专题01 平行四边形的性质和判定的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平行四边形的性质和判定的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 类型二、利用平行四边形的性质求面积 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题) 类型五、利用平行四边形的性质证明 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 类型七、利用平行四边形的判定和性质证明 压轴专练 典例详解 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 方法总结 1.性质对应：明确问题所求（角或线段），选择平行四边形对应性质（如对角相等、对边相等、对角 线互相平分)。 2.构建方程：根据选定的性质，将已知量和未知量建立等量关系，列出方程求解。 解题技巧 1.标注已知：在图形上清晰标注已知条件，便于直观发现关系。 2.性质联用：求角度常联用“对角相等”与“邻角互补”；求线段常联用“对边相等”与“对角线互 相平分”。 例1.(25-26八年级上·湖南张家界·期末)如图，平行四边形ABCD的一个外角为38°，则∠A的度数为 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 38 B C E 【变式1-1】(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在口ABCD中，若∠ADC=118°，BE⊥DC于点E, DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF=一· D H F B .∠ADF=∠DFC=90°，∠ADC=118°， .∠EDH=∠ADC-∠ADF=28°， BE⊥DC, .∠DEH=90°， ∴.∠DHE=90°-28°=62° ∴∠BHF=62°故答案为：62°. 【变式1-2】(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O.若 AB=4,AC=6,BD=10,则BC的长为一· 【变式1-3】(25-26九年级上四川成都期中)如下图，在ABCD中，按如下步骤作图：①以点D为圆心， 适当长为半径作弧，分别交DA、DC于E、F两点：②分别以点E、F为圆心，大于EF的一半长为半径作 弧，两弧交于点G;③作射线DG交CB的延长线于点M.如果∠A=120°，AB=6,BC=3,则BM的长 为一 M 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、利用平行四边形的性质求面积 方法总结 1.公式应用：平行四边形面积=底×对应高，需确保底和高互相垂直对应。 2.割补转化：将平行四边形通过割补法转化为矩形或三角形，利用其面积公式间接求解。 解题技巧 1. 确定对应：明确所选底边，并找到（或计算）该底边上的高。 2. 等积变换：利用“同底等高”或“等底等高”模型，将未知面积转化为已知图形的面积。 例2.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF,GH过点O,且点E,H在边AB上，点G,F 在边CD上，则阴影部分的面积与口ABCD的面积比值是()· A E B A.支 B.3 c.i D.3 【详解】 【变式2-1】如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O,分别交AB、CD于E、F,若平行四边 形的面积是12，则△AOE与△DOF的面积之和为一· 【变式2-2】如图，在口ABCD中，P是4D边上一点.已知5=3.5cm,Sc=2.5cm 则口ABCD 的面积是_cm2. 【变式2-3】(24-25八年级下·吉林长春·期中)如图，E是口ABCD内部一点，连接AE、BE、CE、DE. 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若图中阴影部分的面积是3，则△ABE和△CDE的面积之和是一， D 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 方法总结 1.分类讨论：根据动点位置（在线段上、延长线上等），画出所有可能情形的平行四边形示意图。 2.性质建等量：利用平行四边形对边平行且相等，建立关于动点坐标或线段长的方程。 解题技巧 1.参照系选择：以图形中已知定点为参照，用含t的式子表示动点坐标或线段长。 2.排除增解：解方程后需检验结果是否满足动点运动范围（如在线段上），舍去不合题意的解。 例3.(24-25八年级下·河南洛阳·月考)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=4cm,CD=10Cm】 动点M从点A出发，以lcm/s的速度向点B运动.同时，动点N从点C出发，以2cm/s的速度向点D运 动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，当运动时间=一$时， 四边形AMND为平行四边形. A-MB 【变式3-1】(2024陕西咸阳·二模)如图，△AOD和△COB关于点0中心对称，∠AOD=60°， ∠AD0=90°，BD=18,点P是A0上一动点，点Q是C0上一动点（点P、Q不与端点重合），且 AP=00 BO DPDP+BO 连接 ,则 的最小值为一· D B 【变式3-2】(24-25八年级下·河北沧州期中)如图，在口ABCD中，∠ABC为锐角，AB=5,BC=9, 四边形ABCD的面积为36，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿A→B→C→D→A运动，同 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时，动点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度沿A→D→C→B→A运动.当其中一个点到达终点时， 另一个点也随之停止运动，设点P的运动时间为秒. (1)点P在BC上运动时，CP=一：点P在CD上运动时，CP=一；（用含t的式子表示） (2)当点P在CD上，且PO∥BC时，t的值为 【变式3-3】(24-25八年级下·吉林长春月考)如图，口ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,动点M从点 D出发，按折线DCBAD方向以2cmIs的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以lcm/s的速 度运动，两点均运动到点D停止 N D M (I)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将口ABCD的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在， 请说明理由。 (3)若点E在线段BC上，BE=2Cm,动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟 时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 方法总结 1.逐项分析：对每个结论单独分析，判断其是否由已知条件结合平行四边形性质必然推出。 2.反例排查：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊平行四边形（如矩形、菱形）进行检验。 解题技巧 1.性质链推理：系统梳理“边、角、对角线”三条线索的性质及其推论，形成推理链条。 2.图形直观法：准确画出一般平行四边形（非特殊）示意图，结合测量估算快速排除明显错误结论。 例4，(24-25八年级下·全国·假期作业)如图，EF过口ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F.有下列结论：①OE=0F,②∠ABC=∠ADC:③△M0E≌△COD, SmE=S4c,其中，正确的 是() A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【变式4-1】(24-25八年级下·陕西咸阳·期末)如图，在口ABCD中，AE平分∠BAD,交BC于点E,且 AB=AE,连接DE,延长AB与DE交于点F,连接AC、CF.下列结论中：①△ABC≌△EAD;② △4BE是等边三角形：国D=4F:④5c=S。m.其中所有正确结论的序号是(） A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【变式4-2】(24-25八年级下·浙江杭州·期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 0,过点O作E01BD,交BC的延长线于点E,交CD于点F,若EF=OF,∠CBD=45°，BD=6N5 CE=2则下列结论中：@B0平分∠B5D:@0E1B5:⑨Cr:DF=1:2:④5mm.正确 结论的个数序号是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式4-3】(24-25八年级下·黑龙江七台河期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°， DE⊥B 于点E, BF⊥CD DE,BF BF,AD G 于点F, 相交于点H, 的延长线相交于点，下列结论：① DB=V2BE:②∠A=∠BME；③4B=BH,@DE+BC=D,ODG=E,其中正确结论的是() D A.①②④⑤ B.①②③④ C.①③④⑤ D.①②③⑤ 今类型五、利用平行四边形的性质证明 方法总结 1,性质选择：根据待证结论（边相等、角相等、线平行等），选用平行四边形对应的边、角、对角线 性质。 2.逻辑递推：从已知条件出发，结合所选性质，逐步推导出目标结论，形成完整证明链。 解题技巧 1.标注关键：在图上明确标出已知的等边、等角或平行关系，为推理提供直观线索。 2. 灵活转化：若直接性质不足，可先证三角形全等或利用“对边平行”得出角相等，为后续证明铺 路。 例5.(2025九年级上全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，△DEF和 △ABC关于点O对称，连接AF,CD.求证：四边形ACDF是平行四边形. B 【变式5-1】(2026八年级下·全国·专题练习)如下图，△ACD,△ABE,△BCF均为直线BC同侧的等边 三角形.当AB≠AC时，求证：四边形ADFE为平行四边形. 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 【变式5-2】(25-26九年级上·山东临沂·期中)如图，已知△ABC是等边三角形，E为边AC上一点，连 E.将1C绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连接 BC BC F,CF 求证：四边形ABDF是平行四边形 D 【变式5-3】(24-25八年级下·广东惠州·期中)如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上， AB边上有一点F,且BF=DC,连接EF、EB. (I)求证：BE=CD: (2)求证：四边形EFCD是平行四边形. 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 方法总结 1.先判后用：先依据已知条件（如一组对边平行且相等）判定四边形是平行四边形。 2.再用性质：在判定为平行四边形的基础上，应用其性质（对边相等、对角相等）进行求解。 解题技巧 1.判定优选：优先选择条件最直接、步骤最少的判定定理（如“两组对边分别相等”）。 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.性质联用：求解时综合运用多条性质（如对边平行与对角线互相平分结合）建立方程。 例6.(24-25八年级下·贵州黔东南·月考)如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC 上，AE∥DC D (①)求证：四边形AECD是平行四边形： (2)若∠D=60,AE=BE,AD=3,求AB的长. 【变式6-1】(24-25八年级下·北京西城期末)如图，在△ABC中，点D,E分别是AC,AB的中点，连 接DE并延长到点F,使DF=BC,连接BF B (I)求证：四边形BCDF是平行四边形： (2)连接BD,FA,若BD=6,求线段FA的长 【变式6-2】(24-25八年级下·湖南长沙期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠BAD=∠BCD, 对角线AC,BD相交于点O ○ B (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)若AB=5,AD=3,AC⊥BC,求AC的长和BD的长. 【变式6-3】(24-25八年级下·湖南期中)如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°， ∠B=∠AEC. 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (1)求证：四边形ABCE是平行四边形： (2)若AC=3,AD=5,点E是CD的中点，求平行四边形ABCE的面积. 类型七、利用平行四边形的判定和性质证明 方法总结 1.判定为先：根据已知条件，选择恰当的判定定理证明四边形是平行四边形。 2.性质导出：利用平行四边形的性质，推导出所需结论（如边相等、角相等、线段平行）。 解题技巧 1.判定优选：优先考虑“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”等简捷判定方法。 2.数形互化：将图形中的等量、平行关系转化为代数方程，或利用全等三角形辅助判定与证明。 例7.已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E,A,C,F在同一直线上，AE=CF. D A B (I)求证：△CDE≌△ABF: (2)连接BE、DF,求证：四边形BFDE为平行四边形. 【变式7-1】(2024广东江门一模)如图，口ABCD,E、F分别是边ABCD上一点，且AE=CF,直线 EF分别交AC、AD延长线、CB延长线于O、H、G. (1)求证：△AHO≌△CG0 (2)分别连接AG、CH,试判断AG与CH的关系，并证明. 10/16 专题01 平行四边形的性质和判定的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 类型二、利用平行四边形的性质求面积 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 类型五、利用平行四边形的性质证明 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 类型七、利用平行四边形的判定和性质证明 压轴专练 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 方法总结 1. 性质对应：明确问题所求（角或线段），选择平行四边形对应性质（如对角相等、对边相等、对角线互相平分）。 2. 构建方程：根据选定的性质，将已知量和未知量建立等量关系，列出方程求解。 解题技巧 1. 标注已知：在图形上清晰标注已知条件，便于直观发现关系。 2. 性质联用：求角度常联用“对角相等”与“邻角互补”；求线段常联用“对边相等”与“对角线互相平分”。 例1．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，邻角互补． 利用已知可先求出，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等来求的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的一个外角为， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ． 【答案】62° 【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质定理，勾股定理，勾股逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； 利用平行四边形的性质求得、的长，再根据勾股逆定理判断形状并求边长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 在中， ． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·四川成都·期中）如下图，在中，按如下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交的延长线于点M．如果，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作角平分线、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行四边形的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，进而可得，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ． 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 类型二、利用平行四边形的性质求面积 方法总结 1. 公式应用：平行四边形面积 = 底 × 对应高，需确保底和高互相垂直对应。 2. 割补转化：将平行四边形通过割补法转化为矩形或三角形，利用其面积公式间接求解。 解题技巧 1. 确定对应：明确所选底边，并找到（或计算）该底边上的高。 2. 等积变换：利用“同底等高”或“等底等高”模型，将未知面积转化为已知图形的面积。 例2．如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了平行四边形的对称性，将阴影部分的面积进行合理的转化是解题的关键． 根据轴对称的性质可得和关于点O中心对称，即可，再根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴和关于点O中心对称， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积与的面积比值是． 故选：C． 【变式2-1】如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，进而可证明得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式2-2】如图，在中，P是边上一点．已知，，则的面积是 cm2．    【答案】12 【分析】由平行四边形的性质得，则，得，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：12． 【变式2-3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，E是内部一点，连接、、、．若图中阴影部分的面积是3，则和的面积之和是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的面积公式=底×高是解题的关键． 过E作，交于M，交于N，的面积+的面积=，即可得出平行四边形的面积，再根据和的面积之和是平行四边形的面积减去阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：过E作，交于M，交于N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ，， ∵阴影部分的面积是3， ∴， 和的面积之和是． 故答案为：3． 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 方法总结 1. 分类讨论：根据动点位置（在线段上、延长线上等），画出所有可能情形的平行四边形示意图。 2. 性质建等量：利用平行四边形对边平行且相等，建立关于动点坐标或线段长的方程。 解题技巧 1. 参照系选择：以图形中已知定点为参照，用含t的式子表示动点坐标或线段长。 2. 排除增解：解方程后需检验结果是否满足动点运动范围（如在线段上），舍去不合题意的解。 例3．（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形为平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 【变式3-1】（2024·陕西咸阳·二模）如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】先根据中心对称性质得到，再根据含30度角的直角三角形的性得到，过D作，且，连接，，证得四边形是平行四边形，，，则，当B、Q、K共线时取等号，此时最小，最小值为的长．证明为等边三角形得到即可求解． 【详解】解：∵和关于点O中心对称， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴过D作，且，连接，，如图， 则四边形是平行四边形，， ∴， ∴，当B、Q、K共线时取等号，此时最小，最小值为的长． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，即的最小值为18， 故答案为：18． 【变式3-2】（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，为锐角，，，四边形的面积为，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．    （1）点在上运动时， ；点在上运动时， ；（用含的式子表示） （2）当点在上，且时，的值为 ． 【答案】 / / ． 【分析】（1）当点在上运动时，可得，当点在上时，； （2）当点在上，点在上时，可得四边形是平行四边形，从而，从而，从而得出结果． 【详解】（1）如图，    ∵，， ∴， 如图，    ∵，， ∴， 故答案为：，； （2）如图，    由(1)得：，同理可得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 【答案】(1)动点同时出发，经过8秒钟两点相遇 (2)当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分 (3)点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，点的运用会使学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用． （1）相遇时，和所经过的路程正好是矩形的周长，在速度已知的情况下，只需列方程即可解答． （2）存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，根据四边形是平行四边形，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，推出，列方程即可得到结论； （3）因为按照的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，—直在上运动，当点运动到边上的时候，点、才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当到点时以及在上时，所以要分情况讨论． 【详解】（1）解：设秒时两点相遇， ∵在中，， ， ∴的周长， ∴，解得， ∴动点同时出发，经过8秒钟两点相遇； （2）解：存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵，即， ∴， ∴当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分； （3）解：由（1）知，点一直在上运动，所以当点运动到边上的时候，点、、、才可能组成平行四边形，所以， 设经过秒，四点可组成平行四边形． 分两种情形： ①当点在点右侧， 如图2：此时，则四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， ②当点在点与点之间，，解得， ∴点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形． 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 方法总结 1. 逐项分析：对每个结论单独分析，判断其是否由已知条件结合平行四边形性质必然推出。 2. 反例排查：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊平行四边形（如矩形、菱形）进行检验。 解题技巧 1. 性质链推理：系统梳理“边、角、对角线”三条线索的性质及其推论，形成推理链条。 2. 图形直观法：准确画出一般平行四边形（非特殊）示意图，结合测量估算快速排除明显错误结论。 例4．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，过对角线的交点O，交于点E，交于点F．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的性质可得到，可判断①正确；根据平行四边形的性质可得到，可判断②正确；根据，利用，可判断④正确． 【详解】解：①∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，． 在和中， ∴． ∴，故①正确． ②∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴，故②正确． ③现有条件中，与中，只有，不能判定，故③错误． ④∵， ∴． ∴，故④正确． 故选：B． 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，平分，交于点，且，连接，延长与交于点，连接、．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义可得，进而可得，然后结合已知条件可得，于是可判断②；根据等边三角形的性质可得，然后根据即可证明，从而可判断①；由与等底（）等高（与间的距离相等）可得，进而可判断④；若=，则根据等腰三角形的性质和平行线的性质得，但题中未限定这一条件，从而可判断③不一定正确；于是可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形；故②正确； ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵与等底（）等高（与间的距离相等）， ∴，故④正确． ∵ ∴ 若，则， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 但题中未限定这一条件， ∴③不一定正确； 故选：B． 【变式4-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，，则下列结论中：①平分；②；③；④．正确结论的个数序号是(    ) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线等知识，掌握相关知识是解题的关键．①根据平行四边形的性质得，则是线段的垂直平分线，进而得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据得是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点作于点，先求出， ，证明是等腰直角三角形，可求出，根据勾股定理求得， ，进而得到，即可得到，据此可对结论③进行判断，④分别求出，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴平分，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③过点作于点，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， 又∵， 由勾股定理得：， ∵， ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∴，故③错误； ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述：所有正确结论的序号是①②④． 故选：B． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平行四边形中，，于点E，于点F，相交于点H，的延长线相交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的是（    ） A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】①由题意可知是等腰直角三角形，故此可得到；②由，证明即可；③先证明≌，从而得到，然后由平行四边形的性质可知；④根据，，即可得；⑤没有条件证明，所以不一定等于． 【详解】解：， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，故①正确，符合题意； ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故②正确，符合题意； 在和中，， ≌， ，， ， ，故③正确，符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ；故④正确，符合题意； 根据已知不能推出，故⑤错误，不符合题意； 综上，正确的有①②③④， 故选：B． 类型五、利用平行四边形的性质证明 方法总结 1. 性质选择：根据待证结论（边相等、角相等、线平行等），选用平行四边形对应的边、角、对角线性质。 2. 逻辑递推：从已知条件出发，结合所选性质，逐步推导出目标结论，形成完整证明链。 解题技巧 1. 标注关键：在图上明确标出已知的等边、等角或平行关系，为推理提供直观线索。 2. 灵活转化：若直接性质不足，可先证三角形全等或利用“对边平行”得出角相等，为后续证明铺路。 例5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定． 根据中心对称的性质得出，，进而证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：和关于点O对称， ， 四边形是平行四边形． 【变式5-1】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出，进而得出，同理可得，即可得出四边形为平行四边形． 【详解】证明：，为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ． 又为等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． 【变式5-2】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，已知是等边三角形，E 为边 上一点，连接．将绕点 E 旋转，使点 C 落在 上的点 D 处，点 A 落在 上方的点 F 处，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质，得到，，根据旋转的性质，得到，证明是等边三角形，得到，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵ 将绕点 E 旋转得到， ∴． ∴，是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴ 四边形是平行四边形． 【变式5-3】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质，结合，可推出，，即为等边三角形，进而得到，，推出，最后由对边相等且平行即可判定四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， ； （2）证明：， ，， 又， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． ， 是等边三角形， ， ， ，即， ，， ， 四边形是平行四边形． 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 方法总结 1. 先判后用：先依据已知条件（如一组对边平行且相等）判定四边形是平行四边形。 2. 再用性质：在判定为平行四边形的基础上，应用其性质（对边相等、对角相等）进行求解。 解题技巧 1. 判定优选：优先选择条件最直接、步骤最少的判定定理（如“两组对边分别相等”）。 2. 性质联用：求解时综合运用多条性质（如对边平行与对角线互相平分结合）建立方程。 例6．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）根据已知得出，进而根据，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据题意得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ； 又， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形，， ； ， ； ， ，； ， ． 【变式6-1】（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明是△的中位线，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后由平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：点，分别是，的中点， 是△的中位线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 即线段的长为6． 【变式6-2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长和的长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理可得，从而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平形四边形； （2）解：∵四边形是平形四边形， ∴，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式6-3】（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，点是的中点，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再由得出，确定，即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 类型七、利用平行四边形的判定和性质证明 方法总结 1. 判定为先：根据已知条件，选择恰当的判定定理证明四边形是平行四边形。 2. 性质导出：利用平行四边形的性质，推导出所需结论（如边相等、角相等、线段平行）。 解题技巧 1. 判定优选：优先考虑“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”等简捷判定方法。 2. 数形互化：将图形中的等量、平行关系转化为代数方程，或利用全等三角形辅助判定与证明。 例7．已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四边形为平行四边形，得到，继而得到，结合得到，证明即可． （2）根据，得到，继而得到即可证明四边形为平行四边形．本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ． 【变式7-1】（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G． (1)求证：． (2)分别连接，试判断与的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质得到，利用即可证明； （2）由（1）知，得到，根据，即可得到四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）证明：如图，连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，． 【变式7-2】（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长； (3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的对角线互相平分即可求解； （2）根据平行四边形的对边分别相等，结合，，即可求解； （3）根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ，， ，， ， 平行四边形的周长为：； （3）， ， 即， 中，， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ∴， ， 故选：B． 2．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（　　） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关几何性质进行求解． 先由平行四边形性质得到，结合平行线性质、角平分线定义得到，进而由等腰三角形的性质得到，再数形结合得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、面积转化，掌握利用平行四边形的对角线性质和全等三角形证明线段与面积关系是解题的关键． 逐一分析四个结论，结合平行四边形性质与全等三角形判定判断正误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，． 在中： ∴， ∴，．故①②正确． ∵，， ∴， 即，故④正确． 无法确定，故③不正确． 综上所述，正确结论的个数为． 故选：C． 5．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，三线合一定理，过点C作于点E，于点F，由角平分线的性质可得；可证明，则可推出，由三线合一定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴； ∵四边形是平行四边形，且点P、Q是平行四边形的边上一点， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 由折叠的性质，得，，根据平行四边形的性质结合两直线平行同位角相等可得，再由三角形的内角和为可求出的度数，即为的度数． 【详解】解：如图，设与交于点． 由折叠的性质，得，， ． 四边形是平行四边形， ， ． 在中，， －， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·周测）如图，，，，．若，，则的长为 ． 【答案】130 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，及等腰直角三角形的边长关系是解题的关键． 先根据平行且等于判定四边形为平行四边形，得出；再通过构造等腰直角三角形求出的长度，最后在直角三角形中用勾股定理计算，从而得到的长度． 【详解】解：∵且， ∴四边形是平行四边形， , 过作于， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ， ， 在中，， 故． 故答案为：． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知，，，．当时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距离为 cm． 【答案】28 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键． 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得，通过勾股定理可求出，最后再根据线段的和与差即可求解． 【详解】解：，， ∴四边形为平行四边形， ． ， ． 在中，，， ， ，即点到点的距离为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角得到，连接．当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】1或或 【分析】分三种情况讨论，①点在上，则是等边三角形，可证明，则是等腰三角形，根据勾股定理即可得到结论，②点在上，可证明，则是等腰三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；③是等腰三角形，且，作于点，交于点，则，可证明，再推导出，则，所以，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：①如图 1，当点在上时， 由旋转得， ， ∴是等边三角形， ，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴是等腰三角形， ， ， ∵， ， ； ②如图 2，当点在上时， ， ， ， ∴是等腰三角形， 即当是等腰三角形，时，； ③如图3，是等腰三角形，且，作于点，交于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转得， ， ， 过点A作， 则，， ， ， ； 综上所述，或或， 故答案为：1或或． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点、分别是、上的中点， ∴，， ∴， ∴ 即， 在和中， ， ∴， ∴． 12．（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到 ，利用即可证明； （2）利用平行四边形对角线互相平分可求，因为，由勾股定理可求，则平行四边形的面积可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得到，由中点的性质得到，接着通过判定，由全等三角形的性质得到，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得，根据，结合等高的三角形的面积比等于底之比得到，由此可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ． ，的边上的高与的边上的高相等， ， ， ． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点E在内部，连接AE，BE，CE，DE，分别过点A，D作，． (1)求证：． (2)设的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得到，进而推出角的互补关系；再结合、的条件，得到对应角相等，最后用角边角判定三角形全等． （2）求的值，先利用平行四边形内点的面积性质：点在平行四边形内部时，；再结合（1）中的结论，得，从而将四边形的面积转化为，进而求出面积比值． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，同理可得， 在和中： ∴． （2）解：∵点在内部， ∴， 由（1）知，， ∴． ∵的面积为，四边形的面积为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形内的面积转化，掌握平行四边形的边与角的性质、全等三角形的判定、利用全等转化面积是解题的关键． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，垂足分别为，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，则____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由等角推出与平行，再通过垂直条件和已知边相等，证明三角形全等得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明； （2）利用平行四边形的性质得到边的长度，结合的直角三角形性质，求出相关线段长度，再用勾股定理计算． 【详解】（1）证明：， ， ． ，， ． 在和中： ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，． ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、角的直角三角形性质与勾股定理的应用，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，及直角三角形中角对的直角边为斜边的一半是解题的关键． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示）． (2)当四边形是平行四边形时，求的值． (3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形对角线平分、对边平行的性质，证明与全等，得出，再结合的长度，用减去表示出； （2）根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合的条件，列的方程求解； （3）由垂直平分线的性质得，先通过勾股定理算出的长度，再结合的长度，用勾股定理列方程求 ． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 由题意得， ． ， ． （2）解：， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 故当四边形是平行四边形时，的值为． （3）解：如图，过点作垂直平分分别交，于点，． ，， ， ． ， ， 易得． 是的垂直平分线， ，． 由勾股定理，得， 即， （负值已舍去）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、垂直平分线的性质与勾股定理的应用，掌握平行四边形的边与对角线性质、全等三角形的判定方法，及垂直平分线和勾股定理的综合应用是解题的关键． 17．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证： ． 四边形为平行四边形． (2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，利用可证； （2）根据，可得，又因为，则可得四边形为平行四边形； （3）可证是的垂直平分线，则，根据等腰三角形三线合一可知，再由平行线的性质可求． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， 同理可证， ． 又， 四边形为平行四边形； （2）解：， ， ， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 18．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）作，根据矩形的性质求出，，然后用勾股定理计算； （2）由垂直平分线性质得，结合直角三角形，用勾股定理列含的方程，求解得； （3）根据平行四边形“对边相等”，列的绝对值方程，分类讨论的位置解出； （4）由对称性质、平行线性质推得等腰三角形，结合，分类讨论的位置，列方程求． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ， ， ． （2）解：如图，同（1），过点作，则，， 点在的垂直平分线上， ，， 在中，， 则， 化简得，解得． （3）解：点沿射线运动， ， 四边形是平行四边形，， ， ， 当点未到达点时，即，解得； 当点过点后，即，解得． 故或． （4）解：如图，当在上时： 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 解得； 如图，当在延长线上时： 此时，点已过点，延长于点， 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 故或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $