海南省海南中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

海南中学2025一2026学年度第一学期期末 高二数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第I卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的) 1.某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t+3表示， 则该物体在t=2s时的瞬时速度为() A.0m/s B.2m/s C.3m/s D.4m/s 【答案】D 【详解】该物体在时间段[2,2+△t]上的平均速度为 △ss(2+△t)-s(2)(2+△t)+3-(22+3) △t △t △t 4+△f 当△t无限趋近于0时，4+△无限趋近于4，即该物体在t=2s时的瞬时速度为4m/s. 故选：D 2.己知等差数列{an}中，a2十a4=6,则a1+a3+a5=（) 【答案】B 【详解】a2+a4=6,则2a3=6,那么a=3.则a1十a3十as=(a1+a5)+a3=2a3+a3=3a3.把a3 =3代入可得3a3=3×3=9. 3若函数y=∫(x)的导函数∫'(x)图象如图所示，则下列说法正确的是() A.3是f(x)的极小值 B.f(x)的极值点有3个 C.f(x)在区间(-o,3)上单调递减 D.曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率小于零 【答案】D 【详解】A选项：由导函数图象可知3是函数∫(x)的极小值点， f(x)的极小值为f(3),A选项错误； B选项：f(x)的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误： C选项：由导函数图象可知，当x∈(-o,-3)时，∫'(x)>0,函数单调递增， 当x∈(-3,3)时，f'(x)<0,函数单调递减，C选项错误： D选项：由图象可知f'()<0,即函数f(x)在x=I处切线斜率小于零，D选项正确， 故选：D 4.已知事件A,B相互独立，且P(A=0.6,P(B)=0.5,则P(AUB)=() A.0.8 B.0.7 C.0.5 D.0.3 【答案】A 【详解】因为事件A,B相互独立， 所以P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.5=0.3, 所以P(AUB)=P(A+P(B)-P(AB)=0.6+0.5-0.3=0.8,故选：A 5.己知圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0交于M、N两点，则MN|= () A.2W2 B.√2 C.23 D.3 【答案】A 【详解】圆C1:x2+y2-4=0即x2+y2=4,圆心C1(0,0),半径r1=2: 圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0即(x-2)2+y+2)2=20,圆心C2(2,-2),半径r2= 2W5, 因为lC1C2l=2V2,则r2-r1<C1C2l<r2+r1,所以两圆相交， 则两圆的公共弦方程为x-y+2=0, 则C1(0,0)到x-y+2=0的距离d= 2=√2， √12+(-1)2 所以MN=2好-2=2√22-(N2=2V2故选：A 6.不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球. 设事件A为“至少有一个黄球”，事件B为“至少有一个红球，则() A.A与B互为对立事件 B.A与B互斥但不对立 C.A与B相互独立 D.P(4B)=3 2 【答案】D 【详解】记两个黄球为4,42，两个红球为b,b,任取两个球的样本空间 2={aa2,4b,ab2,a,b,4,b2,bb2}, 事件A={a42,ab,ab,ab,4,b},事件B={ab,ab2,ab,ab2,bb}, 对于AB,事件AB={a4b,ab2,4,b,4,b},即能同时发生，A,B不互斥，AB错误； 对于cD.PA-名号P0-名PB到言0P®)=P(4,C错误，DE确 631 故选：D 7.函数f(x)= +ax2-a+4,x>0 3 在R上单调递增，则a的取值范围是() +CoSx,x≤0， A.[1,3) B.1,3] c.[1,3] D.(1,3) 【详解】由题意，函数f(x)在R上单调递增，当x≤0时，f(x)=ax+Cosx,依题需使 f'(x)=a-sinx≥0恒成立，则a≥l: >0时，由f()=+m2-a+4在0，+0)上递增，需使∫(x)=r2+2m20在(0，+D 恒成立，则-a≤0，即a≥0： 又由f(x)在R上递增，可得-a+4≥1，解得a≤3. 综上可得，a的取值范围是L,3] 故选：C 8已知R(60.B.0)分别为椭圆M言+若-1a>b>0的左、右焦点，从点42么，0) 2 射出的一条光线经直线y=3巨。 反射后经过点P,且反射后的光线与M在第四象限交于点 P.若P-PP=a,则M的离心率为() A. √互 2 c.2 3 2 D. 3 【详解】设从点4(-2,0)射出的一条光线射到直线y=3V2。 c的点为2， 3V2 c32 2 反射后经过点E(c,0),所以点Q 2’2 所以直线O的斜率为-√2， A wg-h图a网a.W-g △RgP中，根据余弦定理可知a-4e+￠2x2cx _V3 整理为 4 2 3 6c2+√3ac-3a2=0, 即e+5e-3=0,(2e+5)3e-V)=0,解得：e= 所以箱圆M的离心率为5故选： 3 B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.下表是海南中学高二年级甲、乙、丙、丁、戊5位同学某次数学考试成绩（单位：分） 学生 甲 乙 丙 入 戊 成绩 82 90 68 80 80 则下列结论正确的是() A.这5位同学成绩的中位数是80 B.这5位同学成绩的极差是10 C.这5位同学成绩的方差是52 D.这5位同学成绩的第80百分位数是86 【答案】AD 【详解】A选项，这5位同学成绩从小到大排列为68,80,80,82,90， 中位数为80，A正确： B选项，这5位同学成绩的极差为90-68=22，B错误； C选项，这5位同学成绩的平均数为68+80+80+82+90=80， 5 所以这5位同学成绩的方差是 (68-802+80-8080-802(82-80(90-89°-49.6，c错误 5 D选项，5x80%=4,故选取第4个数和第5个数的平均数为第80百分位数，即86，D正 确故选：AD 10.数列{a}满足a=1,a+1=2a.+n-1,n∈N,则下列说法正确的有() A.数列{a,+n}是等比数列 B.a.=2"-n C.数列{a,}的前n项和S=21_心+n-4 2 D.数列{a}是递增数列 【答案】ABD 【详解】因为a+1=2a,+n-1,所以a+1+(n+1)=2a.+2n=2(an+n), 因为a=1,所以a+1=2, 所以数列{a,+心是首项和公比都为2的等比数列，故A正确； 则a,+n=2”,所以a=2”-n,故B正确： 因为4。=2"-n,所以Sn=4+4,+…+4=2-1+22-2+…+2-1 =2+2+…+2-Q+2+…+=2-2-+m2+.心+m+4,放C错误： 2 2 因为a+1=2a,+n-1,所以a+1-a,=a.+n-1=2"-1, 因为n∈N+,所以2”-1>0，所以a1>a,即数列{a}是递增数列，故D正确.故选：ABD. 11.己抛物线C:y=4x2的焦点为F,A,B为C上的两点，过A,B作C的两条切线交于点P,设 两条切线的斜率分别为k,飞，直线AB的斜率为k,则 A.C的准线方程为y=一1 B.k,k,飞2成等差数列 C若P在C的准线上，则k飞2=-1 D.若P在C的准线上，则HA+4BA的最小值为品 【答案】BCD 【详解】对A,抛物线C:x2= 八，濑物线C的准线方程为y=GA选项结误， 1 对B,设A(x,4x),B(2,4x), :y=8x,k=8x,k=8x,k=-出=4飞，+3)， X2-x ,k+k2=2k,B选项正确： 对C,由上可知直线PA:y=8xx-4x,PB:y=8x2x-4x, 解得(4长=后=有长=64=-山，C选项正确： 对D,AF+4B=y+4y+16 4+16a+6214+6g 59 当且仅当x=-2x2时 取等号，D选项正确。 故选：BCD 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.己知直线：x+2y+3=0与l2:2x-y+m=0互相平行，则= 4与1之间 的距离为 【详解】因为直线：x+2y+3=0与l:2x-y+m=0互相平行， 所片受骨解得m小。 则l2x+2y-2=0, 所以与l2之间的距离d= -(2.5 V12+22 故答案为：-4：√5. 13.己知曲线f(x)=x+e在点(0，f(0)处的切线与曲线y=ln(x-1)+a相切，则a 【详解】：因为f(x)=x+e*的导数为f(x)=1+e,则f(0)=1,”(0)=2, 所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y-1=2x,即y=2x+1, 又切线y=2x+1与曲线y=1(x-1)+a相切，设切点为(x0,yo), 因为灯=所以切线斜率为水=品=2，解得= 所以o=2xg+1=4,则4=m(号-1)+a,解得a=4+h2. 故答案为：4+n2. 14.函数f(x)=x-3x2+3x+1在区间(1,3)内存在零点，且该零点不是f(x)的极值点，则 实数m的取值范围为 【详解】因f(x)=x3-3x2+3x+1在区间(1,3)内存在零点，且该零点不是∫(x)的极值点， 6 则g()=+3+1和y=3加的函数图象在1,3)上有交点，且在交点处不相切， x2 因g)-3x+3列-2x+3x+-3x-2 令h(x)=x-3x-2,x∈(1,3)，则(x)=3x2-3>0,则h(x)在(1,3)上单调递增， 因h(2)=0,则当1<x<2时，h(x)<0,g'(x)<0;当2<x<3时，h(x)>0,g'(x)>0, 故g(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增， 因gt0=5sa-g6-. 其图象如图： 15 4 123 15 故5<3m<5,故实数m的取值范围为 4 故答案为： 原》 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中， 后勤部门需了解学生对“美食工作的认可程度，若学生认可系数 认可系数=认可程度平均分 不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步 100 整改.为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对美食”工作认可程度 给出的评分，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直 方图. > 频率组距 0.030 0.025 0.020 0.015 05060708090100评分 (1)求频率分布直方图中x的值： (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按 照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在 [60,70)的学生人数： (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理 由 【详解】 (1)由图可知：10×(x+0.015+0.02+0.03+0.025)=1,所以x=0.01 （2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为01：015：0.2=2：3：4， 则应选取评分在60.70)的学生人数为：30×23千410（人） (3)由图可知，认可程度平均分为： x=55×0.1+65x0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85, 显然认可系数低于0.85，所以“美食”工作需要进一步整改， 16.(本小题满分15分) 己知函数f(x)=2x3-ax2+12x+b,当x=2时，f(x)取得极小值5. (1)求a,b的值： (2)当0≤x≤3时，求f(x)的最小值， 【详解】(1)由题意函数f(x)=2x3-ax2+12x+b,当x=2时，f(x)取得极小值5， 可得f(x)=6x2-2ax+12, 所以f(2)=24-4a+12=0,得a=9, 此时f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2): 当x∈(1,2)时，f(x)<0,当时x∈(-∞，1)∈(2，+∞)，f(x)>0, 所以f(x在x=2时取极小值，符合题意： 所以a=9,f(x)=2x3-9x2+12x+b.又f(2)=4+b=5,所以b=1. 8 即实数a=9,b=1: （2)由（1)可得f(x)=2x3-9x2+12x+1,所以f(x)=6(x-1)(x-2), 令f(x)=0解得x=1或x=2, f(x)、f(x)随x的变化情况如下表： [0,1) 2 (1,2) (2,3] f'(x) × 0 0 f() 递增 极大值 递减 极小值 递增 而f(0)=1,f(2)=5,由此可得函数的最小值为1. 17.(15分)某班级元旦游园活动中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别 从包含3道传统文化题和2道数学历史题的题袋中随机抽取2道题作答（抽出的题不放回）， 已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等。 (1)求甲抽到的2道题中恰好是1道传统文化题和1道数学历史题的概率： (2)若甲答对每道题的概率均为0.8，乙答对每道题的概率均为0.7，且两人答题是否正确相 互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于3道的概率. 【详解】(1)设传统文化题为A,B,C,数学历史题为a,b,甲从5道题中不放回抽取2道题， 样本空间2={AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,b},n(2)=10, 设M=“"恰好1道传统文化题和数学历史题”，M={Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb},n()=6,由古 典概型公式得PM0=n四=6-3 n(2)10-5' 所以，甲抽到的2道题中恰好是1道传统文化题和1道数学历史题的概奉为 (2)设D=“甲答对i道题”（i=1,2), P(D)=0.8×0.2×2=0.32;P(D,)=0.8×0.8=0.64: 设E=“乙答对i道题”(i=1,2), P(E)=0.7×0.3×2=0.42;P(E2)=0.7×0.7=0.49, 设N=“甲、乙两人答对题目总数不少于3道” 由两人答题是否正确相互独立，有 9 P(N)=P(DE,+DE+D,E)=P(DE)+P(DE )+P(D,E2) =P(D)P(E,)+P(D,)P(E,)P(D,)P(E,) =0.32×0.49+0.64×0.42+0.64×0.49=0.7392 所以，甲、乙两人答对题目总数不少于3道的概率为0.732 18.(15分)双曲线-y=1,直线1：y=k+1,0为坐标原点. (1)直线1与双曲线只有一个公共点，求k的值； (2)若直线I与双曲线有两个交点A、B,若∠AOB为钝角，求k的取值范围. 【详解】(1)直线：y=kx+1与双曲线C有且只有一个公共点， x2 所以方程组3 y=1只有一组解， y=+1 即G-山-2=0只有一个解， 当}太0，即太=15时，满足题查 3 当写#学0时，△=4状-店0，解得=± 3 所以k∈ §√66 3’3-3’3 (2) )=1消去v并整理得。 --20 y=x+1 显然写发=0，且A=4店小>0，解得<且行 设A(5,y),B(x2y2), 6k -6 有+1-3,13站， 10海南中学2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 考生注意： 1答题前，务必将姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置，确保信息准确无误。 2选择题答案必须用2B铅笔填涂在答题卡对应题号的选项上，修改时用橡皮擦干净；非选 择题（填空题、解答题）需用黑色签字笔或钢笔在答题卡对应答题区域作答，超出区域、 在试卷上作答或用铅笔作答均无效。 3.答题过程中不得使用涂改液、修正带，不得在试卷或答题卡上标记与答题无关的内容（如 暗号、图案)，否则按作弊处理。 4严禁携带手机、智能手表等电子设备进入考场，若发现携带，立即按违纪处理。 第I卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的.) 1.某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t+3表示， 则该物体在t=2s时的瞬时速度为(). A.0m/s B.2m/s C.3m/s D.4m/s 2.已知等差数列{a}中，42十44=6，则a1十4+4，==（). A.15 B.9 C.3V6 D.5v6 3.若函数y=f(x)的导函数(x)图象如图所示，则下列说法正确的是(). A.3是f(x)的极小值 B.f(x)的极值点有3个 C.f(xy)在区间(-，3)上单调递减 D.曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率小于零 4.已知事件A,B相互独立，且P(A)=0.6,P(B)=0.5,则P(AUB)=(). A.0.8 B.0.7 C.0.5 D.0.3 5.己知圆C:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0交于MN两点，则MNW=() A.2√2 B.V2 C.2v3 D.3 试卷第1页，共4页1 6.不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球 设事件A为“至少有一个黄球”，事件B为“至少有一个红球”，则() A.A与B互为对立事件 B.A与B互斥但不对立 C.A与B相互独立 .P)号 7.函数f(x)= +x-a+4,>0,在R上单调递增，则a的取值范国是（） 了3 x+c0Sx,x≤0， A.[1,3) B.1,3] c.[1,3] D.1,3) 8已知R(-c,0.RC,0分别为椭圆M名+1Q>b>0)的左、右焦点，从点4(2 射出的一条光线经直线)=3V5。反射后经过点R,且反射后的光线与M在第四象限交于点 P.若P-PF=a,则M的离心率为(). A.3 B. 3 C.② 2 D.2 3 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下表是海南中学高二年级甲、乙、丙、丁、戊5位同学某次数学考试成绩（单位：分） 学生 甲 丙 戊 成绩 82 90 68 80 80 则下列结论正确的是( A.这5位同学成绩的中位数是80 B.这5位同学成绩的极差是10 C.这5位同学成绩的方差是52 D.这5位同学成绩的第80百分位数是86 10.数列{a}满足a=1,a+1=2a。+n-1,n∈N,则下列说法正确的有(). A.数列{a,+n心}是等比数列 B.a,=2"-n C.数列{a,}的前n项和s=2+1_m+n-4 D.数列{an}是递增数列 2 11.己抛物线C:y=4x2的焦点为F,A,B为C上的两点，过A,B作C的两条切线交于点P,设 两条切线的斜率分别为k,飞2，直线AB的斜率为k3,则()· A.C的准线方程为y=-1 B.k,k,飞2成等差数列 试卷第2页，共4页 C.若P在C的准线上，则kk,=-1D.若P在C的准线上，则AF+4B的最小值为9 6 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知直线：x+2y+3=0与l2:2x-y+m=0互相平行，则m= ,4与1，之间 的距离为 13.己知曲线f(x)=x+e在点(0，f(0)处的切线与曲线y=1n(x-1)+a相切，则a 14.函数f(x)=x3-3x2+3x+1在区间(1,3)内存在零点，且该零点不是f(x)的极值点，则 实数m的取值范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”） 的过程中，后勤部门需了解学生对美食”工作的认可程度，若学生认可系数 认可系数=认可程度平均分 不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步 100 整改.为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对美食，工作认可程度 给出的评分，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直 方图. 频率组距 0.030 (I)求频率分布直方图中x的值： 0.025 0.020 (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低 0.015 于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机 抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数； 0'5060708090100评分 (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要 进一步整改，并说明理由 16.(本小题满分15分)己知函数f(x)=2x3-a2+12x+b,当x=2时，f(x)取得极小值5. (1)求4，b的值： (2)当0≤x≤3时，求f(x)的最小值. 试卷第3页，共4页 17.(本小题满分15分)某班级元旦游园活动中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、 乙两人分别从包含3道传统文化题和2道数学历史题的题袋中随机抽取2道题作答（抽出的 题不放回).已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等 (1)求甲抽到的2道题中恰好是1道传统文化题和1道数学历史题的概率： (2)若甲答对每道题的概率均为0.8，乙答对每道题的概率均为0.7，且两人答题是否正确相 互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于3道的概率 18(本小题满分17分)双曲线号y=1,直线1：y=红+1,0为坐标原点 (1)直线1与双曲线只有一个公共点，求k的值： (②)若直线1与双曲线有两个交点AB,若∠AOB为钝角，求k的取值范围. 19.(本小题满分17分)设函数y=f(x)在区间D上的导函数为f'(x),且f'(x)在D上存在 导函数f"(x)(其中f"(x)=[f"(x)]).定义：若区间D上f"(x)>0恒成立，则称函数f(x) 在区间D上为凹函数. (①)判断函数f=+1在区间(0，+0)上是否为凹函数？并说明理由： 包是否仔在实数a,使得屋数g)-ae-0mx-na-多 2 在区间(0，+o)上为凹函数？若存在，求实数α的取值范围；若不存在，请说明理由 (3)设k∈Z且k>0,对于任意的x∈(O,+0),不等式1+l血(x+少、k成立，求k的 x+1 最大值. 试卷第4页，共4页