第八章 实数（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

第八章 实数 教学目标 1. 熟练掌握有理数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）平方根、算术平方根及立方根； （2）实数及其相关性质。 2. 难点 （1）区分平方根与算术平方根； （2）平方根、算术平方根及立方根性质的应用； （3）无理数的估算。 考点01 平方根 1. 平方根的概念： 一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即，如果x²=a，那么x叫做a的平方根。表示为 2. 求一个数的平方根： 求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方运算互为逆运算。 即，则。可表示为，。 3. 平方根的性质： ①正数的平方根有2个，分别是与，他们互为相反数。 ②规定0的平方根是0。所以0的平方根只有一个，就是它本身。 ③负数没有平方根。 【题型1】求一个数的平方根 1．用等式表示“81的平方根等于±9”，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：用等式表示“81的平方根等于±9”为， 故选：B． 2．9的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．9 D．±9 【答案】A 【解答】解：9的平方根是±3， 故选：A． 3．实数的平方根是 　±　 ． 【答案】± 【解答】解：∵， ∴实数的平方根是±． 故答案为：±． 【题型2】根据正数的两个平方根互为相反数求值 4．一个正数a的两个不同的平方根是2x﹣1与5﹣x，则x的值是（　　） A．﹣4 B．9 C．﹣9 D．81 【答案】A 【解答】解：由题意可得：2x﹣1+5﹣x＝0． 解得x＝﹣4． 故选：A． 5．若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．16 D．9 【答案】D 【解答】解：因为2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根， 所以2m﹣5+3m﹣15＝0， 解得m＝4， 所以2m﹣5＝3，3m﹣15＝﹣3， 所以这个数是9． 故选：D． 【题型3】利用平方根解方程 6．求出下列等式中x的值： （1）12x2＝36； （2）64（x+1）2＝49． 【答案】（1）； （2）或． 【解答】解：（1）两边同时除以12得，x2＝3， ∴； （2）∵64（x+1）2＝49， ∴， ∴或， ∴或． 考点02 算术平方根 1. 算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。表示为。 规定0的算术平方根是0。 注意区别平方根与算术平方根。 2. 算术平方根的性质： ①正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。0的算术平方根是0本身。 ②算术平方根的双重非负性： 只有非负数才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个非负数。所以算术平方根本身大于等于0，算术平方根的被开方数也大于等于0。即≥0，≥0。 非负性的应用： 几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。 即若，则0。 ③一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即。 ④一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。 即。。 【题型1】求一个数的算术平方根 7．25的算术平方根是5，可以用式子表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵52＝25， ∴25的算术平方根是5，用式子表示为， 故选：C． 8．16的算术平方根是　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：根据题意可知，16的算术平方根是4． 故答案为：4． 9．的算术平方根等于（　　） A．2 B．±2 C．﹣2 D． 【答案】D 【解答】解：∵， ∴的算术平方根是． 故选：D． 【题型2】利用算术平方根的性质求值或化简 10．化简的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 【答案】A 【解答】解：原式3． 故选：A． 11．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、（）2＝3，故此选项正确； B、±±3，故此选项错误； C、4，故此选项错误； D、3，故此选项错误； 故选：A． 12．实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简等于（　　） A．0 B．a+b C．c﹣b D．2a﹣c 【答案】C 【解答】解：根据题意得：b＜c＜0＜a，|a|＜|b|， ∴a+b＜0， ∴ ＝a﹣（a+b）﹣|c| ＝a﹣（a+b）+c ＝a﹣a﹣b+c ＝c﹣b， 故选：C． 13．已知，则的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得6﹣a＝a﹣6＝0， 解得：a＝6， ∴， 故选：C． 【题型3】利用算术平方根的非负性求值 14．如果与互为相反数，那么x2+y的算术平方根是　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意可知，， ∴2x﹣6＝0，2+y＝0， 解得：x＝3，y＝﹣2， ∴x2+y＝32+（﹣2）＝9﹣2＝7， ∴x2+y的算术平方根是． 故答案为：． 15．若实数x，y满足，则y2＝　9　 ． 【答案】9 【解答】解：根据题意得，x+2＝0，2x﹣y＝﹣7， 解得x＝﹣2，y＝3， ∴y2＝32＝9． 故答案为：9． 【题型4】根据算术平方根的性质求取值范围 16．若3﹣x，则x的取值范围是 x≤3　 ． 【答案】x≤3 【解答】解：∵3﹣x， ∴3﹣x≥0，解得x≤3． 故答案为：x≤3． 17．若，则x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．0＜x＜2 【答案】A 【解答】解：∵2﹣x，0， ∴2﹣x≥0， 解得：x≤2． 故选：A． 考点03 立方根 1. 立方根的概念： 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根．记作。其中叫做三次根号。注意根指数3不能省略。 2. 求立方根： 求一个数的立方根叫做开立方，与立方运算互为逆运算。 3. 立方根的基本性质： ①任何数都有立方根，且都只有1个立方根。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根等于它本身的数是0，±1。 ②一个数的立方根的立方等于它本身。即=； ③一个数的立方的立方根等于它本身。即=； ④一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根。即； ⑤若两个数互为相反数，则他们的立方根也互为相反数。即则0； 【题型1】求一个数的立方根 18．“13的立方根”用数学符号表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据立方根的定义可得： 13的立方根是， 故选：D． 19．5的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵（）3＝5， ∴5的立方根是． 故选：A． 20．计算的结果是（　　） A．2 B．± C．2 D．±2 【答案】C 【解答】解：∵23＝8， ∴． 故选：C． 【题型2】利用算立方根的性质求值或化简 21．若，则x的值为（　　） A．﹣6 B．﹣1 C． D．3 【答案】B 【解答】解：∵若， ∴3x﹣1和x+5互为相反数， ∴3x﹣1+x+5＝0， 解得x＝﹣1． 故选：B． 22．已知，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【答案】D 【解答】解：∵， ∴x﹣2＝±1或x﹣2＝0， ∴x＝3或x＝1或x＝2． 故选：D． 23．已知x为实数，且0，则x2+x﹣3的平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【答案】C 【解答】解：∵x为实数，且0， ∴x﹣3＝2x+1， 解得：x＝﹣4， ∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9， ∴±3， 故选：C． 【题型3】利用立方根解方程 24．求下列各式中的x的值： （1）2x2+3＝5； （2）（x﹣2）3﹣27＝0． 【答案】（1）x＝±1； （2）x＝5． 【解答】解：（1）2x2+3＝5， 2x2＝2， x2＝1， x＝±1； （2）（x﹣2）3﹣27＝0， （x﹣2）3＝27， x﹣2＝3， x＝5． 25．求下列各式中的x． （1）16x2﹣25＝0； （2）3（x+5）3＝﹣81． 【答案】（1）x； （2）x＝﹣8． 【解答】解：（1）16x2﹣25＝0， 16x2＝25， ， x； （2）3（x+5）3＝﹣81， （x+5）3＝﹣27， x+5＝﹣3， x＝﹣8． 【题型4】平方根、算术平方根及立方根综合应用 26．下列说法正确的是（　　） A．0没有算术平方根 B．﹣8的立方根是2 C．﹣16的平方根是±4 D．4的平方根是±2 【答案】D 【解答】解：A、0的算术平方根是0，故此选项不符合题意； B、﹣8的立方根是﹣2，故此选项不符合题意； C、﹣16没有平方根，故此选项不符合题意； D、4的平方根是±2，故此选项符合题意； 故选：D． 27．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（　　） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【解答】解：由数值加工机的运算程序，输入64，取算术平方根得8，8是有理数，再取立方根得2，2是有理数，再取算术平方根得，由于是无理数， 所以输出的数为， 故选：B． 28．已知一个正数的两个不相等的平方根分别是m+3和2n﹣6；实数3n﹣2m的立方根是2． （1）求m和n的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）m＝﹣1；n＝2； （2）2． 【解答】解：（1）由已知可得，m+3+2n﹣6＝0，3n﹣2m＝8， 则m＝﹣1，n＝2． （2）m14， 2． 考点04 无理数 1. 无理数的概念： 无限不循环小数叫做无理数。 2. 无理数的三种形式： ①含有根号，且被开方数开方开不尽。 ②π以及化简后含有π的数。 ③具有特定结构的数。如0.1010010001... 3. 无理数的方法——夹逼法： 具体步骤： ①估算被开方数在那两个完全平方数之间（若一个数能被写成某个整数的平方，则称这个数为平方数）； ②确定无理数的整数部分；（用无理数减去整数部分得到小数部分） ③按要求估算。 理论依据： 被开方数越大，则对应的算术平方根也越大。 【题型1】判断无理数 29．下列实数中，是无理数的是（　　） A．3.14 B．0 C． D． 【答案】C 【解答】解：3.14是有限小数，0是整数，是分数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：C． 30．在（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：4， 无理数有、、﹣1.121121112...（每两个2之间依次多一个1），共3个． 故选：C． 【题型2】估算无理数的在哪两个整数之间 31．如图1，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数可能是（　　） A． B． C． D．π 【答案】D 【解答】解：根据无理数的估算方法逐项分析判断如下： A、因为，所以该选项不符合题意； B、因为，所以该选项不符合题意； C、因为， ∴，所以该选项不符合题意； D、因为π≈3.14，所以该选项符合题意； 故选：D． 32．估计2的值在（　　） A．3与4之间 B．1与3之间 C．1与2之间 D．2与3之间 【答案】C 【解答】解：∵9＜13＜16， ∴， ∴34， ∴3﹣24﹣2， ∴12， 故选：C． 33．若，且a，b是两个连续的整数，则a+b的立方根是（　　） A．9 B．3 C．±9 D．﹣3 【答案】B 【解答】解：∵36＜40＜49， ∴67， ∴137＜14， ∵，且a，b是两个连续的整数， ∴a＝13，b＝14， ∴a+b＝13+14＝27， ∴a+b的立方根是3， 故选：B． 【题型3】求无理数的整数部分和小数部分 34．的小数部分是（　　） A．3 B．0.162 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵， ∴的小数部分为， 故选：C． 35．阅读下面的文字，解答问题：是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来．因为12，所以的整数部分为1，将减去其整数部分后，得到的差就是小数部分，于是的小数部分为1．请解答下列问题： （1）的整数部分是 　2　 ，小数部分是 　2　 ； （2）如果7的小数部分为a，7的小数部分为b，若（x+1）2＝a+b，求x的值． 【答案】（1）2，2； （2）x1＝0，x2＝﹣2． 【解答】解：（1）∵23， ∴，的整数部分为2，小数部分为2． 故答案为：2，2； （2）∵， ∴， ∴的整数部分为10， ∴． ∵的整数部分为3， ∴， ∴， ∴（x+1）2＝1， 两边开平方，得x+1＝1或x+1＝﹣1， 解得x1＝0，x2＝﹣2． 考点05 实数 1. 实数的概念： 有理数与无理数统称为实数。 2. 实数的分类： ①按定义分类： ②按性质分类： 【题型1】实数的分类 36．把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：①；②0.54；③0.1；④；⑤0；⑥﹣23；⑦0.3020020002…（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）． 有理数集合：{　①②③⑤⑥　 …}； 无理数集合：{　④⑦　 …}； 正数集合：{　②③④⑦　 …．}； 负数集合：{　①⑥　 …}． 【答案】①②③⑤⑥、④⑦、②③④⑦、①⑥． 【解答】解：根据正数和负数的定义、实数以及有理数的概念分析判断如下： 有理数集合：{①②③⑤⑥…}； 无理数集合：{④⑦…}； 正数集合：{②③④⑦…}； 负数集合：{①⑥…}； 故答案为：①②③⑤⑥、④⑦、②③④⑦、①⑥． 考点06实数的性质 1. 实数与数轴： （1） 实数与数轴的关系： 实数与数轴上的点是一一对应关系。数轴上每一个点都只能表示1个实数，每一个实数都只能找数轴上找一个点来表示它。 （2）利用数轴表示实数的大小： 同有理数一样，数轴上右边的点表示的实数总比数轴上左边的点表示的实数大。 2. 相反数： 只有符号不同的两个数互为相反数。实数的相反数是。 若与互为相反数，则0。 3. 绝对值： 实数到原点的距离用||来表示。 ； ①任意实数的绝对值都是一个非负数，即||≥0； ②互为相反数的两个数绝对值相等。 4. 倒数： 是数的倒数为。 若与互为倒数，则1。 5. 实数的大小比较 （1）估算法： 先估算除无理数的大小，在和其他实数进行比较。 （2）作差法比较： 对两个实数进行作差，根据差的情况比较。①若，则； ②若，则； ①若，则； （3）平方法比较： 两个正实数同时平方，平方后的数越大，则原数越大。两个负实数同时平方，平方后的数越大，原数反而越小。 （4）其他比较方法： 参照有理数的大小比较方法。 6. 实数的运算法则： 在实数范围内进行加、减、乘除、乘法和开方运算时，运算法则同有理数，先乘方开方，在乘除，最后加减。有括号的先算括号里面的。 注意无理数相加减时，被开方数相同的无理数才能进行加减。 【题型1】实数与数轴的关系 37．把数轴上数字2对应的点向左平移个单位长度，对应的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设移动后对应的数为x， ∴， ， 或（不合题意舍去）， 故选：D． 38．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣1 B．a＜﹣2 C．ab＞0 D．a+b＜0 【答案】D 【解答】解：观察实数a，b在数轴上的对应点的位置，得﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1， 故A选项不符合题意，B选项不符合题意， 则ab＜0， 故C选项不符合题意， 则a+b＜0， 故D选项符合题意， 故选：D． 【题型2】实数的性质—相反数 39．实数的相反数是（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【解答】解：根据相反数的定义可知： 的相反数为， 故选：B． 40．下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．与|| D．1与1 【答案】C 【解答】解：A．∵，∴﹣3与不是互为相反数，故此选项不符合题意； B．∵，∴﹣3与不是互为相反数，故此选项不符合题意； C．∵，∴与是互为相反数，故此选项符合题意； D．∵ 与不是互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【题型3】实数的性质—绝对值 41．的绝对值是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【解答】解：的绝对值是， 故选：C． 【题型4】实数的性质—倒数 42．若a，b，c分别表示的相反数、绝对值、倒数，则（　　） A．a+b＞c B．a+b+c＜0 C．ab＞c D．bc＞a 【答案】D 【解答】解：∵a，b＝||，c， ∴a＜0＜c＜b， ∴a+b＝0＜c，a+b+c0，ab＜0＜c，bc＝1＞a， 故A，B，C选项错误，不符合题意，D选项正确，符合题意， 故选：D． 【题型5】对实数进行大小比较 43．下列四个实数中，最小的数是（　　） A．1 B． C． D．0 【答案】C． 【解答】解：∵0＜1， ∴最小的数是：． 故选：C． 44．比较的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵， ∴． 故选：A． 45．a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．b＜a＜﹣a＜﹣b B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b 【答案】C 【解答】解：∵由图可知，b＜0＜a，|a|＜|b|， ∴0＜a＜﹣b，b＜﹣a＜0， ∴b＜﹣a＜a＜﹣b． 故选：C． 【题型6】实数的简单运算 46．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵a⊕b＝|a﹣b|+1， ∴， 故选：D． 47．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣4； （2）﹣1． 【解答】解：（1）原式＝1+2﹣（﹣2）﹣|﹣9| ＝3+2﹣9 ＝﹣4； （2） ＝﹣4+2﹣2﹣（﹣3） ＝﹣2﹣2+3 ＝﹣4+3 ＝﹣1． 48．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）1． 【解答】解：（1）原式＝2﹣33 ＝2； （2）原式＝3﹣4+（﹣2）+4 ＝1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 实数 教学目标 1. 熟练掌握有理数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）平方根、算术平方根及立方根； （2）实数及其相关性质。 2. 难点 （1）区分平方根与算术平方根； （2）平方根、算术平方根及立方根性质的应用； （3）无理数的估算。 考点01 平方根 1. 平方根的概念： 一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即，如果x²=a，那么x叫做a的平方根。表示为 2. 求一个数的平方根： 求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方运算互为逆运算。 即，则。可表示为，。 3. 平方根的性质： ①正数的平方根有2个，分别是与，他们互为相反数。 ②规定0的平方根是0。所以0的平方根只有一个，就是它本身。 ③负数没有平方根。 【题型1】求一个数的平方根 1．用等式表示“81的平方根等于±9”，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．9的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．9 D．±9 3．实数的平方根是 　 　 ． 【题型2】根据正数的两个平方根互为相反数求值 4．一个正数a的两个不同的平方根是2x﹣1与5﹣x，则x的值是（　　） A．﹣4 B．9 C．﹣9 D．81 5．若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．16 D．9 【题型3】利用平方根解方程 6．求出下列等式中x的值： （1）12x2＝36； （2）64（x+1）2＝49． 考点02 算术平方根 1. 算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。表示为。 规定0的算术平方根是0。 注意区别平方根与算术平方根。 2. 算术平方根的性质： ①正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。0的算术平方根是0本身。 ②算术平方根的双重非负性： 只有非负数才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个非负数。所以算术平方根本身大于等于0，算术平方根的被开方数也大于等于0。即≥0，≥0。 非负性的应用： 几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。 即若，则0。 ③一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即。 ④一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。 即。。 【题型1】求一个数的算术平方根 7．25的算术平方根是5，可以用式子表示为（　　） A． B． C． D． 8．16的算术平方根是　 　 ． 9．的算术平方根等于（　　） A．2 B．±2 C．﹣2 D． 【题型2】利用算术平方根的性质求值或化简 10．化简的结果是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．9 11．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 12．实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简等于（　　） A．0 B．a+b C．c﹣b D．2a﹣c 13．已知，则的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【题型3】利用算术平方根的非负性求值 14．如果与互为相反数，那么x2+y的算术平方根是　 　 ． 15．若实数x，y满足，则y2＝　 　 ． 【题型4】根据算术平方根的性质求取值范围 16．若3﹣x，则x的取值范围是 　 ． 17．若，则x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．0＜x＜2 考点03 立方根 1. 立方根的概念： 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根．记作。其中叫做三次根号。注意根指数3不能省略。 2. 求立方根： 求一个数的立方根叫做开立方，与立方运算互为逆运算。 3. 立方根的基本性质： ①任何数都有立方根，且都只有1个立方根。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根等于它本身的数是0，±1。 ②一个数的立方根的立方等于它本身。即=； ③一个数的立方的立方根等于它本身。即=； ④一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根。即； ⑤若两个数互为相反数，则他们的立方根也互为相反数。即则0； 【题型1】求一个数的立方根 18．“13的立方根”用数学符号表示为（　　） A． B． C． D． 19．5的立方根是（　　） A． B． C． D． 20．计算的结果是（　　） A．2 B．± C．2 D．±2 【题型2】利用算立方根的性质求值或化简 21．若，则x的值为（　　） A．﹣6 B．﹣1 C． D．3 22．已知，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 23．已知x为实数，且0，则x2+x﹣3的平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【题型3】利用立方根解方程 24．求下列各式中的x的值： （1）2x2+3＝5； （2）（x﹣2）3﹣27＝0． 25．求下列各式中的x． （1）16x2﹣25＝0； （2）3（x+5）3＝﹣81． 【题型4】平方根、算术平方根及立方根综合应用 26．下列说法正确的是（　　） A．0没有算术平方根 B．﹣8的立方根是2 C．﹣16的平方根是±4 D．4的平方根是±2 27．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（　　） A． B． C．2 D．8 28．已知一个正数的两个不相等的平方根分别是m+3和2n﹣6；实数3n﹣2m的立方根是2． （1）求m和n的值； （2）求的算术平方根． 考点04 无理数 1. 无理数的概念： 无限不循环小数叫做无理数。 2. 无理数的三种形式： ①含有根号，且被开方数开方开不尽。 ②π以及化简后含有π的数。 ③具有特定结构的数。如0.1010010001... 3. 无理数的方法——夹逼法： 具体步骤： ①估算被开方数在那两个完全平方数之间（若一个数能被写成某个整数的平方，则称这个数为平方数）； ②确定无理数的整数部分；（用无理数减去整数部分得到小数部分） ③按要求估算。 理论依据： 被开方数越大，则对应的算术平方根也越大。 【题型1】判断无理数 29．下列实数中，是无理数的是（　　） A．3.14 B．0 C． D． 30．在（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2】估算无理数的在哪两个整数之间 31．如图1，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数可能是（　　） A． B． C． D．π 32．估计2的值在（　　） A．3与4之间 B．1与3之间 C．1与2之间 D．2与3之间 33．若，且a，b是两个连续的整数，则a+b的立方根是（　　） A．9 B．3 C．±9 D．﹣3 【题型3】求无理数的整数部分和小数部分 34．的小数部分是（　　） A．3 B．0.162 C． D． 35．阅读下面的文字，解答问题：是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分无法全部写出来，但是我们可以想办法把它表示出来．因为12，所以的整数部分为1，将减去其整数部分后，得到的差就是小数部分，于是的小数部分为1．请解答下列问题： （1）的整数部分是 　 　 ，小数部分是 ； （2）如果7的小数部分为a，7的小数部分为b，若（x+1）2＝a+b，求x的值． 考点05 实数 1. 实数的概念： 有理数与无理数统称为实数。 2. 实数的分类： ①按定义分类： ②按性质分类： 【题型1】实数的分类 36．把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：①；②0.54；③0.1；④；⑤0；⑥﹣23；⑦0.3020020002…（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）． 有理数集合：{　 　 …}； 无理数集合：{　 …}； 正数集合：{　 　 …．}； 负数集合：{　 　 …}． 考点06实数的性质 1. 实数与数轴： （1） 实数与数轴的关系： 实数与数轴上的点是一一对应关系。数轴上每一个点都只能表示1个实数，每一个实数都只能找数轴上找一个点来表示它。 （2）利用数轴表示实数的大小： 同有理数一样，数轴上右边的点表示的实数总比数轴上左边的点表示的实数大。 2. 相反数： 只有符号不同的两个数互为相反数。实数的相反数是。 若与互为相反数，则0。 3. 绝对值： 实数到原点的距离用||来表示。 ； ①任意实数的绝对值都是一个非负数，即||≥0； ②互为相反数的两个数绝对值相等。 4. 倒数： 是数的倒数为。 若与互为倒数，则1。 5. 实数的大小比较 （1）估算法： 先估算除无理数的大小，在和其他实数进行比较。 （2）作差法比较： 对两个实数进行作差，根据差的情况比较。①若，则； ②若，则； ①若，则； （3）平方法比较： 两个正实数同时平方，平方后的数越大，则原数越大。两个负实数同时平方，平方后的数越大，原数反而越小。 （4）其他比较方法： 参照有理数的大小比较方法。 6. 实数的运算法则： 在实数范围内进行加、减、乘除、乘法和开方运算时，运算法则同有理数，先乘方开方，在乘除，最后加减。有括号的先算括号里面的。 注意无理数相加减时，被开方数相同的无理数才能进行加减。 【题型1】实数与数轴的关系 37．把数轴上数字2对应的点向左平移个单位长度，对应的数是（　　） A． B． C． D． 38．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣1 B．a＜﹣2 C．ab＞0 D．a+b＜0 【题型2】实数的性质—相反数 39．实数的相反数是（　　） A． B． C． D．3 40．下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．与|| D．1与1 【题型3】实数的性质—绝对值 41．的绝对值是（　　） A． B． C． D．2 【题型4】实数的性质—倒数 42．若a，b，c分别表示的相反数、绝对值、倒数，则（　　） A．a+b＞c B．a+b+c＜0 C．ab＞c D．bc＞a 【题型5】对实数进行大小比较 43．下列四个实数中，最小的数是（　　） A．1 B． C． D．0 44．比较的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 45．a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．b＜a＜﹣a＜﹣b B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b 【题型6】实数的简单运算 46．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，则的值为（　　） A． B． C． D． 47．计算： （1）； （2）． 48．计算： （1）； （2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $