2026年浙江省杭州市中考一轮专题练习 二十三：格点问题

2026年浙江省杭州市中考专题十九：格点问题 1.如图是由边长为1的小正方形组成的5×3网格，△ABC的顶点及点M，N都是格点，AB与格线CN交于点D，AC与MN交于点E．则有以下四个结论：①；②CE＝2AE；③∠ADE＝∠ACB；④∠ACB＝45°．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．③④ D．①②③ 【解答】解：由勾股定理得AB，MN， ∴， ∴ABMN， 故①正确； 连接AM、CN，则AM＝1，CN＝2， ∵AM∥CN， ∴△AEM∽△CEN， ∴， ∴CE＝2AE， 故②正确； 取格点G、H，连接AH、DG、BH，则AG＝2，AH＝3， ∵DG∥BH， ∴△ADG∽△ABH， ∴， ∴ADAB， ∵， ∴AEACAC， ∵AC2， ∴AE， ∵，， ∴， ∵∠EAD＝∠BAC， ∴△EAD∽△BAC， ∴∠ADE＝∠ACB， 故③正确； 取格点P、Q，连接PQ，则PQ2＝PC2＝12+22＝5， ∴PQ2+PC2＝5+5＝10， ∵CQ2＝12+32＝10， ∴PQ2+PC2＝CQ2， ∴△PCQ是直角三角形，且∠CPQ＝90°， ∴∠ACQ＝∠PQC＝45°， ∠ACB≠∠ACQ， ∴∠ACB≠45°， 故④错误， 故选：D． 2.如图，在的网格中，已知每个小的四边形都是边长为1的正方形，，，，均在格点上，与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，设与网格线交于点，取格点，连接、，因为，，，，，所以，可证明..，得，则，再证明，则，则，于是得到问的答案． 【详解】解：设与网格线交于点，取格点，连接、、，则、、三点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上， 每个小的四边形都是边长为1的正方形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （　　） A. 点 的坐标为 B. C. 与 的周长之比为 D. 与 的面积之比为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形与相似图形的关系，根据位似图形的性质，位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应边互相平行或在同一直线上，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 、点的坐标为，原选项正确，不符合题意； 、根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； 、∵与的位似比为， ∴与 的周长之比为，原选项正确，不符合题意； 、∵与的位似比为， ∴与的面积之比为，原选项不正确，符合题意； 故选：． 4.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，能通过作辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 作，连接，得到，根据勾股定理得到，，，继而得到，得到，再根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作，连接， ， 令正方形网格的边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 5.如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上，在图1和图2中分别画出一个以点A，B为顶点且另两个顶点均在格点上的正方形，并分别求出其周长． 【答案】图见解析，周长分别为或 【分析】 分线段是边和对角线两种情况作出图形并求解周长即可． 【详解】解：如图1， 连接， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴是直角三角形，, ∴四边形是正方形， ∴四边形的周长是； 如图2， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴是直角三角形，, ∴四边形是正方形， ∴四边形的周长是． 6.如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上. （1）在图1中画出，使得，且点为格点. （2）在图2中画出，使得，且点为格点.     【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）构造全等三角形解决问题即可． （2）利用圆周角定理解决问题即可． 【详解】（1）如图所示： 或 或 （2）如图所示：  或     7.如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可． 【解答】解：如图： 8.在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）． （1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； （2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标． 【解答】解：（1）如图所示； （2）如图，即为所求； （3）作点B1关于y轴的对称点B2，连接C、B2交y轴于点P，则点P即为所求． 设直线CB2的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵C（﹣1，4），B2（2，﹣2）， ∴，解得， ∴直线CB2的解析式为：y＝﹣2x+2， ∴当x＝0时，y＝2， ∴P（0，2）． 9.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： （1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图（2）中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数； （3）在图（3）中，画一个正方形，使它的面积是8． 【解答】解：如图所示： 10.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形． （1）在图1中画出等腰三角形，且点C在格点上．（画出一个即可） （2）在图2中画出以为边的菱形，且点D，E均在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】利用轴对称图形、中心对称图形的特点画出符合条件的图形即可； 【小问1详解】 答案不唯一． 【小问2详解】 11.如图，是由边长为的小正方形构成的的网格图，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹． （1）在图中画一个平行四边形，要求一条边长为且面积为； （2）在图中画一个矩形，要求一条边长为且面积为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形定义，画出面积为，即一组边长为，高为的平行四边形，利用勾股定理画出另一组边长为即可； （2）矩形面积为，小正方形边长为，利用勾股定理画出一组边长为，另一组边长为，在图中画出即可． 【小问1详解】 解：画出边长为，高为的平行四边形，另一组边为， 下图即为所求： 【小问2详解】 画出一组边长为，另一组边长为的矩形， 下图即为所求： 12.在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（-3，1），B（-1，4），C（0，1） （1）将△ABC绕点C旋转180°，请画出旋转后对应的△A1B1C1； （2）将△A1B1C1沿着某个方向平移一定的距离后得到△A2B2C2，已知点A1的对应点A2的坐标为（3，-1），请画出平移后的△A2B2C2； （3）若△ABC与△A2B2C2关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出△ABC 的对应点,连线即可； （2）根据平移后点的坐标得出平移方式，然后画出平移图形即可； （3）根据成中心对称的两个图形对应点连线的交点即为对称中线解答即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所作； （2）如图，△A2B2C2即为所作； （3）对称中心为． 13.如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC． 画法1：在AD边上找到格点P，使AP＝AB． 画法2：在BC边上找到格点E，使BE＝AB，连结AE，找到格点P． （1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点P，连结BP． （2）从两种画法中选择一种证明BP平分∠ABC． 【解答】（1）解：如图1，点P即为所求作；如图2所示，点P即为所求作； （2）证明：如图1， 由题意可知， ∴∠ABP＝∠APB， ∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠CBP， ∴∠ABP＝∠CBP， 则点P即为所求； ②如图2， 由题意可知， 点P为AE的中点， 由三线合一定理可得BP平分∠ABC， 则点P即为所求． 14.网格作图问题： 【问题背景】如图1，在边长为1的小正方形网格中△ABC的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得BQ＝3． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图2，我在A点左侧找到一个点，然后将这个点和C连结，与AB的交点即为所求Q． 小帆：按照你的思路，我也可以在B点的正上方找到一个点，然后将这个点… 老师：由CB＝BQ＝3，我们可以得到△CBQ是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点Q呢？ 小金：哦…我明白了！ （1）请你按照小帆的作法，在图3中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） （2）请你按照老师的提示，在图4中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） 【解答】解：（1）如图3中，点Q即为所求； （2）如图4中，点Q即为所求． 15.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形顶点上． （1）在方格纸中画出以CD为底的等腰△CDF，且点F在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出面积为7.5的等腰△ABE，且点E在小正方形的顶点上． 【解答】解：（1）如图所示，△DCF即为所求： （2）如图所示，△ABE即为所求． 16.如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） （1）请在图1中画出的高． （2）请在图2中在线段上找一点E，使． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-格点作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）取格点，连接交于点，连接，线段即为所求； （2）取格点，连接交于，点就是所求的点． 【小问1详解】 解：取格点，连接交于点，连接，如图： 由图可知，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴为中点， ∴， ∴为的高． 【小问2详解】 解：取格点，连接交于，如图： 由图可得，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点就是所求的点． 17.在如图所示的方格纸中存在△ABC，其中，点A，B，C均在格点上． （1）用直尺作出△ABC的外接圆圆心O． （2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求△ABC外接圆半径R的长． 【解答】解：（1）如图，点O即为所求； （2）连接OB． OB． 故外接圆半径R的长为． 18.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）如图2，请画出∠ACB的角平分线CD，交⊙O于点D． 解： （1） 将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，如图1即为所求； （2）∠ACB的角平分线CD，如图2即为所求． 19.在如图的的正方形网格中建立直角坐标系（只画出了第一象限），网格中的每个小正方形的边长都为，格点的顶点坐标分别为，，． （1）将线段绕点顺时针旋转得到，请画出． （2）请仅用无刻度的直尺画出的外接圆的圆心，并求点的坐标． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解， 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变化，三角形外接圆圆心的确定，掌握平面直角坐标系的特点，垂直平分线的作图方法是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据三角形外接圆的圆心在三边垂直平分线的交点处作图，结合平面直角坐标系的特点得到坐标即可． 【小问1详解】 解：根据旋转的性质，作图如下， 【小问2详解】 解：如图所示， ∵，是以边长为的正方形的对角线， ∴分别作出的垂直平分线交于点，则点即为所求的外接圆， ∴． 20.在 3×4的方格纸中，每个小正方形的边长为1， △ABC的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求分别画出图形 （1）在图1中作射线BD交AC于点D，使∠ABD=∠CBD （2）在图2中作直线BE交AC于点E，使AE：CE=2：3 【答案】（1）解：如图，射线BD即为所作； （2）解：点E即为所作. 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段上找一点D，使． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． 【小问1详解】 解：如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可）， ，， ， ，， ； 【小问2详解】 解：如图， ， ， ， ， 点即为所求作的点． 22.由小正方形组成的5×5的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图． （1）作边上的中线； （2）若点E是上一点，使得，则_______，并在图上画出点E． 【答案】（1）见解析 （2），图见解析； 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的中线、无刻度直尺作图等知识． （1）根据网格的特点找到的中点D，连接即可； （2）根据网格的特点得到，，证明，得到，则，即可证明点E即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 如图，点E即为所求， 连接， 由网格可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23.如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． （1）图①中，在边BC上找一点D，连接AD，使得△ACD面积为△ABC面积的； （2）图②中，在边BC上找一点E，连接AE，使得△ABE面积为△ABC面积的． 【解答】解：（1）如图①：AD即为所求； （2）如图②：AE即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州市中考专题十九：格点问题 1.如图是由边长为1的小正方形组成的5×3网格，△ABC的顶点及点M，N都是格点，AB与格线CN交于点D，AC与MN交于点E．则有以下四个结论：①；②CE＝2AE；③∠ADE＝∠ACB；④∠ACB＝45°．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．③④ D．①②③ 2.如图，在的网格中，已知每个小的四边形都是边长为1的正方形，，，，均在格点上，与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 3.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （　　） A. 点 的坐标为B. C. 与 的周长之比为 D. 与 的面积之比为 4.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 5.如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A，B均在格点上，在图1和图2中分别画出一个以点A，B为顶点且另两个顶点均在格点上的正方形，并分别求出其周长． 6.如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上. （1）在图1中画出，使得，且点为格点. （2）在图2中画出，使得，且点为格点.     7.如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可． 8.在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）． （1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； （2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标． 9.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： （1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图（2）中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数； （3）在图（3）中，画一个正方形，使它的面积是8． 10.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形． （1）在图1中画出等腰三角形，且点C在格点上．（画出一个即可） （2）在图2中画出以为边的菱形，且点D，E均在格点上． 11.如图，是由边长为的小正方形构成的的网格图，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹． （1）在图中画一个平行四边形，要求一条边长为且面积为； （2）在图中画一个矩形，要求一条边长为且面积为． 12.在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（-3，1），B（-1，4），C（0，1） （1）将△ABC绕点C旋转180°，请画出旋转后对应的△A1B1C1； （2）将△A1B1C1沿着某个方向平移一定的距离后得到△A2B2C2，已知点A1的对应点A2的坐标为（3，-1），请画出平移后的△A2B2C2； （3）若△ABC与△A2B2C2关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______． 13.如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC． 画法1：在AD边上找到格点P，使AP＝AB． 画法2：在BC边上找到格点E，使BE＝AB，连结AE，找到格点P． （1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点P，连结BP． （2）从两种画法中选择一种证明BP平分∠ABC． 14.网格作图问题： 【问题背景】如图1，在边长为1的小正方形网格中△ABC的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得BQ＝3． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图2，我在A点左侧找到一个点，然后将这个点和C连结，与AB的交点即为所求Q． 小帆：按照你的思路，我也可以在B点的正上方找到一个点，然后将这个点… 老师：由CB＝BQ＝3，我们可以得到△CBQ是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点Q呢？ 小金：哦…我明白了！ （1）请你按照小帆的作法，在图3中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） （2）请你按照老师的提示，在图4中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） 15.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形顶点上． （1）在方格纸中画出以CD为底的等腰△CDF，且点F在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出面积为7.5的等腰△ABE，且点E在小正方形的顶点上． 16.如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） （1）请在图1中画出的高． （2）请在图2中在线段上找一点E，使． 17.在如图所示的方格纸中存在△ABC，其中，点A，B，C均在格点上． （1）用直尺作出△ABC的外接圆圆心O． （2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求△ABC外接圆半径R的长． 18.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）如图2，请画出∠ACB的角平分线CD，交⊙O于点D． 19.在如图的的正方形网格中建立直角坐标系（只画出了第一象限），网格中的每个小正方形的边长都为，格点的顶点坐标分别为，，． （1）将线段绕点顺时针旋转得到，请画出． （2）请仅用无刻度的直尺画出的外接圆的圆心，并求点的坐标． 20.在 3×4的方格纸中，每个小正方形的边长为1， △ABC的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求分别画出图形 （1）在图1中作射线BD交AC于点D，使∠ABD=∠CBD （2）在图2中作直线BE交AC于点E，使AE：CE=2：3 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段上找一点D，使． 22.由小正方形组成的5×5的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图． （1）作边上的中线； （2）若点E是上一点，使得，则_______，并在图上画出点E． 23.如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． （1）图①中，在边BC上找一点D，连接AD，使得△ACD面积为△ABC面积的； （2）图②中，在边BC上找一点E，连接AE，使得△ABE面积为△ABC面积的． 1 学科网（北京）股份有限公司 $