期末复习12.直线.射线.线段讲义(知识梳理+题型精析+备考通关) 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学期末复习讲义通过知识框架图系统梳理直线、射线、线段的知识体系，用对比表格呈现三大图形的定义、端点、延伸性等核心区别，按“概念-公理-运算-作图”逻辑组织知识点，突出中点性质、公理应用等重难点及内在联系。 讲义亮点在于“情境化题型+步骤化方法”设计，如“线段在实际场景中的应用”结合投掷铅球成绩分析培养几何直观，“线段和差运算”强调画图定位置列等式步骤培养推理意识。分层例题和跟踪训练满足不同学生需求，教师可据此实施精准复习教学。

期末复习12.直线.射线.线段讲义 期末 必备 知识 点梳理 1.直线.射线.线段核心概念定义 2.三大图形对比 3.重要公理与性质 4.线段的和差运算 5.作图专项 6.常见易错点 7.典型题型与解题思路 常考 题型 精讲 精练 1.直线.射线.线段的数量计数方法 2.直线相交的交点个数规律分析 3.线段在实际场景中的应用示例 4.直线.射线.线段的联系与区别 5.直线.射线.线段规范画法 6.点与线的位置关系 7.“两点确定一条直线”的原理与应用 8.线段的和.差运算技巧 9.线段中点的有关计算问题 10.线段之间的数量关系推导 11.“两点之间线段最短”的性质与应用 12.两点间距离的定义与计算 期末备考 压轴通关 1.单选题(5) 2.填空题(3) 3.解答题(6) 【知识点01.直线.射线.线段的核心概念与定义】 1.线段 *定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。 *特征：有 2 个端点，长度可测量（有限长度），具有对称性，两点之间的所有连线中，: *表示方法: ① 用两个端点的大写字母表示，如线段 AB（或线段 BA）； ② 用一个小写字母表示，如线段 a。 2. 射线 *定义：把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线，线段的端点就是射线的端点。 *特征：有 1 个端点，向一端无限延伸（长度不可测量），不可比较长短。 *表示方法： ① 用端点和射线上另一个点的大写字母表示，端点字母必须写在前面，如射线 OA（不能写成射线 AO）； ② 用一个小写字母表示，如射线 l。 3. 直线 *定义：把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线。 *特征：没有端点，向两端无限延伸（长度不可测量），不可比较长短。 *表示方法： ① 用直线上两个点的大写字母表示，如直线 AB（或直线 BA）； ② 用一个小写字母表示，如直线 m。 【知识点02.三大图形对比】 对比 维度 直线 射线 线段 核心 定义 向两端无限延伸的直图形，无端点 向一端无限延伸的直图形，1个端点 直线上两点间的部分，2个端点 端点 数量 0个 1个 2个 延伸 特性 双向无限延伸 单向无限延伸 不延伸 长度 属性 无限长，不可测量 无限长，不可测量 有限长，可测量 确定 条件 两点确定一条直线 端点+延伸方向确定 两个端点确定 典型 易错点 误将标注点当端点；认为“过一点定一直线” 颠倒字母顺序（如OA写AO）；误判可测量 混淆“线段”与“两点间距离”；忽略点位置算和差 核心区分总结 1. 核心区分：端点数量（0→直线，1→射线，2→线段），决定延伸性和长度； 2. 表示关键：仅射线有字母顺序要求； 3. 测量性：仅线段可测量； 4. 唯一性：直线靠两点、射线靠“端点+方向”、线段靠两点确定。 【知识点03.重要公理与性质】 1.直线公理 *内容：经过两点有且只有一条直线（简述为：两点确定一条直线）。 *应用： 1 钉钉子固定木板（两点固定一条直线）； 2 排队时前两个人确定队伍的直线方向； 3 建筑工人砌墙时用铅垂线确定直线。 2. 线段公理 *内容：两点之间的所有连线中，线段最短（简述为：两点之间线段最短）。 *相关概念：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离（距离是长度，为非负数，不是线段本身）。 *应用： 1 修路时尽量走直线以缩短路程； 2 从 A 地到 B 地走直道比走弯道近。 3. 线段的中点 *定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 *数学表达：若点 M 是线段 AB 的中点，则 AM=MB=½AB，AB=2AM=2MB。 *拓展： ① 线段的三等分点：把线段分成三条相等线段的两个点； ② 线段的 n 等分点：把线段分成 n 条相等线段的 (n-1) 个点。 【知识点04.线段的和差运算】 一、核心逻辑 前提：各点共线；本质：整体与部分的数量关系 *和：部分 + 部分 = 整体； *差：整体 - 部分 = 另一部分。 二、分类情况与和差关系 按动点位置分3类，明确位置即可快速列等式： 1. 动点在线段上（基础款） 点C在线段AB上，AB被分成AC和CB： *和：AC + CB = AB； *差：AC = AB - CB、CB = AB - AC。 示例：AB=10cm，AC=4cm（C在AB上），则CB=10-4=6cm。 2. 动点在线段延长线上（需明确方向） 延长方向决定和差关系，标注清楚方向即可： *子情况1：延长AB至C（C在B外侧） 和：AC = AB + BC；差：AB = AC - BC、BC = AC - AB 示例：AB=10cm，BC=3cm，延长AB至C，则AC=10+3=13cm； *子情况2：延长BA至C（C在A外侧） 和：BC = AB + AC；差：AB = BC - AC、AC = BC - AB 示例：AB=10cm，AC=2cm，延长BA至C，则BC=10+2=12cm。 三、规范计算步骤（必记） 1.画图：标注点、已知长度、延长方向； 2.定位置：判断动点在线段上/延长线上； 3.列等式：按和差关系列算式； 4.计算：统一单位，求解； 5.验证：结果为正，符合图形逻辑。 四、高频考点：与中点结合运算 *关键：先用量点性质转化长度，再算和差 *中点性质：若M是AB中点，则AM=MB=½AB（或AB=2AM=2MB） 示例：AB=12cm，M是AB中点，C在AB上且AC=5cm，求MC。 解：① AM=½×12=6cm；② MC=AM-AC=6-5=1cm。 五、易错点提醒 *忽略点的位置：必画图确认位置； *延长方向混淆：标注清楚“延长AB至C”（C在B侧）； *中点关系遗忘：先写AM=MB=½AB再计算； *单位不统一：计算前统一单位（如1m=100cm）。 六、典型例题解析 例题1：基础和差 已知：AB=8cm，C在AB延长线上，BC=3cm，求AC。 解：AC=AB+BC=8+3=11cm。 例题2：含中点 已知：AB=16cm，M是AB中点，延长AB至C使BC=2BM，求AC。 解：① BM=½×16=8cm；② BC=2×8=16cm；③ AC=16+16=32cm。 例题3：分类讨论（点位置不确定） 已知：AB=10cm，C在直线AB上，BC=4cm，求AC。 解：① C在AB上：AC=10-4=6cm；② C在AB延长线上：AC=10+4=14cm。综上，AC=6cm或14cm。 【知识点05.作图专项】 1.尺规作图的严格步骤（中考标准） （1）作一条线段等于已知线段 a ① 画一条射线 OP（O 为端点）； ② 用圆规量取已知线段 a 的长度（圆规两脚分别对准 a 的两端点）； ③ 以 O 为圆心，以 a 的长度为半径画弧，交射线 OP 于点 Q； ④ 线段 OQ 即为所求（标注 OQ = a）。 （2）作线段 AB 的中点 M ① 分别以 A、B 为圆心，以大于 ½AB 的长度为半径画弧（两弧半径必须相等，否则无交点）； ② 两弧分别交于点 C、D（上下各一个交点）； ③ 连接 CD，交 AB 于点 M； ④ 点 M 即为 AB 的中点（标注 AM = MB）。 2. 作图误差分析 *刻度尺作图的误差来源：刻度尺的精度（如毫米刻度尺误差≤0.5mm）、读数时的视线偏差（需平视刻度）； *尺规作图的误差来源：圆规半径调整的偏差、画弧时的手抖（需保持圆规稳定）。 【知识点06.常见易错点】 1.概念混淆： *误将 “射线 OA” 写成 “射线 AO”（射线端点在前，方向固定）； *误把 “两点之间的距离” 说成 “两点之间的线段”（距离是长度，线段是图形）； *认为射线、直线有长度，可比较长短（只有线段可比较长度）。 2.公理应用错误： *误说 “经过一点有且只有一条直线”（经过一点有无数条直线）； *误将 “两点之间线段最短” 用于射线或直线（仅适用于线段）。 3.中点与和差运算错误： *忽略点的位置（在线段上 / 延长线上）直接计算和差； *中点计算时忘记 “2 倍” 或 “½” 的关系（如把 AM=AB 当成中点）。 4.作图错误：. *尺规作图时未保留弧痕； *画射线时未标注端点或延伸方向。 【知识点07.典型题型与解题思路】 1. 概念辨析题 解题关键：紧扣定义（端点数量、延伸性、表示方法），逐一排除错误选项。 例题：下列说法正确的是（） A. 射线 AB 和射线 BA 是同一条射线 B. 直线比射线长 C. 两点之间线段最短 D. 线段 AB 的中点到 A、B 的距离相等且等于 AB （答案：C，解析：A 射线方向不同；B 直线和射线不可比较长度；D 中点距离等于 ½AB） 2. 线段长度计算题 解题步骤： 1 画图形，标注已知点和线段长度； 2 确定点的位置关系（在线段上 / 延长线上）； 3 利用中点性质或和差关系列等式计算。 例题：已知线段 AB=10cm，点 C 是 AB 上一点，点 M 是 AC 中点，点 N 是 BC 中点，求 MN 的长度。 （解析：MN=MC+CN=½AC+½BC=½(AC+BC)=½AB=5cm） 3. 实际应用题 解题关键：将实际问题转化为直线、射线、线段的几何模型，利用公理解决。 例题：为什么从家到学校的直路比小路近？（答：两点之间线段最短） 4. 作图题 解题要求：按步骤作图，标注清晰，保留痕迹（尺规作图）。 例题：用尺规作一条线段等于已知线段 a，并作出它的中点。 【题型1.直线.射线.线段的数量计数方法】 【典例】如图，点A、B、C是直线上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（   ）    A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6 【答案】C 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题，理解题意，结合图中信息，以及线段和射线定义进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，观察图中， 则有线段，线段，线段，射线，射线，射线，射线，射线，射线， ∴图中共有线段、射线条数分别是3，6 故选：C 【跟踪训练1】如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 【答案】 1 3 4 【分析】首先识别图中直线、射线、线段的数量，同时结合还要能用字母表示线段、直线、射线即可解决问题． 【详解】解：直线没有端点，可向两端无限延伸。图中A、B、C三点在同一条直线上，能用字母表示的直线只有条(可表示 为直线，直线直线，本质是同一条直线)； 线段有两个端点，不可延伸，表示线段有共三条； 直线上有三个点，共有六条射线，但是用字母来表示的只有射线，射线，射线，射线共四条． 故答案为：①1  ②3  ③4． 【点睛】本题考查了线段、直线、射线的定义，其中理解能用字母表示线段、直线、射线是解本题的关键． 【跟踪训练2】如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段的定义及查找，解题的关键是熟练掌握相关定义． 利用直线，射线和线段的定义进行判断即可． 【详解】解：根据图象可得，共有射线10条，共有线段10条，直线1条， 故选：C． 【题型2.直线相交的交点个数规律分析】 【典例】一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 由在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点， ∴条直线两两相交，交点的个数最多为． 故答案为：45． 【跟踪训练1】在同一平面内，以下结论正确的是（   ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化类，在相交线的基础上，通过观察、实验和猜想、归纳得出结论．． 【详解】解：①∵7条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，而，，， ∴七条直线相交最多有交点的个数是：．故结论①正确； ②假设所有的角都大于等于26°， 假设7条线相交于同一点P，则以点P为中心形成14个角．如果所有的角都， 则其和，与圆心角矛盾． 假设7条线不相交于同一点．则可通过平移，使7条线相交于同一点，角的度数不变，可知与定理矛盾． 综上可知假设不成立，因此至少有一个角小于．故结论②正确； ③在平面上不能画出没有三线共点的七条直线，使得其中每条直线都恰与另外三条直线相交． 理由如下：假设平面上可以画出没有三线共点的七条直线， 其中每一条直线都恰与另外三条相交，两直线相交只有一个交点， ∵每条直线上恰有另三条直线交得的三个不同的交点， ∴七条直线共个交点， ∵每个交点分属于两条直线，重复计数一次， ∴这七条直线交点实际数为个，这与交点个数为整数矛盾．所以满足题设条件的七条直线是不存在的．故结论③不正确； 故选：A． 【跟踪训练2】平面上条直线最多有( )个交点． 【答案】 【分析】本题考查了求直线的交点个数问题，根据两条直线相交有个交点，三条直线相交最多有交点（个），四条直线相交最多有交点（个），五条直线相交最多有交点（个），，则条直线相交最多有交点（个），从而求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：两条直线相交有交点个， 三条直线相交最多有交点（个）， 四条直线相交最多有交点（个）， 五条直线相交最多有交点（个）， ， ∴条直线相交最多有交点（个）， 故答案为：． 【题型3.线段在实际场景中的应用示例】 【典例】图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 【跟踪训练1】如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有 个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【答案】3 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 【跟踪训练2】某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数问题，解题的关键在于将该问题抽象为几何问题解决．将不同站点的车票抽象为线段，再结合线段的计数方法和“起点或终点不一样都算不同的车票”求解，即可解题． 【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示： 上图共有线段（条）， 因为起点或终点不一样都算不同的车票， 所以所有不同的车票有（张）， 故选：D． 【题型4.直线.射线.线段的联系与区别】 【典例】晚上，小明拿起手电筒照向远方，他发现手电筒光线可近似看成一条 （填“直线”“线段”或“射线”）． 【答案】射线 【分析】本题主要考查了射线、直线、线段的区分，解题的关键是熟练掌握线段、射线和直线的定义。 【详解】解：晚上，小明拿起手电筒照向远方，此时手电筒光线是一条射线． 故答案为：射线． 【跟踪训练1】下列语句正确的是（   ） A．画直线厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到点C，使得 【答案】D 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解决本题的关键． 根据直线、射线、线段的概念逐项判定即可解决此题． 【详解】解：A、直线两端无限延伸，即直线无长度，所以画直线厘米错误，故此选项不符合题意． B、射线一端有固定的顶点，另一端无限延伸，即射线无长度，所以画射线厘米错误，故此选项不符合题意． C、射线是向一方无限延伸的，要截取长为2厘米的线段，应以射线端点O为线段的一个端点，即截取厘米，原说法错误，故此选项不符合题意； D、延长线段到点C，当B为的中点时，可使得，所以延长线段到点C，使得正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【跟踪训练2】直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 【题型5.直线.射线.线段的规范画法】 【典例】直线，，的位置关系如图所示，有下列说法：①点在直线上；②直线经过点；③点在直线外；④直线，，两两相交；⑤点是直线，的交点．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查点与直线的位置关系，熟练掌握点与直线的关系是解决本题的关键． 根据点与直线的位置关系以及直线相交的概念判断各说法准确性即可． 【详解】解：由图可得，点在直线上，故①正确； 由图可知，直线不经过点，故②错误； 由图可知，点不在直线上，即点在直线外，故③正确； 由图可知，直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点， 所以直线、、两两相交，故④正确， 所以正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【跟踪训练1】经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 【答案】10 【分析】本题是探索规律题，考查了直线、射线、线段，不在同一条直线上的五个点有三种不同的关系：①有四个点在同一条直线上；②有三个点在同一条直线上；③五个点中任意三个点都不在同一条直线上．熟练掌握分类讨论思想的运用是关键． 【详解】解：如图， ①有四个点在同一条直线上； 故最多可画5条； ②有三个点在同一条直线上； 故最多可画8条； ③五个点中任意三个点都不在同一条直线上； 当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：（条，所以最多能得到10条直线． 故答案为10 【跟踪训练2】已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 【答案】C 【分析】根据A、B、C三点的不同位置分类讨论即可得出结果． 【详解】解：当A、B、C三点在同一直线上时，如图1所示，过每两点画一条直线，只能画1条直线，    当A、B、C三点不在同一直线上时，如图2所示，过每两点画一条直线，可以画3条直线，    故选：C． 【点睛】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键． 【题型6.点与线的位置关系】 【典例】如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 【详解】解：①点A在直线外，正确； ②直线m和n相交于点C，正确； ③点B既在直线l上又在直线n上，原描述错误． 综上所述，其中正确的是①②． 故答案为：①②． 【跟踪训练1】点与直线的位置关系：直线 这个点（点在直线上）或直线不经过这个点 【答案】经过 【详解】点与线的位置关系 略 【跟踪训练2】M所在的位置如图，的位置是点 ，的位置是点 ． 【答案】 ② ④ 【分析】本题考查了线段的倍数关系，熟悉掌握线段的长短变换时解题的关键． 通过分析点的位置即可解答． 【详解】解：∵，即点坐落在到的处， ∴此点为②； ∵，则点坐落在到的倍长度处，即在与的中间， ∴此点为④； 故答案为：②④． 【题型7.“两点确定一条直线”的原理与应用】 【典例】2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，盛大阅兵仪式在天安门广场举行，受阅部队的口令“向右看齐”应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线． “向右看齐”口令要求士兵调整方向，使队伍形成一条直线，这直接应用了“两点确定一条直线”的几何性质． 【详解】解：在队列中，士兵以相邻士兵为参考点调整位置，使所有士兵的视线或身体对齐形成一条直线； ∴这基于“两点确定一条直线”的原理，即通过两个点可唯一确定一条直线，其他点均落在此直线上． 故选：A． 【跟踪训练1】墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 根据直线的性质解答即可． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【跟踪训练2】数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟知直线的性质--两点确定一条直线是解答本题的关键． 根据直线的性质--两点确定一条直线解答即可． 【详解】解：生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是：两点确定一条直线， 故选：A． 【题型8.线段的和.差运算技巧】 【典例】如图1，已知线段、，则图2中线段可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的和与差，正确的识别图形是解题的关键．根据线段的和差倍分及结合图形即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【跟踪训练1】已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和与差．由于点A，B，C在直线l上的相对位置不确定，需分类讨论：当点B在点A和点C之间时，为与之和；当点A在点B和点C之间时，为与之差． 【详解】解：分两种情况： 当点B在点A和点C之间时，； 当点A在点B和点C之间时，， 故答案为：或． 【跟踪训练2】竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，比例，正确理解比例关系及分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当时， ， ， ； 当时，则， ． 综上，这根竹竿的原长为或． 故答案为：C． 【题型9.线段中点的有关计数问题】 【典例】如图，，是线段的三等分点，是的中点，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，由是的中点得出，再结合，是线段的三等分点计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵，是线段的三等分点， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据线段的中点性质及线段的和差逐项进行证明即可． 【详解】解：①∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴③正确； 综上，正确的选项是①②③， 故选：A． 【跟踪训练2】如图，为线段上一点，为的中点，，．若点在线段上，且，则的长为 ． 【答案】8或4 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段的和差关系求出的长，中点，求出的长，分点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵点在线段上，且， ∴或； 故答案为：8或4． 【题型10.线段之间的数量关系推导】 【典例】已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 【答案】C 【分析】本题考查了线段的大小比较常用的方法：度量法、叠合法，（1）度量法：利用刻度尺，量出每条线段的长度，在根据度量的结果确定两条线段的长短，这是从“数”的方面进行比较，线段的长短关系和它们的长度大小关系是一致的；（2）叠合法：先把两条线段放在同一条直线上，让其一端重合，在看另一端的位置，从而确定两条线段的长度，这是从“形”的方面来比较的，据此解答即可． 【详解】解：A、通过观察不一定能说明线段比线段短，不符合题意； B、用刻度尺量得线段厘米，线段厘米，说明线段比线段长，不符合题意； C、将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上，说明线段比线段短，符合题意； D、将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上，说明线段比线段长，不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练1】定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 【答案】2或4或12 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键 分三种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合的位置得到的具体的数量关系，结合 从而可得答案． 【详解】解：如图，， 当时， 如图，，当时， 如图，，当时， 综上：或4或12． 故答案为：2或4或12． 【跟踪训练2】如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ∵，即， ∴，即线段是最长的一段， ∵最长的一段为 ， ∴，解得， ∴这条绳子的原长为； （2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ， ∴线段是最长的一段， ∵最长的一段为， ∴，解得， ∴， ∴这条绳子的原长为； 故选：C． 【题型11.“两点之间线段最短”的性质与应用】 【典例】如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 【跟踪训练1】如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解决本题的关键． 根据线段的性质即可求解． 【详解】解：依题意，小明家到学校有4条路，其中③走最近， 依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短 【跟踪训练2】为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点之间线段最短，合情推理，考查学生的计算能力，找到最短路线是解决本题的关键．选择数据较小的路线，确定到达4个村庄的最短路线即可 【详解】解析：最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B，D，然后从D到C， ∴能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是 故选：B 【题型12.两点间距离的定义与计算】 【典例】如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 【跟踪训练1】如图，一条线段，点，分别是，的中点，且，则线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离．设，，，由点，分别是，的中点可得的长，已知，可列方程解得的值，可得的长． 【详解】解：，可设，，， 点，分别是，的中点， ，， ， 又， ， 解得， ， 即线段的长为． 故选：A． 【跟踪训练2】已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 【答案】3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，设点的运动时间为 ，分及两种情况考虑，当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】解：，，． 设点的运动时间为 ， 当时，，， 根据题意得：， 解得：； 当时，，， 根据题意得：， 解得：． 综上所述，当点出发或时，，两点重合． 故答案为：3或6． 一.单选题 1．下列说法中，正确的个数有（    ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据射线的表示法可判断①；根据线段中点的定义可判断②；根据两点之间的距离定义可判断③．可能是的， 也可能是的，可判断④；根据直线的基本事实可判断⑤． 【详解】① ∵ 射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸，方向不同，∴ 不是同一条射线． 故①错误． ② ∵时，点B不一定在线段上（如三角形中），∴ B不一定是的中点． 故②错误． ③ ∵ 点A与点B之间的距离定义为线段的长度． ∴ ③正确． ④ ∵ 点C是线段的三等分点，若是的，则； 但若是的，则． ∴不一定为9． 故④错误． ⑤ ∵ 两颗钉子固定木条依据“两点确定一条直线”，而非“两点之间线段最短”． 故⑤错误． 综上，只有③正确，共1个正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何概念．熟练掌握射线的方向性、中点需共线、三等分点的两种情形以及几何公理的区别，几何概念的准确性是解题的关键． 2．下列说法：经过一点有无数条直线；两点之间直线最短；经过两点，有且只有一条直线；若线段等于线段，则点是线段的中点；连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了直线的性质、线段中点的定义以及两点距离的概念，根据直线的性质、线段中点的定义以及两点距离的概念逐一判断各说法的正误，掌握直线的基本性质和线段、距离的定义是解题的关键． 【详解】解：经过一点有无数条直线，原说法正确； 两点之间线段最短，而非直线最短，原说法错误； 经过两点，有且只有一条直线，原说法正确； 若，点不一定在线段上，也不一定是中点（如点在AB的垂直平分线上但非中点），原说法错误； 连接两点的线段长度叫做两点距离，而非线段本身，原说法错误； ∴ 正确的有和，共个， 故选：． 3．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段两点间的距离，理解题意、分类作出相应图形是解题的关键． 分两种情况讨论：①当A、C或B、D重合且剩余两端点在重合点同侧时；②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时；让分别作出相应图形，并结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当A、C或B、D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； ②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； ∴两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 4．已知一个直角以O为端点在的内部画条射线，以、以及这些射线为边构成的锐角的个数是（   ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角的概念及角的数量统计，根据具体数值得出角的数量变化和射线条数的关系是解题的关键．在各图中作出一条、两条、三条射线，求出有多少个角，根据角的数量总结出规律即可求出n条时有多少个角． 【详解】解：图（1）中有3个角；图（2）中有6个角；图（3）中有个角； 即内部有一条射线时，有个角； 内部有两条射线时，有个角； 内部有三条射线时，有个角； … 内部有条射线时，有个角； 即（个）， 去掉一个直角，锐角有个． 故选：D． 5．在长方形中放入3个正方形如图所示，若，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A．BF B．FH C．AB D．BC 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合；表示出图中阴影部分的周长，根据题意进行整理即可解答． 【详解】解：图中阴影部分的周长 ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， 故选：C． 二.填空题 6．数一数，图中一共有 个长方形． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的认识，根据长方形边共有线段，边共有线段，从而可求得图中一共有长方形的个数，掌握知识点的应用是解题的关键， 【详解】解：如图， 长方形边共有线段，边共有线段， ∴图中一共有长方形（个）， 故答案为：． 7．一条直街上有栋楼，按从左至右顺序编号为，第号楼恰好有个厂的职工，相邻两楼之间的距离为米．厂打算在直街上建一车站，为使这栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距号楼 米处，且路程之和最小为 米． 【答案】 【分析】本题考查比较线段长短的知识，难度中等，与实际结合较紧，解答本题的关键是设出位置后运用分段讨论的思想进行解答．假设车站距离号楼米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案． 【详解】解：设车站距号楼米，则总路程， 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 比较各区间最小值，当时，最小为； 故车站应建在距号楼米处，路程之和最小为米． 故答案为：，． 8．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可． 【详解】解：∵M为的中点，N为的中点， ∴，． ∵线段和线段在同一直线上， 线段（A在左，B在右）的长为a， 长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动， ∴分以下5种情况说明： ①当在左侧时，如图1， 即， ， ， ； ②当点D与点A重合时，如图2， 即 ， ； ③当在内部时，如图3， 即 ， ； ④当点C在点B右侧时， 同理可得：； ⑤当在右侧时， 同理可得：； 综上所述：线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 三.解答题 9．如图，已知线段，，作线段和线段，使得，，且点在线段上． (1)请根据题意画出图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)若，点在直线上，且是线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题通过已知的比例关系和线段长度求出相关线段的长度，再根据点的位置关系计算线段的长． 【详解】（1）解：如图①，线段，即为所求． （2）解：如图②： ∵ ∴． ∵，解得 ∴． ∵是线段的中点 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了线段的和差与比例的综合应用，解题关键是根据比例设出未知数，求出相关线段长度． 10．如图，已知点、、是线段上的点，，，． (1)求的长； (2)若，点是上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2)当点在上时，；当点在上时， 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，线段的和差，解题的关键是数形结合注意进行分类讨论． （1）先通过求出BC，再根据求出BD， （2）先由已知条件求出，再分点F在C点左边和右边两种情况讨论即可 【详解】（1）解：因为，， 所以，则， 所以． 因为，， 所以， 所以． （2）解：因为，， 所以，则． 因为， 所以． 当点在上时，； 当点在上时，． 11．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 12．如图1，分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100． (1)求点A，B之间的距离； (2)若点C在数轴上，且是线段的三等分点，求点C表示的数； (3)将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上． ①将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数； ②如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这三张纸条的长度之比为；把纸条复原后，直接写出折折痕处的点在数轴上表示的数． 【答案】(1)120 (2)20或60 (3)①80；②16，40，64． 【分析】本题考查数轴两点之间的距离、等分点、翻折问题等知识点，理解题意、掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）分点C靠近A和点C靠近B两种情况求解即可． （3）①先求得折叠点表示的数为，设与原点重合的点表示的数为x，然后根据题意列方程求解即可；②由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为100 ∴， ∴点A，B之间的距离是120． （2）解：∵，点C在数轴上且是线段的三等分点， ∴当点C靠近A时，， ∵点A表示的数为， ∴点C所对应的数为； 当点C靠近B时，， ∵点B表示的数为100， ∴点C所对应的数为． ∴点C所对应的数为20或60． （3）解：①∵将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合， ∴折叠点为的中点，其表示的数为， 设与原点重合的点表示的数为x，则，解得：， ∴与原点重合的点表示的数为80； ②∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， a.如图：当从A到B三条纸条的长度为24，24，72， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是； b.如图：当从A到B三条纸条的长度为24， 72，24， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是； c.如图：当从A到B三条纸条的长度为72，24，24， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是． 综上，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 13．已知线段上有若干个不重合的点，求出该线段上任意两点所决定的线段长度（包括线段），并记所有这些线段的长度总和为y．例如：图1中，，C为的中点，则． (1)如图2，线段上有C、D两点，其中，，求y； (2)如图3，线段上有C、D、E三点，其中C为的中点，E为的中点，且，，求的长度； (3)线段上有C、D两点，线段上任意两点所决定的线段长度是整数，若，且的长度为奇数，直接写出的长度． 【答案】(1)40 (2)14 (3)11 【分析】本题主要考查线段中点的有关计算以及两点间的距离，解题的关键在于能够正确读懂题意，利用数形结合以及方程的思想求解． （1）根据比例求得，，的长，进而利用求解即可； （2）根据中点的定义，设，结合，用x表示每条线段长，再根据，列方程即可求解； （3）根据，可用表示，由是奇数，为正整数，，可求得的长，进而求得的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴，， ∴； （2）解：设， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是奇数，为正整数， ∴，11，17，23，29，35， 又∵， ∴满足条件的有， ∴． 14．探索材料1： （1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____，数轴上表示数3和的两点距离为_____；则的意义可理解为数轴上表示数_____这两点的距离； 探索材料2： （2）①如图1、在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？在图中画出满足条件的点即可． ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． 结论应用(填空)： （3）①代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______； ②代数式的最小值是______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______． 【答案】（1）3，4，x，； （2）①作图见解析，A与B之间；②作图见解析，B处；③作图见解析，之间； （3）①1；3、4；②8，；③16；1、2、3、4． 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离的意义、绝对值化简等知识点，灵活运用数形结合思想求最小的距离之和是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离以及绝对值的意义求解即可； （2）①通过观察，比较可得点P设在A与B之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长即可；②通过观察，比较可得点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长；③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为3和4之间的距离；②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离；③结合（2）中的③，可得最小距离为和6与1和4的距离之和． 【详解】解：（1）探索材料1（填空）： ，， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离． 故答案为：3，4，x，． （2）探索材料2（填空）： ①如图： 则当材料供应点P应设在A与B之间，P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小， 故答案为：①A与B之间；②B处；③之间． （3）结论应用（填空）： ①代数式表示x到3的距离与x到4的距离之和， ∴的最小值是，所有x的整数值为3、4． 故答案为：1；3、4； ②代数式表示x到的距离与x到与x到2的距离之和， ∴的最小值是，此时x的值为． 故答案为：8，； ③代数式表示x到的距离与x到4与x到1与x到6的距离之和， ∴最小值是．此时x的所有整数值是1到4之间的整数，即1、2、3、4． 故答案为：；1、2、3、4． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习12.直线.射线.线段讲义 期末 必备 知识 点梳理 1.直线.射线.线段核心概念定义 2.三大图形对比 3.重要公理与性质 4.线段的和差运算 5.作图专项 6.常见易错点 7.典型题型与解题思路 常考 题型 精讲 精练 1.直线.射线.线段的数量计数方法 2.直线相交的交点个数规律分析 3.线段在实际场景中的应用示例 4.直线.射线.线段的联系与区别 5.直线.射线.线段规范画法 6.点与线的位置关系 7.“两点确定一条直线”的原理与应用 8.线段的和.差运算技巧 9.线段中点的有关计算问题 10.线段之间的数量关系推导 11.“两点之间线段最短”的性质与应用 12.两点间距离的定义与计算 期末备考 压轴通关 1.单选题(5) 2.填空题(3) 3.解答题(6) 【知识点01.直线.射线.线段的核心概念与定义】 1.线段 *定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。 *特征：有 2 个端点，长度可测量（有限长度），具有对称性，两点之间的所有连线中，: *表示方法: ① 用两个端点的大写字母表示，如线段 AB（或线段 BA）； ② 用一个小写字母表示，如线段 a。 2. 射线 *定义：把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线，线段的端点就是射线的端点。 *特征：有 1 个端点，向一端无限延伸（长度不可测量），不可比较长短。 *表示方法： ① 用端点和射线上另一个点的大写字母表示，端点字母必须写在前面，如射线 OA（不能写成射线 AO）； ② 用一个小写字母表示，如射线 l。 3. 直线 *定义：把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线。 *特征：没有端点，向两端无限延伸（长度不可测量），不可比较长短。 *表示方法： ① 用直线上两个点的大写字母表示，如直线 AB（或直线 BA）； ② 用一个小写字母表示，如直线 m。 【知识点02.三大图形对比】 对比 维度 直线 射线 线段 核心 定义 向两端无限延伸的直图形，无端点 向一端无限延伸的直图形，1个端点 直线上两点间的部分，2个端点 端点 数量 0个 1个 2个 延伸 特性 双向无限延伸 单向无限延伸 不延伸 长度 属性 无限长，不可测量 无限长，不可测量 有限长，可测量 确定 条件 两点确定一条直线 端点+延伸方向确定 两个端点确定 典型 易错点 误将标注点当端点；认为“过一点定一直线” 颠倒字母顺序（如OA写AO）；误判可测量 混淆“线段”与“两点间距离”；忽略点位置算和差 核心区分总结 1. 核心区分：端点数量（0→直线，1→射线，2→线段），决定延伸性和长度； 2. 表示关键：仅射线有字母顺序要求； 3. 测量性：仅线段可测量； 4. 唯一性：直线靠两点、射线靠“端点+方向”、线段靠两点确定。 【知识点03.重要公理与性质】 1.直线公理 *内容：经过两点有且只有一条直线（简述为：两点确定一条直线）。 *应用： 1 钉钉子固定木板（两点固定一条直线）； 2 排队时前两个人确定队伍的直线方向； 3 建筑工人砌墙时用铅垂线确定直线。 2. 线段公理 *内容：两点之间的所有连线中，线段最短（简述为：两点之间线段最短）。 *相关概念：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离（距离是长度，为非负数，不是线段本身）。 *应用： 1 修路时尽量走直线以缩短路程； 2 从 A 地到 B 地走直道比走弯道近。 3. 线段的中点 *定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 *数学表达：若点 M 是线段 AB 的中点，则 AM=MB=½AB，AB=2AM=2MB。 *拓展： ① 线段的三等分点：把线段分成三条相等线段的两个点； ② 线段的 n 等分点：把线段分成 n 条相等线段的 (n-1) 个点。 【知识点04.线段的和差运算】 一、核心逻辑 前提：各点共线；本质：整体与部分的数量关系 *和：部分 + 部分 = 整体； *差：整体 - 部分 = 另一部分。 二、分类情况与和差关系 按动点位置分3类，明确位置即可快速列等式： 1. 动点在线段上（基础款） 点C在线段AB上，AB被分成AC和CB： *和：AC + CB = AB； *差：AC = AB - CB、CB = AB - AC。 示例：AB=10cm，AC=4cm（C在AB上），则CB=10-4=6cm。 2. 动点在线段延长线上（需明确方向） 延长方向决定和差关系，标注清楚方向即可： *子情况1：延长AB至C（C在B外侧） 和：AC = AB + BC；差：AB = AC - BC、BC = AC - AB 示例：AB=10cm，BC=3cm，延长AB至C，则AC=10+3=13cm； *子情况2：延长BA至C（C在A外侧） 和：BC = AB + AC；差：AB = BC - AC、AC = BC - AB 示例：AB=10cm，AC=2cm，延长BA至C，则BC=10+2=12cm。 三、规范计算步骤（必记） 1.画图：标注点、已知长度、延长方向； 2.定位置：判断动点在线段上/延长线上； 3.列等式：按和差关系列算式； 4.计算：统一单位，求解； 5.验证：结果为正，符合图形逻辑。 四、高频考点：与中点结合运算 *关键：先用量点性质转化长度，再算和差 *中点性质：若M是AB中点，则AM=MB=½AB（或AB=2AM=2MB） 示例：AB=12cm，M是AB中点，C在AB上且AC=5cm，求MC。 解：① AM=½×12=6cm；② MC=AM-AC=6-5=1cm。 五、易错点提醒 *忽略点的位置：必画图确认位置； *延长方向混淆：标注清楚“延长AB至C”（C在B侧）； *中点关系遗忘：先写AM=MB=½AB再计算； *单位不统一：计算前统一单位（如1m=100cm）。 六、典型例题解析 例题1：基础和差 已知：AB=8cm，C在AB延长线上，BC=3cm，求AC。 解：AC=AB+BC=8+3=11cm。 例题2：含中点 已知：AB=16cm，M是AB中点，延长AB至C使BC=2BM，求AC。 解：① BM=½×16=8cm；② BC=2×8=16cm；③ AC=16+16=32cm。 例题3：分类讨论（点位置不确定） 已知：AB=10cm，C在直线AB上，BC=4cm，求AC。 解：① C在AB上：AC=10-4=6cm；② C在AB延长线上：AC=10+4=14cm。综上，AC=6cm或14cm。 【知识点05.作图专项】 1.尺规作图的严格步骤（中考标准） （1）作一条线段等于已知线段 a ① 画一条射线 OP（O 为端点）； ② 用圆规量取已知线段 a 的长度（圆规两脚分别对准 a 的两端点）； ③ 以 O 为圆心，以 a 的长度为半径画弧，交射线 OP 于点 Q； ④ 线段 OQ 即为所求（标注 OQ = a）。 （2）作线段 AB 的中点 M ① 分别以 A、B 为圆心，以大于 ½AB 的长度为半径画弧（两弧半径必须相等，否则无交点）； ② 两弧分别交于点 C、D（上下各一个交点）； ③ 连接 CD，交 AB 于点 M； ④ 点 M 即为 AB 的中点（标注 AM = MB）。 2. 作图误差分析 *刻度尺作图的误差来源：刻度尺的精度（如毫米刻度尺误差≤0.5mm）、读数时的视线偏差（需平视刻度）； *尺规作图的误差来源：圆规半径调整的偏差、画弧时的手抖（需保持圆规稳定）。 【知识点06.常见易错点】 1.概念混淆： *误将 “射线 OA” 写成 “射线 AO”（射线端点在前，方向固定）； *误把 “两点之间的距离” 说成 “两点之间的线段”（距离是长度，线段是图形）； *认为射线、直线有长度，可比较长短（只有线段可比较长度）。 2.公理应用错误： *误说 “经过一点有且只有一条直线”（经过一点有无数条直线）； *误将 “两点之间线段最短” 用于射线或直线（仅适用于线段）。 3.中点与和差运算错误： *忽略点的位置（在线段上 / 延长线上）直接计算和差； *中点计算时忘记 “2 倍” 或 “½” 的关系（如把 AM=AB 当成中点）。 4.作图错误：. *尺规作图时未保留弧痕； *画射线时未标注端点或延伸方向。 【知识点07.典型题型与解题思路】 1. 概念辨析题 解题关键：紧扣定义（端点数量、延伸性、表示方法），逐一排除错误选项。 例题：下列说法正确的是（） A. 射线 AB 和射线 BA 是同一条射线 B. 直线比射线长 C. 两点之间线段最短 D. 线段 AB 的中点到 A、B 的距离相等且等于 AB （答案：C，解析：A 射线方向不同；B 直线和射线不可比较长度；D 中点距离等于 ½AB） 2. 线段长度计算题 解题步骤： 1 画图形，标注已知点和线段长度； 2 确定点的位置关系（在线段上 / 延长线上）； 3 利用中点性质或和差关系列等式计算。 例题：已知线段 AB=10cm，点 C 是 AB 上一点，点 M 是 AC 中点，点 N 是 BC 中点，求 MN 的长度。 （解析：MN=MC+CN=½AC+½BC=½(AC+BC)=½AB=5cm） 3. 实际应用题 解题关键：将实际问题转化为直线、射线、线段的几何模型，利用公理解决。 例题：为什么从家到学校的直路比小路近？（答：两点之间线段最短） 4. 作图题 解题要求：按步骤作图，标注清晰，保留痕迹（尺规作图）。 例题：用尺规作一条线段等于已知线段 a，并作出它的中点。 【题型1.直线.射线.线段的数量计数方法】 【典例】如图，点A、B、C是直线上的三个点，则图中共有线段、射线条数分别是（   ）    A．2，3 B．3，3 C．3，6 D．2，6 【跟踪训练1】如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 【跟踪训练2】如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【题型2.直线相交的交点个数规律分析】 【典例】一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 【跟踪训练1】在同一平面内，以下结论正确的是（   ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【跟踪训练2】平面上条直线最多有( )个交点． 【题型3.线段在实际场景中的应用示例】 【典例】图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【跟踪训练1】如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有 个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【跟踪训练2】某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【题型4.直线.射线.线段的联系与区别】 【典例】晚上，小明拿起手电筒照向远方，他发现手电筒光线可近似看成一条 （填“直线”“线段”或“射线”）． 【跟踪训练1】下列语句正确的是（   ） A．画直线厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到点C，使得 【跟踪训练2】直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【题型5.直线.射线.线段的规范画法】 【典例】直线，，的位置关系如图所示，有下列说法：①点在直线上；②直线经过点；③点在直线外；④直线，，两两相交；⑤点是直线，的交点．其中正确的有 （填序号）． 【跟踪训练1】经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 【跟踪训练2】已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 【题型6.点与线的位置关系】 【典例】如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是 （直接填写序号）． 【跟踪训练1】点与直线的位置关系：直线 这个点（点在直线上）或直线不经过这个点 【跟踪训练2】M所在的位置如图，的位置是点 ，的位置是点 ． 【题型7.“两点确定一条直线”的原理与应用】 【典例】2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，盛大阅兵仪式在天安门广场举行，受阅部队的口令“向右看齐”应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间线段最短 【跟踪训练1】墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线 ． 【跟踪训练2】数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【题型8.线段的和.差运算技巧】 【典例】如图1，已知线段、，则图2中线段可以表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知A，B，C为直线l上的三点，如果线段，那么A，C两点间的距离为 ． 【跟踪训练2】竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型9.线段中点的有关计数问题】 【典例】如图，，是线段的三等分点，是的中点，若，则 ． 【跟踪训练1】如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【跟踪训练2】如图，为线段上一点，为的中点，，．若点在线段上，且，则的长为 ． 【题型10.线段之间的数量关系推导】 【典例】已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 【跟踪训练1】定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 【跟踪训练2】如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型11.“两点之间线段最短”的性质与应用】 【典例】如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【跟踪训练1】如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是 ． 【跟踪训练2】为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（   ） A． B． C． D． 【题型12.两点间距离的定义与计算】 【典例】如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 【跟踪训练1】如图，一条线段，点，分别是，的中点，且，则线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 一.单选题 1．下列说法中，正确的个数有（    ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法：经过一点有无数条直线；两点之间直线最短；经过两点，有且只有一条直线；若线段等于线段，则点是线段的中点；连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 4．已知一个直角以O为端点在的内部画条射线，以、以及这些射线为边构成的锐角的个数是（   ）个． A． B． C． D． 5．在长方形中放入3个正方形如图所示，若，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A．BF B．FH C．AB D．BC 二.填空题 6．数一数，图中一共有 个长方形． 7．一条直街上有栋楼，按从左至右顺序编号为，第号楼恰好有个厂的职工，相邻两楼之间的距离为米．厂打算在直街上建一车站，为使这栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距号楼 米处，且路程之和最小为 米． 8．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 三.解答题 9．如图，已知线段，，作线段和线段，使得，，且点在线段上． (1)请根据题意画出图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)若，点在直线上，且是线段的中点，，求线段的长． 10．如图，已知点、、是线段上的点，，，． (1)求的长； (2)若，点是上一点，且，求的长． 11．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 12．如图1，分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100． (1)求点A，B之间的距离； (2)若点C在数轴上，且是线段的三等分点，求点C表示的数； (3)将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上． ①将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数； ②如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这三张纸条的长度之比为；把纸条复原后，直接写出折折痕处的点在数轴上表示的数． 13．已知线段上有若干个不重合的点，求出该线段上任意两点所决定的线段长度（包括线段），并记所有这些线段的长度总和为y．例如：图1中，，C为的中点，则． (1)如图2，线段上有C、D两点，其中，，求y； (2)如图3，线段上有C、D、E三点，其中C为的中点，E为的中点，且，，求的长度； (3)线段上有C、D两点，线段上任意两点所决定的线段长度是整数，若，且的长度为奇数，直接写出的长度． 14．探索材料1： （1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____，数轴上表示数3和的两点距离为_____；则的意义可理解为数轴上表示数_____这两点的距离； 探索材料2： （2）①如图1、在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？在图中画出满足条件的点即可． ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． 结论应用(填空)： （3）①代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______； ②代数式的最小值是______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $