专题01 分式及分式的基本性质的九类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01分式及分式的基本性质的九类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式与最简分式的判断 类型二、分式有无意义的条件 类型三、分式的值为零 类型四、利用分式的基本性质判断分式是否正确 类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数 类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数 类型七、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 类型八、求使分式值为整数时未知数的整数值 类型九、与分式有关的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、分式与最简分式的判断 方法总结 1.形式判断：识别是否为AB(B≠0)形式，且A、B为整式。 2.化简判断：分子分母无公因式（已约至最简）的分式为最简分式。 解题技巧 1.因式分解先行：对分子分母进行因式分解，是判断与化简的基础。 2.检验公因式：检查分解后的分子分母是否有公因式，若有则可约分，非最简。 例1.(25-26八年级上·辽宁铁岭期末)下列式子中属于分式的是() A.Ti B C.x+y 2 D.I 【变式1-1】(25-26八年级上吉林期末)下列分式中，是最简分式的是() A. a'b C. y 8a B. D.0+b a x-y a2-b3 【发式131356八年袋上剂商不化期末利代数成音：女名4会·上中，层于分式 n’x2+4’3玩’x’+2 的有() 1/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式1-3】(25-26八年级上·黑龙江大兴安岭期末)下列分式中，属于最简分式的是() A.-1 2 B x2-1 x-1 C. D.x2-1 x+1 类型二、分式有无意义的条件 1.无意义：分母等于0时，分式无意义。解题时只需让分母等于0，解出未知数的值。 2.有意义：分母不等于0时，分式有意义。解题时让分母不等于0，解出未知数的取值范围。 3.注意：计算时千万不要把分子算进去。分子的取值不影响分式是否有意义。 例2，(2526八年级上云南大理期末)若分式有意义，则实数x的取值范围是了 【变式2-1】2526人年级上全国课前预习》D若要使本有意义、则取值范国长。 3无意义，则的值是」 (2)若要使x+2 【变式22】(2425八年级下全国课后作业)当x时，分式+5有意义：当x时，分式 3x-1 3r无意义. x+5 【变式23】24-25八年级上江西上饶期中)对于分式9。当x时，分式有意义；当x x2-6x+9 时，分式无意义；当x 时，分式的值为0. 类型三、分式的值为零 分子等于0：这是让整个分式值为零的前提。 分母不等于0：这是保证分式有意义的底线。 解题步骤： 1.先让分子等于0，解出可能的x值 2.把这些x值代入分母，检查分母是否为0 3.排除使分母为0的x值，剩下的就是答案 例3.(25-26八年级上福建龙岩月考)已知分式四-1的值为0，则m的值为。 m2-m 【变式3-1】(25-26七年级上·上海金山月考)当x=」 时，分式-1的值为零。 x-11 【变式3-2】(25-26七年级上·上海闵行期末)当x=· 时，分式1的值为0. x2+2x-3 【变式33】(25-26八年级上湖南永州期中)若分式+2x-3》的值为0，则x的值为 x2-9 2/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、利用分式的基本性质判断分式是否正确 1看变形方式：分子和分母是不是同时进行了"乘以同一个数”或”除以同一个数"的操作。 2.看乘除的数：这个用来乘或除的整式，必须是一个不为零的整式。 3.看是否有遗漏：特别要注意符号和系数，确保变形是作用在整个分子和整个分母上，而不是只作用在某 项上。 例4.(25-26八年级上·天津滨海新·期末)下列分式变形正确的是() A.aa B. 2a a C.2a+1.a D.a+2 a 62=b 2b b 4b 2b b+2 b 【变式4-1】(25-26八年级上四川南充期末)分式 ?。中的X,y同时扩大为原来的3倍，则分式的值 3x-2y () A.缩小为原来的 B.扩大为原来的3倍 C.扩大为原来的9倍 D.不变 【变式4-2】(25-26八年级上·北京·月考)下列分式从左到右变形错误的是() A.xty=-xy 2 B.12b 2 ab 2ab2 C.atb_1+b 5a2 D.(x-x-y 5a x2-y2 x+y 【变式4-3】(25-26七年级上·上海月考)下列等式中，成立的是(). a+b 0.6a A.Ta+b)(c+d) =c+d B. 5b18a-50b 3 0.7a-2b21a-12b 5 x-y I C. D.-a-b-1 x2-y2 x-y a-b 类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数 1.先判断，后变号：检查分子或分母的最高次项系数是否为负数。 如果是负数，就在整个分子或分母前面乘以-1 这相当于改变了整个分子或分母的符号 2.要变号，同变化：根据分式的基本性质，分子和分母要同时变化。 如果只改变分子的符号，那么分式本身的符号也要改变 同理，只改变分母的符号，分式本身的符号也要改变 记住：只变一处，分式变号；两处都变，符号不变 3.化最简，再检查：处理完符号后，记得看看分子和分母是否还有公因式。 3/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如果有，需要进行约分，得到最简分式 例5.(24-25八年级下·全国·课后作业)不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正 数. (I)x2 1-x (2)a2 b-b3 【变式5-1】(24-25八年级下，全国·课后作业)不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系 数是正数 (1)7a-a2 2-a 1-x2+y3 2)3+2x-5y 【变式5-2】(24-25八年级下·全国·课后作业)不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的 系数是正数： 01-a-a2 1+a2-a; 8)-1a a2-a+1 【变式5-3】(2024七年级上·全国·专题练习)不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系 数都是正数 (I)-2-x -x2+3 (2)-2x-3x2+1 -4+5x+x2 类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数 1.