精品解析：上海市普陀区2025-2026学年八年级上学期期末自适应练习数学试卷

2025学年第一学期期末八年级数学学科自适应练习 （时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0.010010001 D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 3. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 4. 已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 5. 小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为，根据题意，为求解，以下列出的方程中正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 6. 下列命题中，一定正确的是（ ）． A. 如果一个直角三角形的两条边的长分别为和，那么第三条边的长为； B. 如果一个直角三角形的面积为，那么斜边上的高可以为； C. 有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形一定全等； D. 在直角三角形中，如果一条直角边等于另一条边的一半，那么这条直角边所对的角等于． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 计算：_____． 8. 如果有意义，那么的取值范围是________． 9. 比较大小：________（填“，或”）． 10. 方程x2﹣2x=0的解为_____________ 11. 1.用配方法解一元二次方程，将原方程转化为的形式，则__________，____________． 12. 在实数范围内因式分解：________ 13. 某品牌喷墨打印机的耗材数据显示：每打印1页文档，平均消耗墨量约升，某公司一周平均约打印500页办公文档，那么一周该打印机约消耗_____升墨．（结果用科学记数法表示） 14. 常见的运动健身方式有三种：有氧运动、力量训练和拉伸运动．为了解某社区9000名居民的运动健身情况，随机抽取部分居民调查他们的运动健身情况（每人只能选一种健身方式），根据收集到的数据绘制成如图所示的统计图（不完整），那么该社区爱好有氧运动的居民约有_____人． 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，那么边上的高是_____． 16. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，连接，如果，那么_____． 17. 如图，在中，，平分交于点，点在边上，连接，，如果，，那么_____． 18. 如图，在中，，是边的中点，将绕点旋转，使得点与点重合，点的对应点分别是点与交于点，如果，那么_____． 三、解答题（本大题共7题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题7分，第24题8分，第25题12分，共52分） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 先化简，再求值：已知，求的值． 22. 如图，某公共绿地内有四条道路、、、，其中，与、分别交于，与分别交于点米，米，米．现规划在道路上的点之间建一个凉亭，要求凉亭到道路的距离相等． （1）用直尺和圆规作出满足上述条件的点；（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，图中清楚地标注点） （2）后期规划在点、之间修一条路，将四边形以为分割线分为两个区域种花，已知点到的距离为80米． ①求的长； ②求四边形的面积．（忽略道路的宽度） 23. 某新能源汽车的配件工厂向、两个汽车生产厂家供应某种配件，厂采购此配件的单价比厂采购此配件的单价便宜9元，如果厂采购该配件用了128万元，厂采购该配件用了272万元，两厂共采购该配件32万件，那么两个汽车生产厂家采购此配件的单价各为多少元？ 24. 【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”． （1）3、6、12_____“组合平方数”；（填“是”或“不是”） （2）如果、n、4是“组合平方数”，那么_____； 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程的根的情况是由系数确定的． 已知关于的一元二次方程（）有实数根，请回答下列问题． （3）设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积．求证：是“组合平方数”； （4）当时，是“组合平方数”，且．求和的值． 25. 如图1，在中，，点在边上，连接，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，点是的中点，点在线段上，连接． ①当时，求证：； ②连接，设，如果，用含的代数式表示的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末八年级数学学科自适应练习 （时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0.010010001 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的识别，算术平方根，掌握无理数的定义是关键．根据无理数是无限不循环小数解答即可． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，根据同类二次根式需化简后根号内的被开方数相同，将各选项化为最简二次根式后比较被开方数即可． 【详解】解：A、，被开方数为 ，与的被开方数不同，不符合题意； B、，被开方数为，与不同，不符合题意； C、，被开方数为，相同，符合题意； D、，被开方数为，与不同，不符合题意； 故选： C． 3. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程），判断各选项是否符合条件． 【详解】解： 一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， 对于A：当时，方程变为，不是二次方程，故不一定是； 对于B：，满足所有条件，是一元二次方程； 对于C：化简左边，右边， ∴方程化为，即，是一元一次方程，不是二次； 对于D：方程中含分式，分母有未知数，不是整式方程，故不是； 故选：B． 4. 已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用二次方程有实数根的条件，判别式非负，求解不等式． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴判别式， ∴， ∴. 故k的取值范围是． 故选：A． 5. 小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为，根据题意，为求解，以下列出的方程中正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】理财产品的收益率x为年化收益率，返还金额为未来值，需折现为现值后与本金相等． 本题考查了收益率，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 返还金额5110元和5250元分别发生在1年后和2年后，其现值需用折现， ∴ 1年后返还的现值为，2年后返还的现值为，现值之和应等于本金10000元， ∴ ， 故选：D． 6. 下列命题中，一定正确的是（ ）． A. 如果一个直角三角形的两条边的长分别为和，那么第三条边的长为； B. 如果一个直角三角形的面积为，那么斜边上的高可以为； C. 有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形一定全等； D. 在直角三角形中，如果一条直角边等于另一条边的一半，那么这条直角边所对的角等于． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质．熟悉直角三角形的主要性质：勾股定理的应用，直角三角形面积公式与斜边、斜边上高的关系，全等三角形的判定（直角三角形全等的判定定理），含角的直角三角形的性质，是解题的关键． 中第三条边可能不为；中斜边高为时无实数解；中“另一条边”指代不明，可能不成立；利用直角三角形斜边上中线性质及直角三角形全等的判定定理可证． 【详解】解：选项：两条边长为和时，第三边可能为（直角边为和时）或（斜边为时），所以无法确定； 选项：面积，则两直角边的积为．设斜边高，则斜边， 两直角边，满足，， ∴， ∴，设为，那么为， 此时方程判别式，无实数解，∴不可能． 选项：一条直角边和斜边中线相等时，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，所以它们的斜边也对应相等，根据直角三角形全等的判定定理，两直角三角形全等； 选项：一条直角边等于另一条边一半时，若为斜边一半，则所对的角为；若为直角边一半，则所对的角不为，所以无法确定． 故选：． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 8. 如果有意义，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到，即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键． 9. 比较大小：________（填“，或”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 方程x2﹣2x=0的解为_____________ 【答案】x1=0，x2=2 【解析】 【分析】把方程的左边分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或 x-2=0，求出方程的解即可． 【详解】解：x2-2x=0， x（x-2）=0， x=0或 x-2=0， 故答案为：x1=0 ，x2=2． 【点睛】本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 11. 1.用配方法解一元二次方程，将原方程转化为的形式，则__________，____________． 【答案】 ①. 2 ②. 7 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程转化为完全平方形式，从而求出a和b的值． 【详解】解：由原方程 ， 移项得，， 配方得，， 即 ， ∴ 故答案为：，． 12. 在实数范围内因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查配方法将代数式变形为完全平方式及平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是本题的解题关键． 先提取公因数，再配方，最后利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 某品牌喷墨打印机的耗材数据显示：每打印1页文档，平均消耗墨量约升，某公司一周平均约打印500页办公文档，那么一周该打印机约消耗_____升墨．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】计算一周总消耗墨量，需将每页消耗墨量乘以周打印页数，再将结果用科学记数法表示． 本题考查了科学记数法，熟练掌握乘法，科学记数法是解题的关键． 【详解】解：每页消耗墨量为升，即升；周打印页数为500页，即页． 总消耗墨量为升． 故答案为：． 14. 常见的运动健身方式有三种：有氧运动、力量训练和拉伸运动．为了解某社区9000名居民的运动健身情况，随机抽取部分居民调查他们的运动健身情况（每人只能选一种健身方式），根据收集到的数据绘制成如图所示的统计图（不完整），那么该社区爱好有氧运动的居民约有_____人． 【答案】5400 【解析】 【分析】根据题意，该社区爱好有氧运动的居民占比，根据样本容量计算即可． 本题考查了扇形统计图的应用，熟练掌握统计图的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得该社区爱好有氧运动的居民占比， 故该社区爱好有氧运动的居民约有（人）． 故答案为：5400． 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，那么边上的高是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，，，根据勾股定理逆定理判定，设边上的高是，结合，计算即可． 本题考查了网格与勾股定理，掌握网格与勾股定理的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，，且， ∴， ∴， 设边上的高是， 由， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，连接，如果，那么_____． 【答案】2 【解析】 【分析】设，则，由，，根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：边的垂直平分线交于点， 故 设， 则， 由，， 根据勾股定理，得， 解得， 故答案为：2． 17. 如图，在中，，平分交于点，点在边上，连接，，如果，，那么_____． 【答案】3 【解析】 【分析】过点Ｄ作于点Ｆ，证明，得到，接着再根据已知证明，得到，，解答即可． 本题考查了角的平分线的性质，直角三角形的全等判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点Ｄ作于点Ｆ， ∵平分，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 18. 如图，在中，，是边的中点，将绕点旋转，使得点与点重合，点的对应点分别是点与交于点，如果，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．先证明，设，则，根据勾股定理得到，解得即可． 【详解】解：如图， ∵，是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题7分，第24题8分，第25题12分，共52分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是关键，根据二次根式的性质化简，分母有理化的计算得到结果，最后再计算和差． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查运用平方根解方程，掌握平方根的计算方法是关键，根据题意，去分母，去括号，移项，整理为，再运用平方根的计算即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 整理得，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得，． 21. 先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键，根据分式的性质化简，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， ， 把代入，原式． 22. 如图，某公共绿地内有四条道路、、、，其中，与、分别交于，与分别交于点米，米，米．现规划在道路上的点之间建一个凉亭，要求凉亭到道路的距离相等． （1）用直尺和圆规作出满足上述条件的点；（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，图中清楚地标注点） （2）后期规划在点、之间修一条路，将四边形以为分割线分为两个区域种花，已知点到的距离为80米． ①求的长； ②求四边形的面积．（忽略道路的宽度） 【答案】（1） 根据题意，点Ｐ即为所求． （2）①60米；②8000平方米． 【解析】 【分析】（1）用尺规作的平分线，与的交点就是所求点Ｐ． （2）①证明，后解答即可； ②根据梯形的面积公式计算即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，等腰三角形的证明，梯形的面积，熟练掌握作图是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴（米）； ②解：过点P作，垂足分别为点G，点E， 根据题意，得米， ∴四边形的面积为：（平方米）． 23. 某新能源汽车的配件工厂向、两个汽车生产厂家供应某种配件，厂采购此配件的单价比厂采购此配件的单价便宜9元，如果厂采购该配件用了128万元，厂采购该配件用了272万元，两厂共采购该配件32万件，那么两个汽车生产厂家采购此配件的单价各为多少元？ 【答案】 A厂采购单价为8元，B厂采购单价为17元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键，设A厂采购单价为x元，则B厂采购单价为元，结合题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设A厂采购单价为x元，则B厂采购单价为元， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 经检验，当时，原方程有意义， ∴A厂采购单价为8元，则B厂采购单价为元， 答：A厂采购单价为8元，B厂采购单价为17元． 24. 【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”． （1）3、6、12_____“组合平方数”；（填“是”或“不是”） （2）如果、n、4是“组合平方数”，那么_____； 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程的根的情况是由系数确定的． 已知关于的一元二次方程（）有实数根，请回答下列问题． （3）设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积．求证：是“组合平方数”； （4）当时，是“组合平方数”，且．求和的值． 【答案】（1）是 （2） （3）证明：已知关于的一元二次方程（）有实数根， ∵设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积，方程的两个根分别用表示， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“组合平方数”； （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的运用，理解题意，正确列式计算是关键． （1）根据“组合平方数”的定义，分类计算即可求解； （2）根据“组合平方数”的定义，结合算术平方根中被开方数的特点，算术平方根的结果，分类计算即可求解； （3）分别用含的式子表示出，结合“组合平方数”的定义计算即可； （4）根据“组合平方数”的定义，分类讨论即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴3、6、12是“组合平方数”； 故答案为：是； （2）如果、n、4是“组合平方数”， ∴当时， 解得，； 当时，被开方数小于0，不符合题意，舍去； 当时，由算术平方根是大于等于0的数得到不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）略 （4）当时，是“组合平方数”，即是“组合平方数”， ∴当时，，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； 当时，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； ∵， ∴不符合题意； 综上所述，或． 25. 如图1，在中，，点在边上，连接，过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，点是的中点，点在线段上，连接． ①当时，求证：； ②连接，设，如果，用含的代数式表示的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） ①证明：∵，， ∴，， 连接，如图， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）利用证明（直角三角形全等的判定定理） 即可． （2）①连接，证明，，，继而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得到，等量代换证明即可． ②过点D作交于点P，连接，证明，则，得，从而得，则，在中利用勾股定理求得，从而求得，再用三勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图，过点D作交于点P，连接， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，勾股定理得， 即， ∴， 即， 在中，由勾股定理得， ∵点D为线段的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $