福建省福州市平潭县平潭第一中学2025-2026学年 九年级上学期期末数学复习试卷

答案与解析 1.【答案】  【解析】解：、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，原图形绕对称中心旋转度后与自身完全重合． 2.【答案】  【解析】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， ． 故选：． 由反比例函数所在的象限可得到关于的不等式，可求得答案． 本题主要考查反比例函数的性质，掌握在中，当时，图象在第一、三象限，当时，图象在第二、四象限是解题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点：求二次函数是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 根据二次函数的定义得到，根据．决定抛物线与轴的交点个数得到，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】 解：根据题意得 解得且． 故选D． 4.【答案】  【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】 解：将抛物线向右平移一个单位所得抛物线解析式为：； 再向上平移个单位为：，即． 5.【答案】  【解析】解：， ， ，，， ， ． 故选：． 根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结果． 本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 根据已知角的正切值表示即可． 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 【解答】 解：，，在直角中， ． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：连接，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 的周长为． 故选：． 连接，，，利用圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系可以求出，则有，通过勾股定理求出半径为，最后由周长公式即可求解． 此题考查了勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得的长，本题得以解决． 【解答】 解：作交于点，则∽， ， ，， ， ， ∽， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，，， ， ∽， ， 即， 解得，， ， 故选：． 9.【答案】  【解析】此题主要考查了反比例函数中的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数的几何意义，求得与的面积相等且都等于，即可得出正确答案． 【详解】解：由于点和点均在同一个反比例函数的图象上， ， 与的面积相等， 矩形的面积是、而、的面积为定值，则四边形的面积只与有关， 四边形的面积不会发生变化， 故选：． 10.【答案】  【解析】解：由条件可知抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， 顶点为， 两点，在抛物线， 当且时，因时抛物线在轴上方， 故， 此时 故A选项的结论正确，符合题意； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误，不符合题意； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误，不符合题意； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误，不符合题意； 故选：． 抛物线开口向上，顶点为，与轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握该知识点是关键． 11.【答案】  【解析】本题考查了几何概率，频率和概率之间的关系，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键．用频率和概率之间的关系解答即可． 【详解】解：长方形纸片的总面积为：， 点落在图案上含文字的频率稳定在左右， 图案含文字的面积约为， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：圆锥的底面周长， 则：， 整理得， 解得， 所以圆锥的母线长为． 故答案为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 本题考查了圆锥的计算，关键是掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 13.【答案】或  【解析】解：由图象可知，抛物线在直线的上方，在点的左侧和点的右侧， 故当或时，， 故答案为：或． 根据图象判断函数值的大小关系即可． 本题考查了二次函数图象与不等式的关系，掌握二次函数图象与不等式之间的关系是解题关键． 14.【答案】  【解析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，分别过作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为，   点在函数的图象上， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， 又， ， ， 点在函数的图象上， ， 函数图象经过第二象限， ， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】先根据已知推出，再设，则，代入列方程求出的值，即可解决问题． 【详解】解：如图    由，，得 得：， ， ， ， 设，则， 由，得 ， 解得：负数，舍去， ，即， 故答案为：． 16.【答案】  【解析】连接，作交于点，连接，，首先证明∽，推出，由，可得，由，推出，由此即可解决问题； 【详解】解：连接，作交于点，连接，，． ，， ， ，， ， ， ， ∽， ． ， ． ， ， 的最大值为． 故答案为：． 本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 17.【答案】解：， ， 或， ，； ， ， ， ，．  18.【答案】证明：一元二次方程， ． ， ． 该方程总有两个实数根． 解：一元二次方程， 解方程，得，． ， ． 该方程的两个实数根的差为， ． ．  19.【答案】解：将点代入， ， ， ， ， 将，代入， ， ， ； 由题可知，，，，， ．  20.【答案】   【解析】解：景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为，，，现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放．  从四个车位中随机选择一个停放，共有种等可能的情况，  甲停放在位置的概率；  由题意，列表如下：    甲乙 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由表可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在相邻车位的情况有种，  甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 根据概率公式直接求解即可；  根据题意，列表或画树状图求概率即可． 本题考查概率公式求概率和列表法或画树状图法求概率，掌握求概率的公式和方法是解题关键． 21.【答案】解：证明：连接，如图， 四边形是平行四边形， 而， 四边形是菱形， 和都是等边三角形， ， ， 为的切线， ， ， 在和中 ， ≌， ， ， 是的半径， 是的切线； 在中，， ， ． ，， ， ．  22.【答案】证明：四边形是平行四边形， ， ． ． ， ， ∽． 解：四边形是平行四边形， ． ∽， ， ， ． ， ． ， ， 在中，， 的长为．  23.【答案】米．  【解析】解：根据题意可得：， 又， ∽， ， ， ， 根据题意可得：， 又， ∽， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， ， 纪念碑的高的长为米． 24.【答案】【小题】 解：设与之间的函数关系式为， 把代入解析式，则， 解得， 与之间的函数关系式为为整数； 【小题】 解：把代入，得： ，解得 与之间的函数关系式为，且为整数； 【小题】 解：设甲乙两种水果获得的总利润为，则 ， ， 对称轴为直线． ， 当时，随的增大而减小． 为整数， 当时，有最大值，最大值元， 答：水果店月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是元．   25.【答案】证明：四边形是矩形，  ，  ，  ，  ，，  ，且，  ∽；  解：，  ，  ，  ，  ，  设交于点，    矩形，  ，，  ∽，  ，  ，  ，  ，  ，  ∽，  ；  解：矩形，  ，，，  当∽时，则：，    点为的中点，  ，  ，  ，即：，  设，则：，  ，  ，  ，  ；  当∽时，则：，  ，  设，，则：，，  ，  ，  解得：，    由知：，  ，  ，  ，  或；  综上：或或．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省福州市平潭一中2025-2026学年度九年级（上） 期末数学复习试卷 一、选择题：本题共10小题，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是(    ) A. B. C. D. 2.反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 4.将抛物线向右平移一个单位，向上平移个单位得到抛物线(    ) A. B. C. D. 5.如图，，直线、与、、分别相交于点、、和点、、，若，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，为了测量河岸，两点的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么等于(    ) A. B. C. D. 7.如图，的弦，且于，连接，若，则的周长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点若，则的长为  (    ) A. B. C. D. 9.反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点轴于点，交的图象于点当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积(    ) A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 无法确定 10.在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是(    ) A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 二、填空题：本题共6小题，共24分。 11.如图是福州城市形象，为了估算出图案面积含文字，兴趣小组先将图片打印在面积为的长方形纸片上，再利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在图案上含文字的频率稳定在左右，据此估计在该图中，此中图案含文字的面积约为          平方厘米． 12.圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形若圆锥的底面圆半径长为，则圆锥的母线长为        ． 13.如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是        ． 14.如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若，，则的值为          ． 15.实数满足，这四个数在数轴上对应的点分别为，若，，则称为的“大黄金数”，为的“小黄金数”，当时，           ． 16.已知的半径为，为圆上一定点，为圆上一动点，以为边作等腰，点在圆上运动一周的过程中，的最大值为          ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题10分 解下列方程： ； ． 18.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实数根； 若，且此方程的两个实数根的差为，求的值． 19.本小题10分 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． 求反比例函数与一次函数的解析式； 过点作轴，垂足为，求的面积． 20.本小题10分 紫帽山位于福建省晋江市紫帽镇，是泉州四大名山之一，主峰海拔米景区以层峦叠嶂、飞瀑流泉为特色，拥有金粟洞、古玄寺等历史遗迹，以及百处“心”字石刻等文物奇观周边植被茂盛，生态环境良好，属休闲旅游胜地如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为，，，现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． 甲停放在位置的概率为______ ； 请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 21.本小题10分 如图，是的直径，点、在圆上，且四边形是平行四边形，过点作的切线，分别交延长线与延长线于点、，连接． 求证：是的切线； 已知圆的半径为，求的长． 22.本小题10分 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． 求证：∽． 若，，，求的长． 23.本小题10分 研学实践：如图是红军长征起点纪念碑学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点处直立一根米长的标杆此时，地面上的点、标杆的端点与点恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点处，此时地面上的点、标杆的端点与点恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点，，，，在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 24.本小题12分 某水果店去年月至月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份之间存在的反比例函数关系如表所示． 时间月份 售价元千克 甲种水果进价为元千克，销售量千克与之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元千克，平均每月销售千克． 求与之间的函数关系式； 求与之间的函数关系式； 若水果店销售水果时需要缴纳元千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？ 25.本小题分 如图，矩形中，，点是对角线上的一个动点不包含、两点，过点作分别交射线、射线于点、    求证：∽；  连接，若，且为中点，求的值；  若，移动点，使与相似，直接写出的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $福建省福州市平潭一中2025-2026学年度九年级（上) 期末数学复习试卷 一、选择题：本题共10小题，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人 工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心 对称的是() 蜂料 2.反比例函数y=-3的图象如图所示，则k的取值范围是() A.k<0 B.k≠3 C.k<3 D.k>3 3.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是() Ak>-子 Bk>-组k≠0C,k2-子 D.k≥-Z且k≠0 4.将抛物线y=-(x-1)2向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线() A.y=-x2+2 B.y=-(x-2)2+2 C.y=-x2-2 D.y=-(x-2)2-2 d 5.如图，a//b//c,直线d、e与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F,若AB=3, B DE=2,EF=4,则BC的长为() A.4 B.5 C.6 D.8 6.如图，为了测量河岸A,B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C,测得AC= Q,LABC=Q,那么AB等于() A.a·sina B.a·coS C.a·tana D品 第1页，共7页 7.如图，⊙O的弦AC=BD,且AC1BD于E,连接AD,若AD=3V2,则⊙O的周长为() A.6π B.4π C.3π D.2π 0· B E D 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=12,点D在边BC上，点E在线段AD上，EF1AC于点 F,EG1EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为() B D E G C F A A.3.6 B.4 C.4.8 D.5 9.反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示，点P在y=的图象上，过点P作PA1x轴于点A, 交y=2的图象于点C,PB1y轴于点B,交y=的图象于点D当点P的横坐标逐渐变大时，四边形0CPD的面 积() VA B A A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.无法确定 10.在平面直角坐标系中，两点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=ax2-2ax(a>0),则下列结论中正确的是 () A.当x1<0且y1'y2<0时，则0<x2<2 B.当x1<x2<1时，则y1<y2 第2页，共7页 C.当x1<0且y1·y2>0时，则0<x2<2 D.当x1>x2>1时，则y1<y2 二、填空题：本题共6小题，共24分。 11.如图是福州城市形象logo,为了估算出图案面积（含文字），兴趣小组先将图片打印在面积为20cm×10cm 的长方形纸片上，再利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在图案上（含文 字)的频率稳定在0.35左右，据此估计在该图中，此1og0中图案（含文字）的面积约为平方厘米。 12.圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形.若圆锥的底面圆半径长为5，则圆锥的母线长为一· 13.如图：抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于两点A(-1,p),B(4,q),则不等式ax2+c≥mx+n的 解集是一· 14如图，在平面直角坐标系中，点B在函数y=的图象上，点A在函数y=的图象上，若0A=V20B, LA0B=90°，则k的值为一 V 0 15.实数a,n,m,b满足a<n<m<b,这四个数在数轴上对应的点分别为A,N,M,B,若AM2=BM·AB, BN2=AN,AB,则称m为a,b的“大黄金数”，n为a,b的“小黄金数”，当m-n=6时，b-a=一 第3页，共7页 16.已知⊙O的半径为2，A为圆上一定点，P为圆上一动点，以AP为边作等腰Rt△APG,P点在圆上运动一 周的过程中，0G的最大值为一 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 解下列方程： (1)x2+2x=0: (2)x2-2=0. 18.(本小题10分) 已知关于x的一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0. (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若m<0,且此方程的两个实数根的差为3，求m的值. 19.(本小题10分) 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=”的图象交于A(m,3),B(-3,一2)两点. (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (2)过点A作AC1y轴，垂足为C,求△ABC的面积. 第4页，共7页 20.(本小题10分) 紫帽山位于福建省晋江市紫帽镇，是泉州四大名山之一，主峰海拔517.8米.景区以层峦叠嶂、飞瀑流泉为 特色，拥有金粟洞、古玄寺等历史遗迹，以及百处“心”字石刻等文物奇观周边植被茂盛，生态环境良好， 属休闲旅游胜地如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A,B,C,D现有甲、乙两车 准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一 个停放。 (1)甲停放在C位置的概率为 (②)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率. 21.(本小题10分) 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA 延长线与OC延长线于点E、F,连接BF. (1)求证：BF是⊙O的切线： (2)已知圆的半径为1，求EF的长. D B 22.(本小题10分) 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE1BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且∠AFE+∠C=180°， (1)求证：△ADF∽△DEC (2)若AB=8,AD=6V3,AF=4V3,求AE的长. A D B E C 第5页，共7页 23.(本小题10分) 研学实践：如图1是红军长征起点纪念碑.学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的 方案。 测量方案：如图2，线段AB表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆此时，地面上的 点E、标杆CD的端点D与点A恰好在同一直线上，测得CE=1米：将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、 标杆HG的端点H与点A恰好在同一直线上，测得FG=1.5米，CG=4.5米. 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F,G,E,C,B在同一直线上，请根据上述数据，求纪 念碑的高AB的长 图1 图2 24.(本小题12分) 某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价y1与月份x之间存在的反比例函 数关系如表所示 时间x/月份 2345 售价y1/(元/千 12864.8 克) 甲种水果进价为3元/千克，销售量P(千克)与x之间满足关系式P=20x:乙种水果每月售价y2与月份x之间 满足y2=ax2+bx+4,对应的图象如图所示.乙种水果进价为3.5元/千 克，平均每月销售160千克. 个y/售价 6 (1)求y1与x之间的函数关系式： (2)求y2与x之间的函数关系式； (3)若水果店销售水果时需要缴纳0.2元/千克的税费，问该水果店哪个月销 0 售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？ 245 x/月份 第6页，共7页 25.(本小题12分) 如图，矩形ABCD中，AD>AB,点P是对角线AC上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作EF⊥AC分别交 射线AB、射线AD于点E、F. D D P E 图1 图2 图3 E (1)求证：△AEF∽△BCA; (2)连接BP,若BP=AB,且F为AD中点，求4二的值： PC (③)若AD=2AB,移动点P,使△ABP与△CPD相似，直接写出AF的值. AB 第7页，共7页