找出分母：先看分子和分母中所有分数系数的分母。 例如，系数是1/2、23和5/6，它们的分母就是2、3和6。 2.计算最小公倍数：求出这些分母的最小公倍数。 在上例中，2、3、6的最小公倍数是6。 、 这个最小公倍数就是我们要找的"放大倍数"。 3.同乘倍数：用这个最小公倍数同时乘以分子和分母。 这样就能把所有分数系数都变成整数。 同时，分式的值保持不变。 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例6.(2025八年级上北京专愚练习)不改变分式的值，将分式02a+056 的分子分母化为整数 0.1a-0.3b 【变式6-1】(24-25八年级下，全国·课后作业)不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化 为整数，且分子与分母的首项系数都不含“-”号： 002-y -0.5x 1 22 5x-3y 【变式6-2】(24-25七年级下·全国·课后作业)不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数 化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数. 2+y -x-3y (②)-0.012-0.5 -0.3z-0.04 【变式6-3】(25-26八年级上·全国·课后作业)不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化 为整数， 0.3x+0.5y (00.2x-0.01y 1 0.2m--n 2 (②)12· 4m-2n 3 类型七、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 方法总结 1.符号法则：分式的值大于0一分子分母同号；分式的值小于0一分子分母异号。 2.转化不等式组：根据上述法则，将分式值的正负问题转化为两个一元一次不等式组求解。 解题技巧 1. 确保有意义：始终将“分母不为0”作为前提条件，并在最终答案中排除使分母为0的值。 2. 借助数轴：在求解不等式组时，利用数轴确定各部分的符号区间，直观找出公共解集。 (25-26八年级上辽宁营口月考)已知3+2的值为正数，则x的取值范围为 【变式7-1】(25-26八年级上北京海淀月考)若分式？值为负数，则x的取值范围是 x-5 【变式72】(25-26八年级上河北石家庄期中)若分式，5的值为正数，则：的取值范围 2x+1 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是 【变式7-3】(25-26八年级上全国课后作业)填空： )当x时，分式+5的雅为正 (2)当x为 时，分式 的值为负： (3)当x为」 时，分式 的值为正整数. 类型八、求使分式值为整数时未知数的整数值 1.先化简：如果分式比较复杂，先进行因式分解和约分。 把它变成最简形式，这样更容易分析。 2.再变形：用"分离常数法"把分式拆开。 ·例如，把c+3)/x-1)变形为1+4/(x-1)。 -这样，只要4/(c-1)是整数，整个分式的值就是整数。 3.列方程：确定分母的取值。 分母必须是分子的约数。 在上例中，x-1必须是4的约数，即±1，±2，土4。 然后解出x的值，并确保分母不为零。 例8.(25.26八年级上北京通州期末)若x为整数，且使分式，6的值是整数，则x的值是 2x+1 【变式8-1】(25-26八年级上山东淄博月考)分式3x+4的值为整数，则所有符合条件的整数x的值 x-1 为 【变式8-2】(24-25八年级下·河北张家口·期中)数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式A:2x+2, B:x2-1,请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题. (I)嘉嘉：求A+B的最小值： ②琪琪：若合的值为正整数，求整数的雀。 【变式8-3】(25-26八年级上·河北邯郸月考)阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似 点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质.小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类 似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式.对于任何一个假分式都 可以化成整式与真分式的和的形式，如：+！-1+2_x=1十2=1+2 x-1x-1x-1x-1'x-1 (1)在02x-3 27:⑧2x -1；②x2 2)；④+3这些分式中，属于真分式的是；（填序号 x2-1 6/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2将假分式x+化成整式与真分式和的形式， 2x-1 (3)若假分式 4x+5 的值是整数，求整数x的值. 2x-1 类型九、与分式有关的新定义型问题 1.读懂定义：这是最重要的一步。仔细阅读题目给出的新规则，比如"新运算"或"新符号"的含义。 用笔把规则里的关键条件划出来 确保完全理解后再动手 2.套用规则：把题目中的具体数字或字母，代入到新定义的规则里。 这一步就像做翻译，把新的语言翻译成我们熟悉的数学表达式 通常是一个分式 3.化简求解：得到熟悉的表达式后，就可以用我们学过的分式知识来解题了。 可以是化简、求值，也可以是解方程 用我们己经掌握的方法来解决问题 例9.(2425八年级下·江西鹰潭·阶段练习)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式 的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如： x+1_-1+2--+2=1+2 十 x-1x-1x-1x-1 x-: a2-2a+3_(a-1+2 a-1 a-1 a-1+2 a-1 和心2+子都是和谐分式 则+1 a-1 (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： (填序号)； 0+2,②-4， +1④+1 4；③+2 ②将“和谐分式。-6x-2化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： x-3 ③)当x取什么整数时，“和谐分式”？-6x-2的值为整数？ x-3 【变式9-1】(2025七年级下·全国·专题练习)（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个 分式为巧分式”，约分后的整式称为这个分式的巧整式.例如：4-8x.42)=4x,则称分式 x-2 x-2 4r-8x是巧分式，4x为它的巧整式”.根据上述定义，解决下列问题： x-2 (1)下列分式中是“巧分式”的有 (填序号)： Ox-12x-3x+2) (x-1)(x+2) 2:®2r+5 t*3:⑧® x+y 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②若分式2+2红的巧整式为1-x,请判断2x+4+2是否是巧分式，并说明理由。 【变式9-2】(23-24八年级上广西南宁阶段练习)我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这 个分式为巧分式”，约分后的整式称为这个分式的巧整式，例如：4-8x_4红2=4r,则称分式 x-2 x-2 4r-8x是巧分式，4x为它的巧整式”.根据上述定义，解决下列问题。 x-2 (1)下列分式中是“巧分式”的有 (填序号)； x43:③2 ①-2x3Xr+2,@2r+5, (x-1)(x+2) x+y 2若分式-4r+m(m为常数)是一个巧分式”，它的巧整式”为x-7,求m的值： x+3 6)若分式2r+2x的巧整式为1-x ①求整式A. ②2x+4+2x是巧分式吗？ 【变式9-3】(24-25八年级下·河南南阳阶段练习)通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分 数，而假分数都可化为带分数，如：8-6+2=2+2-22 33 33 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的 分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我 们称之为“真分式” 如-！这样的分式就是假分式：3、x这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化为带分 x+1x-1 x+1x2+1 式（即：整式与真分式的和的形式）. 如x+到-2-1-2,2xx-+x-+1 x+1x+1 x+1'x-1 x-1 x+1+1 x-1 解决下列问题： (4)分式2025是 分式（填“真”或“假”）； x+1 2将假分式x-3化为带分式 x-2 ③)若分式-4红+6的值为整数，x为整数，求分式的值。 x-2 8/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 压轴专练 一、单选题 2526八年级上山东溜速段签习D下列洛式：名，，沙 ,其中分式共有() x+1 个. A.2 B.3 C.4 D.5 2Q526七年级下全国单元测试)分式，+，女-父，中中最同分式的个数是（一 a-b’x-y A.1 B.2 C.3 D.4 6。(25-26七年级下全国单元测试》如果把分式2中的x和V的值都封扩大为原米的2倍，那么分式跑 值() A.扩大为原来的2倍 B.扩大为原来的4倍 C.缩小为原来的 D.不变 4.(2025山东淄博中考真题)若分式】÷-3有意义，则x的取值范围是() x+1x-2 A.x≠-1且x≠2 B.x≠-1且x≠3 C.x≠2且x≠3 D.x≠-1且x≠2且x≠3 5.(25.26八年级上山东淄博阶段练习）式子：（1)2-2x-（2)2-a+b ；(3) c-a a+c -x+y==y. 其中正确的是() -x-y x+y A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.(24-25九年级浙江自主招生)若x是整数，分式6x+7x-20的值也是整数，则满足条件的x的个数是 2x-1 () A.3个 B.4个 C.5个 D.8个 二、填空题 又(25-26八年级上山东淄膊阶段练习)当8一时，分式25有意义.当时，分式 -5_的值为0. x2-4x-5 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8。(2425九年级下江苏南通阶段练习)若分式的值为负，则x的范围是 9.(2526八年级上山东淄博阶段练习)分式3汇+4的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为一 x-1 10.(25-26八年级上·全国课后作业)不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数， 0.5x-0.7y (1) 0.2x+0.6y 4+b 4一= 11.（25-26八年级上·全国·课后作业)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中x的最高次项的系数为 正数 (1) -3x+x2 -2x2+x (2)-x2-1 -x+y (3) -x3-x2 -x2+x 12.(25-26八年级上全国课后作业)利用分式的基本性质填空： 3c 15ac (1) 26(),括号内应填入 ； 2)-（,括号内应填入 ab a'b (3) 一()括号内应填入 x+xyx+y （4)-y2=() ,括号内应填入 (x-y)2 x-y 三、解答题 13.(25-26八年级上·全国·课前预习)当x为何值时，下列分式的值为0？ (0)+2 x-1 2以7 x-7 ③)33 x-1 14.(24-25八年级下·全国·课后作业)不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数， 10/12 专题01 分式及分式的基本性质的九类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式与最简分式的判断 类型二、分式有无意义的条件 类型三、分式的值为零 类型四、利用分式的基本性质判断分式是否正确 类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数 类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数 类型七、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 类型八、求使分式值为整数时未知数的整数值 类型九、与分式有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、分式与最简分式的判断 方法总结 1. 形式判断：识别是否为A/B（B≠0）形式，且A、B为整式。 2. 化简判断：分子分母无公因式（已约至最简）的分式为最简分式。 解题技巧 1. 因式分解先行：对分子分母进行因式分解，是判断与化简的基础。 2. 检验公因式：检查分解后的分子分母是否有公因式，若有则可约分，非最简。 例1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）下列式子中属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，理解分式成立的条件是解答的关键． 分式的定义：如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不属于分式，故本选项不符合题意； B、不属于分式，故本选项不符合题意； C、不属于分式，故本选项不符合题意； D、属于分式，故本选项符合题意； 故选：D 【变式1-1】（25-26八年级上·吉林·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的定义，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式．通过检查各选项，A、B、D均可约分，只有C无法约分． 【详解】解：A项：，分子分母有公因式a，可约分； B项：，分子分母有公因式a，可约分； C项：，分子y与分母无公因式，不可约分； D项：，分子分母有公因式，可约分． 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）代数式 ，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，逐一判断每个代数式即可． 【详解】解： ，分母为5，不含字母，不是分式； ，分母为n，含字母n，是分式； ，分母为 ，含字母x，是分式； ，分母为 ，π为常数，不含字母，不是分式； ，分母为x，含字母x，是分式； ，分母为 ，含字母x，是分式， 是分式的有 ，，，，共4个， 故选C． 【变式1-3】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式． 根据最简分式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A：，可约分，不是最简分式； B：，分子和分母除了1无其它公因式，是最简分式； C：，可约分，不是最简分式； D：，可约分，不是最简分式； 故选：B． 类型二、分式有无意义的条件 1.无意义：分母等于0时，分式无意义。解题时只需让分母等于0，解出未知数的值。 2.有意义：分母不等于0时，分式有意义。解题时让分母不等于0，解出未知数的取值范围。 3.注意：计算时千万不要把分子算进去。分子的取值不影响分式是否有意义。 例2．（25-26八年级上·云南大理·期末）若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不为零，由此列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得到，， 解得，， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·课前预习）（1）若要使有意义，则的取值范围是 ． （2）若要使无意义，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义与无意义的条件； （1）根据分式有意义可得，再进一步求解即可； （2）根据分式无意义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）∵无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，分式有意义；当 时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解． 【详解】解：当，即时，分式有意义； 当，即时，分式无意义； 故答案为：，． 【变式2-3】（24-25八年级上·江西上饶·期中）对于分式当 时，分式有意义；当 时，分式无意义；当 时，分式的值为． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为的条件，完全平方公式，利用开平方解方程，熟练掌握分式有意义的条件，分式的值为的条件，以及完全平方公式是解题的关键．利用分式有意义的条件是分式的分母不等于零，分式的值为的条件是分式的分子为零且分母不为零，结合完全平方公式和开平方解方程求解即可． 【详解】解：由分式有意义， ∴， 即， 解得：， ∴时分式有意义，时分式无意义； 由分式的值为， ∴，且， 即，且， 解得：， 故答案为：；；． 类型三、分式的值为零 - 分子等于0：这是让整个分式值为零的前提。 - 分母不等于0：这是保证分式有意义的底线。 解题步骤： 1.先让分子等于0，解出可能的x值 2.把这些x值代入分母，检查分母是否为0 3.排除使分母为0的x值，剩下的就是答案 例3．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）已知分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为的条件，绝对值的运算，因式分解，掌握“分式值为的条件”是解题关键． 分式的值为，则分子为且分母不为，求解分子方程并验证分母是否不为． 【详解】解：由分式的值为，得分子，即，解得或， 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26七年级上·上海金山·月考）当 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．据此求解即可． 【详解】解：由分式值为零的条件，得分子， 解得或． 又分母，即， 所以． 故答案为． 【变式3-2】（25-26七年级上·上海闵行·期末）当 ．时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为0．分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，解分子方程得或，但时分母为0，故舍去，因此，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴， ∴解得或， 当时，则（舍去）， 当时，则， 因此， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．根据分式的值为0的条件，分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：分式的值为0，则分子， 解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 类型四、利用分式的基本性质判断分式是否正确 1.看变形方式：分子和分母是不是同时进行了"乘以同一个数"或"除以同一个数"的操作。 2.看乘除的数：这个用来乘或除的整式，必须是一个不为零的整式。 3.看是否有遗漏：特别要注意符号和系数，确保变形是作用在整个分子和整个分母上，而不是只作用在某一项上。 例4．（25-26八年级上·天津滨海新·期末）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质判断即可． 【详解】解：选项A，，A错误，不符合题意； 选项B，，符合分式的基本性质，B正确，符合题意； 选项C，的分子为，不能直接约分为，C错误，不符合题意； 选项D，分子分母同时加2，不符合分式的基本性质，D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式4-1】（25-26八年级上·四川南充·期末）分式中的，同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．扩大为原来的9倍 D．不变 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，当分子和分母中的变量同时扩大相同倍数时，分式的值的变化取决于分子和分母的变化比例． 【详解】解：设原分式为， 当和同时扩大为原来的 3 倍时，新分式为：， ∵， ∴， ∴分式的值扩大为原来的3倍， 故选：B． 【变式4-2】（25-26八年级上·北京·月考）下列分式从左到右变形错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式性质：分子和分母同时除以或乘上同一个数（不为0），分式的值不变．据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：选项A：，正确，不符合题意； 选项B：（分子分母同乘以），正确，不符合题意； 选项C：取，左边，右边，不相等，错误，符合题意； 选项D：，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式4-3】（25-26七年级上·上海·月考）下列等式中，成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可． 【详解】解：A．，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项正确，符合题意； C．，故此选项错误，不符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数 1.先判断，后变号：检查分子或分母的最高次项系数是否为负数。 - 如果是负数，就在整个分子或分母前面乘以-1 - 这相当于改变了整个分子或分母的符号 2.要变号，同变化：根据分式的基本性质，分子和分母要同时变化。 - 如果只改变分子的符号，那么分式本身的符号也要改变 - 同理，只改变分母的符号，分式本身的符号也要改变 - 记住：只变一处，分式变号；两处都变，符号不变 3.化最简，再检查：处理完符号后，记得看看分子和分母是否还有公因式。 - 如果有，需要进行约分，得到最简分式 例5．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）分子，分母同时乘以，即可； （2）分子，分母同时乘以，即可； 【详解】（1）解：； （2）． 【变式5-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的符号法则求解． （1）先将分式的分子分母按字母进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性质，将分子分母都乘以即可得到答案； （2）先将分式的分子分母均按字母进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式5-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的基本性质． （1）原式分子分母分别提取变形，即可得到结果． （2）分式分母提取变形即可得到结果； （3）分式分子提取变形即可得到结果； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）对分式的分子分母均乘以即可； （2）将分式的分子部分提取即可． 【详解】（1）解：原式 ; （2）解: 原式 ． 类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数 1. 找出分母：先看分子和分母中所有分数系数的分母。 - 例如，系数是 1/2、2/3 和 5/6，它们的分母就是 2、3 和 6。 2. 计算最小公倍数：求出这些分母的最小公倍数。 - 在上例中，2、3、6 的最小公倍数是 6。 - 这个最小公倍数就是我们要找的"放大倍数"。 3. 同乘倍数：用这个最小公倍数同时乘以分子和分母。 - 这样就能把所有分数系数都变成整数。 - 同时，分式的值保持不变。 例6．（2025八年级上·北京·专题练习）不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘以10即可． 本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：． 【变式6-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式6-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型七、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 方法总结 1. 符号法则：分式的值大于0 ⇔ 分子分母同号；分式的值小于0 ⇔ 分子分母异号。 2. 转化不等式组：根据上述法则，将分式值的正负问题转化为两个一元一次不等式组求解。 解题技巧 1. 确保有意义：始终将“分母不为0”作为前提条件，并在最终答案中排除使分母为0的值。 2. 借助数轴：在求解不等式组时，利用数轴确定各部分的符号区间，直观找出公共解集。 （25-26八年级上·辽宁营口·月考）已知的值为正数，则的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】此题主要考查了分式的值，能够根据分式的值的符号来判断分子和分母的符号是解题的关键．分式的值为正数，分母恒为正（且），因此分子 必须大于零，计算求解即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴分子与分母同号， 又∵对于任意实数，，且作为分母， ∴， ∴， 即且． 故答案为：且． 【变式7-1】（25-26八年级上·北京海淀·月考）若分式值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式7-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，求一元一次不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 分式的值为正数，分子5为正数，因此分母必须为正数，且分母不能为零． 【详解】解：∵分式的值为正数，且分子， ∴分母， 解得， 又∵分母，即，而已满足此条件， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 类型八、求使分式值为整数时未知数的整数值 1. 先化简：如果分式比较复杂，先进行因式分解和约分。 - 把它变成最简形式，这样更容易分析。 2. 再变形：用"分离常数法"把分式拆开。 - 例如，把  (x + 3) / (x - 1)  变形为  1 + 4 / (x - 1) 。 - 这样，只要  4 / (x - 1)  是整数，整个分式的值就是整数。 3. 列方程：确定分母的取值。 - 分母必须是分子的约数。 - 在上例中， x - 1  必须是 4 的约数，即  ±1, ±2, ±4 。 - 然后解出  x  的值，并确保分母不为零。 例8．（25-26八年级上·北京通州·期末）若为整数，且使分式的值是整数，则的值是 ． 【答案】，，0，1 【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可． 【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数， ∴或或或， 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 因此，x的值为，，0，1； 故答案为，，0，1． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 【答案】或0或2或8 【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数， ∴或， ∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 【变式8-2】（24-25八年级下·河北张家口·期中）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【答案】(1)的最小值是． (2)整数的值为或． 【分析】本题主要考查了整式的加减、配方法的应用、分式的化简以及分式值为正整数的条件．熟练掌握整式的运算法则、配方法、分式的化简方法是解题的关键． （1）先求出的表达式，再将其化为顶点式，根据二次函数的性质求出最小值． （2）先求出的表达式，再根据其为正整数以及为整数来确定的值． 【详解】（1）解： ∴当且仅当，即时取等号，的最小值是． （2）解： ∵分式有意义时，分母不为，即，解得． 当时，． ∵的值为正整数，为整数． 当，即时，； 当，即时，． ∴整数的值为或． 【变式8-3】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 【答案】(1)③ (2)2+ (3)整数x的值为或或或． 【分析】本题考查了分式的性质、分式的加减运算，理解题中的定义和转化方法是解答的关键． （1）直接根据真分式的定义判断即可； （2）仿照例题进行转化即可； （3）根据题意只需是整数，进而求解或即可． 【详解】（1）根据真分式的定义，属于真分式的是③． 故答案为：③； （2）解：； （3）解：由（2），得， ∵假分式的值是整数， ∴是整数． ∴或． ∴或或或． ∴整数x的值为或或或． 类型九、与分式有关的新定义型问题 1. 读懂定义：这是最重要的一步。仔细阅读题目给出的新规则，比如"新运算"或"新符号"的含义。 - 用笔把规则里的关键条件划出来 - 确保完全理解后再动手 2. 套用规则：把题目中的具体数字或字母，代入到新定义的规则里。 - 这一步就像做翻译，把新的语言翻译成我们熟悉的数学表达式 - 通常是一个分式 3. 化简求解：得到熟悉的表达式后，就可以用我们学过的分式知识来解题了。 - 可以是化简、求值，也可以是解方程 - 用我们已经掌握的方法来解决问题 例9．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 【变式9-1】（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 【变式9-2】（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②是“巧分式” 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； （3）解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ②， 又是整式， 是“巧分式”． 【变式9-3】（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，对题中出现的各式逐一分析，统计出分式的个数即可． 【详解】解：对于，分母是a，a是字母，所以是分式； 对于，分母是，是一个常数，也是常数，不含有字母，所以不是分式； 对于，分母是2，2是常数，不含字母，所以不是分式； 对于，的分母是x，x是字母，所以是分式； 对于，分母是，x是字母，所以是分式． 综上所述，其中分式有：，，，共3个． 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）分式，，，中最简分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是分式的约分，最简分式，因式分解，解题关键是熟练掌握最简分式的定义． 将每个选项的分子和分母分别进行因式分解，然后进行约分化简，如果无法继续进行化简则选项是最简分式，如果可以继续化简，则选项不是最简分式． 【详解】解：的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式； ，即不是最简分式； ，即不是最简分式； 的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式． 综上，最简分式的个数是个． 故选：． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如果把分式中的和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是分式的基本性质、解题关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据，判断作答即可． 【详解】解：把分式中的和的值都扩大为原来的倍， 则分式变为， 分式的值扩大为原来的倍． 故选：． 4．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 5．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变是解题的关键．分别对三个式子进行分式变形的分析，判断其正确性． 【详解】解：（1）．故（1）错误； （2）．故（2）错误； （3）分子、分母同时乘以，分式的值不变，即．故（3）正确． 综上所述，正确的变形有1个． 故选：B． 6．（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）当x 时，分式有意义．当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件．对于第一个空，根据分式有意义的条件，令分母不为零，求解x的取值范围；对于第二个空，根据分式值为零的条件，先令分子为零，再检验分母是否不为零，从而确定x的值． 【详解】解：（1）依题意得：， 解得． （2）依题意得：，且， ∴，且， 解得． 故答案为：，． 8．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若分式的值为负，则的范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式的值为负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 9．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 【答案】或0或2或8 【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数， ∴或， ∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入 ；            （2），括号内应填入 ； （3），括号内应填入 ；         （4），括号内应填入 ． 【答案】 x 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式的基本性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·全国·课前预习）当为何值时，下列分式的值为0？ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)没有使分式的值为0的值 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件； （1）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可； （2）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可； （3）根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵的值为， ∴且， 解得：． （2）解：∵的值为， ∴且， 解得：． （3）解：∵的值为， ∴且， ∴没有使分式的值为0的值． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围； （2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 17．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 18．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的求值，方法一：，，再代入计算即可．方法二：由条件可得，设，则，再代入计算即可． 【详解】解：方法一：∵， ∴，， ∴ ； 方法二：∵， ∴， 设，则， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $