称的点的坐标，再连线，根据坐标系作答即可； （2）先找出向右平移8个单位对应的点，再连线即可； （3）由图形可知和是关于某条直线对称，作一组对应点连线的垂直平分线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，点D在边上． （1）若，，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】（1）的度数是 （2）的长为8 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的中线等知识．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大3，可得，进而可得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 的度数是； 【小问2详解】 解：为的中线， ， ∵的周长比的周长大3， ∴，即， ，即， 解得：， 即的长为8． 20. 先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则． 21. 如图，，有如下条件：①，②，③，④． （1）在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1） 解：选择②或③或④； 证明：∵， ∴， ∴， 选择②， ∵，， ∴； 选择③， ∵，， ∴； 选择④， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：②或③或④； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴． 22. 本学期，我们学习了很多尺规作图的相关知识，数学老师为了激励学生规范作图，决定购买圆规和铅笔奖励给作图优秀的学生．若购买3个圆规和4支铅笔共花费38元；若购买5个圆规和2支铅笔共花费54元． （1）请问圆规和铅笔的单价分别为多少元？ （2）老师的奖励起到了非常好的效果，越来越多的学生作图规范，老师决定再购买一批圆规和铅笔奖励给学生，并且商家降价优惠卖给老师，其中铅笔的售价降低a元，圆规的售价降低元．老师花30元购买2B铅笔，花180元购买圆规，此次购买圆规和2B铅笔的数量相同，求的值． 【答案】（1）圆规的单价为10元，2B铅笔的单价为2元 （2）a的值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设圆规的单价为x元，铅笔的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据“花30元购买铅笔，花180元购买圆规，此次购买圆规和铅笔的数量相同”列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设圆规的单价为x元，2B 铅笔的单价为y元， 依题意得：， 解得， 答：圆规的单价为10元，铅笔的单价为2元； 【小问2详解】 解：依题意得：， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：a的值为． 23. 流经官渡古镇的宝象河两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量宝象河平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点出发，沿着南偏西的方向走到点C，此时恰好测得 观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点向东走到O点，在O点插上一面标杆，继续向东走相同的路程，到达C点后，一直向南走到点D，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 （1）第一小组测得米，则河宽AB为____米； （2）第二小组认为只要测得就能得到河宽．你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明：如果不可行，请说明理由； （3）除上述方法外，请你运用所学知识再设计种方案对河宽进行测量． 【答案】（1）8 （2） 我认为第二小组的方案可行， 证明：由题意得： ，，， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽； （3） 如图，观察者从B点向东走到C点，此时恰好测得∠ACB=45°； 由题意得：，， ∴， ∴， 即要知道河宽，只需要知道线段的长度． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等角对等边可得米，即可解答． （2）根据题意可得：，，，从而可得，然后利用全等三角形的性质可得，即可解答； （3）观察者从B点向东走到C点，此时恰好测得，利用等腰三角形的判定和性质即可测量． 【小问1详解】 解：由题意得： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∴河宽为8米； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 【教材原型】 观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图②，图中阴影部分图形的面积_____．若，，则_____． 【知识应用】 （2）若满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图③，有一块梯形空地于点，．计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；； （2）； （3）种草区域的面积和为． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据阴影部分图形不同的两种表示面积的方式，可得．再代入求值即可． （2）将变形为，代入求值即可． （3）根据题意可得，，，即可得出，再根据，，可得，即可求解． 【详解】解：（1）观察图②，图中阴影部分图形的面积． 若，， 则． 故答案为：；； （2）依题意得，， ． （3）∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴种草区域的面积和为， ∴种草区域的面积和为． 25. 如图，为等边三角形，分别延长、至点、，使，连接、． （1）以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接． ①请你依据题意，补全图形； ②求证：； （2）在（1）的条件下，取的中点，连接、，请你猜想的大小，并证明． 【答案】（1） ①如图，补全图形如下： ②证明：∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由补图知， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 解：，证明如下： 延长到点G，使，连接， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴点E、D、G共线， ∵， ∴, ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等，熟练掌握以上判定与性质，添加辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． （1）①以点D为圆心，长为半径画弧，交射线于点F，连接；②由为等边三角形，推出，得是等边三角形，得，得，由，得，即得； （2）延长到点G，使，连接，证明，得，得，由，得点E、D、G共线，证明，得，得，是等边三角形，得，即得． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $