专题01 一元一次方程的解法的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元一次方程的解法的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、等式的基本性质 类型二、求解含括号的一元一次方程 类型三、求解含分母的一元一次方程 类型四、解一元一次方程错解复原问题 类型五、换元法求解一元一次方程 压轴专练 物 典例详解 类型一、等式的基本性质 等式基本性质与解题技巧 一、核心知识点 1.性质1：等式两边同时加（或减）同一个数/整式，等式仍成立。 2.性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数)，等式仍成立（若a=b,则ac=bc;若a=b 且c≠0，则是=名)。 二、解题技巧 1.移项：把某项从等式一边移到另一边，需变号（依据性质1，如x+3=5移项得x=5-3)。 2.去分母：等式两边同乘各分母最小公倍数（依据性质2，注意不含分母的项也要乘）。 3.检验：解出结果后代入原等式，验证左右两边是否相等。 例1.(25-26七年级上·云南曲靖期末)下列运用等式的性质，变形不正确的是() A,若m=n,则m+2=n+2 B.若a=b,则ac=bc C若g-b,则a=b D.若x=y,则=上 cC aa 【变式1-1】(25-26七年级上·天津和平.期末)下列由等式的性质进行的变形，不正确的是() A.如果ax+b=ay+b,那么x=y B.如果=，那么x=y C.如果x=y,那么x+a=y+a D.如果x=y,那么ar=ay 【变式1-2】(25-26七年级上安徽淮北期末)下列等式变形中，不正确的是() A.若m=n,则m-1=n-1 B.若m=n,则2m=2n 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 D.若mc2=nc2,则m=n 【变式1-3】(25-26七年级上·山东青岛周测)下列说法错误的是() A.若=上，则x=y B.若x2=y2,则-4ax2=-4ay2 aa C.若a=b,则2a-3=2b-3 D.若ac=bc,则a=b 类型二、求解含括号的一元一次方程 含括号的一元一次方程求解 一、核心知识点 解含括号的一元一次方程，核心是通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将方程转化为x=a(a 为常数)的形式，过程需遵循等式基本性质。 二、解题技巧 1.去括号：用分配律展开，括号前是“-”时，括号内各项要变号（如2-(x+3)=0去括号得2x-3=0)。 2.移项变号：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号（如上式移项得x=3-2)。 3.检验：解出x后代入原方程，验证左右两边是否相等，避免计算错误。 例2.(25-26七年级上甘肃平凉期末)解方程：5-3(x-1)=5x 【变式2-1】(25-26七年级上·北京石景山期末)解方程：3(x-2)=1-2(2x-1) 【变式2-2】(25-26七年级上陕西成阳月考)解方程：5x-2到=2x-引 【变式2-3】(2026九年级全国专题练习)解方程：3(x-2)+1=x-1. 类型三、求解含分母的一元一次方程 含分母的一元一次方程求解 一、核心知识点 求解关键是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将方程化为x=a(a为常数)的形式， 每一步均需遵循等式基本性质，尤其去分母时，等式两边要同乘所有分母的最小公倍数，避免漏乘常数 项。 二、解题技巧 1.去分母：先找各分母最小公倍数（如分母2和3，最小公倍数为6），两边同乘该数，消去分母（如+ 1-等，两边乘6得3x+6=2x)。 2.后续步骤：按去括号、移项（移项变号）、合并同类项、系数化为1的顺序计算，最后代入原方程检验， 确保结果正确。 例3.（25-26七年级上江苏无锡·月考)解下列一元一次方程： 1 (四)5x-2=4x+1: 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23-2x+1-1. 2 3 【变式3-1】(25-26七年级上·天津和平期末)解方程： y-y-1=2-y+2 2 : 20.102_x+1=3 0.020.5 【变式3-2】(25-26七年级上浙江杭州期末)解方程： 0号12 4 ②07-0.17-02 0.03 【变式3-3】(25-26七年级上陕西西安月考)解方程： 022x-=45x+1 6 22x+17x-10-1 3 6 类型四、解一元一次方程错解复原问题 元一次方程错解复原问题 一、核心知识点 错解复原需基于等式基本性质和一元一次方程求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 为1)，通过分析错误步骤，反向推导或正向修正，找出正确解，关键是定位错误类型（漏乘、符号错、 移项不变号等)。 二、解题技巧 1.定位错误：对比错解步骤与正确流程，找出错误点（如去分母漏乘常数项、去括号符号错误）。 2.正向修正：保留正确步骤，修正错误部分，按正常流程重算（如错解去分母漏乘，补乘后重新计算）。 3.反向验证：若己知错解结果，可代入错解步骤，反求原方程中的参数（如未知常数），再求正确解，最 后检验。 例4.（25-26七年级上·贵州安顺期末)在学习了《解一元一次方程》后，小罗同学解了这样一个方程： 5x-1=2(4x+2),发现得到的解与其他同学的不一样，下面是小罗同学的解题过程： 解：去括号，得5x-1=8x+2.…第一步 移项，得5x-8x=2+1.…第二步 合并同类项，得-3x=3.第三步 系数化为1，得x=-1..第四步 (①)小罗同学在第步计算时出现了错误； 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)请你写出正确的解题过程 【变式4-1】(25-26七年级上云南昭通期末)解下列方程： 下面是某同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题： 3x+1-2=3x-2_2x+3 2 105 解：去分母5(3x+1-10×2=(3x-2)-2(2x+3)...第一步 去括号：15x+5-20=3x-2-4x+6..第二步 移项：15x-3x+4x=-2+6-5+20..第三步 合并同类项：16x=19..第四步 系数化为1：x=6: 第五步 ()在上述解题过程中，第一步变形的依据是 (②)请诊断这位同学的解答过程中，第步开始出现错误，这一步错误的原因是； (3)直接写出该方程正确的解； (4)根据你平时的学习经验，就解一元一次方程时需要的注意事项给这位同学提一条建议以确保未来计算的 准确性。 【变式42】25.26七年级上江苏泰州月考)下面是小明同学解方程+3_5-3-1的过程，请认真阅读， 26 并完成相应的任务。 解：去分母，得3x+3-(5x-3)=1. (第一步) 去括号，得3x+9-5x+3=1. (第二步) 移项，得3x-5x=-9-3+1. (第三步) 合并同类项，得-2x=-11. (第四步) 方程两边都除以-2，得x= 2 (第五步) 任务： (1)从第 步开始出现了错误，产生错误的原因是 (2)第三步变形的依据是 (3)求方程的解（写出完整解答过程）， 【变式43】25-26七年级上吉林松原期末)下面是小颗解方程2=+2-1的过程： 3 4 4/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解： ,得42x-1=3x+2)-12...(第一步) 去括号，得8x-4=3x+6-12..(第二步) 移项，得8x-3x=6-12-4.…(第三步) 合并同类项，得5x=-10..…（第四步) 系数化为1，得x=-2.…（第五步) 请认真阅读上面的过程，解答下列问题： ()以上求解步骤中，第一步进行的是 ，这一步的依据是 (2)以上求解步骤中，从第 步开始出现错误； (3)请写出正确的解方程过程. 类型五、换元法求解一元一次方程 换元法解一元一次方程 一、 核心知识点 换元法是将方程中重复出现的复杂整式（如多项式、分式）设为新未知数（如），把原方程转化为关于 新未知数的简单一元一次方程，求解后再代回新未知数，求出原方程的解，核心是简化方程结构，本质 仍遵循等式基本性质。 二、解题技巧 1.设元：观察方程，设重复出现的复杂部分为t(如方程2(3x-1)-5=3(3x-1),设t=3x-1)。 2.求解新方程：将原方程转化为2t-5=3t,解出t=-5。 3.回代求原解：把t=-5代入t=3x-1,得3x-1=-5,解得x=号，最后检验。 例5.(2425七年级上街江绍兴期末)己知关于x的一元一次方程2025a=2025x的解是x=5,关于y的 32025a=2025y+4050的解是 一元一次方程少+2 【变式5-1】(25-26七年级上浙江宁波期末)己知关于x的一元一次方程2026x=x-m+2的解为x=-3, 那么关于y的一元一次方程2025y+1+m=2的解为， 【变式5-2】(25-26七年级上北京海淀期末)已知关于x的一元一次方程2025x+m=2024x-n的解为 =2,那么关于)的元次方程025y-2到-m=2024y-4048+n的解为y=一 【变式5-3】(25-26七年级上全国课后作业)在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个 字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法.换元法的关键是设元.例如，在解方程 32x-1-3(2x-1)+3}=5时，把2x-1看作一个整体.设a=2x-1,原方程可转化为3a-(3a+3)=5, 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7 7 、2 解得a=3所以2x-1=-3,解得x 3 阅读以上材料，请用同样的方法解方程 42ax+2到-[2+4+5}-1 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级上广西南宁阶段练习)下列各数中是方程2x+1=x+3的解的是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25七年级下四川眉山·期中)下列运用等式的性质变形错误的是（) 4.若9-，则a=b B.若a2=2a,则a=2 C.若x=y,则，x=y D.若x=y,则xC=yC a2+1a2+1 3.(24-25七年级上·湖南长沙阶段练习)下列解方程的步骤正确的是() A.方程2x-1)=-1去括号，得2x-1=-1 B.方程1-x=x+1移项，得-x-x=1-1 C方程登x-)=去分好，得3x-:-川=2 D.方程-4x=2,两边都除以-4，得x=-2 4.（2526七年级上黑龙江哈尔滨开学考试)将方程士=1+120.3x中分母化为整数，正确的是（) 0.3 0.2 4.10r=10+12-3x 3 B.=10+12-0.3x 2 0.2 c.10x=1+12-3x 3 2 0言-1,2- 2 5.(2425七年级上山东枣庄阶段练习)小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不 清造，板污染的方程是：2片宁一〔 怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解 是)=子于无很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(24-25七年级上江苏扬州阶段练习)三个互不相等的有理数a,b,c,我们规定符号max{a,b,c表示a 6/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,b,c三个数中较大的数，例如max{2,3,4=4.按照这个规定，则方程max{x,-x,0=3x-2的解为() 1 A.x=1 B.X=2 1 2 C.1或x= D.x=1或x=2或x=了 3 二、填空题 7.(25-26七年级下山东济宁阶段练习)由3x-2y=5,用含x的代数式表示y,得y= 8.(24-25七年级下.四川巴中阶段练习)若x=-2是关于x的方程4x-2a=3的解，则a= 9.(2425七年级上河南商丘期末)小明在解方程-2+1- +二=x+a时，误将x+a看成了x-a,解得方程的 23 解是x=4,则原方程的解为一 10.(2425七年级上河北保定期末)若关于的一元一次方程2024+a=2x+b的解为r=-3,那么关于 的一元一次方程2024y+D+a2少+2+b的解为 11.(24-25七年级上贵州黔东南阶段练习)定义：若a+b=n,则称a与b是关于的“平衡数”.比如：3 与-4是关于-1的"平衡数”，5与12是关于17的"平衡数"”.现有a=4x2-x+10与b=-2(2x2-2x+k)(k为 常数)始终关于常数的“平衡数”，则它们是关于的"平衡数” 12.(2425七年级下安微准南阶段练习)使等式x+2-1-2成立的x的值为-1或-2：使等式 +43成立的x的值为3或；使等式x+34+成立的x的值为4或根据上述材，则 4 376 (1)使等式x+二=。+二成立的x的值为_： x27 (②俊等式+7=5成立的x的值为 x-1 5 三、解答题 13.（24-25七年级上·全国期末)解方程： (1)4x-1=2x+5; o号2号-4 14.(24-25七年级上陕西安康阶段练习)解下列方程. 0-30-x=5: 64 器”。2 15.(24-25七年级上·全国·期末)解下列方程： 7/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)3(x+1-2x=7: ②3x-1=4x+2入' 5 16.(24-25七年级上江苏徐州期末)解方程： (1)2(x-1-34-2x=2 号。1 17.(24-25七年级上全国期末)解方程： (1)8-3(3x-2）=6 23x-1-1-5r-7 4 6 18.(24-25七年级上全国随堂练习)小明在做数学作业附，解方程2-1_2，x=1的步骤如下： 23 ①去分母，得3(2x-1)-2(2-x)=1, ②去括号，得6x-3-4+2x=1, ③移项，得6x+2x=1+3+4, ④合并同类项，得8x=8, ⑤系数化为1，得x=1. ()小明解方程的步骤从第 步（填序号）开始出现了错误，错误的原因是 (②)请你写出这道题正确的解答过程 19.(24-25七年级上甘肃兰州期末)已知(m-2)x2+12=0是关于x的一元一次方程. (1)求m的值： (2)若方程(m-2)x-2+12=0的解与关于x的一元一次方程n(2x+1刂=x+5的解互为相反数，求n的值. [3a-2b(a2b) 20.(2025七年级上江苏南通·竞赛)对于有理数a、b定义一种新运算a©b= a 2ba<' 如 3 503=3x5-2×3=9,1O3=1-2x3=-1:请按照这个定义完成下列计算： )若xo=-3,求x的值： @若A=-2+2x2-x+1,B=-2r+x-中)’且A08=-4,求3r+x+2的值 3 3 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若x和k均为正整数，且满足 k 2+k。3+1三子x+12,直接写出k的值。 3 9/9 专题01 一元一次方程的解法的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、等式的基本性质 类型二、求解含括号的一元一次方程 类型三、求解含分母的一元一次方程 类型四、解一元一次方程错解复原问题 类型五、换元法求解一元一次方程 压轴专练 类型一、等式的基本性质 等式基本性质与解题技巧 一、核心知识点 1.性质1：等式两边同时加（或减）同一个数/整式，等式仍成立。 2.性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立（若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则 = ）。 二、解题技巧 1.移项：把某项从等式一边移到另一边，需变号（依据性质1，如x+3=5移项得x=5-3）。 2.去分母：等式两边同乘各分母最小公倍数（依据性质2，注意不含分母的项也要乘）。 3.检验：解出结果后代入原等式，验证左右两边是否相等。 例1．（25-26七年级上·云南曲靖·期末）下列运用等式的性质，变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质是关键．根据等式的性质解答即可：等式两边同时乘以同一个数或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：A：等式两边同时加上2得，故A不符合题意； B：两边同时乘以得，故B不符合题意； C：两边同时乘以得，故C不符合题意； D：当时，由得，故D符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（25-26七年级上·天津和平·期末）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】根据等式的性质判断各选项是否正确即可；本题考查等式的性质，根据等式两边同时加减或乘除（除数不为零）同一个数，等式仍然成立，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：选项A：∵， ∴等式两边同时减得， 当时，恒成立，但与不一定相等， ∴变形不正确，符合题意； 选项B：∵， ∴等式两边同时乘得， ∴变形正确，不符合题意； 选项C：∵， ∴等式两边同时加得， ∴变形正确，不符合题意； 选项D：∵， ∴等式两边同时乘得， ∴变形正确，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（25-26七年级上·安徽淮北·期末）下列等式变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查了等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．运用等式的性质进行逐一辨别、求解． 【详解】解：， 根据等式的性质1，两边都减去1可得， 选项A不符合题意； ， 根据等式的性质2，两边都乘以2可得， 选项B不符合题意； ， 根据等式的性质2，两边都乘以可得， 选项C不符合题意； ， 只有当时，根据等式的性质2，两边都除以可得， 选项D符合题意， 故选：D． 【变式1-3】（25-26七年级上·山东青岛·周测）下列说法错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，需注意在乘除运算中除数不能为零．根据等式性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍得等式．结合各选项进行判断即可． 【详解】解：∵对于A，若且，则，正确； ∵对于B，若，则两边同乘得，正确； ∵对于C，若，则两边同乘2再减3得，正确； ∵对于D，若，当时，与不一定相等，错误． 故选：D． 类型二、求解含括号的一元一次方程 含括号的一元一次方程求解 一、核心知识点 解含括号的一元一次方程，核心是通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将方程转化为x=a（a为常数）的形式，过程需遵循等式基本性质。 二、解题技巧 1.去括号：用分配律展开，括号前是“-”时，括号内各项要变号（如2-(x+3)=0去括号得2-x-3=0）。 2.移项变号：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号（如上式移项得-x=3-2）。 3.检验：解出x后代入原方程，验证左右两边是否相等，避免计算错误。 例2．（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，按此步骤求解即可． 【详解】 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式2-1】（25-26七年级上·北京石景山·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【变式2-2】（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．熟悉去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为等一元一次方程的解法，是解题的关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的计算顺序依次计算即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：． 故答案为：． 【变式2-3】（2026九年级·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．根据去括号，移项合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】解：去括号得， 移项合并得， 解得． 类型三、求解含分母的一元一次方程 含分母的一元一次方程求解 一、核心知识点 求解关键是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，将方程化为x=a（a为常数）的形式，每一步均需遵循等式基本性质，尤其去分母时，等式两边要同乘所有分母的最小公倍数，避免漏乘常数项。 二、解题技巧 1. 去分母：先找各分母最小公倍数（如分母2和3，最小公倍数为6），两边同乘该数，消去分母（如+1=，两边乘6得3x + 6 = 2x）。 2. 后续步骤：按去括号、移项（移项变号）、合并同类项、系数化为1的顺序计算，最后代入原方程检验，确保结果正确。 例3．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握移项、去分母、合并同类项、系数化为1的方法是关键． （1）移项，合并同类项，即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得，， 合并同类项得，； （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式3-1】（25-26七年级上·天津和平·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，正确去分母、去括号、移项、合并同类项是解题的关键． （1）先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先将方程整理为，再去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 整理为， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式3-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含分母的一元一次方程的解法，熟知解方程的过程是解题的关键．对于方程（1），通过去分母消除分数，然后去括号、移项、合并同类项求解；对于方程（2），先把小数转化为整数，再通过去分母，然后去括号、移项、合并同类项求解． 【详解】（1）解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得， 合并同类项，得 ； （2）解：整理，得 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 解得 ． 【变式3-3】（25-26七年级上·陕西西安·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键． （1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为 1 得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 类型四、解一元一次方程错解复原问题 一元一次方程错解复原问题 一、核心知识点 错解复原需基于等式基本性质和一元一次方程求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），通过分析错误步骤，反向推导或正向修正，找出正确解，关键是定位错误类型（漏乘、符号错、移项不变号等）。 二、解题技巧 1.定位错误：对比错解步骤与正确流程，找出错误点（如去分母漏乘常数项、去括号符号错误）。 2.正向修正：保留正确步骤，修正错误部分，按正常流程重算（如错解去分母漏乘，补乘后重新计算）。 3.反向验证：若已知错解结果，可代入错解步骤，反求原方程中的参数（如未知常数），再求正确解，最后检验。 例4．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）在学习了《解一元一次方程》后，小罗同学解了这样一个方程：，发现得到的解与其他同学的不一样，下面是小罗同学的解题过程： 解：去括号，得．……第一步 移项，得．……第二步 合并同类项，得．……第三步 系数化为1，得．……第四步 (1)小罗同学在第_____步计算时出现了错误； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)正确解题过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程的基本步骤，包括去括号、移项、合并同类项、系数化为1，关键是掌握去括号法则，避免漏乘括号内的项． （1）考查对去括号法则的应用，需检查每一步运算是否符合法则； （2）考查完整解一元一次方程的过程，需严格遵循解方程的步骤进行运算． 【详解】（1）解：观察小罗同学的解题过程，第一步去括号时，根据乘法分配律，应展开为，应展开为，而小罗错误写成，故第一步计算出现错误； 故答案为：一； （2）解：正确解题过程如下： 去括号，得； 移项，得； 合并同类项，得； 系数化为1，得． 【变式4-1】（25-26七年级上·云南昭通·期末）解下列方程： 下面是某同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题： 解：去分母……第一步 去括号：……第二步 移项：……第三步 合并同类项：……第四步 系数化为1：……第五步 (1)在上述解题过程中，第一步变形的依据是_____； (2)请诊断这位同学的解答过程中，第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (3)直接写出该方程正确的解_____； (4)根据你平时的学习经验，就解一元一次方程时需要的注意事项给这位同学提一条建议以确保未来计算的准确性． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)二；去括号时未变号 (3) (4)去括号时要注意符号是否需要改变，去分母时不能漏乘无分母项 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握等式的性质，解一元一次方程的步骤，是解题的关键． （1）根据等式的性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，作答即可； （2）第二步，等式的右边在去括号时应为，去括号时未变号； （3）根据解方程的步骤进行求解即可； （4）根据解方程的步骤中常见的易错点，进行作答即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是等式的基本性质； （2）解：第二步开始出错，去括号时未变号； （3）解：， 去分母， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：； （4）解：去括号时要注意符号是否需要改变，去分母时不能漏乘无分母项． 【变式4-2】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．        （第一步） 去括号，得．                （第二步） 移项，得．                    （第三步） 合并同类项，得．                    （第四步） 方程两边都除以，得．                （第五步） 任务： (1)从第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； (2)第三步变形的依据是______； (3)求方程的解（写出完整解答过程）． 【答案】(1)一，去分母时常数项漏乘 (2)等式的基本性质 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． ()根据等式的性质对去分母的步骤进行分析判断； ()根据等式的性质分析解答； ()按照解一元一次方程的步骤进行计算求解． 【详解】（1）解：第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，常数项未乘； 故答案为：一；去分母时，常数项未乘； （2）解：第三步变形的依据是等式的基本性质：等式的左右两边都减去和， 故答案为：等式的基本性质； （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得． 【变式4-3】（25-26七年级上·吉林松原·期末）下面是小颖解方程的过程： 解：________，得……（第一步） 去括号，得……（第二步） 移项，得……（第三步） 合并同类项，得……（第四步） 系数化为1，得……（第五步） 请认真阅读上面的过程，解答下列问题： (1)以上求解步骤中，第一步进行的是________，这一步的依据是________________； (2)以上求解步骤中，从第________步开始出现错误； (3)请写出正确的解方程过程． 【答案】(1)去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式 (2)三 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤判断即可得出结果； （2）根据解一元一次方程的步骤判断即可得出结果； （3）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式； （2）解：以上求解步骤中，从第三步开始出现错误； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 类型五、换元法求解一元一次方程 换元法解一元一次方程 一、核心知识点 换元法是将方程中重复出现的复杂整式（如多项式、分式） 设为新未知数（如t），把原方程转化为关于新未知数的简单一元一次方程，求解后再代回新未知数，求出原方程的解，核心是简化方程结构，本质仍遵循等式基本性质。 二、解题技巧 1.设元：观察方程，设重复出现的复杂部分为t（如方程2(3x - 1) - 5 = 3(3x - 1)，设t = 3x - 1）。 2.求解新方程：将原方程转化为2t - 5 = 3t，解出t = -5。 3.回代求原解：把t = -5代入t = 3x - 1，得3x - 1 = -5，解得x = -，最后检验。 例5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及换元法，熟练掌握一元一次方程的解及换元法是解题的关键． 通过整体代换，将关于的方程转化为关于的方程，与已知方程比较求解． 【详解】解： ， 令，上式为， ∵方程的解是， 即，解得， 故答案为：． 【变式5-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握整体法，是解题的关键． 将第一个方程变形得到，第二个方程变形得到，从而建立等式，代入求解． 【详解】由，移项得，即． 由，移项得． 因此，即． 代入，得，所以． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】0 【分析】本题考查换元法解方程，将第二个方程转化为，进而得到方程的解满足，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴方程的解，满足， ∴； 故答案为：0． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）在解决数学问题时，可以将某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化，这样的方法叫作换元法．换元法的关键是设元．例如，在解方程时，把看作一个整体．设，原方程可转化为，解得，所以，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】此题是一道材料信息题，主要考查了解一元一次方程，理解并应用材料中介绍的换元法是解本题的关键． 利用换元法，先设，原方程可转化为关于的一元一次方程，解出后再代入求出的值． 【详解】解：设，原方程可转化为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得， 所以， 解得． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）下列各数中是方程的解的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键． 依次移项、合并同类项解方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期中）下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】本题考查了等式的基本性质2，解题关键是掌握等式的基本性质2． 根据等式性质2，逐一分析各选项，再作出判断． 【分析】解：∵， ∴， ∴两边同乘得，故A正确； ∵， ∴， ∴，解得或，故B错误。 ， ∵， ∴两边同除以，得， 故C正确； ， 两边同乘以，得， 故D正确， 故选：B． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）下列解方程的步骤正确的是（    ） A．方程去括号，得 B．方程移项，得 C．方程去分母，得 D．方程，两边都除以，得 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号法则，等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、方程去括号，得，原步骤错误，不符合题意； B、方程移项，得，正确，符合题意； C、方程去分母，得，原步骤错误，不符合题意； D、方程，两边都除以，得，原步骤错误，不符合题意； 故选B． 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）将方程中分母化为整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的转化．将方程中的分母由小数化为整数，需对每个分数分别处理，分子分母同乘适当倍数，保持等式成立． 【详解】解：原方程为：， 分母化为整数需乘以10，分子分母同乘10得， 分母化为整数需乘以10，分子分母同乘10得， 则原方程变形为， 故选：C． 5．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，于是很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．设所求常数为，根据方程的解的定义，把的值代入，求出的值即可． 【详解】解：设所求常数为， 把代入方程得：， 即， 解得：， 故选：C． 6．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如．按照这个规定，则方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程．能结合的定义分情况讨论是解题关键． 分时，时和时三种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：当时，， 即，解得（不符合题意，舍去）； 当时，， 即，解得， 当时，， 即，解得（不符合题意，舍去）， 综上所述，， 故选：A． 二、填空题 7．（25-26七年级下·山东济宁·阶段练习）由，用含x的代数式表示y，得 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由方程可得到 ． 故答案为： 8．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）若是关于的方程的解，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了方程解的定义、解一元一次方程等知识点，根据已知可得到一个关于a的方程成为解题的关键． 将代入方程得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将代入方程得： ，解得：． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·河南商丘·期末）小明在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意得是方程的解，据此把代入方程中求出a的值，进而解方程即可． 【详解】解：根据题意得，是方程的解， ∴， 解得：； ∴原方程为 解得：， 即原方程的解为， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·河北保定·期末）若关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法解一元一次方程，根据题意，易得的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为：； ∴； 故答案为：． 11．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）定义：若，则称与是关于的“平衡数”．比如：3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（为常数）始终关于常数的“平衡数”，则它们是关于 的“平衡数”． 【答案】2 【分析】本题考查了整式的加减运算以及“平衡数”的定义，解题的关键是通过合并同类项后令含未知数的项的系数为0，求出常数k的值，进而确定平衡数n． 化简b的表达式，展开并整理；计算a与b的和，合并同类项；根据“始终关于常数n的平衡数”，令含项的系数为0，求出k；代入k的值，计算常数项，得到n． 【详解】解：由“平衡数”定义可知，为常数）． ∵ ∴ ∵a与b始终关于常数n的“平衡数” ∴含x的项系数必须为0（确保和为常数），即解得． 将代入常数项：，故． 故答案为：2． 12．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）使等式成立的x的值为或；使等式成立的x的值为或；使等式成立的x的值为4或．根据上述材料，则： （1）使等式成立的x的值为 ； （2）使等式成立的x的值为 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查等式的性质，解一元一次方程，理解材料是解题的关键： （1）根据材料即可得出答案； （2）先将式子变形为，原方程可化为，得出或，求解即可． 【详解】（1）使等式成立的x的值为或， 故答案为：或； （2）∵， ∴原方程可化为， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题 13．（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握解方程的方法是解题关键． （1）直接移项合并同类项，进而系数化为1得出答案； （2）直接去分母，进而移项合并同类项，进而系数化为1得出答案． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 14．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，步骤为:去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 原方程可化为． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 15．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程的步骤，熟练解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，即可求出解． （2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化成，得． 16．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项合并得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并，得． 17．（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键． （1）根据去括号，移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“”解答即可； （2）根据去分母，再去括号，移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“”解答即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 18．（24-25七年级上·全国·随堂练习）小明在做数学作业时，解方程的步骤如下： ①去分母，得， ②去括号，得， ③移项，得， ④合并同类项，得， ⑤系数化为1，得． (1)小明解方程的步骤从第_______步（填序号）开始出现了错误，错误的原因是______________． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 【答案】(1)①；去分母时，1漏乘6 (2)见解析 【分析】此题考查了解一元一次方程，掌握解方程步骤：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，是解题关键． （1）检查小明解答过程，即可作出判断； （2）写出正确解答过程即可． 【详解】（1）小明解方程的步骤从第①步开始出现了错误，错误的原因是去分母时，1漏乘6； （2）正确的解答过程如下： ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 19．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求n的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据是关于x的一元一次方程，得到，，求得m的值即可； （2）分两种情况，先求得的解，根据一元一次方程的解与的解互为相反数，求得解，代入求得n的值即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，， 解得或且， ∴或； （2）解：当时， ∴变形为， 解得， ∵一元一次方程的解与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得； 当时， ∴变形为， 解得， ∵一元一次方程的解与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得； 综上所述，或． 20．（2025七年级上·江苏南通·竞赛）对于有理数、定义一种新运算，如，；请按照这个定义完成下列计算： (1)若，求的值； (2)若，，且，求的值； (3)若和均为正整数，且满足，直接写出的值． 【答案】(1) (2)20 (3)3 【分析】本题考查整式的加减运算，理解新定义运算规则，注意分情况讨论是解题的关键． （1）分和两种情况，根据新定义运算得出关于x的方程，解方程，然后判断是否满足条件即可得； （2）先计算，得出，再根据新定义计算，得出，利用整体代入法求解即可； （3）先判断，根据新定义计算，得出，整理得，根据和均为正整数，可得的值． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 解得，与矛盾，舍去； 当时，， ， ， 解得，符合题意； 综上可知，x的值为． （2）解：，， ，即， ， ， ； （3）解： 和均为正整数， ， ， ， 解得， 和均为正整数， 是5的因数，且只能是， 此时，，， 即k的值为3． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $