专题02 分式运算与规律、新定义型问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02分式运算与规律、新定义型问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式的混合运算问题 类型二、分式的混合运算先化简求值问题 类型三、分式的混合运算错解复原问题 类型四、分式的混合运算规律探究问题 类型五、分式的混合运算假分数问题 类型六、分式的混合运算“倒数法”求值问题 类型七、分式的混合运算新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、分式的混合运算问题 1.遵循运算顺序：和有理数混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括 号里面的。 2.灵活运用乘法公式：在计算过程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全 平方公式。用对公式可以大大简化计算。 3.及时化简：每一步运算完成后，都要检查分子和分母是否有公因式。能约分的一定要先约分，这样可 以避免最后处理大数字，让计算更简单 例1.（25-26八年级上·云南昆明月考)计算： 1 0ainy+a+y: a》 【变式1-1】(25-26八年级上全国课后作业)计算下列各式： a-b'b-aa+b: a同a小学 【变式1-2】(25-26八年级上江苏镇江月考)计算： 1/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (0)2 8x x-2x2-4 2)x+1- 3) x-2 x-1'x2-2x+19 a+2a+2 【变式1-3】(2025八年级上江苏泰州专题练习)计算： 】 o-r416 x-1 x+2 x2-6x+9 x2-4 x2-2x+1 x+1 2x+2 类型二、分式的混合运算先化简求值问题 1.先化简，再代入：这是最关键的一步。先把整个分式表达式化简到最简形式，再把字母的值代进去计 算。千万不要直接代入，那样计算量会非常大。 2.化简时注意运算顺序：化简过程要遵循”先乘方，再乘除，最后算加减”的顺序。有括号的，要先算括 号里面的。 3.代入前先检验：把字母的值代入原式的分母和除式中，检查是否会使它们等于0。如果等于0，这个值 就不能用，题目可能需要你重新选择一个合适的值代入。 例2.(25-26八年级上陕西安康·月考)先化简，再求值： x+3 x2-6x+9 x-11-x x-1 ,其中x=6. 【变式2-1】(25-26八年级上甘肃金昌期末)先化简，再求值： x+2 x-1）+4,其中 x2-2xx2-4x+4x 【变式2-2】(2526八年级上浙江台州月考)先化简，再求值：-）-红+4，请从1,0，-1中选 x-1 x2-x 取一个合适的数代入求值. 【变式2-3】(25-26八年级上·陕西榆林·期末)先化简： x2+1 -x-1÷ 十，再从1,0,1中选择 一个合适的数代入求值. 2/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、分式的混合运算错解复原问题 1.顺着错解，倒推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或”小红"是在哪一步、因为什么规则用错了。然后， 顺着他的错误步骤和得到的错误结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息，比如某个字母的值。 2.回到正轨，正确化简：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的"先化简再求值"问题。完全忘掉之前的 错误解法，按照正确的运算顺序和分式化简规则，重新把原式化简到最简形式。 3.代入计算，得出正解：最后，将之前推算出的正确条件代入到化简好的式子中，进行计算，得出正确 的最终答案。 例3.252ǒ八年级上陕西喻林期末)下面是小明同学计算x+(x-小的过程： 1 解：x÷(x-1) x-1 =x+X-l -i第一步 =x÷1第二步 =x第三步 ()上面的运算过程从第 步开始错误，错误原因是 (2)请写出正确的运算过程 【变式3-1】(2025九年级上·广东深圳专题练习)小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式= 2(a-2) ÷i-1o (a-1)(a+1)a-1 -2a-2）÷1- 2(a-2).1 (a-la+)(a-la+)。-② 2(a-2) 2(a-2)-×(a-1)③ (a-1)(a+1)(a-1)(a+1) ()上述过程中，从第步开始出现错误， (②)请完成正确的完整解题过程，并在“-1,0,1”中选择一个合适的数代入求值. 【变式3-2】(25-26八年级上河南新乡期末)下面是某同学化简分式一3) 21 x2+6x+9 x2-3x 的部分运算过 程： ()下面的解题过程从第步开始出现错误： 解：原式= 21）.(x+32 第一步 x-3x'x(x-3) 第二步 3/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =2）x-31xx-3到 x-3(x+32x(x+3)1 第三步 =-2x x-3 (x+3(x+3 第四步 =2x-x-3 (x+3)2 第五步 (x+32 第六步 (②)写出正确的化简运算过程； (3)从-3,0,3,1中选择一个合适的数作为x的值代入求值. 【变式3-3】(24-25九年级上·吉林长春·月考)下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应 的问题， m2-4m+4 m-1 -(m-2)2 「3 第一步 (m-2y.「3(m-1} 第二步 m-1m-1m-1 =m-2}-m2+2m+2 ÷ 第三步 m-1 m-1 =(m-2)2 m-1 第四步 m-1-m2+2m+2 (m-2)2 = 第五步 -m2+2m+2 问题解答： (1)从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 (2)请写出正确的化简过程. 类型四、分式的混合运算规律探究问题 1.先算前几项，寻找规律：题目通常会让你计算n=1,n=2,n=3.·时的结果。你先把这几项的结果算 出来，写在一起。 2.观察结果，总结通项：仔细看一下你算出来的这几个结果，看看分子、分母和序号n之间有什么联系 试着用n把这个规律表示出来，这就是通项公式。 4/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.验证规律，确保正确：找到规律后，最好再用n=4或=5验证一下。把值代入你总结的公式，看结 果是否和直接计算的一样。 例4.(24-25七年级下·安徽滁州期末)观察下列等式： ①2-11 1×3139 ②、2=11 2×424 ®品 (1)根据以上规律写出第④个等式： ； (②)用含字母刀(n为正整数)的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； 1 11 (3)利用你发现的规律，计算： -十 1×3'2×43×5 9×11 【变式4-1】(2025八年级上·全国.专题练习)观察下列各式： 第1个式子：1+}-2 33 132 第2个式子：2+44 第3个式子：3+1=4 55 第4个式子：4+1-52 6 6 … (1)请写出第5个式子： (2)根据你总结的规律写出第n个式子，并说明结论的正确性： (3)利用上述规律计算：199+49239 十 2005040 【变式4-2】(2025·安徽蚌埠.一模)【观察思考】 观察下列等式： 第1个等式： 1-3×12-3 (2812:第2个等式： 1 320_4 35x23 第3个等式： /13）305 4243=4；第4个等式： 1 3x42_6 53545 【规律发现】 (1)第5个等式是-： (2)猜想第n个等式是_（用含n的代数式表示）： 5/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【规律论证】 (3)请证明猜想的第n个等式. 【变式4-3】(25-26八年级上全国期中)观察下列各式： =1-; 122 ,11,,11,1 +2+1+ =1; 236’ 11 V++=1+ 1=1 34125 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： 11 (01+下+ (②)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n(n为正整数)表示的等式： n (n+1)2 (3)利用上述规律计算： 501 十 (仿照上式写出过程). 4964 类型五、分式的混合运算假分数问题 1.拆分假分数：当分式的分子次数大于或等于分母次数时，就可以把它拆成一个整式加上一个真分数。 例如，(x2+2x+3)/(x+1)可以拆成(x+1）+2/(x+1)。 2.拆分后再通分：拆分后，原式通常会变成几个整式和简单分式的加减。 这时候再进行通分，计算量会比直接对假分数通分小得多。 3.利用拆分求最值：在一些求最值的题目中，拆分假分数后可能会出现可以使用基本不等式的形式。 这能帮你快速找到最大值或最小值。 例5.分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式， 分式，是直分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这祥的分式为假分式发 2x-2x2+2x-2-2xx+l-2x=2x-2x+2-2-2x-2+ 2 x+1 x+1 x+1x+1 x+1 x+1 )将假分式4x+化为一个整数与一个真分式的和 2若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值： x-2 3)若假分式4+7x-3化为一个整式与一个真分式的和的形式为A+ x+2 +B,A,B均为关于x的多项式，若 A=4a-9,B=b-10,求a2+b2+ab的最小值. 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式5-1】阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式”，例如：-1 x+1 ，。这样的分式就是假分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式”，例如：1 x+2 x+1 分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数， 8-3x2+2-32 3行·类似的，假 分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： x2+2x-1x(x+2)-1 x+2 x+2 x+2 2(2+2x-2xxx+2)-2x-4+4_xx+2列-2(x+2到+4=x-2+4 x+2 x+2 x+2 x+2 x+2 请根据上述材料，解答下列问题： 1)填空：①分式2是分式（填真"或假”）. x+2 ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： x2-3x+5 +一 x-3 2把分式心+2x-13化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为 x-3 整数 【变式5-2】阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”.而假分数都可化为带分数，如： 62-2±子2，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母 33 的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式” 如：=，亡这样的分式就是假分式，再如：3,2这样的分式就是真分式。类似的，假分式也可以 x+1x-1 x+1'x2+1 化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：x-1x+-2-1-2 x+1x+1 x+1 再如：--11-+x-+1-x+1+L x-1x-1 x-1 x-1 解决下列问题： )分式x-1是 (填“真分式”或“假分式”)： x+2 2)如果分式2x+1 x+1 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值. 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3)把分式5r+9x-3化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程. x+2 类型六、分式的混合运算“倒数法”求值问题 1.取倒数，化繁为简：如果题月给的条件或要求的式子看起来很复杂，像是一个分式套分式，就可以尝 试对它取倒数。取倒数后，复杂的分式结构常常会变得非常简单。 2.结合已知条件：取倒数后，得到的新等式通常能和题目给的己知条件联系起来。你可以把己知条件代 入，快速求出这个倒数的值。 3.再倒回来，得到答案：求出倒数的值后，再取一次倒数，就能得到原来那个复杂式子的值了。 2-26八年级上山东济宁月考)【阅读学习刃】阅读下面的解题过程：已知十3，求一的 x4+1 解：由可得0，则13，即+3， +(+ 2=32-2=7, 21 x4+17 【类比探究】上题的方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知又-3x+1 2,求， 一的值： x+5x2+ 之分求的值 【变式6-1】(25-26八年级上广东江门月考)【阅读理解】已知x,=, x4+1 解：由己知可得x≠0，则-1=2， 2-1-21=x-1=2.四 xxx +2=22+2=6,② x21 x4+16 (1)第②步x2+ 2=x- +2运用了 公式；(A.平方差B.完全平方) 【类比探究】 (2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 8/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 己知。x 1 x2-x+12’ ①求x+L的值： ②求x 的值. x4+x2+1 【变式6-2】(25-26八年级上·云南昆明期末)在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所 谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的， 列：已知子求代数式+的值。 x .,1)2 +4,x+ =42, x 1 ··x2+2+1=16,2+x2=16一2三14 根据材料回答以下问题： 0)已知a-1=2,求a的值： a a2-1 @已知a-。2,求。-40-50-4a 21a 一的值， a 【变式6-3】(25-26七年级上·上海月考)在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子， 解答问题， 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用分式的化简，以达到计算目的 佩：已：子果代数式r+宁的值 解：医为子所以4，即兰+4，所以 xX 所-2-162- 根据材料解答问题： 1 ②已知a-儿+D写求2x2+-3x-1的能。 9/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型七、分式的混合运算新定义型问题 1.仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种 新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2.套用公式，代入计算：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入 进去。这就像套用一个新的数学公式一样。 3.结合己有知识，综合求解：在套用新定义的同时，别忘了分式运算的基本法则。在新定义的运算过程 中，可能还会涉及到分式的化简、通分等，这些都需要用我们己经学过的知识来解决。 例7.(25-26八年级上江苏苏州期中)定义：若两个分式的和为n(n为正整数)，则称这两个分式互为“n 价分式，例如：33x=十刘=3，则分式中与年 3江互为3阶分式”. x+11+x1+x ①分式12与，18互为阶分式： 3+2x3+2x ②分式15x与分式A互为5阶分式”，求分式A 4+3x 【变式7-1】(25-26八年级上广东汕头月考)定义：若分式A与分式B的差等于它们的积.即A-B=AB, 则称分式B是分式A的友好分式”，如L与1 x+1与+2'因为 1 1 1 11 中2++四有中2+2所以中2是点的友好分式， 0填空：分式4分式4与的友好分式：（琉是度不是 已知分式x十是分式4的产友好分式，求分式4的表达 【变式7-2】(25-26九年级上江苏期末)定义：若分式A和分式B满足A-B=n(n为正整数)，则称A 是B的n阶差分式” 例如： 品3，我称是名的3阶差分式 解答下列问题： 0汾式是分式的 阶差分式” 分式A是分式B2的2阶差分式，若x取正整数，且4的值为正整数，求x的值 【变式7-3】(25-26八年级上湖南长沙月考)定义：如果两个分式A=B+1,则称A是B的“美好分式”， 面分式，上2B,子B+2中2-24，则4是B的美斑分武 x-2'x-2'x-2x-2 1)己知分式C=?,D=6 x一3，请判断C是否为D的“美好分式”，并说明理由： 10/15 专题02 分式运算与规律、新定义型问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式的混合运算问题 类型二、分式的混合运算先化简求值问题 类型三、分式的混合运算错解复原问题 类型四、分式的混合运算规律探究问题 类型五、分式的混合运算假分数问题 类型六、分式的混合运算“倒数法”求值问题 类型七、分式的混合运算新定义型问题 压轴专练 类型一、分式的混合运算问题 1.遵循运算顺序：和有理数混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括号里面的。 2.灵活运用乘法公式：在计算过程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全平方公式。用对公式可以大大简化计算。 3.及时化简：每一步运算完成后，都要检查分子和分母是否有公因式。能约分的一定要先约分，这样可以避免最后处理大数字，让计算更简单。 例1．（25-26八年级上·云南昆明·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． （1）利用同分母分式加减法法则，进行计算即可解答； （2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式的加减乘除混合运算是解题的关键． （1）先计算括号内的同分母分式加减法，再计算分式的乘法即可； （2）先计算括号内的异分母分式加减法，再计算分式的除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏镇江·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）先通分，再计算减法； （2）先通分，计算括号里的减法，再将除法转化为乘法计算； （3）先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1-3】（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键． 四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 类型二、分式的混合运算先化简求值问题 1.先化简，再代入：这是最关键的一步。先把整个分式表达式化简到最简形式，再把字母的值代进去计算。千万不要直接代入，那样计算量会非常大。 2.化简时注意运算顺序：化简过程要遵循"先乘方，再乘除，最后算加减"的顺序。有括号的，要先算括号里面的。 3.代入前先检验：把字母的值代入原式的分母和除式中，检查是否会使它们等于0。如果等于0，这个值就不能用，题目可能需要你重新选择一个合适的值代入。 例2．（25-26八年级上·陕西安康·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【变式2-1】（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算，因式分解，负整数指数幂的计算，掌握分式的混合运算法则是解题关键． 先对原式中的分母进行因式分解并通分，将除法转化为乘法后约分得到最简形式，再代入计算出最终结果． 【详解】解：原式 ， 当时， ． 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江台州·月考）先化简，再求值：，请从1，0，中选取一个合适的数代入求值． 【答案】化简结果为，运算结果为 【分析】本题考查了分式化简求值，分式有意义的条件，分式加减乘除混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先进行小括号里的运算，同时将除号后的分式分子、分母分解因式，再将除法转化为乘法，然后化为最简，再根据分式有意义、运算过程有意义，确定未知数的值代入求值． 【详解】解：原式 ， 要使原来的分式和运算过程有意义， 必须有，且，且， 所以，，， 所以从1，0，中，只能选， 所以， 原式． 【变式2-3】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）先化简：，再从，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，0 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关知识是解题的关键，先计算小括号里面的，通分，将异分母分式相减转化为同分母分式相减，再进行除法运算，将除法变乘法，化简后，选择使原式有意义的值，将代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 时，原分式无意义， ， 代入得，原式． 类型三、分式的混合运算错解复原问题 1. 顺着错解，倒推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步、因为什么规则用错了。然后，顺着他的错误步骤和得到的错误结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息，比如某个字母的值。 2. 回到正轨，正确化简：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的"先化简再求值"问题。完全忘掉之前的错误解法，按照正确的运算顺序和分式化简规则，重新把原式化简到最简形式。 3. 代入计算，得出正解：最后，将之前推算出的正确条件代入到化简好的式子中，进行计算，得出正确的最终答案。 例3．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）下面是小明同学计算的过程： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)上面的运算过程从第________步开始错误，错误原因是_____________． (2)请写出正确的运算过程． 【答案】(1)一，运算顺序错误 (2)正确运算过程见详解 【分析】本题考查了分式乘除混合运算的运算顺序． （1）在分式乘除混合运算中，运算顺序是从左到右依次进行，观察小明同学的运算过程发现第一步开始错误，其先计算了后面的乘法，改变了运算顺序，所以从第一步开始错误； （2）先算，再将乘以，根据分式乘法法则即可得出结果． 【详解】（1）解：小明同学在运算的过程中，第一步出现了错误，导致后续步骤出现错误，而错误的原因是运算顺序出现错误，应先计算除法，再计算乘法， 故答案为：一，运算顺序错误． （2）解：． 【变式3-1】（2025九年级上·广东深圳·专题练习） 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程，并在“，0，1”中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)② (2)，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误，错误的原因是除法没有分配律，而题目中却使用了这个； （2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后约分化简，再从，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：原式 ， 当或2时，原分式无意义， ∴选择代入， 当时，原式． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是某同学化简分式的部分运算过程： (1)下面的解题过程从第 步开始出现错误； 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步     第六步 (2)写出正确的化简运算过程； (3)从，0，3，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】(1)五 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键： （1）第五步分子相减时，变号错误； （2）根据混合运算的法则进行计算即可； （3）根据分式的分母不能为0，选择，进行计算即可． 【详解】（1）解：第五步分式减法中，出现变号错误； 故答案为：五 （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴当时，． 【变式3-3】（24-25九年级上·吉林长春·月考）下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 问题解答： (1)从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2)请写出正确的化简过程． 【答案】(1)一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号 (2)见解析， 【分析】本题考查了分式的混合运算：先乘方再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （1）第一步加括号时，括号里第二项没有变号； （2）根据分式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号， 故答案为：一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号； （2）解： ． 类型四、分式的混合运算规律探究问题 1.先算前几项，寻找规律：题目通常会让你计算 n=1, n=2, n=3... 时的结果。你先把这几项的结果算出来，写在一起。 2.观察结果，总结通项：仔细看一下你算出来的这几个结果，看看分子、分母和序号 n 之间有什么联系。试着用 n 把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3.验证规律，确保正确：找到规律后，最好再用 n=4 或 n=5 验证一下。把值代入你总结的公式，看结果是否和直接计算的一样。 例4．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是得出所给的数字的规律． （1）根据等式的规律写出第④个等式即可； （2）根据等式的规律写出第n个等式，把等式右边进行运算即可证明； （3）所求的式子变形为，利用发现的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：第④个等式为：， 故答案为：． （2）解：①； ②； ③； ④； …… ∴第n个式子为：． 证明：∵右边左边， ∴成立． （3）解： ． 【变式4-1】（2025八年级上·全国·专题练习）观察下列各式： 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； … (1)请写出第5个式子：______； (2)根据你总结的规律写出第n个式子，并说明结论的正确性； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)208 【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，分式的加法计算，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案； （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； ∴第5个等式：； （2）解：由前几个等式的规律得到第n个等式是：； 理由：等号左边等号右边； （3）解： ． 【变式4-2】（2025·安徽蚌埠·一模）【观察思考】 观察下列等式： 第1个等式： ；第2个等式：  ； 第3个等式： ；第4个等式：  ； 【规律发现】 （1）第5个等式是 ； （2）猜想第 n个等式是 (用含 n的代数式表示)； 【规律论证】 （3）请证明猜想的第 n个等式． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算，分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握分式的减法法则，从而完成求解． （1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律、分式混合运算的性质分析，即可得到答案． （3）根据分式的混合运算计算等式左边，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可得：第5个等式是： 故答案为：． （2）猜想第 n个等式是． 故答案为：． （3）证明：等式左边 左边=右边， ∴等式成立． 【变式4-3】（25-26八年级上·全国·期中）观察下列各式： ； ； ； …… 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1) ； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ； (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律探究．分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，． 故答案为：； （2）解：由题意知，． 故答案为：； （3）解：由题意知，． 类型五、分式的混合运算假分数问题 1.拆分假分数：当分式的分子次数大于或等于分母次数时，就可以把它拆成一个整式加上一个真分数。 例如，(x² + 2x + 3)/(x+1) 可以拆成 (x+1) + 2/(x+1)。 2.拆分后再通分：拆分后，原式通常会变成几个整式和简单分式的加减。 这时候再进行通分，计算量会比直接对假分数通分小得多。 3.利用拆分求最值：在一些求最值的题目中，拆分假分数后可能会出现可以使用基本不等式的形式。 这能帮你快速找到最大值或最小值。 例5．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或4或6 (3)75 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照例题操作即可得解； （2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解； （3）先将式化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为正整数，， ∴， ∴， ∵， 又，且为整数，为正整数， ∴或2或4， ∴或4或6； （3）解： ， ，， ，， ，， ，， ， ， 当，即时，有最小值75， 的最小值为75． 【变式5-1】阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】(1)①真；②x，； (2)，或或或 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值； 【详解】（1）①分式中，分子2可看作，最高次数是；分母的最高次数是 ，分子的最高次数低于分母的最高次数， ∴分式是真分式； ② ； 故答案为：真；x，； （2）解： ， ∵这个分式的值为整数， ∴或或或， 或或或. 【变式5-2】阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程． 【答案】(1)假 (2)或 (3) 【知识点】分式的判断、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的加减法、分式的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由假分式的定义即可判断得解； （2）依据题意得，结合题意可得从而求出结果； （3）根据题意化简即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，∵当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”， ∴分式是假分式． 故答案为：假； （2）由题意得：， 分式的值为整数， ． 或； （3）． 类型六、分式的混合运算“倒数法”求值问题 1. 取倒数，化繁为简：如果题目给的条件或要求的式子看起来很复杂，像是一个分式套分式，就可以尝试对它取倒数。取倒数后，复杂的分式结构常常会变得非常简单。 2. 结合已知条件：取倒数后，得到的新等式通常能和题目给的已知条件联系起来。你可以把已知条件代入，快速求出这个倒数的值。 3. 再倒回来，得到答案：求出倒数的值后，再取一次倒数，就能得到原来那个复杂式子的值了。 例6．（25-26八年级上·山东济宁·月考）【阅读学习】阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由可得，则，即． ∴， ∴． 【类比探究】上题的方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和倒数的运用是解题的关键，根据题意求出的值，再化简，将的值代入，求得的值，最后利用“倒数法”即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 【变式6-1】（25-26八年级上·广东江门·月考）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了_____________公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知， ①求的值； ②求的值． 【答案】 （1）B；（2）①3，② 【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）①根据题中给出的例子进行计算即可，②结合①的结论，再根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B； （2）①， ， ，即， ； ②由①知， ， ． 【变式6-2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵，∴，即， ∴，∴， ∴，∴． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，正确理解题意利用倒数法求解是解题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由已知可得，进而得到，利用倒数法求出，将，代入可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴即， ∴即， ∵ ， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26七年级上·上海·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以 所以 根据材料解答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值； 【答案】(1)322 (2)11 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值． （1）模仿例题．取倒数，再化简，即可求解，然后根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）先把已知条件变形，得，已知条件取倒数得，根据完全平方公式变形求值得，再代入原式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， 即， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型七、分式的混合运算新定义型问题 1. 仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2. 套用公式，代入计算：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。这就像套用一个新的数学公式一样。 3. 结合已有知识，综合求解：在套用新定义的同时，别忘了分式运算的基本法则。在新定义的运算过程中，可能还会涉及到分式的化简、通分等，这些都需要用我们已经学过的知识来解决。 例7．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“______阶分式”； (2)分式与分式A互为“5阶分式”，求分式． 【答案】(1)6 (2)． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，正确理解题意和熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）利用同分母分式的加减计算即可求解； （2）根据“5阶分式”的定义，分式与分式A的和为5，建立等式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴分式与互为“6阶分式”； 故答案为：6； （2）解：∵分式与分式A互为“5阶分式”， ∴， 解得． 【变式7-1】（25-26八年级上·广东汕头·月考）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 【答案】(1)是 (2)分式A为 【分析】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． （1）计算和​，判断是否相等即可． ​​（2）​​​设分式B，由定义，解方程求A即可． 【详解】（1）解：设． ， ， ， 故​是的“友好分式”， 故答案为：​是； （2）分式是分式A的“友好分式”，设分式． 则 移项，得， ， ， ， ， 分式A为​​． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏·期末）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)1 (2)或． 【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论即可． 【详解】（1）解；∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”； 故答案为：1； （2）解：∵分式是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵是正整数，且x取正整数， ∴也是正整数， ∴或． 【变式7-3】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）定义：如果两个分式，则称A是B的“美好分式”，如分式，，，，则A是B的“美好分式”． (1)已知分式，，请判断C是否为D的“美好分式”，并说明理由： (2)已知分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”，若关于x的方程对于任意的x值恒成立，求参数的值； (3)已知分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”，若，，，求出此时满足条件的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)，， (3) 【分析】题目主要考查分式的加减运算，新定义的理解，含参数的方程，理解新定义是解题关键． （1）根据定义求解判断即可； （2）根据题意得出，确定，再由题意得出，即可求解； （3）根据题意得出，确定，得出，，代入化简确定，得出，，再结合题意求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意得：， ∴C是D的“美好分式”； （2）∵分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”， ∴， ∴， ∵关于x的方程对于任意的x值恒成立， ∴， ∴， ∴， 解得，； 综上，，，； （3）∵分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， 代入得： ， 整理得， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∵为正整数， ∴为3的正约数， ∴或， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴综上，． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．依次对每个选项进行分式的运算，判断其计算是否正确即可． 【详解】解： ，故A项错误，不符合题意； ，故B项正确，符合题意； ，故C项错误，不符合题意； ，故D项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则M等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法和除法，由题意可得，结合分式的除法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 5．（2025·山东威海·一模）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，先根据给定的式子，推出，再根据异分母的分式的加法法则，进行计算即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ∴， ∴ ； 故选A． 二、填空题 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）当 时，代数式的值是 【答案】4 【分析】本题考查了分式化简求值，先把除法化为乘法，再化简，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：4． 7．（2025·四川成都·三模）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通过分式的运算化简代数式，再代入已知条件求值． 先对括号内的分式进行通分相加，再将分子因式分解，通过约分简化代数式；最后将已知条件整体代入化简后的式子计算结果． 【详解】解：原式 ∵， ∴原式的值为． 故答案为：． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、分式乘法，根据新定义运算规则，把原式转化成分式运算是解题关键． 根据新定义运算，把原式化成分式乘法，按法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：． 9．（2024八年级上·湖南岳阳·竞赛）根据，，，，…所蕴含的规律可得等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：， ， ， ， 每3个数为一周期循环， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，整式混合运算，解答的关键是由所给的等式分析归纳出存在的规律． 根据所给的等式的形式进行分析归纳第n个等式为：，然后将代入即得． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等2式； 第3个等式； 第4个等式； ……， 第n个等式， 当时，． ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握因式分解和分式乘除运算法则是解题的关键． （1）先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． （2）先利用平方差公式对因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算乘方，再算乘除法，最后算加减； （2）先算括号里的，再把除法转化为乘法后分解因式进行约分； （3）先算乘方和括号里的，再算加减； 本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解和相应的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 13．（2025·河北·一模）下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 当时，原式．…第四步 (1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，原式的值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算分式的除法，再算加减，逐一判断即可解答； （2）先计算分式的除法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解：嘉嘉的解题过程中，从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解：正确的解题过程如下： 原式 ， 当时，原式． 14．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知分式，分式，分式． (1)为何值时，分式A和分式B的值相等？ (2)当时，求分式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查分式的化简求值、列分式方程、解分式方程等，掌握这些是解题的关键． （1）先根据分式值相等列出方程，通过因式分解、去分母求解，再检验解的合理性； （2）先将分式除法转化为乘法，化简后进行减法运算．再代入x的值计算结果即可． 【详解】（1）解：由题意得： 去分母得： 解得： 经检验：是原分式方程的解． 所以，当时，分式和分式的值相等. （2）由题意得： ， 当时，原式． 所以当时，求分式的值为． 15．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知：，，，若，求． （2）先化简，再求值：，且为满足−的整数． 【答案】（1）（2）−；−； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和因式分解是解题的关键． （1）先对、、进行因式分解，再根据，通过分式的乘除运算求出． （2）先对括号内的分式进行因式分解，再通分计算，然后将除法转化为乘法进行化简，最后根据分式有意义的条件确定的值，代入求值． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ， ； （2）原式 ； ∵且且，且为整数， ∴， 原式． 16．（2024·河北·模拟预测）【观察】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： 【类比】（1）写出第5个等式． 【猜想、验证】（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）（2），证明见解析 【分析】本题考查数字规律探究、列代数式，整式的运算． （1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边展开，看是否相等即可证明猜想． 【详解】解：（1）． （2）第n个等式为． 证明：∵， ∴猜想成立． 17．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）阅读理解题．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和谐式”，这个常数称为A关于B的“和谐值”．例：分式，，，则A是B的“和谐式”，A关于B的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“和谐式”．若不是，请说明理由：若是，请求出C关于D的“和谐值”． (2)已知分式，，M是N的“和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值也为整数， ①求E所表示的代数式． ②求所有符合条件的x的值． 【答案】(1)C不是D的“和谐式”，理由见解析 (2)①；②0，2，4，6 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，正确理解“和谐式”的定义是解题的关键． （1）计算出的结果，再根据“和谐式”的定义求解即可； （2）①根据“和谐式”的定义得到，则，据此求解即可；②根据题意可得是整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：C不是D的“和谐式”，理由如下： ， ∵不是正数， ∴C不是D的“和谐式”； （2）解：①∵M是N的“和谐式”，且M关于N的“和谐值”是1， ∴， ， ∴， ∴； ②由①知． ∵M的值也为整数，且分式有意义， ∴或， ∴x的值为：0，2，4，6． 18．（2025·安徽芜湖·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式： …． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_______； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的规律变化，分式的加减运算；通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． （1）依次观察每个等式，可以发现规律：等式左边为从3开始的连续的奇数减去一个分子为序号、分母比分子大1的数，等号的右边为1加上分子为等式左边的奇数乘以序号的数；按照此规律即可求解； （2）把上面发现的规律用字母表示出来，并运用分式的加减运算法则计算等式左右两边，进而得到左右相等便可． 【详解】（1）解：第6个等式：， 故答案为：． （2）解：猜想第n个等式： 证明：∵左边 右边 右边， ∴． 故答案为：． 19．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 20．（24-25八年级下·全国·假期作业）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的通分和约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设， 则， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $