2026年浙江省杭州市中考数学一轮专题复习：几何中的等量关系

2025年浙教版九年级第一学期期末专题：几何中的等量关系 1.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（　　） A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32 【解答】解：作AM⊥BC于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，则∠ABM＝∠N＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2，BC＝2，AC＝x，BD＝y， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABM＝∠DCN， 在△ABM和△DCN中， ， ∴△ABM≌△DCN（AAS）， ∴AM＝DN，BM＝CN， ∴BD2＝DN2+BN2＝AM2+（BC+CN）2＝AM2+（BC+BM）2＝AM2+BC2+2BC•BM+BM2， ∵AC2＝AM2+CM2＝AM2+（BC﹣BM）2＝AM2+BC2﹣2BC•BM+BM2， ∴AC2+BD2＝2AM2+2BM2+2BC2＝2AB2+2BC2＝2×22+2×（2）2＝32， ∴x2+y2＝32， 故A不符合题意，B不符合题意，C符合题意； 假设y2﹣x2＝32成立，则x2+y2＝y2﹣x2， 求得x＝0，不符合题意， ∴y2﹣x2＝32不成立， 故D不符合题意， 故选：C． 2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，记∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β．若AB＝AC，AB∥CD，则有（　　） A．2α+3β＝180° B．3α+4β＝360° C．3α+2β＝180° D．4α+3β＝360° 【解答】解：∵∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝α+β， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， 由三角形内角和定理得：∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴2∠ACB+α＝180°， ∴∠ACB＝90°α， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝α， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°α+α＝90°α， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴90°α+α+β＝180°， 整理得：3α+2β＝180°． 故选：C． 3.如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点N、M，设∠C＝α，∠A＝β，则（　　） A． 若α﹣β＝75°，则所对应的圆心角为15° B．若α﹣β＝75°，则所对应的圆心角为30° C．若α+β＝75°，则所对应的圆心角为15° D．若α+β＝75°，则所对应的圆心角为30° 【解答】解：连接ON，BM， ∴∠MON＝2∠MBN， ∵AM是圆直径， ∴∠ABM＝90°， ∵∠A＝β， ∴∠AMB＝90°﹣β， ∵∠AMB＝∠C+∠CBM，∠C＝α， ∴∠MBN＝90°﹣β﹣α， ∴∠MON＝180°﹣2（α+β）， 当α﹣β＝75°时， ∴∠MON＝30°﹣4β， 故A、B不符合题意； 当α+β＝75°时， ∴∠MON＝180°﹣75°×2＝30°， 故C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 4.如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，点D、E分别是、的中点，设∠BAC＝α，∠DAE＝β，则（　　） A．α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．β﹣α＝60° D．2α﹣β＝60° 【解答】解：如图， 连接DE、DC、BE， ∵D、E分别是、中点， ∴，， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠ACD＝∠AED， ∴∠ACD＝∠AED＝∠BCD， ∴∠ACB＝2∠AED， ∵， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵∠ABE＝∠ADE， ∴∠ABE＝∠EBC＝∠ADE， ∴∠ABC＝2∠ADE， 在△ADE中，∠DAE＝β， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣β， 在△ABC中， ∠ACB+∠ABC＝2∠AED+2∠ADE＝2（180°﹣β）＝360°﹣2β， ∵∠BAC＝α， ∴α+360°﹣2β＝180°， ∴2β﹣α＝180°， 故选：B． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，使点D落在AC边上，DE，BC相交于点F．设∠BAC＝α，∠BFD＝β．则下列关系正确的是（　　） A．α+β＝150° B．2α+β＝230° C．α+β＝270° D．3α+β＝300° 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠C＝∠ABC（180°﹣α）＝90°α， 由旋转得DB＝AB，∠CBE＝∠ABD，∠E＝∠C＝90°α， ∴∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠CBE＝∠ABD＝180°﹣2α， ∵∠BFD＝∠E+∠CBE，且∠BFD＝β， ∴β＝90°α+180°﹣2α， 整理得α+β＝270°， 故选：C． 6.已知二次函数y1＝a（x﹣x1）（x﹣x2）的最小值是m，二次函数y2＝a（x﹣x2）（x﹣x3）的最小值是4m，当x1＜x2＜x3时，x1，x2，x3满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵二次函数y1＝a（x﹣x1）（x﹣x2）的最小值是m， ∴当x时，y＝m， ∴m＝a（）（）， ∵二次函数y2＝a（x﹣x2）（x﹣x3）的最小值是4m， ∴当x时，y＝4m， ∴4m＝a（）（x3）， ∴（）（）（）（x3）， ∴（x2﹣x1）（x1﹣x2）（x3﹣x2）（x2﹣x3）， ∴（x2﹣x1）2（x3﹣x2）2， ∵x1＜x2＜x3， ∴x2﹣x1（x3﹣x2）， ∴x1＝x2（x3﹣x2）x2x3， 即． 故选：D． 7.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．若DA＝DF，∠ABC＝α，∠DFC＝β，则下列结论正确的是（　　） A．α+4β＝540° B．α+4β＝450° C．α+2β＝360° D．α+2β＝270° 【解答】解：∵∠DAE+∠DAB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°， ∴∠DAE＝∠DCB， ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAE＝∠DAC＝∠DBC， ∴∠DAC＝∠DBC＝∠DCB， ∵DA＝DF， ∴∠BFC＝∠DFA＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB， ∵∠DAC＝∠DBC，∠DFA＝∠DCB， ∴△DAF∽△DBC， ∴∠ADB＝∠BDC， ∴∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC， ∴∠ACB＝∠BAC， ∵∠ABC＝α，∠DFC＝β， ∴∠BDC＝∠BAC（180°﹣∠ABC）（180°﹣α）， ∴∠DBC＝∠DCB（180°﹣∠BDC）＝90°（180°﹣α）＝45°α， ∵∠DFC＝180°﹣∠BFC＝180°﹣∠DBC＝180°﹣（45°α）＝135°α， ∴β＝135°α， ∴α+4β＝540°， 故A正确， 故选：A． 8.如图，线段AE是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，设∠DAE＝α，∠DCB＝β．若AE⊥BC，BD＝GD，则（　　） A．3α+β＝270° B．α+β＝180° C．3β﹣α＝270° D．β﹣α＝90° 【解答】解：∵直径AB⊥BC， ∴， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠CDG+∠ADC＝180°， ∴∠CDG＝∠ABC， ∴∠CDG＝ADB， ∵BD＝CD， ∴∠G＝DBG， ∴∠ADB＝∠G+∠DBG＝2∠G， ∵AB⊥BC， ∴∠G＝90°﹣∠DAE＝90°﹣α， ∴∠ADB＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α， ∴∠CDG＝180°﹣2α， ∴∠BCD＝∠G+∠CDG＝90°﹣α+180°﹣2α， ∴β＝270°﹣3α， ∴3α+β＝270°． 故选：A． 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AB＝AC，AB∥CD，则（　　） A．2∠BAC+3∠CAD＝180° B．3∠BAC+2∠CAD＝180° C．4∠BAC+3∠CAD＝360° D．3∠BAC+4∠CAD＝360° 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣（∠BAC+∠CAD）， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∴90°∠BAC+180°﹣（∠BAC+∠CAD）＝180°， 整理得：3∠BAC+2∠CAD＝180°． 故选：B． 10.如图，是的外角平分线，与的外接圆交于点D，连接交于点F，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故A不符合题意； ∵ ∴ ，故C不符合题意； ∵，， ∴ ，故D不符合题意； ∵， ∴ ， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故B符合题意； 故选B． 11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连结AC，AD．设∠BAC＝α，∠BAD＝β，∠AEC＝γ，则（　　） A．α﹣β+γ＝90° B．β+γ﹣α＝90° C．α+β+γ＝180° D．α+β﹣γ＝90° 【解答】解：连结BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝α， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣α， ∵∠AEC＝∠BCD+∠B，且∠BCD＝∠BAD＝β，∠AEC＝γ， ∴γ＝β+90°﹣α， ∴α﹣β+γ＝90°， 故选：A． 12.如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 【解答】解：∵OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α， ∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α， ∵∠AOD+∠COD＝90°， ∴β+180°﹣2α＝90°， ∴2α﹣β＝90°， 故选：D． 14.如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 15.在ABC中，已知D为直线BC上一点，若，，且，则β与α之间不可能存在的关系式是（ ） A. B. C. D. 【正确答案】 D 16.如图，△ABC是圆O的内接三角形，延长BO交AC于点D，OE⊥BC，垂足为点E，点F是OB上一点，OE＝OF，若∠ABC＝m∠OEF，∠ACB＝n∠OEF，则m，n满足的关系式是 　 　． 【解答】解：如图，延长BO交⊙O于点H，连接CH， ∵BH为⊙O的直径， ∴∠BCH＝90°， ∵OE⊥BC， ∴∠OEB＝90°， ∴∠BCH＝∠OEB， ∴OE∥CH， ∴∠H＝∠EOF， ∵OE＝OF， ∴∠OFE＝∠OEF， ∴∠EOF＝180°﹣2∠OEF， ∴∠H＝180°﹣2∠OEF， ∴∠A＝∠H＝180°﹣2∠OEF， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， 即∠ABC+∠ACB＝180°﹣（180°﹣2∠OEF）＝2∠OEF， ∵∠ABC＝m∠OEF，∠ACB＝n∠OEF， ∴∠ABC+∠ACB＝（m+n）∠OEF， ∴m+n＝2， 故答案为：m+n＝2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙教版九年级第一学期期末专题：几何中的等量关系 1.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝2，BC＝2，记AC的长为x，BD的长为y，则下列各式正确的是（　　） A．x2+y2＝16 B．x2+y2＝48 C．x2+y2＝32 D．y2﹣x2＝32 2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，记∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β．若AB＝AC，AB∥CD，则有（　　） A．2α+3β＝180° B．3α+4β＝360° C．3α+2β＝180° D．4α+3β＝360° 3.如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点N、M，设∠C＝α，∠A＝β，则（　　） A． 若α﹣β＝75°，则所对应的圆心角为15° B．若α﹣β＝75°，则所对应的圆心角为30° C．若α+β＝75°，则所对应的圆心角为15° D．若α+β＝75°，则所对应的圆心角为30° 4.如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，点D、E分别是、的中点，设∠BAC＝α，∠DAE＝β，则（　　） A．α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．β﹣α＝60° D．2α﹣β＝60° 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，使点D落在AC边上，DE，BC相交于点F．设∠BAC＝α，∠BFD＝β．则下列关系正确的是（　　） A．α+β＝150° B．2α+β＝230° C．α+β＝270° D．3α+β＝300° 6.已知二次函数y1＝a（x﹣x1）（x﹣x2）的最小值是m，二次函数y2＝a（x﹣x2）（x﹣x3）的最小值是4m，当x1＜x2＜x3时，x1，x2，x3满足的关系是（　　） A． B． C． D． 7.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．若DA＝DF，∠ABC＝α，∠DFC＝β，则下列结论正确的是（　　） A．α+4β＝540° B．α+4β＝450° C．α+2β＝360° D．α+2β＝270° 8.如图，线段AE是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，设∠DAE＝α，∠DCB＝β．若AE⊥BC，BD＝GD，则（　　） A．3α+β＝270° B．α+β＝180° C．3β﹣α＝270° D．β﹣α＝90° 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AB＝AC，AB∥CD，则（　　） A．2∠BAC+3∠CAD＝180° B．3∠BAC+2∠CAD＝180° C．4∠BAC+3∠CAD＝360° D．3∠BAC+4∠CAD＝360° 10.如图，是的外角平分线，与的外接圆交于点D，连接交于点F，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连结AC，AD．设∠BAC＝α，∠BAD＝β，∠AEC＝γ，则（　　） A．α﹣β+γ＝90° B．β+γ﹣α＝90° C．α+β+γ＝180° D．α+β﹣γ＝90° 12.如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 14.如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则（　　） A. B. C. D. 15.在ABC中，已知D为直线BC上一点，若，，且，则β与α之间不可能存在的关系式是（ ） A. B. C. D. 16.如图，△ABC是圆O的内接三角形，延长BO交AC于点D，OE⊥BC，垂足为点E，点F是OB上一点，OE＝OF，若∠ABC＝m∠OEF，∠ACB＝n∠OEF，则m，n满足的关系式是 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $