专题09：突破补充几何推理过程和依据专题（7大考点+4大重点常考题型） 2025-2026学年苏科版七年级上学期数学期末复习最常考16大重点专题突破系列

2025-2026苏科版七上期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题09：突破补充几何推理过程和数学依据专题 目录 【课标要求】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 6 题型一：角平分线、和差计算有关推理问题 6 题型二：线段的中点、线段的和差计算有关推理 8 题型三：余角、补角有关推理 10 题型四：平行线的性质与判定有关推理 13 【突破三：基础运用突破】 15 【突破四：能力提升突破】 21 【课标要求】 1.知道关于线段、直线、射线、相交线、角、角平分线、对顶角、平行线的性质和判定等相关数学基本事实； 2.能进行简单的数学推理，并理解推理的数学依据。 【突破一：考点知识突破】 常用的推理依据总结： 1.三大定义：①角平分线的定义；②垂直的定义；③线段中点的定义； 2.四个相等一个互补： ①对顶角相等； ②同角（等角）的余角（补角）相等； ③两直线平行线，同位角相等； ④两直线平行，内错角相等； ⑤两直线平行，同旁内角互补； 3. 三个平行判定： ①同位角相等，两直线平行线； ②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行； 4. 等量代换；等式的基本性质； 考点1：线段的中点： 文字语言：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点． 图形语言： 符号语言：AC=BC=AB或AB=2AC=ABC 考点2：角平分线与角的和差运算 角的平分线： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。图形语言： 符号语言： 因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 考点3：余角、补角 1.互余、余角 定义：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. 性质: 同角(或等角)的余角相等； 2.互补、补角 定义：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. 性质：同角(或等角)的补角相等. 考点4：对顶角的概念与性质 1. 对顶角： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：两直线相交，对顶角相等．上图中：， 2．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．例如下图中 考点5：垂线的概念与性质 1. 垂直定义: 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 2.垂直表示方法： (1)记法：直线与垂直，记作：； 直线和垂直于点，记作：于点. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： ． 3．垂线的性质： （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 考点6：平行线的判定方法 1、平行线的判定方法： 方法1： 文字语言：同位角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：内错角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：同旁内角互补，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：平行于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：垂直于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 2、基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 考点7：平行线的性质 性质1： 文字语言：两直线平行，同位角相等． 图形语言： 几何语言： 性质2： 文字语言：两直线平行，内错角相等． 图形语言： 几何语言： 性质3： 文字语言：两直线平行，同旁内角互补． 图形语言： 几何语言： 【突破二：重点题型突破】 题型一：角平分线、和差计算有关推理问题 【例题1】．如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数． 请将以下解答过程补充完整． 解：，． ___________， _________________________________． ∵点A，O，B在一条直线上， ______________________°． 平分， ___________ ___________ ___________． ______________________． 【变式训练】 1．补充下面的解题过程： 如图，已知是内部的一条射线，是的平分线，且，求的度数． 解：∵，， ∴_____， ∴__________， ∵平分， ∵__________，（   ） ∴__________． 2．请补充完成以下解答过程． 如图，直线相交于点，平分，，，求的度数． 解：因为，， 所以____________． 因为______， 所以____________． 因为， 所以______． 因为平分， 所以____________． 3．如图，直线与相交于点，平分． (1)当时，求的度数； (2)若，试说明平分．请你将它补充完整： 平分， _______（角平分线的定义）， ， _______（垂直的定义）， ， （_______）， 平分（角平分线的定义）． 4．如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1， ∵是的平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴ ． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 题型二：线段的中点、线段的和差计算有关推理 【例题2】．如图所示，点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，求线段的长． 请将下面的解题过程补充完整： 解：点C是线段的中点，（已知） ． （已知）， ∴ ． 点D在线段上，（已知）， ． ． ． 【变式训练】 1．如图，已知点、、都是线段上的点，，，点是的中点. (1)求的长（请根据提示，将下列过程补充完整）： 解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ (2)若点是的中点，则的长为______. 2．如图，点C是线段的中点，点D在线段上，且．若，求线段的长． 请将下面的解题过程补充完整： 解：∵点C是线段的中点，（已知）． ∴．（理由： ） ∵，（已知） ∴ ． ∵点D在线段上，，（已知） ∴ ． ∴ ， ∴ ﹣ ＝ ． 3．如图，点是线段的中点，点是线段上一点，且，若，求的长． 请将下面的解题过程补充完整： 解：因为， 所以 ． 所以 ． 因为点是线段的中点， 所以 （ ）． 所以 ． 4．如图所示，已知，点是线段的中点，点把线段分成的两部分，求线段的长．请补充完成下列解答： 解：因为点M是线段的中点，， 所以______________________． 因为， 所以_____________________． 所以___________ _____________________． 题型三：余角、补角有关推理 【例题3】．已知，如图，点A、O、B，在同一条直线上，平分，． (1)求证：是的平分线，请将下列证明过程补充完整． 证明：∵， ∴_______，______． 又∵平分， ∴______． ∴________． ∴是的平分线． (2)图中的补角是________， 的补角是________， 的余角是________． 【变式训练】 1．如图，直线相交于点O，，平分，求的度数． 请将以下解答过程补充完整： 解：∵O是直线上一点 ∴ ． ∵ ∴ ． ∵平分 ∴ ＝ ． 2．如图，是直线上一点，平分，且． (1)请写出图中所有与互补的角______； (2)求证：平分． 下面给出平分的证明过程，请你将过程补充完整． 证明：平分， ______（角平分线的定义）． 是直线上一点， ． ， ______－______． ， ， ______（    ）． 平分． 3．如图，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：因为平分， 所以．（理由： ） 因为， 所以 °． 因为， 所以 °． 因为， 所以 °． 所以 ，（理由： ） 所以 °． 4．如图，O是直线上一点，平分，，．求的度数． 补充完成下面的解答过程． 解：因为O是直线上一点， 所以．因为OC平分， 所以______．所以与互为余角． 因为，所以______与______互为余角． 所以（依据是：______）． 因为，所以______． 题型四：平行线的性质与判定有关推理 【例题4】．如图，，，求的度数．请把下列推理的过程和依据补充完整． 解：_______（   ）， _______， 且（    ）， （    ）， （    ）， ∴（    ）． ， _______°． 【变式训练】 1．阅读下面的推理过程，将空白部分补充完整． 解：因为（已知）， 所以_____（_______）， 又因为（已知）， 所以_____（等量代换）， 所以（______）． 2．请将下面的演绎推理过程补充完整： 已知：如图，，，， 试说明：． 解：，（已知）， ， ∴ ，（ ）． 又（已知）， ∴ ，（ ）． ∴ （平行于同一条直线的两直线平行）． （ ）． 3．如图，与相交于点C，，平分．试说明：． 请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：平分， 所以 （ ）， （理由 ）， 所以 （等式性质）， ， 所以 （等量代换）， 所以（ ）． 4．如图，点B在上，点三点共线，，，把说明的过程补充完整． 解：（已知），且（______）， （______ ） ______（______） （______） 又（已知）， ______（等量代换）． （______） （______） 【突破三：基础运用突破】 （本关共10题，包含期末考必考基础考点，限时15分钟） 1．如图，点C是线段上的点，点D是线段的中点，，，求线段的长． 请将下面的解题过程补充完整： 解：∵_____-_____，，， ∴_____． ∵点D是线段的中点， ∴ _____．（理由：_____） ∴_____． 2．如图，已知点、、都是线段上的点，，，点是的中点. (1)求的长（请根据提示，将下列过程补充完整）： 解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ (2)若点是的中点，则的长为______. 3．如图，是直线上一点，平分，且． (1)请写出图中所有与互补的角______； (2)求证：平分． 下面给出平分的证明过程，请你将过程补充完整． 证明：平分， ______（角平分线的定义）． 是直线上一点， ． ， ______－______． ， ， ______（    ）． 平分． 4．补充下面的解题过程： 如图，已知是内部的一条射线，是的平分线，且，求的度数． 解：∵，， ∴_____， ∴__________， ∵平分， ∵__________，（   ） ∴__________． 5．已知，如图，点A，，在同一条直线上，平分，． (1)求证：是的平分线，将下列证明过程补充完整（其中括号里填写推理依据） 证明：∵， ∴____________，， 又∵平分， ∴__________．（________________） ∴__________．（________________） ∴是的平分线． (2)图中的补角是____________． 6．如图，，，平分，．求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：平分， ．（理由：　　 ， 　　． ， ． ， ． 　　（理由：　　 　　． 7．如图，，试问、、有什么关系． (1)请你将解题过程补充完整： 解：． 过点C作， 则 （              ） 又∵，， ∴ （              ） （请补充完成下边解题过程） (2)应用：如图a是我们常用的折叠式小刀，图b中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图b所示，经测量，则的度数是 度． 8．请在横线上填空： 如图，，，，求的大小． 解：过作交于 ______（两直线平行，同位角相等） （两直线平行，______ ） （已知） （等量代换） ______（两直线平行，同旁内角互补） （等式的性质） ， ______（已知） ______（等式的性质） （等量代换） 9．请把下列的推理过程补充完整 (1)如图，在四边形中，于点于点F，试说明． 解：， _______， _______， ， _______， _______， ． (2)如图，平分，试说明：． 解：平分， ______________ 又 _______ _______ 又 _______ 10．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线．试说明：． 解：是的角平分线， （_________________）， 又（已知）， ____________（_________________）， __________（_________________）， （_________________）， 又（已知）， （_________________）， （_________________）． 【突破四：能力提升突破】 1．如图，是线段的中点，点在线段上，且．若，求线段的长． (1)请将下面的解题过程补充完整； 解：因为是线段的中点，，所以______=________． 因为点在线段上，， 所以________________， 所以______=_______． (2)在图中，用圆规在线段上找一点E，使得，并直接写出与的数量关系． 2．如图所示，已知线段，和线段． (1)尺规作图：在线段上截取，，使在的左侧（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，点M、N分别是、的中点，用含a、b的整式表示线段的长，请补充完善下列推理过程． ∵点M是的中点，且， ∴___①___． ∵，， ∴___②_____． ∵N是的中点， ∴____③_____． ∴_____④____． 3．如图所示，已知线段，和线段． (1)尺规作图：在线段上截取，，使在的左侧（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，点M、N分别是、的中点，用含a、b的整式表示线段的长，请补充完善下列推理过程． ∵点M是的中点，且， ∴___①___． ∵，， ∴___②_____． ∵N是的中点， ∴____③_____． ∴_____④____． 4．将下面的解答过程补充完整： 已知：如图，点在直线上，平分，，请说明平分的理由． 解：点在直线上， ______（依据：______）， ， ______， ____________， 又平分， _____________（依据：______）， ． 5．如图1，点、、在同一条直线上，，平分，从点出发画一条射线，使得，请画出满足条件的射线，并求出的度数． (1)如图2，已画出射线的第一种位置，请将解题过程补充完整： 解：因为， 所以 因为平分， 所以 因为 所以． (2)请在图3中画出射线的第二种位置，并求出的度数． 6．如图，两个直角三角形的直角顶点重合 (1)若，求的度数． 解：，，……① _________……② ， _________° 把上面过程补充完整，在上面①到②的推导过程中，理论依据是：_________． (2)写出图中互为补角的角_________． (3)若平分，求的度数． 7．如图，，，平分，． (1)求的度数（用含n的代数式表示），请将以下解答过程补充完整． 解：∵， ∴． ∵． ． ∴ ．（理由： ） ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴ ． (2)用等式表示与的数量关系． 8．请将下面的演绎推理过程补充完整： 已知：如图，，，， 试说明：． 解：，（已知）， ， ∴ ，（ ）． 又（已知）， ∴ ，（ ）． ∴ （平行于同一条直线的两直线平行）． （ ）． 9．如下图，已知，．试说明：．请在横线上补充推理过程，并在括号内填写依据． 解：因为，（对顶角相等），所以，所以 （________________）， 所以（________________________________）． 因为， 所以，所以（________________________________）． 10．把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是（ ），理由如下： ∵（已知）， ∴，（______）， 又∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）， ∴______（______）， 又∵（已知）， ∴（______）， ∴______（______）． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026苏科版七上期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题09：突破补充几何推理过程和数学依据专题 目录 【课标要求】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 2 题型一：角平分线、和差计算有关推理问题 5 题型二：线段的中点、线段的和差计算有关推理 6 题型三：余角、补角有关推理 15 题型四：平行线的性质与判定有关推理 17 【突破三：基础运用突破】 22 【突破四：能力提升突破】 37 【课标要求】 1.知道关于线段、直线、射线、相交线、角、角平分线、对顶角、平行线的性质和判定等相关数学基本事实； 2.能进行简单的数学推理，并理解推理的数学依据。 【突破一：考点知识突破】 常用的推理依据总结： 1.三大定义：①角平分线的定义；②垂直的定义；③线段中点的定义； 2.四个相等一个互补： ①对顶角相等； ②同角（等角）的余角（补角）相等； ③两直线平行线，同位角相等； ④两直线平行，内错角相等； ⑤两直线平行，同旁内角互补； 3. 三个平行判定： ①同位角相等，两直线平行线； ②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行； 4. 等量代换；等式的基本性质； 考点1：线段的中点： 文字语言：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点． 图形语言： 符号语言：AC=BC=AB或AB=2AC=ABC 考点2：角平分线与角的和差运算 角的平分线： 文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。图形语言： 符号语言： 因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 考点3：余角、补角 1.互余、余角 定义：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. 性质: 同角(或等角)的余角相等； 2.互补、补角 定义：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. 性质：同角(或等角)的补角相等. 考点4：对顶角的概念与性质 1. 对顶角： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：两直线相交，对顶角相等．上图中：， 2．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．例如下图中 考点5：垂线的概念与性质 1. 垂直定义: 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 2.垂直表示方法： (1)记法：直线与垂直，记作：； 直线和垂直于点，记作：于点. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： ． 3．垂线的性质： （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 考点6：平行线的判定方法 1、平行线的判定方法： 方法1： 文字语言：同位角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法2： 文字语言：内错角相等，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法3： 文字语言：同旁内角互补，两直线平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：平行于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 方法4： 文字语言：垂直于同一直线的两直线互相平行． 图形语言： 几何语言： 2、基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 考点7：平行线的性质 性质1： 文字语言：两直线平行，同位角相等． 图形语言： 几何语言： 性质2： 文字语言：两直线平行，内错角相等． 图形语言： 几何语言： 性质3： 文字语言：两直线平行，同旁内角互补． 图形语言： 几何语言： 【突破二：重点题型突破】 题型一：角平分线、和差计算有关推理问题 【例题1】．如图，点A，O，B在一条直线上，，，平分，求的度数． 请将以下解答过程补充完整． 解：，． ___________， _________________________________． ∵点A，O，B在一条直线上， ______________________°． 平分， ___________ ___________ ___________． ______________________． 【答案】，，，，，，，，，， 【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义，首先求出的度数，再根据平角的定义得到的度数，利用角平分线的定义求出，运用角的和差解答即可． 【详解】解：，． ， ． ∵点A，O，B在一条直线上， ． 平分， ． ． 故答案为：，，，，，，，，，，． 【变式训练】 1．补充下面的解题过程： 如图，已知是内部的一条射线，是的平分线，且，求的度数． 解：∵，， ∴_____， ∴__________， ∵平分， ∵__________，（   ） ∴__________． 【答案】；；；；；角平分线的定义；；； 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角的计算，理解图示，掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据题意可得，根据角平分线的定义可得，由，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴，（角平分线的定义） ∴， 故答案为：；；；；；角平分线的定义；；． 2．请补充完成以下解答过程． 如图，直线相交于点，平分，，，求的度数． 解：因为，， 所以____________． 因为______， 所以____________． 因为， 所以______． 因为平分， 所以____________． 【答案】；；；；；；； 【分析】本题考查了角平分线，平角．熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．先根据平角定义求得，，再根据角平分线的定义作答即可． 【详解】解：因为，， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为平分， 所以． 故答案为：；；；；；；；． 3．如图，直线与相交于点，平分． (1)当时，求的度数； (2)若，试说明平分．请你将它补充完整： 平分， _______（角平分线的定义）， ， _______（垂直的定义）， ， （_______）， 平分（角平分线的定义）． 【答案】(1)； (2)，，，同角的余角相等（或等量代换）． 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义及判定，互余、互补的概念及计算，掌握角度的和差，以及互余、互补的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及对顶角相等即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由垂直的定义，平角为，得到，，再根据同角的余角相等得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴（垂直的定义）， ∴，， ∴（同角的余角相等（或等量代换））， ∴平分（角平分线的定义）． 故答案为：，，，同角的余角相等（或等量代换）． 4．如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1， ∵是的平分线， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴ ． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的倍数关系，角的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和角的和差． （1）利用角的平分线的定义求出的度数，再利用角的和差求出的度数，最后根据角的倍数关系以及角的和差即可求解； （2）假设，则，利用角的和差表示出相关的角，然后进行比较即可得出数量关系． 【详解】（1）解：如图1， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： 假设，则，， ∴， 则． 题型二：线段的中点、线段的和差计算有关推理 【例题2】．如图所示，点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，求线段的长． 请将下面的解题过程补充完整： 解：点C是线段的中点，（已知） ． （已知）， ∴ ． 点D在线段上，（已知）， ． ． ． 【答案】，，，，，，，， 【分析】本题主要考查了关于线段的中点、线段的倍数相关的计算，明确题意，理清题中各线段的倍数关系是解答本题的关键． 根据题目给出的思路作答即可． 【详解】点是线段的中点，（已知） ． （已知） ． 点在线段上，（已知） ． ． . 故答案为：，，，，，，，，． 【变式训练】 1．如图，已知点、、都是线段上的点，，，点是的中点. (1)求的长（请根据提示，将下列过程补充完整）： 解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ (2)若点是的中点，则的长为______. 【答案】(1)；；；， (2) 【分析】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据，，求出，再根据中点的定义求出，即可； （2）首先求出，得到，根据中点的定义求出，即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，点C是线段的中点，点D在线段上，且．若，求线段的长． 请将下面的解题过程补充完整： 解：∵点C是线段的中点，（已知）． ∴．（理由： ） ∵，（已知） ∴ ． ∵点D在线段上，，（已知） ∴ ． ∴ ， ∴ ﹣ ＝ ． 【答案】线段中点定义；18；；6；；；3 【分析】本题考查线段的中点以及线段的和差关系，解题的关键是根据点D在线段上，，推出． 由点C是线段的中点，得到，进而求出的长，根据，推出，求出的长，进而求出． 【详解】解：∵点C是线段的中点，（已知） ∴．（线段中点定义） ∵，（已知） ∴． ∵点D在线段上，，（已知） ∴， ∴， ∴． 3．如图，点是线段的中点，点是线段上一点，且，若，求的长． 请将下面的解题过程补充完整： 解：因为， 所以 ． 所以 ． 因为点是线段的中点， 所以 （ ）． 所以 ． 【答案】3；；4；；线段中点的定义；8 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出的长，再求出的长，最后根据线段中点的定义即可求出的长． 【详解】解：解：因为， 所以． 所以． 因为点是线段的中点， 所以（线段中点的定义）． 所以． 4．如图所示，已知，点是线段的中点，点把线段分成的两部分，求线段的长．请补充完成下列解答： 解：因为点M是线段的中点，， 所以______________________． 因为， 所以_____________________． 所以___________ _____________________． 【答案】；12；；8；12；8；20 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，根据解题过程补充完整即可． 【详解】解：因为点M是线段的中点，， 所以． 因为， 所以． 所以 故答案为：；12；；8；12；8；20 题型三：余角、补角有关推理 【例题3】．已知，如图，点A、O、B，在同一条直线上，平分，． (1)求证：是的平分线，请将下列证明过程补充完整． 证明：∵， ∴_______，______． 又∵平分， ∴______． ∴________． ∴是的平分线． (2)图中的补角是________， 的补角是________， 的余角是________． 【答案】(1)；；； (2)，，和 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，补角和余角的定义，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得，然后根据等角的余角相等逐步推理证明，即可求证是的平分线； （2）根据补角和余角的定义进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵平分， ∴． ∴． ∴是的平分线． 故答案为：；；；； （2）解：∵， ∴的补角是； ∵， ∴， ∴的补角是； ∵，， ∴， ∴的余角是和 ． 故答案为：，，和 ． 【变式训练】 1．如图，直线相交于点O，，平分，求的度数． 请将以下解答过程补充完整： 解：∵O是直线上一点 ∴ ． ∵ ∴ ． ∵平分 ∴ ＝ ． 【答案】，，， 【分析】本题主要考查邻补角、角平分线、角的运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． 根据平角的定义，再根据角的和差可得，然后利用角平分线的定义计算即可． 【详解】解：∵O是直线上一点 ∴． ∵ ∴． ∵平分 ∴． 故答案为：，，，． 2．如图，是直线上一点，平分，且． (1)请写出图中所有与互补的角______； (2)求证：平分． 下面给出平分的证明过程，请你将过程补充完整． 证明：平分， ______（角平分线的定义）． 是直线上一点， ． ， ______－______． ， ， ______（    ）． 平分． 【答案】(1)和 (2)，，，，等角的余角相等 【分析】本题考查了角平分线，互余、互补，角的和差，数形结合是解题的关键． （1）结合图形找到与和为的角； （2）根据证明过程逐一回答即可． 【详解】（1）解：如图，是直线上一点， ，即与互补， ， ，， 平分， ， ， ，即与互补， 与互补的角有和． 故答案为：和． （2）证明：平分， ．（角平分线定义） 是直线上一点， ． ， ． ， ， ，（等角的余角相等） 平分． 故答案为：，，，，等角的余角相等． 3．如图，，平分，求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：因为平分， 所以．（理由： ） 因为， 所以 °． 因为， 所以 °． 因为， 所以 °． 所以 ，（理由： ） 所以 °． 【答案】角平分线的定义；；；；；同角的余角相等； 【分析】本题考查了余角，角的和差计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据角平分线的定义可得：，从而可得，然后根据余角的定义可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：因为平分， 所以（理由：角平分线的定义） 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以（理由：同角的余角相等） 所以， 故答案为：角平分线的定义；；；；；同角的余角相等；． 4．如图，O是直线上一点，平分，，．求的度数． 补充完成下面的解答过程． 解：因为O是直线上一点， 所以．因为OC平分， 所以______．所以与互为余角． 因为，所以______与______互为余角． 所以（依据是：______）． 因为，所以______． 【答案】90； ，；同角的余角相等， 【分析】首先根据平角的概念和角平分线的概念得到，然后根据同角的余角相等求解即可． 【详解】解：因为O是直线上一点， 所以．因为OC平分， 所以．所以与互为余角． 因为，所以与互为余角． 所以（依据是：同角的余角相等）． 因为，所以． 故答案为：90； ，；同角的余角相等，． 题型四：平行线的性质与判定有关推理 【例题4】．如图，，，求的度数．请把下列推理的过程和依据补充完整． 解：_______（   ）， _______， 且（   ）， （   ）， （   ）， ∴（   ）． ， _______°． 【答案】5；对顶角相等；6；已知；6；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；80． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角的性质；根据对顶角的性质、平行线的判定与性质即可完成． 【详解】解：（对顶角相等）， ， 且（已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ， ． 故答案为：5；对顶角相等；6；已知；6；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；80． 【变式训练】 1．阅读下面的推理过程，将空白部分补充完整． 解：因为（已知）， 所以_____（_______）， 又因为（已知）， 所以_____（等量代换）， 所以（______）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键； 根据平行线的性质可得，结合已知可得，即可得到结论. 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 2．请将下面的演绎推理过程补充完整： 已知：如图，，，， 试说明：． 解：，（已知）， ， ∴ ，（ ）． 又（已知）， ∴ ，（ ）． ∴ （平行于同一条直线的两直线平行）． （ ）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定与性质，平行公理的推论，进行证明即可． 【详解】解：，（已知）， ， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． 又（已知）， ∴，（内错角相等，两直线平行）． ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等． 3．如图，与相交于点C，，平分．试说明：． 请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：平分， 所以 （ ）， （理由 ）， 所以 （等式性质）， ， 所以 （等量代换）， 所以（ ）． 【答案】 角平分线的定义 对顶角相等 同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角相等．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】解：平分， 所以（角平分线的定义）， （对顶角相等）， 所以（等式性质）， ， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等两直线平行）． 故答案为：，角平分线的定义，对顶角相等，，，同位角相等两直线平行． 4．如图，点B在上，点三点共线，，，把说明的过程补充完整． 解：（已知），且（______）， （______） ______（______） （______） 又（已知）， ______（等量代换）． （______） （______） 【答案】对顶角相等  等量代换   同位角相等，两直线平行  两直线平行，同位角相等   内错角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握它们是解题的关键；读懂推理过程，利用平行线的判定与性质即可完成． 【详解】解：（已知），且（对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等  等量代换   同位角相等，两直线平行  两直线平行，同位角相等   内错角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等． 【突破三：基础运用突破】 （本关共10题，包含期末考必考基础考点，限时15分钟） 1．如图，点C是线段上的点，点D是线段的中点，，，求线段的长． 请将下面的解题过程补充完整： 解：∵_____-_____，，， ∴_____． ∵点D是线段的中点， ∴ _____．（理由：_____） ∴_____． 【答案】线段中点的定义，2 【分析】本题考查了线段的和差关系，与线段中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据得出，因为点D是线段的中点，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∵点D是线段的中点， ∴．（理由：线段中点的定义） ∴． 2．如图，已知点、、都是线段上的点，，，点是的中点. (1)求的长（请根据提示，将下列过程补充完整）： 解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ (2)若点是的中点，则的长为______. 【答案】(1)；；；， (2) 【分析】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据，，求出，再根据中点的定义求出，即可； （2）首先求出，得到，根据中点的定义求出，即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，是直线上一点，平分，且． (1)请写出图中所有与互补的角______； (2)求证：平分． 下面给出平分的证明过程，请你将过程补充完整． 证明：平分， ______（角平分线的定义）． 是直线上一点， ． ， ______－______． ， ， ______（    ）． 平分． 【答案】(1)和 (2)，，，，等角的余角相等 【分析】本题考查了角平分线，互余、互补，角的和差，数形结合是解题的关键． （1）结合图形找到与和为的角； （2）根据证明过程逐一回答即可． 【详解】（1）解：如图，是直线上一点， ，即与互补， ， ，， 平分， ， ， ，即与互补， 与互补的角有和． 故答案为：和． （2）证明：平分， ．（角平分线定义） 是直线上一点， ． ， ． ， ， ，（等角的余角相等） 平分． 故答案为：，，，，等角的余角相等． 4．补充下面的解题过程： 如图，已知是内部的一条射线，是的平分线，且，求的度数． 解：∵，， ∴_____， ∴__________， ∵平分， ∵__________，（   ） ∴__________． 【答案】；；；；；角平分线的定义；；； 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角的计算，理解图示，掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据题意可得，根据角平分线的定义可得，由，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴，（角平分线的定义） ∴， 故答案为：；；；；；角平分线的定义；；． 5．已知，如图，点A，，在同一条直线上，平分，． (1)求证：是的平分线，将下列证明过程补充完整（其中括号里填写推理依据） 证明：∵， ∴____________，， 又∵平分， ∴__________．（________________） ∴__________．（________________） ∴是的平分线． (2)图中的补角是____________． 【答案】(1)；；角平分线的定义；；等角的余角相等 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，补角的定义，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得，然后根据等角的余角相等逐步推理证明即可求证是的平分线； （2）根据补角的定义进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵平分， ∴．（角平分线的定义） ∴．（等角的余角相等） ∴是的平分线． 故答案为：；；角平分线的定义；；等角的余角相等． （2）解：∵，， ∴， ∴的补角是． 故答案为：． 6．如图，，，平分，．求的度数．请将以下解答过程补充完整． 解：平分， ．（理由：　　 ， 　　． ， ． ， ． 　　（理由：　　 　　． 【答案】角平分线的定义，40，，同角的余角相等，40 【分析】结合角平分线的定义和同角的余角相等，即可求解． 【详解】解：平分， ．（理由：角平分线的定义） ， ． ， ． ， ． （理由：同角的余角相等） ． 故答案为：角平分线的定义，40，，同角的余角相等，40． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，余角，角的计算，灵活运用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键． 7．如图，，试问、、有什么关系． (1)请你将解题过程补充完整： 解：． 过点C作， 则 （              ） 又∵，， ∴ （              ） （请补充完成下边解题过程） (2)应用：如图a是我们常用的折叠式小刀，图b中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图b所示，经测量，则的度数是 度． 【答案】(1)见解析 (2)55 【分析】本题考查了由平行线的性质和判定探究角的关系；掌握平行线的性质是解题关键． （1）根据平行线的性质得到，，进而求解即可； （2）设刀柄左下角顶点为A，过A作直线l平行于刀片边缘线，根据两直线平行内错角相等；再计算角的差即可． 【详解】（1）解：． 过点C作， 则（两直线平行，内错角相等） 又∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴ ∴． （2）如图设刀柄左下角顶点为A，过A作直线l平行于刀片边缘线，l与垂直方向夹角为，l与水平方向夹角为， ∵l平行于刀片边缘线， ∴，， ∵刀片外形是长方形 ∴， ∴， ∴． 8．请在横线上填空： 如图，，，，求的大小． 解：过作交于 ______（两直线平行，同位角相等） （两直线平行，______ ） （已知） （等量代换） ______（两直线平行，同旁内角互补） （等式的性质） ， ______（已知） ______（等式的性质） （等量代换） 【答案】，同位角相等，，， 【分析】本题主要考查平行线的性质，过作交于，利用平行线的性质，即可得到的度数以及的度数，进而得到的度数，再依据平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：过作，交于 (两直线平行，同位角相等) (两直线平行，同位角相等) (已知) (等量代换) (已知) (两直线平行，同旁内角互补) (等式的性质) ，(已知) (等式的性质) (等量代换) 故答案为：，同位角相等，，， 9．请把下列的推理过程补充完整 (1)如图，在四边形中，于点于点F，试说明． 解：， _______， _______， ， _______， _______， ． (2)如图，平分，试说明：． 解：平分， ______________ 又 _______ _______ 又 _______ 【答案】(1)；；； (2)；；； 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，余角和补角的性质，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键． （1）根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，最后得出答案即可； （2）根据角平分线 定义得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定得出结论即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ∴， ， ． （2）解：平分， ， 又， ， ， ， 又， ， ． 10．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线．试说明：． 解：是的角平分线， （_________________）， 又（已知）， ____________（_________________）， __________（_________________）， （_________________）， 又（已知）， （_________________）， （_________________）． 【答案】角平分线的定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查平行线的性质及判定，同角的补角相等，角平分线的定义．根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可． 【详解】解：是的角平分线， （角平分线的定义）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （同角的补角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行． 【突破四：能力提升突破】 补充12 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 11．如图，是线段的中点，点在线段上，且．若，求线段的长． (1)请将下面的解题过程补充完整； 解：因为是线段的中点，，所以______=________． 因为点在线段上，， 所以________________， 所以______=_______． (2)在图中，用圆规在线段上找一点E，使得，并直接写出与的数量关系． 【答案】(1)；18；；；；3． (2)见解析， 【分析】本题考查了线段中点的性质与线段的和差运算，解题的关键是利用中点性质和线段比例关系求出各线段长度． 先由中点性质得的长度，再根据与的比例关系求出，最后通过计算出的长． 根据确定点的位置，再结合各线段长度得出与的数量关系． 【详解】（1）解：是线段的中点， ． 已知，则． 点在线段上，且， ． ， ． 把代入可得． ，， ． 故答案依次为：；18；；；；3． （2） C 是线段 AB 的中点， ． 又， 根据线段的和差关系，． 把，代入可得． ，， ． 的数量关系为． 12．如图所示，已知线段，和线段． (1)尺规作图：在线段上截取，，使在的左侧（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，点M、N分别是、的中点，用含a、b的整式表示线段的长，请补充完善下列推理过程． ∵点M是的中点，且， ∴___①___． ∵，， ∴___②_____． ∵N是的中点， ∴____③_____． ∴_____④____． 【答案】(1)见解析 (2)，8﹣a，， 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了列代数式和两点间的距离． （1）根据题意画出对应的几何图形； （2）先利用M是的中点得到，再利用点是中点得到，然后计算即可． 【详解】（1）解：如图，、为所作； （2）解：∵点M是的中点，且， ∴． ∵，， ∴． ∵N是的中点， ∴． ∴． 故答案为：，，，． 13．如图所示，已知线段，和线段．    (1)尺规作图：在线段上截取，，使在的左侧（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，点M、N分别是、的中点，用含a、b的整式表示线段的长，请补充完善下列推理过程． ∵点M是的中点，且， ∴___①___． ∵，， ∴___②_____． ∵N是的中点， ∴____③_____． ∴_____④____． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了列代数式和两点间的距离． （1）根据题意画出对应的几何图形； （2）先利用M是的中点得到，再利用点是中点得到，然后计算即可． 【详解】（1）解：如图，、为所作；    （2）解：∵点M是的中点，且， ∴． ∵，， ∴． ∵N是的中点， ∴． ∴． 故答案为：，，，． 14．将下面的解答过程补充完整： 已知：如图，点在直线上，平分，，请说明平分的理由． 解：点在直线上， ______（依据：______）， ， ______， ____________， 又平分， _____________（依据：______）， ． 【答案】180，平角的定义，角平分线的定义 【分析】本题考查的是角平分线的定义、平角的定义，根据平角的定义、角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵点O在直线上， ∴（依据：平角的定义）， ∵， ∴，， 又∵平分， ∴（依据：角平分线的定义）， ∴， 故答案为：180，平角的定义，角平分线的定义． 15．如图1，点、、在同一条直线上，，平分，从点出发画一条射线，使得，请画出满足条件的射线，并求出的度数． (1)如图2，已画出射线的第一种位置，请将解题过程补充完整： 解：因为， 所以 因为平分， 所以 因为 所以． (2)请在图3中画出射线的第二种位置，并求出的度数． 【答案】(1)，，，，； (2)． 【分析】本题主要考查了角的和差计算、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的性质是解题的关键． （1）先利用平角求出，再根据角平分线定义求，最后结合的度数，通过角的差计算． （2）先确定在下方的位置，再结合已求的和，通过角的和计算． 【详解】（1）解：因为， 所以 因为平分， 所以 因为 所以． 故答案为：，，，，； （2）解：如图，下方，以为端点作射线，使， ∵（已求），， ∴． 16．如图，两个直角三角形的直角顶点重合 (1)若，求的度数． 解：，，……① _________……② ， _________° 把上面过程补充完整，在上面①到②的推导过程中，理论依据是：_________． (2)写出图中互为补角的角_________． (3)若平分，求的度数． 【答案】(1)，，等角的余角相等 (2)与，与，与 (3) 【分析】本题考查了余角的性质：同角（或等角）的余角相等，补角的定义及角平分线的定义． （1）由已知进行等量代换可得，根据题意即可得出答案； （2）根据补角的定义：两角和为解答即可； （3）根据角平分线的定义得到，由即可解答． 【详解】（1）解：∵，①， ∴②， ∵， ∴， 在上面①到②的推导过程中，理论依据是：同角的余角相等； （2）解：∵，， ∴，即互为补角， ∵，， ∴互为补角，互为补角， 综上，与，与，与互为补角； （3）解：∵，且平分， ∴， ∴． 17．如图，，，平分，．      (1)求的度数（用含n的代数式表示），请将以下解答过程补充完整． 解：∵， ∴． ∵． ． ∴ ．（理由： ） ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴ ． (2)用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)；同角的余角相等； (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，同角的余角相等： （1）根据角之间的关系，同角的余角相等结合已给推理过程求解即可； （2）先求出，再求出，则． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵． ． ∴．（理由：同角的余角相等） ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：；同角的余角相等；； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ． 18．请将下面的演绎推理过程补充完整： 已知：如图，，，， 试说明：． 解：，（已知）， ， ∴ ，（ ）． 又（已知）， ∴ ，（ ）． ∴ （平行于同一条直线的两直线平行）． （ ）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定与性质，平行公理的推论，进行证明即可． 【详解】解：，（已知）， ， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． 又（已知）， ∴，（内错角相等，两直线平行）． ∴（平行于同一条直线的两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等． 19．如下图，已知，．试说明：．请在横线上补充推理过程，并在括号内填写依据． 解：因为，（对顶角相等），所以，所以 （________________）， 所以（________________________________）． 因为， 所以，所以（________________________________）． 【答案】AFG；EC；同位角相等，两直线平行；D；两直线平行，同旁内角互补；D；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 通过，结合对顶角相等可得，然后通过同位角相等，两直线平行得到，根据平行线的性质得到，结合得到，最后根据内错角相等，两直线平行得到结论． 【详解】解：，（对顶角相等）， ， EC（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， （内错角相等，两直线平行） 20．把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是（ ），理由如下： ∵（已知）， ∴，（______）， 又∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）， ∴______（______）， 又∵（已知）， ∴（______）， ∴______（______）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；，内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，等量代换思想解答即可． 【详解】解：与的位置关系是，理由如下： ∵（已知）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $