浙江省温州市泰顺县育才高级中学2025-2026学年高二上学期第八次周考数学试题

泰顺育才高中2024级高二年级第一学期第八次周考 数学学科 试题解析 一、单选题 1.【详解】根据直线斜率的两点式公式，k=4》=12=-2,故选：B 6-12 -6 2t1--m-69微5发a背子-专号专发德n 3【详解】焦点(0-2》.02)在y轴上，设双曲线的标准方程为兰-号-1o>06>0,且。=2，由双前线性质 得c2=a2+62,即a2+2=40,双曲线过点2，-2，将其代入标准方程得二-2-22=1，化简为生-2 a2 b2 a2+b2=4 1®联立00，得多解得a=2,=2,所双由线方程为兰 2-2=1.故选：D 4.【详解】因l1∥l2,则a(a-3)=18→a2-3a-18=0→(a-6)(a+3)=0.则a=6或a=-3.当a=6,1:6x+3y +7=0,2:6+3y+4=0,满足1∥l2:当a=-3,1:-3c+3y-2=0,2:6c-6y+4=0台-3c+3y-2= 0,两直线重合，不合题意，则a=6.故选：A 5.【详解】①由于n∥a,由线面平行的性质定理得，n平行于过n的平面与α的交线l,又m⊥a,故m⊥1，即m ⊥n,故①正确； ②若a⊥Y,B⊥Y,则α与B可能相交，也可能平行，故②错： ③若m∥，n∥a,由线面平行的性质定理，即得m,n平行、相交或异面，故③错： ④若a∥B,B∥y,m⊥a,则面面平行的传递性得α∥Y,由线面垂直的性质定理得，m⊥Y,故④正确. 故选：B. 6【详解】8-58=1→受-受古由于a)是等差数列所以马-a十nm-1 =a+2m-10d 即{受}也是等差数列，故号-斧-→5，-78，-部-弓故选：D, 乙【许解】风为等转双鱼线的实转长为a@>0:则双甜线方程为号一兰1a≥0，则 近线方程为J=士，则∠BOR=∠AOB=平，所以∠AOB=号，由GA=AB,即A为 BR的中点，又O为B的中点，所以OA∥BR,则∠BF0=∠A0R=于，∠OBA= ∠A0B号，所以人0B,为等颗直角三角形.所以BA=Osn子-受e=a放选：C 8.【详解】取CD中点E,连结AE根据题意，因为△BCD为等腰直角三角形，所以△BCD 的外心为斜边CD的中点E,EB=EC=ED:又CD=4,所以△BCD的外接圆半径为2：因 为平面ACD⊥平面BCD,平面ACD∩平面BCD=CD,△ACD为等边三角形，所以AE⊥ CD,所以AE⊥平面BCD,所以外接球球心O在直线AE上，且OA=OC=OD,O为 △ACD的外心，因为△ACD为等边三角形，所以∠CAD=号，CD=4,所以由正弦定理有OA 一专高两收三的*法表国为8=如深=学了-号C 二、多选题 9.【详解】设其方程为4如-3y+c=0(c为常数)，：正方形中心(23)到直线AB边的距离为d=3×2+4×3+2 W32+42 =±，六正方形中心(2,3)到所求直线的距离为4，即4X23x3+d=©-1=4，解得c=-19或c=21,、与 √42+(-32 5 AB边垂直的两条边所在的直线方程为4x-3y-19=0或4x-3y+21=0.故选：CD. 10.【详解】对于AB:因为Sn=2m,故S1=2=a1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2,当n=1时，也成立，所以 an=2,即{an}为常数列，其既是等差数列，也是等比数列，故A、B正确： 对于C:Sn=2m,am十n=2十n,显然等式仅当n=2时成立，故C错误；对于D:Sn=2n=nan,故D正确。 故选：ABD. 11.【详解】设该半正多面体棱长为√2，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上：将该半正多面体补成正方体，正 方体的棱长为2，可得该半正多面体的外接球与原正方体的外接球的球心重合，所以该半正多面体的外接球半径为 OA=√OO号+O2A=√2，原正方体的外接球的半径|OK=√OO号+O2K=√1+(W2=√，故A错误： 与DF成的棱有HR,AG,AF,GH和与面AFHG相对的面上的CIN,CI,IN:还有DH,BC,CD,BH和与面BCDH 相对的面上的AM,NS,MN,AS,共16条，故B错误： 由FR⊥面BCDH,得∠FDR为DF与面BCD所成角，由于△DRP为等腰直角三角形，则∠PDR=至，枚C对： 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,1,0),F(2,2,1),B(1,0,2),C(0,1,2),D(1,2,2),则AF=(0,1,1),C元=(1,1,0)， F元=(-1,0,1)：又BC=(-1,1,0),设B币=BC=(-1,1,0),1∈[0,1]，则E(1-1,1,0),DE=(-入，1-2,0)， cos(FDE)= AF.DE 1-2 (1-2)2 AF列D品 2vP+(1-2y 21V(-22+2(1-2)+2 2V1+-2+a-2y 2 2 令t=2[1-分1 则cos(AF,D) 2W2t2+2t+1 2+2t+1e[分小所以cos(瓜D[--] 故直线D迈与直线AF所成角的余弦值的取值范围为[号，号] 故D正确.故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12【详解】该双临线-条渐近线方程为y=合2，故号=2，则e=吕-V1+(侣了-√+子=故答案为5 a 2 l3.【详解】数列{an}是递增数列，当n≤6时，有3-a>0;当n>6时，有a>1:a7>a6,即a>l0-6a,综 上，有9<a<3 14.【详解】如图，抛物线C方程为y=}2今2=4划，则F0,1),所以可设直线AB方程 为y=kc+1,与抛物线C的方程为x2=4y联立，消y得x2-4c-4=0,又设交点 A(x1,,B(c2,),D(a,0),则x12=-4, B 由|DA=DBl=|DW=Wa2+16,则√(c1-a2+=V(c2-a2+6=√a2+16, 即(1-a)2+y=a2+16,(x2-a}+y%=a2+16, 所以A(m1,),B(m2,)是方程(c-a)2+y=a2+16的解，又将y=k+1代入方程(c-a2+y2=a2+16, 整理得(x-a2+(kx+12=a2+16→(1+k2)x2+(2k-2a)c-15=0, 此时汉有=平是。再根据。=士可得是=一=生水=士安，故答案：士安 4 2 2 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15（3分：【Y解】联之9-8解得即P1 由乙与直线3+g+1=0垂直可得其斜率为k=青所以直线的方程为y-1=吉(。一1，即红-3测-1=0： (2)当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为y=c: 当在两坐标轴上截距不为0时，可设b方程为巴+型=1，则1十1=1，得a=2,故此时方程为D十y-2=0: a aa 综上可知，直线2的方程为y=x或x十y-2=0. 16.(1)因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2,-2W2),所以可设标准方程为=2px(p>0). 因为点M在抛物线上，所以(-2W2)2=2p×2,解得p=2,因此，所求抛物线的标准方程是y=4x (2)设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且设点A(1,y1),B(2,), 则y=41,=42,又OA=OB, ∴.x2+=x号+，即(-a)+4(m-x2）=0, .(1-c2)(1十x2十4)=0，又m1>0,x2>0,.D1=c2, 由此可得h=2,即线段AB关于x轴对称， :e轴垂直于AB,且∠A0x=30,.头=tan30°=5 3 a=￥，=，A6=2=sw原 17.【小问1详解】如图，连接BD与AC相交于点F,连接EF, :正方形ABCD的对角线BD和AC交于点F,.BF=FD,又PE=ED,∴.EF∥BP, 又EFC平面ACE,BP中平面ACE,∴.BP∥平面ACE. 【小问2详解】如图，因为平面APD⊥平面ABCD,平面APD∩平面ABCD=AD,过点A在平面PAD内作AD 的垂线U,可得垂线l垂直于平面ABCD,又AB⊥AD,则以A为坐标原点，向量AB, AD方向分别为x,y轴的正方向，1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A000,B20.0.D0.20,C220,P0.1,D0号号 设平面ACE的法向量为元=(a2,由A正-(0号》AC-220, 冷 证.成=号刘+分2=0，取2=1，y=-1,么=3，可得平面ACE的一个法向量为成=（1-13) AC:i=2+2y=0 又由C=（-2-11),则c0s(Ci,)=C元 2 =√66 C:成√6×√i33 故直线PC与平面ACE所成的角的正弦值为Y6⑥ 33 18.【详解】(1)当n≥2时，am=Sm-Sn-1=n2-(n-1)2=2m-1,当n=1时，a=S1=1=2×1-1符合. 所以am=2m-1(n∈N). (2) ·当n为奇数时，cn=bm十2；此时n+1为偶数，由bm+1=3bn十5，得 cn+1=bm+1+1=3bn+6=3(bn+2)=3cn ·当m为偶数时，cn=bm+1；此时nm十1为奇数，由bu+1=3bn+1,得 cm+1=bm+1+2=3bn+3=3(bn+1)=3cm。 因此，对任意n∈N*,有cn+1=3c。 因为c1=b1+2=3,所以数列{cn}是首项为3，公比为3的等比数列. 8白2得6=3名=2=n-1写了 3n =1(3)+3(3+5(号++(2m-3)(号'+(2m-0(号可 ①x号得 含x=1号+3号+5（号++(2m-3)-(日+2m-1-(号”@ 由①-②得 号-专--0-（号+2号了+（号+号++台门 专--传2 1-(3) 13 -- = -22 23 所以工=1-+号八， 因为(n+号>0.所以T<, 因为T+1-1 =1-n+2号m-1+n+号厂=a+号了-n+2(g-2士>0.nw 3n+1 所以≥五，n∈W,即刀关于n是递增的，因此T≥=名-号 综上，吉≤工<1 19.【小问1详解】E(2W5,0),F(-2W3,0),则|PF+PE=|PA+PE=AE=8>4W3=|EF, 可奥动点P的机迹是以区F为焦点的能周。且a=山©=25=-心=4，所以曲线C的方程为若+号=-1 {需+￥-1消去y可得(2+10z2+S6mm+m2-16=0, y=ka+m 【小问2详解】①联立方程 因为直线y=kc+m与曲线C相切，则△=642m2-4(42+1)(4m2-16)=0, 整理可得m2=16k2+4,则原方程为m2x2+32kmx+2562=0,解得x=-16k m 将=-1世代入直线y=ke+m:可得y=-1+m=m出=片则Q1供)且D0.吉 m m m m 则q=+品=√胖=√=，为定： ②由题意可知：圆O:x2+y=16的圆心为O(0,0),半径r=4, M 因为0(0,0)到直线kx-y+m=0的距离d=m V五得=m=6十4162子1 2+1k2+1 图为心≥0，则2+≥12≤是0，得P=16e416, k2+1 则△0N面积3aw=号d-nN=号d×2W-d=V(d-8y+61, 可知当dP=8,即k=±2时，Som取到最大值8 2泰顺育才高中2024级高二年级第一学期第八次周考 数学学科 试题 本试题卷考查范围：选择性必修一~数列 命题人：郭兵利 注意事项： 01.全卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息，点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上。 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答 的答案无效. 过 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破 选择题部分（共58分） 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 ◇要求的。 1.经过(12，-8)，(6,4)两点的直线斜率为 ( 富 墨 A- B.-2 C. 1 D.2 如 2.已知空间向量d=(1,-2,1),6=（-1,0,-1),则向量6在向量d上的投影向量是 且 A(分0，日) B(日0.8)》 c.(合-号 舒 D日号司 北 3.焦点为(0，-2)，(0,2)且经过点(W2,-2)的双曲线方程为 A.=1 84 84 二1 C.22 二1 22 4.设a为实数，已知直线l:ax+3y+a+1=0,2:6x+(a-3)y十4=0，若l∥l2,则a= s A.6 B.-3 C.6或-3 D.-6或3 5.设m、n是两条不同的直线，&，B,y是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是 ( ①若m⊥a,n∥a,则m⊥n ②若a⊥，B⊥Y,则a∥B ③若m∥&，n∥a,则m∥n ④若a∥B,B∥Y,m⊥，则m⊥Y 羹 A.①和② B.①和④ C.③和④ D.②和③ 6.已知等差数列{am}的前n项和为Sm,若3S-5S3=1,则5S,-7S=( A忘 B.1 c D. 八测高二数学第1页（共4页） 7.已知等轴双曲线的实轴长为2a(a>0),左、右焦点分别为F,,过点F的直线l与双曲线的两 条渐近线从左到右依次交于A,B两点，且FA=AB,则BF= () A.a B.② a C.a D.√2a 8.在三棱锥A-BCD,平面ACD⊥平面BCD,△BCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，△ACD 为等边三角形，CD=4,则该三棱锥的外接球的表面积为 () A.32x B.56x 3 3 C.64x D.128x 3 3 二、多项选择题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知正方形ABCD中心的坐标为(2,3)，若直线AB的方程为3x+4y+2=0,则与AB边垂直的 两条边所在的直线方程为 () A.4x-3y+1=0 B.4x-3y+7=0 C.4x-3y-19=0 D.4x-3y+21=0 10.已知数列{an}的前n项和为Smn,若Sm=2m,则 A.{an}是等差数列 B.{an}是等比数列 C.Sn=an+n D.Sn=nan 11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多 边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如右图， 将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半多面体的 下列说法中正确的有 () E B A.该半正多面体外接球与原正方体外接球半径相等 B.与DF所成的角是云的棱有18条 3 C.DF与平面BCD所成的角于 D.直线D万与直线AF所成角的余弦值的取值范国为[号，号] 八测高二数学第2页（共4页） 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知双曲线号一亡=1的一条渐近线的方程为！=2如，则该双曲线的离心率为】 a2 b2 13.已知数列{am}满足：an= (3-a)m-8,n≤6 n∈N),且数列{am}是递增数列，则实数a的取 an-6, n>6 值范围是 14.已知抛物线C的方程为y=子2，F为其焦点，点N坐标为(0，一4)，过点F作直线交抛物线C于 A,B两点，D是x轴上一点，且满足DA=DB=|DN,则直线AB的斜率为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分) 已知直线x+2y-3=0与直线3x-y-2=0的交点为P, (1)直线☑经过P,且与直线l:3x十4y+1=0垂直，求直线l的方程： (2)直线2经过P,且在两坐标轴上的截距相等，求直线，2的方程 16.（本小题满分15分) 且 已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2,-2√2)， R (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长 17.（本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2,E是PD的中点. (1)证明：BP∥平面ACE: (2)若平面PAD⊥平面ABCD,AP⊥PD,AP=PD,求直线PC与平面ACE所成的角的正弦 值 八测高二数学第3页（共4页） 18.（本小题满分17分) 数列{a}的前n项和S。=n(neN),数列b,}满足=1，b1=86,+5.n为奇数 3b。+1,n为偶数n∈N, (1)求数列{an}的通项公式： (2)若cn= bn十2，n为奇数 b,+1,n为偶数(n∈N, (i)求证：数列{cn}是等比数列； (m)若数列}的前n项和为T,求证：号≤T<1. 19.（本小题满分17分) 工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴 含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E,在圆内异于圆心处取一定点，记为F; 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F,此时圆周上与点F重合的点记为A: 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P: 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P. 现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为4√，按上述方法折纸.以线段FB的中点为 原点，F它的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy,记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程： (2)若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线y=kx+m交圆O:x2+y2=16于不同的两 点M,N. ()试探求点Q到点D0,清)的距离是否为定值？若为定值，求出该定值：若不为定值，请说明 理由； (i)求△OMN面积的最大值， 八测高二数学第4页（共4页)