专题02 二次根式的运算的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题02 二次根式的运算的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、已知最简二次根式求参数 类型二、已知同类二次根式求参数 类型三、二次根式的混合运算 类型四、二次根式中的分母有理化 类型五、二次根式运算中的新定义型问题 类型六、二次根式运算中的规律探究问题 压轴专练 类型一、已知最简二次根式求参数 方法总结 1. 定义对照：紧扣“最简二次根式”的两个核心条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 2. 建立方程：根据“同类二次根式”或“给定的最简形式”等条件，列出关于参数的方程（组）求解。 解题技巧 1. 化简要先行：先将所给的二次根式化为最简形式，再与条件进行比对。 2. 双验防增根：求出参数值后，必须回代验证原根式是否为最简二次根式，并检查是否满足题目其他条件（如被开方数非负）。 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-1】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值： ． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含平方因子，因此 需无平方因子，故 不能是3的倍数且自身无平方因子， 【详解】解：当，则，3无平方因子，故是最简二次根式 故答案为：1（答案不唯一）． 【变式1-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 【变式1-3】（24-25八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：（答案不唯一）． 类型二、已知同类二次根式求参数 方法总结 1. 化简为首：将给出的二次根式分别化为最简二次根式。 2. 定义列式：根据“同类二次根式”定义——被开方数相同，令化简后的被开方数相等，建立关于参数的方程。 解题技巧 1. 忽略系数：只关注最简根式下的被开方数是否相同，根号外的系数无需相等。 2. 验根留值：解出参数后必须代回原式，验证化简后确为同类二次根式，并确保原根式有意义（被开方数≥0）。 例2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）若与最简二次根式可以合并，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，先把化为最简二次根式，再根据与最简二次根式可以合并可知的被开方数与化为最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式；最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得， 当时，，，二者均为最简二次根式，符合题意， 故； 故答案为：． 【变式2-2（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先将化简为最简二次根式，再根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式可得关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， ． 故答案为4． 类型三、二次根式的混合运算 方法总结 1. 顺序清晰：遵循先乘除、后加减，有括号先算括号内的基本运算顺序。 2. 统一形态：先将各项化为最简二次根式，并将除法转化为乘法（乘以倒数）处理。 解题技巧 1. 活用运算律：灵活运用乘法分配律、结合律等简化计算过程。 2. 有理化先行：遇分母含根式时，优先分母有理化，常能大幅简化后续运算。 例3．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先运用二次根式的性质进行化简和应用平方差公式，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法、乘法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （3）化简二次根式，并利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式3-2】（25-26八年级上·广东深圳·周测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的性质化简括号内的，然后根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解； （3）先将二次根式化简，然后计算加减法即可； （4）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） （4） ． 【变式3-3】（24-25八年级上·山东济南·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质、二次根式混合运算、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先用二次根式的性质化简，然后再计算即可； （3）先用平方差公式和完全平方公式展开，然后再合并同类二次根式即可． （4）先用二次根式的性质、绝对值、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 类型四、二次根式中的分母有理化 方法总结 1. 单根式分母：分子分母同乘分母中的根式，利用()()=a消去分母根号。 2. 和差根式分母：分子分母同乘分母的共轭根式（如a+的共轭是a-），利用平方差公式化简。 解题技巧 1. 观察结构：先准确识别分母属于“单根式”还是“和/差含根式”类型，选择对应方法。 2. 预判化简：有理化前，先约分分子分母的公因数，可减少计算量。 例4．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【变式4-1】（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3)，过程见解析 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：设，， 则， ， ， ， 即， 【变式4-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； 利用发现的规律解决下列问题： (1)化简式子：______； (2)直接写出式子的值：______； (3)计算：（为正整数）． 【答案】(1) (2)2024 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2） ． 故答案为：2024， （3）依题意， ． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽·假期作业）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 类型五、二次根式运算中的新定义型问题 方法总结 1. 读懂“新定义”：仔细阅读并理解题目中定义的新运算规则或新概念的形式与含义。 2. 模仿套用：严格按照新定义的运算步骤或判定条件，将给定的二次根式代入进行运算或推理。 解题技巧 1. 实例验证：用简单的数值或根式先按新规则操作一遍，确保理解无误。 2. 化归思想：将新定义运算后的表达式，通过常规的二次根式运算（化简、有理化等）进行化简求值。 例5．（2025八年级上·全国·专题练习）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，理解新定义运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算； （2）根据新定义运算法则计算． 【详解】（1）解：由题意，得： ． 故的值为． （2）解：由（1）可知，， ∴． 由题意，得： ． 故的值为． 【变式5-1】（2025九年级上·全国·专题练习）若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； （2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； 本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴． （2）解：由题可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： (1)如果，则 ；如果，则 ； (2)①如果，求b的值； ②若，求m与n的关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）①先根据倒数的定义求解，再分母有理化即可； ②根据倒数的定义列式求解即可． 【详解】（1）∵a、b互为倒数，， ∴． ∵a、b互为倒数，， ∴． 故答案为：； （2）①∵a、b互为倒数，， ； ②∵a、b互为倒数，， ∴，即． 【变式5-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）根据对偶式的定义即可得； （2）先将分母有理化，再求出的值，然后代入计算即可得． 【详解】（1）解：的对偶式为， 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴， ， ， ∴ ． 类型六、二次根式运算中的规律探究问题 方法总结 1. 由特到一般：从给定的前几项具体运算结果入手，观察数字、运算符号及根式的变化模式。 2. 归纳表达式：将观察到的规律（如序号、分子分母特征等）用含n的代数式（通项公式或运算规律）表示出来。 解题技巧 1. 对比找不变：对比相邻项的结果，寻找哪些部分恒定、哪些部分按等差/等比等规律变化。 2. 验证保可靠：将归纳出的规律代入后续1-2项进行验证，确保归纳正确后再用于解题。 例6．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 【变式6-1】（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律； 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个式子是：n； 证明如下： ． 【变式6-2】（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（2025八年级上·重庆·专题练习）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究，根据题干信息，得到（，且n为整数），是解题的关键： （1）仿照题干给出的特例，作答即可； （2）根据二次根式的性质进行化简即可； （3）利用规律先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）证明：∵，且n为整数， ∴ ， ； （3）解： ， ∵的小数部分是0.1 ∴， ∴， ∴的整数部分为． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 2．（25-26九年级上·山西长治·月考）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除法则逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A：∵，且计算值不相等，∴A错误； 对于选项B：∵，∴B正确； 对于选项C：∵，∴C错误； 对于选项D：∵，∴D错误． 故选：B． 3．（25-26八年级上·广东佛山·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同，先将化为最简形式，得到，从而确定被开方数为2． 【详解】∵ ，且与可以合并， ∴ 与是同类二次根式， ∴ ， ∴， ∴ ， 故选：A． 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【详解】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（   ） A．1 B．4 C．－2 D．9 【答案】B 【分析】根据定义的运算，先利用平方差公式简化表达式，再代入数值计算. 本题考查了二次根式的计算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵ , 且 , ∴ . 代入 : ∴ ， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式加减，先将 化简为 ，再与 进行合并同类项即可． 【详解】解：． 故答案为 ． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 8．（25-26八年级上·全国·期末）若，，则代数式的值为 ． 【答案】31 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的逆用及整体代入法，由已知条件，先计算a与b的和与积，再利用代数恒等变形求值． 【详解】解：∵，， ∴，， 则， 代入得：． 故答案为：31． 9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键．根据新运算规则列出算式计算即可求解， 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ． 【答案】（） 【分析】本题主要考查二次根式运算、式子类规律探索，观察给定等式，左边系数与根号内分子相同，分母为系数的平方减1；右边为根号下系数与分数之和，分数分子与系数相同，分母为系数的平方减1，由此得出规律． 【详解】解：总结得：对于自然数n（），等式左边为 ，右边为， 验证：左边， 右边， 左右相等，故规律成立， 因此，用含自然数的等式表示为（）． 故答案为：（）． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和正确化简二次根式． （1）先化简二次根式，再进行加减计算； （2）先化简二次根式，计算括号内二次根式的减法，再进行乘除运算，最后进行加减计算． 【详解】（1）解： （2）解： ． 12．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再按照二次根式的混合运算法则求解即可； （3）运用二次根式的混合运算法则计算即可； 本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 13．（25-26八年级上·江苏南通·月考）计算或化简： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）分别化简二次根式，先算小括号里面的，然后再算括号外面的． （3）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式性质进行计算即可；（4）根据完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 14．（24-25八年级下·安徽铜陵·期中）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， (1)观察、归纳，得出猜想：如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______． (2)证明你的猜想； (3)应用运算规律： ①化简：______． ②若（均为正整数），则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）由材料提示，归纳总结即可； （2）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （3）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （2）解：， 等式左边等式右边； （3）①解： ． ②， ， ， ． 15．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键． （1）根据规律运算即可； （2）根据规律运算即可； （3）根据规律运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3） 解：原式 ． 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，勾股定理． （1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解； （2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解． （3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，勾股定理求得，利用海伦公式求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， 答：的面积是； （2）解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴周长的一半为 ∴ ∴四边形的面积为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次根式的运算的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、已知最筒二次根式求参数 类型二、已知同类二次根式求参数 类型三、二次根式的混合运算 类型四、二次根式中的分母有理化 类型五、二次根式运算中的新定义型问题 类型六、二次根式运算中的规律探究问题 压轴专练 典例详解 类型一、已知最简二次根式求参数 方法总结 1.定义对照：紧扣“最简二次根式”的两个核心条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽 方的因数或因式。 2.建立方程：根据“同类二次根式”或“给定的最简形式”等条件，列出关于参数的方程（组）求解。 解题技巧 1.化简要先行：先将所给的二次根式化为最简形式，再与条件进行比对。 2. 双验防增根：求出参数值后，必须回代验证原根式是否为最简二次根式，并检查是否满足题目其他条 件（如被开方数非负）。 例1.(25-26八年级下，全国课后作业)若n是正整数，√2n是最简二次根式，则n可以是 (写 出一种情况即可). 【变式1-1】(25-26八年级上·河南平顶山期中)二次根式√3m是最简二次根式，请写出一个符合条件的m 的值： 【变式1-2】(2425八年级下·贵州贵阳·月考)已知√m-3是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整 数值： 【变式1-3】(24-25八年级下陕西安康期中)若√6n(n为大于1的整数)是最简二次根式，则n的值可 以是一 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、已知同类二次根式求参数 方法总结 1.化简为首：将给出的二次根式分别化为最简二次根式。 2.定义列式：根据“同类二次根式”定义一一被开方数相同，令化简后的被开方数相等，建立关于参数 的方程。 解题技巧 1.忽略系数：只关注最简根式下的被开方数是否相同，根号外的系数无需相等。 2.验根留值：解出参数后必须代回原式，验证化简后确为同类二次根式，并确保原根式有意义（被开方 数≥0)。 例2.(25-26八年级上陕西宝鸡期末)若√50与最简二次根式√a+5可以合并，则a的值是 【变式2-1】(25-26八年级上湖南永州·月考)若最简二次根式√2a+4与√a+3可以合并，则a的值 为 【变式2-2(25-26八年级上·陕西西安·月考)已知最简二次根式√a+3与√18是同类二次根式，则a的值 为 【变式2-3】(25-26八年级上·甘肃兰州期末)若最简二次根式Vx-2y+10与最简二次根式√2x-y+6是同类 二次根式，则x+y= 类型三、二次根式的混合运算 方法总结 1.顺序清晰：遵循先乘除、后加减，有括号先算括号内的基本运算顺序。 2.统一形态：先将各项化为最简二次根式，并将除法转化为乘法（乘以倒数）处理。 解题技巧 1.活用运算律：灵活运用乘法分配律、结合律等简化计算过程。 2.有理化先行：遇分母含根式时，优先分母有理化，常能大幅简化后续运算。 例3.（25-26八年级上·广东深圳月考)计算： ()18-2(8-2): a5+而-2+05-) 5 【变式3-1】(25-26八年级上山东青岛月考)计算： 0-+目 ②2T5+眉vis-va 2/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8V4- √5 5+(2-√3)(2+5) 【变式3-2】(25-26八年级上广东深圳周测)计算： aa-6得w 8÷25; 225+52)2w5-52)-(5-2. ow-5 ④(2+1°-(2+5)5-2) 【变式3-3】(24-25八年级上山东济南期中)计算： 0-5- 22d+5-2, √5 35+2-(3-2j(5+2): (④220+}3-V5-(2-x)°. 类型四、二次根式中的分母有理化 方法总结 1. 单根式分母：分子分母同乘分母中的根式，利用（√）（√）=消去分母根号。 2.和差根式分母：分子分母同乘分母的共轭根式（如a+√石的共轭是a√b),利用平方差公式化简。 解题技巧 1.观察结构：先准确识别分母属于“单根式”还是“和/差含根式”类型，选择对应方法。 2.预判化简：有理化前，先约分分子分母的公因数，可减少计算量。 例4.(2026八年级下·全国专题练习)在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法.例如： 1 √2-1 1 5-√2 2+1(2+12- 万5-1,5r5不5+295-5 1 (1)化简： √10+√9 3/11 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (2)观察上面的计算过程，直接写出式子： Vn+√n-l 1 1 1 (3)利用分母有理化计算： 人2+13+2+4+5++ √2026+√2025 (V2026+1. 【变式4-1】(25-26九年级上四川内江·月考)观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (2+12-=1; (5+W2)5-2)=1; (4+5)(4-⑤)=1： (5+4V5-4=1. (I)观察以上规律，请写出第5个等式： 1 1 1 1 ②利用上面的规律，计算2+十5+万+4+万++00+9网 (3)请利用上面的规律，比较√2025-V2024与（√2026-√2025）的大小，并写出详细过程 【变式4-2】(25-26八年级上湖南邵阳·月考)观察下列各式的计算过程，寻找规律： 1 √2-1 =2-1; √2+1（√2+10(W2-1) 1 5-2 5+V53+V25-25-2: 1 √4-5 √4+V3(W4+3)(W4-√3) =V4-5 利用发现的规律解决下列问题： )化简式子：n-1+n 1 1 1 1 (2)直接写出式子的值： 1 2+13+√2√4+5 √2025+√2024 ×(√2025+1)=； 1 1 (3)计算： ++5+5+万+5+…+2m+1+2m (n为正整数). 1 【变式4-3】(25-26八年级上安微假期作业)阅读下面问题： 1-√2 1+V2(1+V2)1-V2) =-1+V2, 1 √-5 2+62+8--5+6, 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5-4 =-3+2…, √3+V4(W3+√4)3-V4) 【问题探究】 1)根据以上信息，化简：n+Vn+ 1 【应用结论】 1 (2)利用以上规律，计算： 1+1+1 1+N5+2+5+5+4++2025+V2026 (1+√2026) 【拓展应用】 (3)如果有理数a,b满足ab-2=√b-1+V1-b,试求： 十十 a√b+b√a(a+1)Wb+1+(b+1)Wa+1"(a+2)Wb+2+(b+2)Wa+2 (a+2024)Wb+2024+(b+2024)Va+2024 的值. 类型五、二次根式运算中的新定义型问题 方法总结 1.读懂“新定义”：仔细阅读并理解题目中定义的新运算规则或新概念的形式与含义。 2.模仿套用：严格按照新定义的运算步骤或判定条件，将给定的二次根式代入进行运算或推理。 解题技巧 1.实例验证：用简单的数值或根式先按新规则操作一遍，确保理解无误。 2.化归思想：将新定义运算后的表达式，通过常规的二次根式运算（化简、有理化等）进行化简求值。 例5.（2025八年级上全国专题练习)对于任意不相等的两个数4，b,定义一种运算※如下： axb=va+b 如5※4=5+4 =3. a-b 5-4 (1)求7※5的值， (2)求2-V5)※(7※5)的值. 【变式5-1】(2025九年级上·全国.专题练习)若两个含二次根式的代数式m,n满足：mn=9,且q是有 理数，则称m与n是关于9的“和谐二次根式”，如2√2×√2=4，则称2√2与√2是关于4的“和谐二次根式”. (1)若m与√5是关于10的“和谐二次根式”，求m的值 (2)若+1与√2a-1是关于6的“和谐二次根式”，求a的值. 【变式5-2】(2025河北模拟预测)已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题： (I)如果a=2,则b=-;如果a=√2，则b=-: 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)①如果a=√2-1，求b的值： ②若a=√m-√n,b=√m+√n,求m与n的关系. 【变式53】(24-25八年级下福建福州期中)定义：我们将a+√6)与（√a-万）称为一对“对偶式”. 因为(a+v历)(a-万)=(a-(历)=a-b,所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将(Va+b)和 (ā-√万)中的“√厂”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如 2+V2 (2+)月 =3+2√2.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根 2-2(2-V2)(2+V2) 号中的分母化去，叫做分母有理化 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出√万+√2的对偶式； 1 m-n (2)已知m= 2-V5’n 2+5求 ，的值： min+mn 类型六、二次根式运算中的规律探究问题 方法总结 1. 由特到一般：从给定的前几项具体运算结果入手，观察数字、运算符号及根式的变化模式。 2.归纳表达式：将观察到的规律（如序号、分子分母特征等）用含n的代数式（通项公式或运算规律） 表示出来。 解题技巧 1.对比找不变：对比相邻项的结果，寻找哪些部分恒定、哪些部分按等差/等比等规律变化。 2.验证保可靠：将归纳出的规律代入后续1-2项进行验证，确保归纳正确后再用于解题。 例6.(24-25八年级下·安徽淮北月考)【观察思考】 第1个等式： 1 第2个等式： 2+434 4 1 第3个等式： 3+二=4. V°5=4V5 第4个等式：- 【规律发现】 (1)①直接写出第4个等式：-： 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律：-· 【规律证明】 (2)证明②中的运算规律， 【规律应用】 (3)根据上述规律，化简： 1 2023+ ×V6075. 2025 【变式6-1】(2024安徽合肥二模)观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式： 2 2+5=2 3 3 第2个等式： V3+83 第3个等式： 4 4+ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： (②)请你用含n(n为正整数，且n≥2)的等式表示表述上面的规律并证明这个等式， 【变式6-2】(25-26八年级上·北京石景山期末)小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般” 的方法探究下面二次根式的运算规律】 下面是小石的探究过程，请补充完整： ()具体运算，发现规律， 第1个等式 第2个等式， 5 第3个等式 7 4-434 第4个等式 9 5- 5 第5个等式 11 16- (根据规律填空) (2)观察、 归纳、 得出猜想 第n个等式为 (用含n的式子表示，n为正整数) (3)证明你的猜想； (④)应用运算规律。 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若a- 1 (a,b均为正整数)，则b-a的值为 a 【变式6-3】(2025八年级上·重庆·专题练习)在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活 动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例1：1+ 1,1 1×2 =1+1-1 2 11 特例2：，1+ 2+32= 1 ,11 +2x31+23 11 (1)特例3： +2+42= 1+ (填写一个符合上述运算特征的式子)： 11 (2)求证： 1+ n-1 n (n>2,且n为整数)； 11 11 (3)如果1 1+5+6+1+62+7+…+1+ )+n-1+京的小数部分是01，那么整数部分为 1 压轴专练 一、单选题 1.(24-25八年级下·安徽安庆期中)已知a是一个正整数，√20a也是正整数，则的最小值为() A.4 B.5 C.10 D.20 2.(25-26九年级上·山西长治·月考)下列计算正确的是() A.√5+√6=阿 B.3√2-√2=22 c. D.2÷5=√ 3.(25-26八年级上广东佛山月考)若最简二次根式√m-1与√8可以合并，则√2m-1的值是() A.5 B.√2 c.√7 D.5 4.（24-25八年级下·云南红河期末)按一定规律排列的一组二次根式：√5，√⑧，√15，√24，.，则第6 个二次根式为() 8/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.√30 B.√35 C.√42 D.√48 5.(25-26八年级上湖南长沙.月考)2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为 数据加密方式：a⊕b=Va2+b2-(a+VB)(a-万(a≥0，b≥0)，那么4©3的值为() A.1 B.4 C.-2 D.9 二、填空题 6.(25-26八年级上上海期末)计算：V32-32= 7.(25-26八年级上江苏苏州月考)√27与最简二次根式√m+1是同类二次根式，则m的平方根 为 8.(25-26八年级上全国期末)若a=3+2√2，b=3-2√2，则代数式a2-3ab+b2的值为_ 9.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末)现定义一种新运算回：对于任意正有理数xy,都有 xOy=3x-2y. 例如：903=√3×9-2√5=35-23=√5，则6O8= 10.(2526八年级上甘背张按期中)现察下列各式：①侣-2-号：@3-：@ 4 /店=√4+谐你格发现的规律用含自然数n(n之2)的等式表示出彩 三、解答题 11.(25-26八年级上广东深圳期中)计算 (1)4V2+V8-√18： es-56目 12.(2025八年级上广东深圳专题练习)计算： 0①20+v5 5 (5+V25-2) ②o5+V后x+2-218 2 ix2g-36 13.(25-26八年级上江苏南通月考)计算或化简： 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 s5-4 ais*-4-m a1-x+-同-2+ F+-5 14.（24-25八年级下·安微铜陵·期中)嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下 面二次根式的运算规律.下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律： 特例1： 1 1+ 3+1 3V3 ,18+1 1 特例2： 1 2+44=9×年34 特例3： 1 3+5=4V5 ()观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为： (2)证明你的猜想； (3)应用运算规律： ①化简： 2023+ 1 ×V4050= 2025 ②若，a+=9 (a,b均为正整数)，则a+b的值为 b 15.(25-26八年级上·吉林长春期中)【观察思考】观察下列等式特征，探索规律. 第①个等式：√x3+1=√4=2： 第②个等式：√2x4+1=√9=3； 第③个等式：√3x5+1=V16=4: 第④个等式：√4x6+1=V25=5: (1)计算：V5×7+1=;V16×18+1=: (2)若Vn(n+2+1=20,则正整数m=; 【规律应用】 10/11