精品解析：广东省A20联盟2025--2026学年上学期八年级数学期末质量检测（一）

河 南 省 A20 联 盟 期 末 质 量 检 测 （一） 数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上． 答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 以下中国知名科技公司的商标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2. 等腰三角形的两边长分别为5和，则此三角形的周长为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握相关知识是解决问题的关键．分类讨论腰为5或腰为两种情况讨论，利用两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：∵等腰三角形两边长为5和， ∴可能情况为：①腰为5，底为；②腰为，底为， 对于情况①：三边为， ∵，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形． 对于情况②：三边为， ∵，均成立， ∴能构成三角形． ∴周长为． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘，平方差公式，完全平方公式，单项式乘单项式，根据相关的知识逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，故本选项计算错误，不符合题意； 选项B：，故本选项计算错误，不符合题意； 选项C：，故本选项计算错误，不符合题意； 选项D：，故本选项计算正确，符合题意． 故选：D． 4. 若关于x的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先将分式方程化成一元一次方程，分式方程有增根时，分母为零的值满足整式方程，代入求解． 【详解】解：∵原方程为， 两边同乘得：， 化简得：， ∵方程有增根， ∴，即， 代入整式方程：， ∴． 故选：B． 5. 如图，在中，，，平分交于点D，交于点E，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和算出,再根据角平分线和平行线即可求解． 本题考查了三角形内角和，角平分线，平行线的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】在中， ，， ， 平分， ， ， ． 故选：B． 6. 小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱河南 B. 爱河南 C. 我爱学 D. 河南数学 【答案】A 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 本题考查了因式分解，选择适当的方法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵对应密码字：我， 爱，河，南， ∴密码信息为“我爱河南”， 故选：A． 7. 如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．根据折叠得出，，，，根据三角形外角性质得出，设，则，，根据三角形内角和定理得出，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可知：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 8. 若关于x的分式方程有正数解，且关于y的不等式组无解，则满足条件的所有整数a的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和不等式组的含参数问题，解题的关键是正确解分式方程与不等式组． 先解分式方程得到，根据有正数解且得到且；再解不等式组，根据无解条件得到；结合整数，确定满足条件的值个数． 【详解】解：∵分式方程， 解得， ∵方程有正数解， ∴，且， ∴，， ∵为整数， ∴且； 解得，， 解得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 综上，为整数且，且， ∴，，，共3个． 故选：C． 9. 如图，在中，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线．点P是上任意一点，于点D，点Q是边上任意一点，连接．若，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作法得是的平分线，由垂线段最短，得时，的值最小，由角平分线的性质即可求解； 本题考查了垂线段最短，角平分线的性质；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作法得是的平分线，由垂线段最短，得时，的值最小， 又， 故， 故， 故选：B． 10. 在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，涉及等腰三角形的判定，构成三角形的条件：将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【详解】解： ， ，故正确； 由得， ∴， 即 ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形．故正确； 由 得 ∴ ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上，正确的有，共2个． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果一个等腰三角形顶角的外角是，那么它的底角的度数是_______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质，得到两底角相等，结合三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，可直接得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和， ∴每一个底角为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系；本题比较简单，属于基础题． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 若x满足，则的值为________． 【答案】2019 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设，，则已知 ，且．利用完全平方公式 ，代入已知值求解即可． 【详解】解：设，，则，； ∵， ∴，即 ∴ ∴ 故； 故答案为：2019． 14. 若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题关键． 通过不等式组确定，分式方程解得，由解非负且得且，综合得或5，求和即可． 【详解】解：∵关于x的不等式组至少有4个整数解， ∴整数解至少包括、0、1、2等， 则， 又a为整数， ∴， 解分式方程， 方程可化为， 去分母得， 解得：， ∵方程解是非负数， ∴， 即． 又分母，∴，即． ∴a的取值范围为，a为整数， ∴或5． 和为． 故答案为：9． 15. 如图，中平分，点D、E分别是上不与端点重合的动点，连接，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等积法求线段的长，在上截取，连接，作于点，证明，得到，进而得到，根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，此时最小，进行求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，作于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当，即点与点重合时，最小， ∵ ∴，即：， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）9 （2）无解 【解析】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂的计算，及分式方程的求解： （1）先计算各个部分，再合并； （2）根据分式方程的解法求解并检验根即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： ， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先计算括号里的减法，再计算除法，计算减法，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 已知的三边长分别为，，． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】（1）是等边三角形 （2）的周长的最大值为19 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． 19. 如图，在平面直角坐标系中（不完整），每个小正方形的边长均为1，与 关于y轴对称． （1）在图中补全y轴和原点O，并直接写出点F关于x轴对称的点的坐标． （2）若A，B，C是三个村庄，现要在公路边（x轴上）建一货栈P，向A，B，C三个村庄送农用物资，路线是或．试判断在公路边是否存在一点P，使送货路线之和最短？若存在，请在图中画出点P所在的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）存在， 如图：点即为所求 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，轴对称的性质，最短路径等问题． （1）根据轴对称的性质即可补全平面直角坐标系以及求出点关于轴对称的点的坐标； （2）将问题化为最小，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点． 【小问1详解】 解：∵点， ∴点关于轴对称的点的坐标为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ∵不变， ∴送货路线之和最短即为最小， 20. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 由（1)可知：， ， ， ， ． 21. “互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； （1）若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 （2）求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ （3）“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 【答案】（1）乙：销售单价元/千克，质量千克；丙：销售单价元/千克，质量千克 （2）甲商品销售单价为5元/千克，乙商品销售单价为10元/千克，丙商品销售单价为15元/千克 （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及代数式的最值问题，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程，同时正确分析代数式的最值情况． （1）根据单价、质量、总价的关系填写表格； （2）根据信息2列出分式方程求解三种商品的单价； （3）先分别表示出和，再分析的最大值． 【小问1详解】 解：已知甲商品销售单价为元／千克，由信息1可知乙商品销售单价为元/千克，根据“质量总价单价”，乙商品质量为千克；丙商品销售单价是元／千克，丙商品质量为千克； 【小问2详解】 解：根据信息2“用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍”，可列方程：， 解得： 经检验，是原方程的解． 所以乙商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克； 【小问3详解】 解：提价后，甲商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克，乙商品单价为元/千克． 则， 令，则随增大而增大，的范围是．，当最大时，最大， 当时，，． 22. 如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． （1）若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____； （2）求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）． （3）若，那么与满足下列_____关系． A. B. C. D. 【答案】（1）； （2） （3）C 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用．正确用含、、的代数式表示出、、、是解题的关键． （1）先分别用含、、的代数式表示出图1和图2中阴影部分的周长，再将，，代入计算，即可求解； （2）先分别用含、、的代数式表示出图1和图2中阴影部分的面积，再求求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差，即可； （3）先分别用含、、的代数式表示出、、、，再代入进行运算，即可求解． 【小问1详解】 解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 将，，代入，得出，， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：根据图形可知，长方形的边长为，宽为， 则， ， 故． 【小问3详解】 解：由（1）和（2）得出，，， 故， 将，代入，得， 整理得：， 即， 故答案为：C． 23. 综合与实践 （1）问题提出： 如图1，点E为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）尝试应用： 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N、M，与交于K，若，．求证：． （3）问题拓展： 如图3，P是内一点，，D在边上，连接，，过P作，垂足为E，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是以、为腰的等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：延长至G，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）6 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的相关计算，作辅助线构建全等三角形是解题的关键； （1）由证即可； （2）延长至G，使，连接，证，求得即可解答； （3）延长交于点F，连接，先证，再证即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交于点F，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， 可证， ∴，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河 南 省 A20 联 盟 期 末 质 量 检 测 （一） 数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上． 答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 以下中国知名科技公司的商标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的两边长分别为5和，则此三角形的周长为（　　） A. B. C. D. 或 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 4. 若关于x的分式方程有增根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在中，，，平分交于点D，交于点E，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱河南 B. 爱河南 C. 我爱学 D. 河南数学 7. 如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的分式方程有正数解，且关于y的不等式组无解，则满足条件的所有整数a的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，在中，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线．点P是上任意一点，于点D，点Q是边上任意一点，连接．若，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果一个等腰三角形顶角的外角是，那么它的底角的度数是_______． 12. 因式分解：________． 13. 若x满足，则的值为________． 14. 若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是______． 15. 如图，中平分，点D、E分别是上不与端点重合的动点，连接，则的最小值为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、解方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知的三边长分别为，，． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）若，，且为整数，求的周长的最大值． 19. 如图，在平面直角坐标系中（不完整），每个小正方形的边长均为1，与 关于y轴对称． （1）在图中补全y轴和原点O，并直接写出点F关于x轴对称的点的坐标． （2）若A，B，C是三个村庄，现要在公路边（x轴上）建一货栈P，向A，B，C三个村庄送农用物资，路线是或．试判断在公路边是否存在一点P，使送货路线之和最短？若存在，请在图中画出点P所在的位置；若不存在，请说明理由． 20. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 21. “互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； （1）若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 （2）求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ （3）“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 22. 如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为． （1）若，，图1中阴影部分周长_____，图2中阴影部分周长_____； （2）求图2中阴影部分面积与图1中阴影部分面积的差（用含，，的代数式表示）． （3）若，那么与满足下列_____关系． A. B. C. D. 23. 综合与实践 （1）问题提出： 如图1，点E为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）尝试应用： 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N、M，与交于K，若，．求证：． （3）问题拓展： 如图3，P是内一点，，D在边上，连接，，过P作，垂足为E，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $