专题03 一元一次方程应用的八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

专题03 一元一次方程应用的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 类型四、利用一元一次方程解决古代问题 类型五、利用一元一次方程解决几何问题 类型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 压轴专练 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 一元一次方程解决销售问题总结 一、核心知识点 1.关键公式：利润=售价-成本；利润率=（利润÷成本）×100%；售价=标价×折扣（如8折即×0.8）。 2.等量关系：围绕利润、售价、成本、利润率等量，根据题目条件确定相等关系（如“总利润相等”“售价相同”）。 二、解题技巧 1.设元：通常设成本或标价为未知数x（根据问题所求或便于列方程选择）。 2.列方程：将已知量代入公式，按等量关系列出含x的一元一次方程。 3.求解与检验：解出x后，代入公式验证是否符合实际销售场景（如售价、利润为正数）。 例1．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）某商家去水果批发大市场购进甲乙两种水果礼盒，其中甲种水果礼盒数量是乙种水果礼盒数量的一半还多10盒，甲种水果礼盒每盒进价100元，乙种水果礼盒每盒进价70元，商家购进甲乙两种水果礼盒共花费了7000元． (1)商家购进甲乙两种水果礼盒各多少盒？ (2)该商家将甲种水果礼盒每盒售价定为150元，乙种水果礼盒每盒售价定为100元，出售了甲种水果礼盒15盒和乙种水果礼盒20盒后，为了不影响水果的品质，商家决定将甲种水果礼盒打八折出售，请问乙种水果礼盒打几折出售才能使得总利润为1750元？ 【答案】(1)商家购进甲种水果礼盒35盒，乙种水果礼盒50盒； (2)乙种水果礼盒打七折出售才能使得总利润为1750元． 【分析】本题考查了运用一元一次方程解决销售问题，其中，正确地表示总利润是解题的关键． （1）设商家购进乙种水果礼盒x盒，则购进甲种水果礼盒盒．运用甲种水果礼盒的成本与乙种水果礼盒的成本之和等于总成本建立方程，解方程即可； （2）设乙种水果礼盒打a折出售．表示出甲种水果礼盒的销售金额与乙种水果礼盒的销售金额，运用销售总金额等于总利润与总成本之和建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设商家购进乙种水果礼盒x盒，则购进甲种水果礼盒盒． 由题意，得， 解得， 所以， 答：商家购进甲种水果礼盒35盒，乙种水果礼盒50盒． （2）解：设乙种水果礼盒打a折出售． 由题意，得 ， 解得， 答：乙种水果礼盒打七折出售才能使得总利润为1750元． 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）2026年西安新春非遗文化节将在大唐不夜城举办，某文创商铺用3800元购进以“唐妞”和“秦宝”为原型的非遗文创玩偶共50个，其中一个“唐妞”玩偶进价70元，一个“秦宝”玩偶进价80元． (1)求购进“唐妞”和“秦宝”玩偶各多少个？ (2)在销售过程中，“唐妞”玩偶标价100元/个，“秦宝”玩偶标价120元/个，当两种玩偶各卖出个后，商铺开启新春促销，剩余玩偶均按标价的八折出售．若这批文创玩偶全部销售后利润刚好是1120元，求的值． 【答案】(1)购进“唐妞”玩偶20个，“秦宝”玩偶30个 (2)10 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出正确的等量关系． （1）设购进“唐妞”玩偶个，则购进“秦宝”玩偶个，然后根据题意列方程，即可求解； （2）根据总利润为售出两种玩偶的利润之和，列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设购进“唐妞”玩偶个，则购进“秦宝”玩偶个， 由题意得，， 解得， ， 答：购进“唐妞”玩偶20个，“秦宝”玩偶30个． （2）解：由题意得，， 解得． 的值为10． 【变式1-2】（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）某超市10月用3000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品的件数的2倍少40件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元／件） 30 24 售价（元／件） 40 30 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将10月购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (3)若该超市11月以相同的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，并按照原价销售；甲商品的件数是10月的3倍，并打折销售；11月两种商品都销售完后获得的总利润比10月的总利润多480元，则11月甲商品是按原价打几折销售的？ 【答案】(1)甲商品件，乙商品件 (2)元 (3)折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设乙商品件数为件，则甲商品件数为件，根据单价数量总价，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据（1）的结论，分别计算甲乙的利润，即可求解． （3）设甲商品打折销售，则售价为元件，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设乙商品件数为件，则甲商品件数为件． 根据总进价元，得方程． 化简得， 解得． 所以甲商品件，乙商品件． 答：甲商品件，乙商品件． （2）解：甲商品利润元，乙商品利润元，总利润元． 答：一共可获得利润元． （3）解：月甲商品件数件，乙商品件．乙商品利润元． 设甲商品打折销售，则售价为元件． 甲商品利润为元． 总利润为元． 解方程， 解得． 答：11月甲商品是按原价打折销售的． 【变式1-3】（24-25七年级上·河北张家口·期末）为开展好校园足球活动，某学校计划购买一批足球运动装备、经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵20元，购买3套队服与4个足球的费用相等． (1)求每套队服和每个足球的价格分别是多少？ (2)甲商场优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过90套，则队服还按原价出售，但购买足球打八折．若计划一共购买100套队服和个足球． ①到甲商场购买费用为___________元，到乙商场购买费用为___________元；（用含的代数式表示，要求结果化成最简）； ②请你计算，当购买多少个足球时，在两家购买费用相同． 【答案】(1)每套队服和每个足球的价格分别为80元、60元 (2)①；；②当购买50个足球时，在两家购买费用相同 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设足球每个元，则每套队服元，根据购买3套队服和4个足球的费用相等列出方程，解方程即可； （2）根据甲、乙两商场的优惠方案即可求解． 【详解】（1）解：设足球每个元，则每套队服元， 由题意可得：， 解得：， 元． 答：每套队服和每个足球的价格分别为80元、60元； （2）解：①到甲商场购买所需费用为元； 到乙商场购买所需费用为元． 故答案为：；； ②据题意得：， 解得， 答：当购买50个足球时，在两家购买费用相同． 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 一元一次方程解决方案问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：需从两种及以上方案中选择最优（如省钱、高效），或找方案效果相等的临界点。 2.等量关系：关键是设未知数（如数量x），表示出不同方案的结果（如费用、工作量），再根据“结果相等”列方程。 二、解题技巧 1.设元：设影响方案结果的变量为x（如购买数量、使用时间）。 2.列方程：分别写出各方案的表达式，令其相等列方程，求解临界点x。 3.判断最优：根据x的实际取值范围，比较不同方案结果，确定最优解。 例2．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）年关将至，某商店就两种具有中国传统文化色彩的中国结和红灯笼开展促销活动，活动方案有如下两种（规定顾客每次只能选择其中一种方案）： 商品名称 中国结 红灯笼 标价（单位：元） 50 20 方案一 每件商品销售时的折扣 六折 九折 方案二 所购商品超过100件（不同商品可累计），所有商品按标价的八折出售 (1)甲单位为装扮节日气氛准备一次性购买中国结30个，红灯笼80个，选用哪种方案划算？ (2)乙单位一次性购买中国结和红灯笼共120个，选择两种方案所付金额相同．请你计算乙单位的购买方案． 【答案】(1)方案一划算 (2)乙单位购买中国结20个，红灯笼100个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合该商店给出的两个优惠方案，可求出选择方案一及方案二所需费用，比较后即可得出结论； （2）设乙单位购买个中国结，则购买个红灯笼，根据选择两种方案所付金额相同，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：选择方案一所需费用：（元）， 选择方案二所需费用：（元）， ， 方案一划算； （2）解：设乙单位购买中国结个，则购买红灯笼个， 由题意得： 解得：， （个）， 答：乙单位购买中国结20个，购买红灯笼100个． 【变式2-1】（2025七年级上·全国·专题练习）英才学校组织七、八年级老师到某地参加培训会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择．已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元． (1)学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天培训的内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【答案】(1)学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元 (2)方案一，二所需要的租金分别是元元，选择方案二更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元，列方程，解得，故，即可作答． （2）理解题意，分别算出方案一和方案二所需要的租金，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：设学校租用25座大巴车每辆每天的租金是元， 则学校租用45座大巴车每辆每天的租金是元， 根据题意得， 解得， ∴（元）． 答：学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元； （2）解：由（1）得学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元； 依题意，设全部租用45座的大巴车需要租用辆， 则全部租用25座的大巴车需要租用辆， 根据题意得， 解得， ∴（元）； （元）． 方案一，二所需要的租金分别是元元， ∵， ∴选择方案二更省钱． 【变式2-2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）2024年赛季收官战总决赛于11月24日圆满落幕，届时男女单打各16名球员和混双8对组合将展开精彩的乒乓球对决．某单位要观看比赛．设购买门票张数为x（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位购买门票的价格为每张60元（总费用=广告赞助费+门票费）； 方案二：若购买的门票数不超过100张，每张100元，若所购门票超过100张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： (1)方案一中，用含x的代数式来表示总费用为_____，方案二中，当购买的门票数x不超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为_____．当所购门票数x超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为_____； (2)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次总决赛门票，合计700张，花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【答案】(1)元，元，元 (2)甲单位购买了500张，乙单位购买了200张 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确列出总费用的等量关系式是解题关键． （1）根据题意可直接写出用x表示的总费用代数式． （2）设乙单位购买了m张，则甲单位购买了张，分两种情况：当时，当时，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题知， 方案一中的总费用为：元； 方案二中，当购买的门票数x不超过100张时，总费用为元；当购买的门票数x超过100张时，总费用为：元． 故答案为：元，元，元． （2）解：设乙单位购买了m张，则甲单位购买了张， 当时，， 解得（舍去）， 当时，， 解得， 则， 所以甲单位购买了500张，乙单位购买了200张． 【变式2-3】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某校为了丰富学生的课余生活，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折 (1)若学校购买乒乓球x盒（），则在甲店购买球拍和球的总费用为______元，在乙店购买球拍和球的总费用为______元（结果用含x的式子表示）； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)若学校打算购买10副乒乓球拍和30盒乒乓球，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)，； (2)学校计划购买乒乓球20盒 (3)最省钱的购买方案是在甲店买10副球拍，再在乙店买20盒乒乓球 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）按照对应的方案的计算方法分别列式计算即可； （2）设学校计划购买乒乓球x盒，根据“去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同”列出方程求解即可； （3）根据两种方案的优惠方式，可得出先在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球，另外20盒乒乓球在乙店购买即可． 【详解】（1）解：甲店购买球拍和球的总费用为：元， 乙店购买球拍和球的总费用为：元， 故答案为： ，； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：学校计划购买乒乓球20盒； （3）解：当时， ①在甲店购买球拍和球的总费用为： （元）， ②在乙店购买球拍和球的总费用为： （元）， ③在甲店买10副球拍送10盒球，费用为，在乙店买盒乒乓球， 费用为，则总费用为 （元） ∵， ∴最省钱的购买方案是在甲店买10副球拍送10盒球，再在乙店买20盒乒乓球． 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 一元一次方程解决配套问题总结 一、核心知识点 1. 问题特征：多个部件按固定比例搭配（如1个桌面配4条桌腿），需使各部件数量符合配套比例，避免浪费。 2. 等量关系：根据配套比例，将某一部件数量乘以比例系数，与另一部件数量相等（如桌腿数量=4×桌面数量）。 二、解题技巧 1. 设元：设生产其中一种部件的数量或人数为x（优先设与比例相关的量）。 2. 列方程：根据配套比例，用含x的式子表示另一部件数量，再按等量关系列方程。 3. 验证：求解后需检查结果是否为整数（部件数量为整数），确保符合实际生产情况。 例3．（25-26七年级上·山东青岛·月考）七年级一班共有学生50人，其男生人数比女生人数的2倍少16人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生28人，女生22人 (2)4名 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据总人数和男生与女生的数量关系列方程求解即可； （2）根据配套关系，盒底数量是盒身数量的2倍，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设女生人数为人，则男生人数为人， 根据题意，得， ， ， ， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生， 支援后，做盒身的人数为人，做盒底的人数为人， 盒身总数为个，盒底总数为个， 根据配套关系，得， ， ， ， ， ， ∴需要4名男生去支援女生． 【变式3-1】（25-26七年级上·重庆·期末）自上海迪士尼开园后，某玩具生产商生产米老鼠玩具套装，每个米老鼠玩具套装配一个米老鼠玩具和两个手套．如果某车间有21名工人，每人每天平均生产12只手套或8个米老鼠玩具． (1)应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ (2)如果每个米老鼠玩具套装多配一个备用手套（一个米老鼠玩具配3个手套），应如何分配工人？ 【答案】(1)应分配12名工人生产手套，9名工人生产玩具 (2)应分配14名工人生产手套，7名工人生产玩具 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设应分配名工人生产手套，根据车间有21名工人，每个米老鼠玩具套装配一个米老鼠玩具和两个手套，列出方程进行求解即可； （2）设应分配名工人生产手套，根据车间有21名工人，每个米老鼠玩具套装配一个米老鼠玩具和3个手套，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设应分配名工人生产手套，则分配名工人生产玩具，由题意，得： ， 解得； ； 答：应分配12名工人生产手套，9名工人生产玩具； （2）解：设应分配名工人生产手套，则分配名工人生产玩具，由题意，得： ， 解得； ； 答：应分配14名工人生产手套，7名工人生产玩具． 【变式3-2】（25-26七年级上·陕西安康·期末）劳动技术课上，老师组织七年级（1）班共50名学生设计制作便携式垃圾桶，通过废旧材料再利用，培养动手能力和环保意识．其中男生人数比女生人数多6人，每名学生一节课能做桶身12个或桶底26个． (1)七年级（1）班男生和女生各有多少人？ (2)已知每个桶身匹配2个桶底，那么安排多少名学生制作桶身，多少名学生制作桶底，才能使这节课制作的桶身和桶底刚好配套？ 【答案】(1) 男生28人，女生22人 (2) 安排26名学生制作桶身，24名学生制作桶底 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），先设女生有x人，男生有人，根据总人数为50列出方程，求出解； 对于（2），先设y名学生制作桶身，名学生制作桶底，根据桶底总数是桶身总数的2倍列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设女生有x人，男生有人，根据题意，得 ， 解得，则， 所以男生有28人，女生有22人； （2）解：设y名学生制作桶身，名学生制作桶底，根据题意，得 ， 解得，则， 所以安排26名学生制作桶身，24名学生制作桶底，才能使这节课制作的桶身和桶底刚好配套． 【变式3-3】（25-26七年级上·云南昭通·期末）八年级二班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手组装飞机模型，每名学生一节课能组装机身个或机翼个． (1)八年级二班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责组装机身，男生负责组装机翼，每个机身匹配个机翼，那么这一节课组装出的机身和机翼不能完全配套，最后决定让名男生去支援女生，使这一节课组装出的机身和机翼刚好配套，求派去支援女生的男生人数等于多少？ 【答案】(1)男生人，女生人 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． (1)设八年级二班有女生人，则有男生人，根据八年级二班共有学生人，列方程求解； (2)根据每个机身匹配个机翼，列方程求解． 【详解】（1）解：设八年级二班有女生人，则有男生人， 根据题意得：， 解方程得：， ， 答：八年级二班有男生人，女生人； （2）解：根据题意得：组装机翼的有人，组装机身的有人， 列方程得：， 解方程得：． 答：派去支援女生的男生人数为人． 类型四、利用一元一次方程解决古代问题 一元一次方程解决古代问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：源于古代典籍（如《九章算术》），多为鸡兔同笼、盈不足、工程、分配类，表述含古汉语，需转化为现代数学语言。 2.等量关系：抓住题目中不变的量（如总头数、总工程量、总钱数），以此建立相等关系。 二、解题技巧 1.译题：先将古汉语表述转化为现代汉语，明确已知量和未知量（如“上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗”译为具体数量关系）。 2.设元：设题目中关键未知量为x（如鸡的数量、每亩产量）。 3.列方程求解：根据等量关系列方程，求解后结合古代问题实际（如数量为正整数）验证合理性。 例4．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）明代时，1斤两，故有“半斤八两”，设．《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤（即八两）．求分银子的共有多少个客人？ 【答案】共有6个客人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 根据银子总量不变，列出方程求解即可． 【详解】解：设共有n个客人， 每人分七两，则多四两，则银子总量为， 每人分九两，则还差半斤（即八两），则银子总量为， 所以， 解得：． 【变式4-1】（上海市闵行区2025--2026学年六年级上学期数学期末考试卷）明代《算法统宗》中记录了这样一个问题，“炎炎古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为，山上有一座古寺，在这座寺庙里，每个和尚合吃一碗饭，每个和尚分一碗汤，一共用了只碗，那么寺院里有多少个和尚？饭碗和汤碗各多少只？请你解决这个问题． 【答案】 和尚人数为人，饭碗只，汤碗只． 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程并求解． 设和尚人数为，则饭碗数为，汤碗数为，总碗数为，列出方程求解，再计算碗的数量即可． 【详解】解：设和尚人数为，则饭碗数为，汤碗数为， 由题意得， 方程两边同乘，得， 即， 解得， 则饭碗数为（只）， 汤碗数为（只）， 答：和尚人数为人，饭碗只，汤碗只． 【变式4-2】（2025七年级上·全国·专题练习）在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 【答案】井深8尺，绳长36尺 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是此题的关键． 设井深尺，由两次测量绳长不变列出方程求解即可． 【详解】解：设井深尺， 根据题意列方程得， 解得， ． 答：井深8尺，绳长36尺． 【变式4-3】（25-26七年级上·全国·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 【答案】木长尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设木长尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余尺列出方程求解即可． 【详解】解：设木长尺，则绳子长为尺， 由题意得， 解得． 答：木长尺． 类型五、利用一元一次方程解决几何问题 一元一次方程解决几何问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：围绕几何图形的边长、周长、面积、体积等计算，或图形间数量关系（如线段和差、角的倍分）出题。 2.等量关系：依据几何公式（如矩形周长=2×(长+宽)）或题目给出的关系（如“角A比角B大30°”）建立等式。 二、解题技巧 1.设元：设未知的边长、角度等为x（优先设与所求直接相关的量）。 2.列方程：用含x的式子表示其他相关量，代入几何公式或题目关系列方程。 3.验证：求解后检查结果是否符合几何实际（如边长、角度为正数，三角形三边满足三边关系）。 例5．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如图1是一张长为20cm，宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图2），请回答下列问题： (1)折成的无盖长方体盒子的长为_____cm，宽为_____cm，容积为_______cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简） (2)当时，求此时铁皮盒的容积； (3)若折成的铁皮盒底面为长方形，其长与宽的比是2：1，求x的值． 【答案】(1)，， (2)此时铁皮盒的容积为 (3)x的值为2 【分析】本题主要考查列代数式、长方体的体积计算，根据题意列代数式是解题的关键． （1）根据裁剪。折叠可得无盖长方体盒子的长、宽、高，进而可以计算容积； （2）根据（1）中的容积结论，代入即可求解容积； （3）根据（1）中的长和宽的代数式，利用比例关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一张长为20cm，宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形， ∴无盖长方体盒子的长为cm，无盖长方体盒子的宽为cm， ∵四个角都剪去小正方形， ∴折叠后无盖长方体盒子的高为xcm, ∴容积为， 故答案为：，，； （2）解：由（1）得：容积为， 当时，容积为， ∴此时铁皮盒的容积为； （3）解：∵折成的铁皮盒底面为长方形，其长与宽的比是2：1， ∴，解得： ∴x的值为2． 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒． (1)小明总共剪开了_____条棱； (2)若展开的纸盒如图所示，根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种长方体纸盒的体积． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查长方体的展开图、一元一次方程的应用，熟练掌握长方体的表面展开图的特征，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据长方体的表面展开图的特征进行解答即可； （2）设长方体盒子的宽为，则长为，高为，根据题意列出方程，求出长、宽、高，由长方体的体积公式进行解答即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，展开图中还有5条棱未剪开， 则小明总共剪开了条棱， 故答案为：7； （2）解：设长方体盒子的宽为，则长为，高为， 由题意得： 解得， 即宽为、高为，则长为 则这种长方体纸盒的体积为． 【变式5-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图所示，在直角中，已知 ，点P从点A出发以的速度经过点B向点C运动，同时，点Q从点B出发以的速度向点C运动．设运动时间为． (1)请用含t的代数式表示下列线段的长度： 当点P在上运动时， ， ；当点P在上运动时， (2)若点P在上运动，t为何值时，能使？ (3)经过几秒，的面积为？ 【答案】(1)3t；； (2) (3) 【分析】本题考查简单的几何动点问题，列代数式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间，用时间t表示出、即可； （2）根据路程速度时间，用时间t表示出、，根据列方程。求解即可； （3）时间t表示出的面积，列方程计算即可． 【详解】（1）解：当点P在上运动时，，；当点P在上运动时，； （2）解：由题意，得， 解得：， 即t为2时，能使． （3）解：因为， 所以， 解得：， 即经过，的面积为． 【变式5-3】（25-26七年级上·山西太原·月考）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形． (1)每个盒子需____________个长方形，____________个等边三角形 (2)硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．现有相同规格的19张正方形硬纸板，其中的x张按方法一裁剪，剩余的按方法二裁剪．    ①裁剪出的侧面____________个，底面____________个（用含x的代数式表示）； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，求能做多少个盒子． 【答案】(1)3，2 (2)①，；②30 【分析】本题考查了常见的几何体，列代数式，整式加减的应用，以及一元一次方程的应用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键． （1）根据三棱柱盒子由3个长方形侧面和2个等边三角形底面即可求解； （2）①由x张用方法一，就有张用方法二，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； ②由侧面个数和底面个数比为建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论． 【详解】（1）解：由三棱柱盒子可得，需3个长方形，2个等边三角形， 故答案为：3，2； （2）解：①∵裁剪时x张用方法一， ∴裁剪时张用方法二． ∴侧面的个数为：个， 底面的个数为：个， 故答案为：，； ②由题意，得， 解得：， ∴盒子的个数为：． 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子． 类型六、利用一元一次方程解决工程问题 方法总结 1. 基本公式：通常将工作总量设为1，工作效率 = 1 / 工作时间。 2. 建立等式：根据合作、先后等完成方式，各部分工作量之和等于总工作量（通常为1），列出方程。 解题技巧 1. 巧设未知数：通常设“单独完成的时间”为未知数x，便于表示工作效率（1/x）。 2. 检查单位：确保方程中所有时间单位一致，避免因单位不统一导致列式错误。 例6．（25-26七年级上·河南·期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的2倍，若甲、乙两工程队一起挖掘300米长度的隧道时，共用时间5天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为800米，甲工程队每天的挖掘费用为8万元，乙工程队每天的挖掘费用为5万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好184万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道40米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据甲、乙两工程队一起挖掘300米长度的隧道时，共用时间5天．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据总费用刚好184万元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米， 根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道40米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天， 根据题意，得 解得： 答：甲工程队应先单独挖掘8天． 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想参与，已知甲工厂每天能加工这种校服件，而乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂多． (1)求乙工厂每天加工这种校服多少件． (2)若甲工厂单独加工这批校服比乙工厂单独加工多用天，求这批校服共有多少件． (3)在（）的条件下，甲、乙两厂按原生产速度先合作一段时间，然后甲工厂停工，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分．已知乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的倍少天，若在加工过程中，甲工厂每天需费用元，乙工厂每天需费用元，学校共支付甲、乙两工厂元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件． 【答案】(1)件 (2)件 (3)件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． ()已知乙的效率比甲多，即乙的效率=甲的效率，直接代入甲的效率件天计算即可 ()设这批校服共有件，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； ()首先设甲工厂全部工作时间是y天，则乙工厂的全部工作时间是天，根据题意，列方程并求解，即可确定甲工厂全部工作时间；再设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件，列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，(件)， 答：乙工厂每天加工这种校服件． （2）解：设这批校服共有件， 根据题意，可得， 解得， 答：这批校服共有件； （3）解：设甲工厂全部工作时间是天，则乙工厂的全部工作时间是天， 根据题意，可得， 解得， ∴甲工厂全部工作时间是天； 设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件， 根据题意，可得， 解得 答：乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服件． 【变式6-2】（25-26七年级上·浙江宁波·月考）甲乙两位诗人相约共填《蝶恋花》词集．甲才思舒缓，每日可填两阙；乙文思敏捷，每日可填三阙．若单独完成这部词集，甲比乙要多用20天． (1)求《蝶恋花》词集共有多少阙． (2)为早日成编，二人先合作数日，后甲因事搁笔，乙则灵感渐涌，将每日填词速度提高三分之一，独自完成余稿．已知乙参与填词的总天数恰好是甲参与总天数的2倍还多3天，求乙参与填词的总天数． 【答案】(1)120 (2)27 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设《蝶恋花》词集共有阙，根据单独完成这部词集，甲比乙要多用20天，列出方程进行求解即可； （2）设甲参与填词的总天数为天，根据甲乙合作完成的部分加上乙独自完成的部分之和等于总量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设《蝶恋花》词集共有阙，由题意，得： ， 解得； 答：《蝶恋花》词集共有120阙； （2）解：设甲参与填词的总天数为天，则乙参与填词的总天数为天，由题意，得： ， 解得， ∴； 答：乙参与填词的总天数为27天． 【变式6-3】（24-25七年级上·河北石家庄·月考）思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 【答案】(1) 思行中学一共有60间教室 (2) 甲工程队共粉刷16天 (3) 选择方案一是最省钱的粉刷方案 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则运算的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设乙工程队要刷天，根据题意房间数量列出方程，再解即可； （2）设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天，根据两队共粉刷间教室列出方程，再解即可； （3）分别计算出三种方案的费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设乙工程队要刷天，则思行中学一共有个教室， 由题意得：， 解得：， ， 答：思行中学一共有个教室； （2）解：设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队共粉刷天； （3）解：方案一：由甲工程队单独完成需（天）， 费用为（元）； 方案二：由乙工程队单独完成需要天， 费用为（元）； 方案三：按（2）方式完成， 费用为（元）， ， 方案一最合适， 答：选择方案一是最省钱的粉刷方案． 类型七、利用一元一次方程解决日历问题 方法总结 1. 找准关系：明确日历中左右相邻日期相差1，上下相邻相差7。 2. 规范设元：通常设最小的日期数为x，用含x的式子表示其他日期，根据总和或特定关系列方程。 解题技巧 1. 图示辅助：将所述日期画在简易日历表格中，直观定位数字间关系。 2. 合理检验：解出日期值后，需回代验证是否在同一个月且符合实际情况（如1-31日）。 例7．（新疆维吾尔自治区和田地区2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） (1)若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为______； (2)十字框内五个数的和的最小值是______； (3)十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2026？若能，求出这五个数中间的那个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)和不能等于2026，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及数字的变化规律，熟练掌握通过设未知数，根据数量关系列方程求解，以及分析数字排列规律是解题的关键． （1）根据数阵中数的排列规律，正中间的数与上下左右四个数的关系为：左右两个数比中间数少2和多2，上下两个数比中间数少12和多12，据此求出这五个数并求和； （2）要使十字框内五个数的和最小，则正中间的数要尽可能小，结合十字框的框取规则确定正中间最小的数，进而求出这五个数并求和； （3）设正中间的数为，根据上述数量关系表示出其余四个数，然后根据五个数的和等于2026列出方程，求解并根据实际情况判断解是否合理． 【详解】（1）解：∵正中间的一个数为， ∴左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这五个数的和为， 故答案为：； （2）解：∵十字框只能平移，且要框住个数， ∴正中间最小的数为， 此时左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这五个数的和的最小值为， 故答案为：； （3）解：和不能等于2026，理由如下： 设正中间的数为，则左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， 依题意得：， 合并同类项得：， 系数化为得：（不是整数）． ∴它们的和不能等于2026． 【变式7-1】（25-26七年级上·甘肃白银·月考）如图1是2025年11月份的月历，用形如X形框覆盖月历中的日期数，每次同时覆盖5个数． (1)图1中X形框覆盖的5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数；若不能，请说明理由； (2)图2是2025年12月份的月历，用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是多少？ 【答案】(1)能，这五个数中最小的数为 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，一元一次方程与日历问题，掌握日历中的规律是解题的关键． （1）设中间的数为，则其它个数为、、、，列方程即可求解； （2）设中间的数为，则其它个数为、、、，当时，即可求解． 【详解】（1）解：能； 设中间的数为，则其它个数为、、、，由题意得 ， 解得， ， 这五个数中最小的数为； （2）解：设中间的数为，则其它个数为、、、， 2025年12月份最大的一天是号， ， 解得， ； 故用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是． 【变式7-2】（25-26七年级上·广东汕尾·月考）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排列成如图所示的数表： (1)十字框中的五个数的和与中间的数23有什么关系？ (2)设中间的数为a、用含a的代数式表示十字框中五个数之和． (3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能等于2024吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数23的5倍； (2) (3)不管框住怎样的五个数，这五个数仍具有这种规律 (4)不能 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化，根据十字框中5个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的5倍是解题的关键． （1）将十字框中的五个数相加即可得出结论； （2）结合（1）将23替换成a，则可得出结论； （3）同理第（2）问的解题思路可求得该规律存在； （4）设中间的数为x，其他4个数分别为、、、，令其相加等于2024，算出x的值，结合数阵数的特点即可得出结论； 【详解】（1）解：， ∵， ∴十字框中的五个数的和是中间数23的5倍； （2）解：设中间数为a，则其他四个数字分别为， ∴这五个数的和为； （3）解：若将十字框中上下左右移动，同理第（2）问，仍然可设中间数为a， 则其余四个数分别为：、、、， 则十字框中五个数之和为； ∴5个数的和还有这种规律，5个数的和是中间数的5倍； （4）解：设中间的数为x，其他4个数分别为、、、， ∴5个数之和为， 令， 解得， ∵数表中的数都为奇数， ∴十字框中的五个数之和不能等于2024． 【变式7-3】（25-26七年级上·广东江门·期中）生活与数学 (1)吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是28，那么第一个数是________； (2)玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是42，则这四个数中最大的数是________； (3)若干个偶数按每行8个数排成下图： ①图中方框内的9个数的和与正中间的数的关系是______________________________________________； ②托马斯也画了一个斜框，通过计算得到斜框内9个数的和为450，你认为他计算的结果可能吗？说明你的理由． 【答案】(1)3 (2)14 (3)① 9倍；②不可能 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和数字变化的规律，关键找出规律、列方程是解答本题的关键． （1）先根据日历上的数据规律，设第一个数是x，其他的数为，然后列一元一次方程求解即可； （2）根据日历上的数据规律，设第一个数是a，其他的数为，然后列一元一次方程求解即可； （3）①通过计算可以得出结论；②根据①的规律，设中间的数是t，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一个数是x，其他的数为， 则，解得． 故答案为：3． （2）解：设第一个数是a，其他的数为， 则，解得， 则． 故答案为：14． （3）解：①， 故答案为：9个数的和是中间的数的9倍； ②不可能，理由如下： 根据①的规律，设中间的数是t， 则，解得0， ∵50是最左边第1列上的数， ∴不可能存在． 类型八、利用一元一次方程解决电费和水费问题 一元一次方程解决水电费用问题总结 一、核心知识点 1. 问题特征：多为阶梯收费（如用电量分档计价：0-200度0.5元/度，超200度0.6元/度），需根据用量判断所属档位，计算总费用。 2. 等量关系：总费用=各档位用量×对应单价之和，根据“总费用已知”或“两方案费用相等”建立等式。 二、解题技巧 1. 设元：设总用量为x（如用电量x度、用水量x吨），先判断x可能所属档位。 2. 列方程：若x在某档位内，直接用该档位单价列方程；若跨档位，分段表示费用后求和列方程。 3. 验证：求解后确认x是否符合所设档位，避免档位判断错误。 例8．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准(元/度) (1)若小明家月用电量为度，则他们家月的电费是___________元． (2)若小明家月缴的电费元，则该月小明家用电量是多少？ 【答案】(1) (2)度 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用． （1）根据10月用电量为230度，进行列式计算，即可作答． （2）电费元超过度时的电费元，故用电量在第三档，设月用电量为度，列方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意，(元) ∴10月的电费是120元； 故答案为：120． （2）解：设月用电量为度 当时，电费为(元) 用电量超过度 依题意得 答：月用电量为度． 【变式8-1】（25-26七年级上·云南昭通·期末）为鼓励居民节约用电，电力公司实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦时） 执行电价/[元/（千瓦时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 (1)若某户居民8月用电180千瓦时，求该户居民应缴纳电费多少元？ (2)某户居民11月、12月共用电460千瓦时，共缴电费为232元．已知该用户12月的用电量大于11月的用电量，且12月的用电量未超过400千瓦时．那么该用户11月、12月的用电量分别是多少千瓦时？ 【答案】(1)90元 (2)11月份用电量为200千瓦时，12月份用电量为260千瓦时 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费标准，列出算式进行计算即可； （2）设11月份用电量为千瓦时，则12月份用电量为千瓦时，分2种情况，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（元） 答：应缴电费90元． （2）解：设11月份用电量为千瓦时，则12月份用电量为千瓦时． 因为，所以11月份用电量应属于第一档； 12月份用电量为应该大于230千瓦时，需分情况讨论： ①：12月份用电量小于或等于240千瓦时，则12月份也属于第一档，总电费为： ，矛盾． 所以，12月份不属于第一档； ②12月份用电量大于240，且小于或等于400时，则12月份的电费为：， 故， 解得 ， 符合题意 答：11月份用电量为200千瓦时，12月份用电量为260千瓦时． 【变式8-2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）某地天然气收费方案如下表： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加、，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含800）的部分 4元 第三阶梯 以上的部分 5元 (1)某家庭当年用气量为．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为（甲户年用气量大于）．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？ 【答案】(1)1600，1500 (2)甲、乙两户年用气量分别是 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解阶梯收费的计算方法是解决本题的关键． （1）若该家庭人口为3人，需要缴纳费用为：超过400立方米的立方数；若该家庭人口为4人，需要缴纳费用为：； （2）设甲户年用气量为，则乙户年用气量为，根据甲户年用气量大于，那么乙户年用气量不足，进而根据甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，列出方程求解即可 【详解】（1）解：∵某家庭当年用气量为，该家庭人口为3人， ∴需缴纳燃气费用：（元）． ∵某家庭当年用气量为，该家庭人口为4人， ∴需缴纳燃气费用：（元）． 故答案为：1600，1500； （2）解：设甲户的年用气量为，则乙户的年用气量为． ∵甲户年用气量大于， 乙户年用气量不足， 当甲户年用气量大于小于等于时， 则， 解得：． ， 当甲户年用气量大于时， 则， 解得：与的假设矛盾，故此情况不成立． 答：甲、乙两户年用气量分别是． 【变式8-3】（25-26七年级上·浙江杭州·月考）为在节能减排的同时考虑惠民利民，某省居民阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的5~10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准．以下为非夏季标准的阶梯电价： 第一档：当用电量在200千瓦时（含）以下，电价为0.5元/千瓦时； 第二档：当用电量介于200（不含）~400（含）千瓦时之间，电价比第一档增加0.1元/千瓦时； 第三档：当用电量在400千瓦时以上，电价比第一档增加0.3元/千瓦时． 夏季标准下，第一档调整为260千瓦时（含）以下，第二档为260（不含）~600（含）千瓦时，第三档为600千瓦时以上，相应档位的电价与非夏季标准相同． 已知总电费=第一档用电量×第一档电价+第二档用电量×第二档电价+第三档用电量×第三档电价． 若某用户4月份用电量为600千瓦时，问： (1)执行阶梯电价后，该用户4月份电费比不执行阶梯电价（按第一档计价）多付多少元？ (2)缴纳相同的电费，该用户在6月份可多用电多少千瓦时？ (3)如果某用户10月和11月共用电1000千瓦时，且10月用电量多于11月用电量，两个月共缴纳电费560元，则两个月的用电量各为多少千瓦时？ 【答案】(1)80 (2)57.5 (3)10月用电量为570千瓦时，11月用电量为430千瓦时；或10月用电量为630千瓦时，11月用电量为370千瓦时 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，分段计费问题，解题关键是理解题意，正确列出表达式． （1）分别求出两种情况下的电费，相减即可求解； （2）先求出6月份的用电量，再减去600即可求解； （3）先设11月用电量为y千瓦时，10月份用电千瓦时，再根据y的范围进行分类讨论求出每个月的电费表达式，列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：执行阶梯电价后，该用户4月份电费为（元）， 未执行阶梯电价的电费为（元）， （元）， 答：执行阶梯电价后，该用户4月份电费比不执行阶梯电价（按第一档计价）多付80元． （2）解：（元），（元）， 由于电费为380元，故设该月用电量为x千瓦时， ， ， （千瓦时）， 答：缴纳相同的电费，该用户在6月份可多用电57.5千瓦时． （3）由于某用户10月和11月共用电1000千瓦时，且10月用电量多于11月用电量， ∴11月用电量低于500千瓦时， 设11月用电量为y千瓦时，则10月份用电千瓦时， 当时， 11月电费为（元）， 10月电费为（元）， ∵两个月共缴纳电费560元， ∴ ∴， ∴（千瓦时）， ∴10月用电量为570千瓦时，11月用电量为430千瓦时；． 当时， 11月电费为（元）， 10月电费为（元）， ∵两个月共缴纳电费560元， ∴ ∴， ∴（千瓦时）， 10月用电量为630千瓦时，11月用电量为370千瓦时； 当时， 11月电费为（元）， 10月电费为（元）， ∵两个月共缴纳电费560元， ∴ ∴（不合题意，舍去）， 综上可得：10月用电量为570千瓦时，11月用电量为430千瓦时；或10月用电量为630千瓦时，11月用电量为370千瓦时． 一、单选题 1．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）“甲桶油是乙桶的倍，甲桶倒去2千克后，两桶油的质量相等，乙桶油有多少千克？”为解决这个问题，可以“设乙桶油有x千克”，那么根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据原来甲、乙桶油质量间的关系，可得出甲桶油有千克，根据“甲桶倒去2千克后，两桶油的质量相等”，即可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：∵甲桶油是乙桶的倍，且乙桶油有x千克， ∴甲桶油有千克． 根据题意得：，即． 故选：C． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）《九章算术》是中国传统数学中最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有善行者一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人要走x步才能追上，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列方程． 设走路快的人要走x步才能追上，根据“走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步”可知走路快的人走x步后走路慢的人走步，根据“走路慢的人走的路程+先走100步=走路快的人走的路程”列方程即可． 【详解】解：设走路快的人要走x步才能追上， ∵走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步 ∴走路快的人走x步后走路慢的人走步， ∴， 故选：A 3．（24-25七年级上·北京·期末）如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出个数．对于任何一个月的月历，这个数的和不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意． 设框出的个数中中间一个数为，则同一行与同一列的其它两个数均可表示出来，则可求得其和，根据其和的特征及“十”字型框的特点即可求解． 【详解】解：设框出的个数中中间一个数为，则同一行的另外两个数从左到右分别为、，同一列的两个数从上到下分别为、， 这个数的和为：， 因此这个数的和是的倍数， 由于一个月最多天，则，即， 则， 即框里的个数的和最大为， 显然当时，个数的和为，选项不符合题意； 当时，个数的和为，选项不符合题意； 当时，个数的和为，选项不符合题意； 当时，则这个数分别为、、、、， 显然一个月没有天，这个数的和为，这是不可能的，选项符合题意． 故选：． 二、填空题 4．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）有三个连续的奇数之和是2025，这三个奇数中，最大的数是 ． 【答案】677 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设最大的数是x，则另外两数为，，根据和是2025列方程求解即可． 【详解】解：设最大的数是x，则另外两数为，， 则 解得： 故答案为：677． 5．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分追上丙．那么甲出发后需用 分钟才能追上乙． 【答案】500 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设甲出发后需用x分钟才能追上乙，丙的速度为v，则乙的速度为，甲的速度为，利用路程=速度×时间，结合甲追上乙时甲、乙的路程相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲出发后需用x分钟才能追上乙，丙的速度为v，则乙的速度为，甲的速度为， 根据题意得：， 即， 解得：， 因此甲出发后需用500分钟才能追上乙． 故答案为：500． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）将图①所示的6个形状、大小相同的小长方形放在大长方形中．若图①的小长方形的周长为，大长方形的周长为，则图②中阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于确定等量关系列出方程．设小长方形的长为，则宽为，根据大长方形的周长为，列出方程，解方程求出小长方形的长和宽再进一步求阴影部分的面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则宽为，根据题意得： ， 解得：， ， ∴阴影部分的面积为： 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级下·山东聊城·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 【答案】4人，20元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解题的关键．设有x人，则物品的价值可表示为或，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设有x人， 根据题意得，， 解得， 物价：（元）， 答：有4人共同买这件物品，这件物品的价格为20元． 8．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 【答案】(1)安排木材制作桌面，则安排制作桌腿 (2)每张餐桌的进价是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿，根据一个桌面配4个桌腿列出方程求解即可； （2）设每张餐桌的进价是y元，则每张餐桌的售价为元，再根据销售额等于售价乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿， 由题意得， 解得， ∴， 答：安排木材制作桌面，则安排制作桌腿； （2）解；设每张餐桌的进价是y元， 由题意得，， 解得， 答：每张餐桌的进价是500元． 9．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”和“妮妮”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，求m的值？ 【答案】(1)购进“滨滨”400个，购进“妮妮”600个 (2)100 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．需要准确梳理数量关系，将实际问题转化为数学方程求解，解题的关键是由数量关系建立等式． （1）设购进“滨滨”的个数为未知数，根据购进两种冰箱贴的总数以及总花费列出方程求解． （2）先分别计算出按标价销售和打折销售的收入，再根据利润的关系列出方程求解． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”x个， 因为购进“滨滨”和“妮妮”一共1000个， 所以购进“妮妮”个． 所以， 解得：， 则购进“妮妮”的个数为：（个）． 答：购进“滨滨”400个，购进“妮妮”600个． （2）解：当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个时， 这部分的收入为元． “滨滨”购进400个，卖出m个后，剩余个， 剩余的“滨滨”按八折出售，售价为元/个， 这部分收入为元． “妮妮”购进600个，卖出m个后，剩余个， 剩余的“妮妮”按八折出售，售价为元/个， 这部分收入为元． 所以， 解得：． 10．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，长方形中，已知，，且点E是边的中点，点F是以每秒2个单位的速度从点C出发沿射线方向运动的一个动点． (1)当，求四边形面积．． (2)求点F运动多长时间时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 【答案】(1) (2)点运动1.5秒或7.5秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意表示出各边长进而得出答案； （2）分别利用当在线段上时，以及当在射线上时，分别得出答案． 【详解】（1）解：，，且点是边的中点，， ，， 四边形面积为； （2）解：如图，当在线段上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一， 则， ， 解得：， 如图，当在射线上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一， 则 ， 解得：， 答：点运动1.5秒或7.5秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 11．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）2025年，乌兰察布市首次征战蒙超联赛便斩获季军佳绩，尽显黑马风采．某玩具生产商敏锐捕捉赛事热度，计划推出同款主题玩偶，并为每个玩偶配2只手套．如果该车间共有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个玩偶． (1)那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩偶，才能使当天生产的手套和玩偶刚好配套？ (2)如果生产一套玩偶成本为100元，商家将进价提高进行标价，若商家要获得的利润，应打几折出售？ 【答案】(1)9人生产手套，6人生产玩偶 (2)打8折 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到手套和玩偶的等量关系是解决本题的关键． （1）设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩偶，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）根据题意得到标价为，再结合利润即可得到折扣． 【详解】（1）解：设人生产手套，则人生产玩偶： ，即， 解得， ， 答：9人生产手套，6人生产玩偶． （2）解：成本100元，标价元，目标利润即售价120元： 折扣． 答：打8折． 12．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）孝义市“携程旅游百事通”旅行社将带领一批新青年进行研学旅行，本次研学旅行的最后一站是革命圣地——延安，请根据下表信息，回答下列问题． 选择最省钱的租车方案 背景 此次延安之旅共计1日，由旅行社联系大巴车接送大家往返于西安与延安． 信息1 大巴车载客量：49人，小客车载客量：29人，注：载客量均包含司机． 信息2 小客车每辆每天的租金比大客车便宜400元，租用2辆大客车和5辆小客车共需支付租金5700元；每辆车均有一名司机． 信息3 方案一：全部租用小客车（会有一辆车空出16个座位，其余均坐满）； 方案二：全部租用大客车（刚好坐满，且租车量比方案一少两辆）； 方案三：两种型号组合租用． 问题解决 任务1 求大客车和小客车每辆每天的租金． 任务2 求旅行社中参与此次延安1日游活动的游客人数． 任务3 分别计算出不同方案所需的租金，比较并选出最省钱的方案． 【答案】任务1：1100元，700元 任务2：96人 任务3：方案二最省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于任务1：设大客车和小客车每辆每天的租金，再根据总租金等于5700列出方程，求出解即可； 对于任务2：设租用了a辆小客车，则租用了辆大客车，根据总人数相等列出方程，求出解； 对于任务3：分别求出三种方案的租金，再比较即可. 【详解】解：任务1：设大客车每辆每天的租金为x元，小客车每辆每天的租金为元，根据题意，得 ， 解得， 则. 所以大客车和小客车每辆每天的租金是1100元，700元； 任务2：设租用了a辆小客车，则租用了辆大客车，根据题意，得 ， 解得， 则（人）. 所以旅行社中参加此次延安1日游活动的游客人数是96人； 任务3：方案一：（元）； 方案二：（元）； 方案三：需要1辆大客车和2辆小客车，即（元）， 可知， 所以选择方案二最省钱. 13．（24-25七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 【答案】(1)使用专车、快车出行各需支付费用元、元； (2)使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； (3)的值为或 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）分三种情况讨论：当时，不符合题意；当时，得到，求出；当时，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：使用专车出行需支付费用为（元） 使用快车出行需支付费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付费用元、元； （2）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； （3）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为元， 使用快车出行需支付的费用最少为元， 元， 不符合题意； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元） ， 解得； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， ， 解得， 综上所述，的值为或． 14．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）“告别百年隐患，守护城市安全”，按照中央、省市关于城市地下管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇地下管网更新改造工程．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间是天． (1)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (2)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【答案】(1)天 (2)甲队万元，乙队万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程在工程问题中的应用，熟练掌握工程问题中“工作量=工作效率×工作时间”的关系，准确根据工作量、费用的等量关系建立方程是解题的关键． （1）把工程总量设为单位“”，先计算甲单独做天的工作量，再用剩余工作量除以甲乙合作的工作效率，得到合作所需天数； （2）设乙工作总天数为未知数，根据“甲单独做的工作量乙单独做的工作量总工作量”列方程求工作天数，再设甲每天施工费为未知数，结合总费用列方程求解． 【详解】（1）解：设还需要天完成，则 ， ， ， ， 答：还需要9天才能完成． （2）解：设乙工作总天数为天，则甲工作天数为天． ， ， ， ， ， 甲工作天数：（天） 设甲每天施工费为万元，则乙每天施工费为万元． ， ， ， ， 乙每天施工费： 答：甲工程队每天施工费0.4万元，乙工程队每天施工费0.2万元． 15．（25-26七年级上·湖北襄阳·月考）如图1是2022年1月的月历 (1)带阴影的方框是相邻三行里同一列的三个数，不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试试，三个数之和能否为36？请运用方程的知识说明理由： (2)如图2，带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为，则： ①能否等于92，请说明理由． ②是否存在最大值，若存在，请求出．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)三个数之和能为36，见详解 (2)①不能等于92，见详解；②存在最大值，见详解 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用．解决本题的关键是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． （1）设三个数中中间的一个数为x,根据日历中同一列上下相邻的数相隔7表示另外两个数，根据三个数之和为36列出方程，进而求解即可； （2）①设“7”字型框中最小的数为y,根据日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7表示另外三个数，根据四个数之和为92列出方程，进而求解即可； ②根据2022年1月的月历表，可求出t的最大值． 【详解】（1）解：（1）三个数之和能为36，理由如下： 设三个数中中间的一个数为x, 根据题意得：， 解得： 则，． 答：三个数之和能为36，这三个数是5，12，19； （2）（2）①t不能等于92，理由如下： 设“7”字型框中最小的数为y， 根据题意得： 解得， 此时，不合题意舍去． 故t不能等于92； ②存在最大值，理由如下： 根据表格可知，t的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程应用的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 类型四、利用一元一次方程解决古代问题 类型五、利用一元一次方程解决几何问题 类型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 压轴专练 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 一元一次方程解决销售问题总结 一、核心知识点 1.关键公式：利润=售价-成本；利润率=（利润÷成本）×100%；售价=标价×折扣（如8折即×0.8）。 2.等量关系：围绕利润、售价、成本、利润率等量，根据题目条件确定相等关系（如“总利润相等”“售价相同”）。 二、解题技巧 1.设元：通常设成本或标价为未知数x（根据问题所求或便于列方程选择）。 2.列方程：将已知量代入公式，按等量关系列出含x的一元一次方程。 3.求解与检验：解出x后，代入公式验证是否符合实际销售场景（如售价、利润为正数）。 例1．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）某商家去水果批发大市场购进甲乙两种水果礼盒，其中甲种水果礼盒数量是乙种水果礼盒数量的一半还多10盒，甲种水果礼盒每盒进价100元，乙种水果礼盒每盒进价70元，商家购进甲乙两种水果礼盒共花费了7000元． (1)商家购进甲乙两种水果礼盒各多少盒？ (2)该商家将甲种水果礼盒每盒售价定为150元，乙种水果礼盒每盒售价定为100元，出售了甲种水果礼盒15盒和乙种水果礼盒20盒后，为了不影响水果的品质，商家决定将甲种水果礼盒打八折出售，请问乙种水果礼盒打几折出售才能使得总利润为1750元？ 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）2026年西安新春非遗文化节将在大唐不夜城举办，某文创商铺用3800元购进以“唐妞”和“秦宝”为原型的非遗文创玩偶共50个，其中一个“唐妞”玩偶进价70元，一个“秦宝”玩偶进价80元． (1)求购进“唐妞”和“秦宝”玩偶各多少个？ (2)在销售过程中，“唐妞”玩偶标价100元/个，“秦宝”玩偶标价120元/个，当两种玩偶各卖出个后，商铺开启新春促销，剩余玩偶均按标价的八折出售．若这批文创玩偶全部销售后利润刚好是1120元，求的值． 【变式1-2】（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）某超市10月用3000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品的件数的2倍少40件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元／件） 30 24 售价（元／件） 40 30 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将10月购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (3)若该超市11月以相同的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，并按照原价销售；甲商品的件数是10月的3倍，并打折销售；11月两种商品都销售完后获得的总利润比10月的总利润多480元，则11月甲商品是按原价打几折销售的？ 【变式1-3】（24-25七年级上·河北张家口·期末）为开展好校园足球活动，某学校计划购买一批足球运动装备、经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵20元，购买3套队服与4个足球的费用相等． (1)求每套队服和每个足球的价格分别是多少？ (2)甲商场优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过90套，则队服还按原价出售，但购买足球打八折．若计划一共购买100套队服和个足球． ①到甲商场购买费用为___________元，到乙商场购买费用为___________元；（用含的代数式表示，要求结果化成最简）； ②请你计算，当购买多少个足球时，在两家购买费用相同． 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 一元一次方程解决方案问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：需从两种及以上方案中选择最优（如省钱、高效），或找方案效果相等的临界点。 2.等量关系：关键是设未知数（如数量x），表示出不同方案的结果（如费用、工作量），再根据“结果相等”列方程。 二、解题技巧 1.设元：设影响方案结果的变量为x（如购买数量、使用时间）。 2.列方程：分别写出各方案的表达式，令其相等列方程，求解临界点x。 3.判断最优：根据x的实际取值范围，比较不同方案结果，确定最优解。 例2．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）年关将至，某商店就两种具有中国传统文化色彩的中国结和红灯笼开展促销活动，活动方案有如下两种（规定顾客每次只能选择其中一种方案）： 商品名称 中国结 红灯笼 标价（单位：元） 50 20 方案一 每件商品销售时的折扣 六折 九折 方案二 所购商品超过100件（不同商品可累计），所有商品按标价的八折出售 (1)甲单位为装扮节日气氛准备一次性购买中国结30个，红灯笼80个，选用哪种方案划算？ (2)乙单位一次性购买中国结和红灯笼共120个，选择两种方案所付金额相同．请你计算乙单位的购买方案． 【变式2-1】（2025七年级上·全国·专题练习）英才学校组织七、八年级老师到某地参加培训会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择．已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元． (1)学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天培训的内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【变式2-2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）2024年赛季收官战总决赛于11月24日圆满落幕，届时男女单打各16名球员和混双8对组合将展开精彩的乒乓球对决．某单位要观看比赛．设购买门票张数为x（张），现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位购买门票的价格为每张60元（总费用=广告赞助费+门票费）； 方案二：若购买的门票数不超过100张，每张100元，若所购门票超过100张，则超出部分按八折计算． 解答下列问题： (1)方案一中，用含x的代数式来表示总费用为_____，方案二中，当购买的门票数x不超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为_____．当所购门票数x超过100张时，用含x的代数式来表示总费用为_____； (2)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本次总决赛门票，合计700张，花去的总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【变式2-3】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某校为了丰富学生的课余生活，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折 (1)若学校购买乒乓球x盒（），则在甲店购买球拍和球的总费用为______元，在乙店购买球拍和球的总费用为______元（结果用含x的式子表示）； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)若学校打算购买10副乒乓球拍和30盒乒乓球，请你设计一种最省钱的购买方案． 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 一元一次方程解决配套问题总结 一、核心知识点 1. 问题特征：多个部件按固定比例搭配（如1个桌面配4条桌腿），需使各部件数量符合配套比例，避免浪费。 2. 等量关系：根据配套比例，将某一部件数量乘以比例系数，与另一部件数量相等（如桌腿数量=4×桌面数量）。 二、解题技巧 1. 设元：设生产其中一种部件的数量或人数为x（优先设与比例相关的量）。 2. 列方程：根据配套比例，用含x的式子表示另一部件数量，再按等量关系列方程。 3. 验证：求解后需检查结果是否为整数（部件数量为整数），确保符合实际生产情况。 例3．（25-26七年级上·山东青岛·月考）七年级一班共有学生50人，其男生人数比女生人数的2倍少16人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式3-1】（25-26七年级上·重庆·期末）自上海迪士尼开园后，某玩具生产商生产米老鼠玩具套装，每个米老鼠玩具套装配一个米老鼠玩具和两个手套．如果某车间有21名工人，每人每天平均生产12只手套或8个米老鼠玩具． (1)应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ (2)如果每个米老鼠玩具套装多配一个备用手套（一个米老鼠玩具配3个手套），应如何分配工人？ 【变式3-2】（25-26七年级上·陕西安康·期末）劳动技术课上，老师组织七年级（1）班共50名学生设计制作便携式垃圾桶，通过废旧材料再利用，培养动手能力和环保意识．其中男生人数比女生人数多6人，每名学生一节课能做桶身12个或桶底26个． (1)七年级（1）班男生和女生各有多少人？ (2)已知每个桶身匹配2个桶底，那么安排多少名学生制作桶身，多少名学生制作桶底，才能使这节课制作的桶身和桶底刚好配套？ 【变式3-3】（25-26七年级上·云南昭通·期末）八年级二班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手组装飞机模型，每名学生一节课能组装机身个或机翼个． (1)八年级二班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责组装机身，男生负责组装机翼，每个机身匹配个机翼，那么这一节课组装出的机身和机翼不能完全配套，最后决定让名男生去支援女生，使这一节课组装出的机身和机翼刚好配套，求派去支援女生的男生人数等于多少？ 类型四、利用一元一次方程解决古代问题 一元一次方程解决古代问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：源于古代典籍（如《九章算术》），多为鸡兔同笼、盈不足、工程、分配类，表述含古汉语，需转化为现代数学语言。 2.等量关系：抓住题目中不变的量（如总头数、总工程量、总钱数），以此建立相等关系。 二、解题技巧 1.译题：先将古汉语表述转化为现代汉语，明确已知量和未知量（如“上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗”译为具体数量关系）。 2.设元：设题目中关键未知量为x（如鸡的数量、每亩产量）。 3.列方程求解：根据等量关系列方程，求解后结合古代问题实际（如数量为正整数）验证合理性。 例4．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）明代时，1斤两，故有“半斤八两”，设．《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤（即八两）．求分银子的共有多少个客人？ 【变式4-1】（上海市闵行区2025--2026学年六年级上学期数学期末考试卷）明代《算法统宗》中记录了这样一个问题，“炎炎古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为，山上有一座古寺，在这座寺庙里，每个和尚合吃一碗饭，每个和尚分一碗汤，一共用了只碗，那么寺院里有多少个和尚？饭碗和汤碗各多少只？请你解决这个问题． 【变式4-2】（2025七年级上·全国·专题练习）在明代数学家程大位（1533—1606）所著的《算法统宗》中有这样一道题：“假如井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干?” 题意是：“用绳子测量井深，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺．井深和绳长各是多少?” 请列方程解决这个问题． 【变式4-3】（25-26七年级上·全国·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 类型五、利用一元一次方程解决几何问题 一元一次方程解决几何问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：围绕几何图形的边长、周长、面积、体积等计算，或图形间数量关系（如线段和差、角的倍分）出题。 2.等量关系：依据几何公式（如矩形周长=2×(长+宽)）或题目给出的关系（如“角A比角B大30°”）建立等式。 二、解题技巧 1.设元：设未知的边长、角度等为x（优先设与所求直接相关的量）。 2.列方程：用含x的式子表示其他相关量，代入几何公式或题目关系列方程。 3.验证：求解后检查结果是否符合几何实际（如边长、角度为正数，三角形三边满足三边关系）。 例5．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如图1是一张长为20cm，宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图2），请回答下列问题： (1)折成的无盖长方体盒子的长为_____cm，宽为_____cm，容积为_______cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简） (2)当时，求此时铁皮盒的容积； (3)若折成的铁皮盒底面为长方形，其长与宽的比是2：1，求x的值． 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒． (1)小明总共剪开了_____条棱； (2)若展开的纸盒如图所示，根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种长方体纸盒的体积． 【变式5-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图所示，在直角中，已知 ，点P从点A出发以的速度经过点B向点C运动，同时，点Q从点B出发以的速度向点C运动．设运动时间为． (1)请用含t的代数式表示下列线段的长度： 当点P在上运动时， ， ；当点P在上运动时， (2)若点P在上运动，t为何值时，能使？ (3)经过几秒，的面积为？ 【变式5-3】（25-26七年级上·山西太原·月考）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形． (1)每个盒子需____________个长方形，____________个等边三角形 (2)硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．现有相同规格的19张正方形硬纸板，其中的x张按方法一裁剪，剩余的按方法二裁剪．    ①裁剪出的侧面____________个，底面____________个（用含x的代数式表示）； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，求能做多少个盒子． 类型六、利用一元一次方程解决工程问题 方法总结 1. 基本公式：通常将工作总量设为1，工作效率 = 1 / 工作时间。 2. 建立等式：根据合作、先后等完成方式，各部分工作量之和等于总工作量（通常为1），列出方程。 解题技巧 1. 巧设未知数：通常设“单独完成的时间”为未知数x，便于表示工作效率（1/x）。 2. 检查单位：确保方程中所有时间单位一致，避免因单位不统一导致列式错误。 例6．（25-26七年级上·河南·期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的2倍，若甲、乙两工程队一起挖掘300米长度的隧道时，共用时间5天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为800米，甲工程队每天的挖掘费用为8万元，乙工程队每天的挖掘费用为5万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好184万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想参与，已知甲工厂每天能加工这种校服件，而乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂多． (1)求乙工厂每天加工这种校服多少件． (2)若甲工厂单独加工这批校服比乙工厂单独加工多用天，求这批校服共有多少件． (3)在（）的条件下，甲、乙两厂按原生产速度先合作一段时间，然后甲工厂停工，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分．已知乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的倍少天，若在加工过程中，甲工厂每天需费用元，乙工厂每天需费用元，学校共支付甲、乙两工厂元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件． 【变式6-2】（25-26七年级上·浙江宁波·月考）甲乙两位诗人相约共填《蝶恋花》词集．甲才思舒缓，每日可填两阙；乙文思敏捷，每日可填三阙．若单独完成这部词集，甲比乙要多用20天． (1)求《蝶恋花》词集共有多少阙． (2)为早日成编，二人先合作数日，后甲因事搁笔，乙则灵感渐涌，将每日填词速度提高三分之一，独自完成余稿．已知乙参与填词的总天数恰好是甲参与总天数的2倍还多3天，求乙参与填词的总天数． 【变式6-3】（24-25七年级上·河北石家庄·月考）思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 类型七、利用一元一次方程解决日历问题 方法总结 1. 找准关系：明确日历中左右相邻日期相差1，上下相邻相差7。 2. 规范设元：通常设最小的日期数为x，用含x的式子表示其他日期，根据总和或特定关系列方程。 解题技巧 1. 图示辅助：将所述日期画在简易日历表格中，直观定位数字间关系。 2. 合理检验：解出日期值后，需回代验证是否在同一个月且符合实际情况（如1-31日）。 例7．（新疆维吾尔自治区和田地区2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） (1)若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为______； (2)十字框内五个数的和的最小值是______； (3)十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2026？若能，求出这五个数中间的那个数；若不能，请说明理由． 【变式7-1】（25-26七年级上·甘肃白银·月考）如图1是2025年11月份的月历，用形如X形框覆盖月历中的日期数，每次同时覆盖5个数． (1)图1中X形框覆盖的5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数；若不能，请说明理由； (2)图2是2025年12月份的月历，用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是多少？ 【变式7-2】（25-26七年级上·广东汕尾·月考）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排列成如图所示的数表： (1)十字框中的五个数的和与中间的数23有什么关系？ (2)设中间的数为a、用含a的代数式表示十字框中五个数之和． (3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能等于2024吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【变式7-3】（25-26七年级上·广东江门·期中）生活与数学 (1)吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是28，那么第一个数是________； (2)玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是42，则这四个数中最大的数是________； (3)若干个偶数按每行8个数排成下图： ①图中方框内的9个数的和与正中间的数的关系是______________________________________________； ②托马斯也画了一个斜框，通过计算得到斜框内9个数的和为450，你认为他计算的结果可能吗？说明你的理由． 类型八、利用一元一次方程解决电费和水费问题 一元一次方程解决水电费用问题总结 一、核心知识点 1. 问题特征：多为阶梯收费（如用电量分档计价：0-200度0.5元/度，超200度0.6元/度），需根据用量判断所属档位，计算总费用。 2. 等量关系：总费用=各档位用量×对应单价之和，根据“总费用已知”或“两方案费用相等”建立等式。 二、解题技巧 1. 设元：设总用量为x（如用电量x度、用水量x吨），先判断x可能所属档位。 2. 列方程：若x在某档位内，直接用该档位单价列方程；若跨档位，分段表示费用后求和列方程。 3. 验证：求解后确认x是否符合所设档位，避免档位判断错误。 例8．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准(元/度) (1)若小明家月用电量为度，则他们家月的电费是___________元． (2)若小明家月缴的电费元，则该月小明家用电量是多少？ 【变式8-1】（25-26七年级上·云南昭通·期末）为鼓励居民节约用电，电力公司实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦时） 执行电价/[元/（千瓦时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 (1)若某户居民8月用电180千瓦时，求该户居民应缴纳电费多少元？ (2)某户居民11月、12月共用电460千瓦时，共缴电费为232元．已知该用户12月的用电量大于11月的用电量，且12月的用电量未超过400千瓦时．那么该用户11月、12月的用电量分别是多少千瓦时？ 【变式8-2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）某地天然气收费方案如下表： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加、，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含800）的部分 4元 第三阶梯 以上的部分 5元 (1)某家庭当年用气量为．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为（甲户年用气量大于）．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？ 【变式8-3】（25-26七年级上·浙江杭州·月考）为在节能减排的同时考虑惠民利民，某省居民阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的5~10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准．以下为非夏季标准的阶梯电价： 第一档：当用电量在200千瓦时（含）以下，电价为0.5元/千瓦时； 第二档：当用电量介于200（不含）~400（含）千瓦时之间，电价比第一档增加0.1元/千瓦时； 第三档：当用电量在400千瓦时以上，电价比第一档增加0.3元/千瓦时． 夏季标准下，第一档调整为260千瓦时（含）以下，第二档为260（不含）~600（含）千瓦时，第三档为600千瓦时以上，相应档位的电价与非夏季标准相同． 已知总电费=第一档用电量×第一档电价+第二档用电量×第二档电价+第三档用电量×第三档电价． 若某用户4月份用电量为600千瓦时，问： (1)执行阶梯电价后，该用户4月份电费比不执行阶梯电价（按第一档计价）多付多少元？ (2)缴纳相同的电费，该用户在6月份可多用电多少千瓦时？ (3)如果某用户10月和11月共用电1000千瓦时，且10月用电量多于11月用电量，两个月共缴纳电费560元，则两个月的用电量各为多少千瓦时？ 一、单选题 1．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）“甲桶油是乙桶的倍，甲桶倒去2千克后，两桶油的质量相等，乙桶油有多少千克？”为解决这个问题，可以“设乙桶油有x千克”，那么根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）《九章算术》是中国传统数学中最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有善行者一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人要走x步才能追上，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·北京·期末）如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出个数．对于任何一个月的月历，这个数的和不可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）有三个连续的奇数之和是2025，这三个奇数中，最大的数是 ． 5．（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分追上丙．那么甲出发后需用 分钟才能追上乙． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）将图①所示的6个形状、大小相同的小长方形放在大长方形中．若图①的小长方形的周长为，大长方形的周长为，则图②中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 7．（24-25七年级下·山东聊城·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 8．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 9．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”和“妮妮”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，求m的值？ 10．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，长方形中，已知，，且点E是边的中点，点F是以每秒2个单位的速度从点C出发沿射线方向运动的一个动点． (1)当，求四边形面积．． (2)求点F运动多长时间时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 11．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）2025年，乌兰察布市首次征战蒙超联赛便斩获季军佳绩，尽显黑马风采．某玩具生产商敏锐捕捉赛事热度，计划推出同款主题玩偶，并为每个玩偶配2只手套．如果该车间共有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个玩偶． (1)那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩偶，才能使当天生产的手套和玩偶刚好配套？ (2)如果生产一套玩偶成本为100元，商家将进价提高进行标价，若商家要获得的利润，应打几折出售？ 12．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）孝义市“携程旅游百事通”旅行社将带领一批新青年进行研学旅行，本次研学旅行的最后一站是革命圣地——延安，请根据下表信息，回答下列问题． 选择最省钱的租车方案 背景 此次延安之旅共计1日，由旅行社联系大巴车接送大家往返于西安与延安． 信息1 大巴车载客量：49人，小客车载客量：29人，注：载客量均包含司机． 信息2 小客车每辆每天的租金比大客车便宜400元，租用2辆大客车和5辆小客车共需支付租金5700元；每辆车均有一名司机． 信息3 方案一：全部租用小客车（会有一辆车空出16个座位，其余均坐满）； 方案二：全部租用大客车（刚好坐满，且租车量比方案一少两辆）； 方案三：两种型号组合租用． 问题解决 任务1 求大客车和小客车每辆每天的租金． 任务2 求旅行社中参与此次延安1日游活动的游客人数． 任务3 分别计算出不同方案所需的租金，比较并选出最省钱的方案． 13．（24-25七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 14．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）“告别百年隐患，守护城市安全”，按照中央、省市关于城市地下管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇地下管网更新改造工程．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间是天． (1)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (2)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 15．（25-26七年级上·湖北襄阳·月考）如图1是2022年1月的月历 (1)带阴影的方框是相邻三行里同一列的三个数，不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试试，三个数之和能否为36？请运用方程的知识说明理由： (2)如图2，带阴影的框是“7”字型框，设框中的四个数之和为，则： ①能否等于92，请说明理由． ②是否存在最大值，若存在，请求出．若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $