浙江省温州市泰顺县育才高级中学2025-2026学年高二上学期第五次周考数学试题

泰顺育才高中2024级高二年级第一学期第五次周考 数学学科试题 注意事项： 1.全卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液，不 按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破， 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.经过两点A(2,m),B(-m,4)的直线1的倾斜角为135°，则的值为() A.-2 B.1 C.3 D.4 2.若方程 、y2 =1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是() 6-m'm-4 A.[4,5] B.(4,6) C.[5,+w] D.(5, 3.若直线：x+2y+1=0与直线2：x-my+ =0垂直，则实数的值为() A.0 8或0 C.0或； D. 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示，己 知四棱锥P-ABCD是阳马，PAL平面ABCD,且PB=}PC,若AB=元，AD=6,P=c,则BE=（) 4 -5+ B. a+6-5c 444 a5- c. 4 D.+5+ 4 5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1，过C上一点A作1的垂线，垂足为B.若AF=3,则△AFB 的外接圆面积为(). A. 27π B.64n 27 C. 0 25π 16 6.在数列{an}中，41 201=1-1 ，则42025等于（) a. B.-1 C.2 D.3 1/4 7.智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射 出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜 面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F.已知入射光线FP斜率为-√5，且耳，P和反射光线PE互 相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为() A.6+2 B.√2 4 C.2+V5 D.1+V3 8.如图，在正四面体A-BCD中，E为BD的中点，BF=2FC,AG=GC,当A五=2HD时，E,F,G,H四 点共面，则2=() B. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列有关数列的说法正确的是() A.数列-2024,0,4与数列4,0，-2024是同一个数列 B.数列{a}的通项公式为an=n(n-1),n∈N*,则110是该数列的第11项 C.在数列1，√5，√3,2，√5，，第8个数是2W2 D.数列3,5,9,17,33，.的一个通项公式为4，=2n+1 10.己知P是圆C:(x-1)+(y-2)=9上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M,N两点，则下 列说法正确的是() A.OP的最大值为3+√5 B.1OP的最小值为3-√5 C.MM最大值为6 D.MW最小值为2 11.己知点F是抛物线y2=2P(P>O)的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,直线AB的斜率k>0, B,C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（) A.0c0D=-3p B.四边形ACBD面积的最小值为16p2 4 1,11 C.BCD2p D.若AFBF=4p2,则直线CD的斜率为-√3 214 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. l2.记Sn为等差数列{a}的前n项和，己知4=-7，S,=-9.则{an}的通项公式为an= 1.设万，月分别为双曲线C若若1a>06>0)的左、右熊点，过民且荆家为的直线与C的右 支交于点A,与C的左支交于点8，点D满足BD=)A,BDRD=0,则双曲线C的渐近线方程为一 14.已知点P是椭圆C:+上-1上除顶点外的任意一点，过点P向圆0：x2+少2=4引两条切线PM,PN, 6 4 设切点分别是M,N,若直线MN分别与x轴，y轴交于A,B两点，则△AOB面积的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本题13分)在平行六面体ABCD-4BGD中，AB=AD=1,A4=2,BAD=∠BA4=∠D44= 39 M是CC1的中点. D A (1)求BD的长： (2)求BD,·AM. D 16.(本题15分)已知抛物线C:x2=2y(p>0)的焦点为F,过点F作直线1与抛物线C交于A,B两 点O为坐标原点.当直线1Ly轴时，AB=4. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△AB0的面积. 17.(本题15分)在平面直角坐标系中，己知△ABC的顶点A(-4,2),AB边上的中线CF所在的直线方程 为x+2y-5=0. (1)若AC边上的高BE所在的直线方程为x-3y+10=0,求边BC所在的直线方程： (2)若∠B的平分线BD所在的直线方程为y=2x,求边BC所在的直线方程. 3/4 18.(本题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=60°. (1)求证：平面PBC⊥平面PAB; (2)若F为PC的中点，且AF⊥PB; ()求证：四棱锥P-ABCD的各个项点都在一个球的球面上，并求该球的半径： (ii)求二面角B-AF-D的正弦值. 19.(本题17分)在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，12的夹角为0， 斜率分别为k,飞2，则tan日= k-kea 1+kk2 求裤图的切线方程有以下结论：已知精圆C若+芳-a>>0的 左右焦点分别为R,耳，M(化，乃)为C上一点，则C在M点的切线1的方程为+=1.椭圆的光学 a2 b2 性质：自F,发出的光线照射到点M处，被切线l反射，反射光线一定经过点耳. (1)证明椭圆的光学性质： (2)如图，过耳的直线交椭圆C于A,B两点（非左右顶点）. (i)求△ABF,面积的最大值： D ()求证：椭圆C在A,B两点的切线的交点D在定直线上 B 4/42025-2026学年高二数学第五次周考解析 全解全析 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.经过两点A(2,m,B(m,4)的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（) A.-2 B.1 C.3 D.4 1.【答案】B 【解析】经过两点A(2,m),B(←m,4)的直线1的斜率为k=m-4 2+m 又直线1的倾斜角为135°，所以"1-4 =tanl35°=-1，解得m=1. 2+1m 故选：B 2.若方程 一=1-广表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是() 6- -4 A.[4,5] B.(4,6 C.[5,+w] D.(5, 2.【答案】D 【解析】方程=1-变形可得 =1, 6-m -4 m-46-m 因为表示焦点在y轴上的椭圆， 所以m-4>6-m>0,解得5<m<6. 故选：D 3.若直线：r+2y+1=0与直线2：x-my+=0垂直，则实数m的值为() 2 1/16 A.0 B. 或0 2 c.0或号 D. 3.【答案】C 【解析】由题意得m+2(-)=0,解得m=0或2 故选：C 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已 知四棱锥P-ABCD是阳马，PAL平面ABCD,且PB=PC,若AB=元，AD=6,AP=C,则B呃=( A. 5 -a- B.3a+1五5 4a+4b-4 c. d-b--c D D.- 3 a+ 4 4.【答案】D 【解折】由题意，PE-Pc-(ac-a）-ac-P-a+a0列-4护-ā+5-， PB=AB-AP=a-c, 则丽-丽-历-+5--a-)=+号 3 4 4 + 4 故选：D. 5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1过C上一点A作1的垂线，垂足为B.若AF=3,则△AB 的外接圆面积为()· A. 27π 64元 25元 8 B. 27 C.9n 4 D. 16 5.【答案】A 【解析】设A(x,y),由抛物线的定义可知AF=AB=:+1=3, 所以x=2,代入抛物线的方程中得到以=2V氏=2√2， 由几何关系可知BP=+2=2W5,m∠BAB=以-22 AF 3 设△AB的外接圆半径为R,由正弦定理可知2R= BF sin∠BAF ,解得R=33 2W2 2/16 所以△4PB的外接圆面积为R?=27π 8 故选：A 1 6.在数列{a}中，4= >，+1=1一1，则2o25=等于( a B.-1 C.2 D.3 6.【答案】C 解】由题意知4Qa1-了 当n=1时，4，=1-1=-1 a. 当m=2时，41-上-2：当1=3时，4=1-上=号 =4 42 a 2 当n=4时，4=1-上=-1=4：… a 所以数列{a}是周期为3的周期数列，故a2o25=2. 故选：C 7.智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射 出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点F,发出的光线通过双曲线镜 面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点耳.已知入射光线FP斜率为-√，且FP和反射光线PE互 相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为() A. √6+V2 B.√ C.2+5 D.1+5 4 7.【答案】D 【解析】因为入射光线FP斜率为-√3，所以∠PE耳=60°，又EP⊥耳P,|耳E卡2c, 所以PE=c,lPE卡√3c,又|P℉|-|PF上(3-1上=2a, 3/16 2 所以e=二= -=√3+1 a√3-1 故选：D. 8.如图，在正四面体A-BCD中，E为BD的中点，BF=2FC,AG=GC，当A五=HD时，E,F,G,H四 点共面，则入=() A. 3 B. D. 8.【答案】B 【解析】因为E,F,G,H四点共面，所以存在唯一的x,y∈R,使得F阳=xF2+yFG. 因为A=而，所以A匠=，入，AD, 1+元 因为E为BD的中点，BF=2FC, 所以丽-亚+号，示-丽+8c=西+c到-5+子c 所以m-4a-4-产40-G4B+C) 防-4-4-346+号40[传4+4c-名4-4C+4D, 2 x= 363 Γ3 所以 22 x+y,解得y=3 33 6 +12 故选：B。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 4/16 9.下列有关数列的说法正确的是() A.数列-2024,0,4与数列4,0，-2024是同一个数列 B.数列{an}的通项公式为an=n(n-1),n∈N*,则110是该数列的第11项 C.在数列1，√2，√3,2，√5，，第8个数是2√2 D.数列3,5,9,17,33，.的一个通项公式为an=2n+1 答案：BC 10.已知P是圆C:(x-1)+(y-2)=9上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M,N两点，则下 列说法正确的是() A.OP的最大值为3+5 B.|OP的最小值为3-√5 C.MM最大值为6 D.MM最小值为2 10.【答案】ABC 【解析】由于P是圆C:(x-1)+(y-2)=9上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M,N两点， 所以点O在圆C(1,2)内， 所以OPlm=OC+r=+4+3=3+5,故A正确：所以oPL=r-oC=3-V5,故B正确： 设圆心C到直线MN的距离为d,则W=2Wr2-d2=2W9-dP,当MN为直径时，dmn=0,所以 MNmx=2W9-0=6,故C正确： 由于OC⊥MN时ds=OC=√5，所以NLn=29-5=4,故D不正确： 故选：ABC 11.己知点F是抛物线y2=2P(p>0)的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,直线AB的斜率k>0, B,C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是() A.c.o而-p B.四边形ACBD面积的最小值为16p2 5/16 1.11 C.BCD2p D.若AFBF=4p2,则直线CD的斜率为-√3 11.【答案】ACD 【解析】如下图所示： A D 易知号0设4(.B, 则直线48的方程为=气~号》其中=mQ0:0引 v2=2px 联立 整理可得kx2-p(欣+2+pk=0, 4 可得，+=P+2到 4 对于A,设CG,,.D),易知直线CD的斜率为名方程为y=--号)】 同理可得，+x,=p(2k2+1),,= 4 所元而-+层小是s+是片品切装 长+若广行纸号，可知A正确 Γ4k2+4 对于B,由焦点孩公式计算可得4=+话+D-P+2-2p化+. k2+p= k2 CD=x+x4+p=p(2k2+1)+p=2p(k2+1 因为d&LCD.可得四边形acBD积为8cD2p《仁少多·广 k2 =p(+京+小2r3F石2-8n. 6/16 所以四边形ACBD面积的最小值为8p2,即B错误： 11 1 对于C,由B可知ABCD2p(k2+1)2p(k2+1)2pk2+1)，即C正确： k2 对于D,若4®4g,可利八飞+号)+号+号 -卫2+2.p2+2)2p(k2+1) 42k2 =4p2, 4k2 即可得是4，解得分即及=5成=雪〈合 3 3 因此直线AB的倾斜角为30°，所以直线CD的倾斜角为120°， 即直线CD的斜率为tanl20°=-V5,即D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a,=-7,S3=-9.则{an}的通项公式为an= 答案：an=4n-11,n∈N*. 1B.设，R分别为双曲线C器若-1a>06>0)的左、右焦点，过g且斜幸为3的直线1与C的右 支交于点A,与C的左支交于点B,点D满足BD=1BA,BD.RD=0,则双曲线C的渐近线方程为 1B.【答案】y=士34 【解析】由BD=BA,得D为AB的中点：又BDFD=0,所以ED⊥AB,所以AR曰BR引： 设|A耳曰BF上m,如下图： B H 由双曲线的定义得引B=2a+,|AE=m-2a, 7/16 所以ABHBE-Ag卡4a,从而AD卡)AB=2a, 所以|DE HAD|+|AEF: 由直线的斜率为-子，得AR是 sim2∠AFF+cos2∠AE耳=1 又 sin∠AgE_3 co∠AR cos∠AEF4 在RtADEF中，DEHER引cos∠AE,R,即m=2c×4=8c 55 在△AFF2中，由余弦定理得|AFP-EEP+|AF12-2EE|×|AE,×cos∠AF,F, 即到得-可2立仔小号理得2--0 解得c、25 所以+b2 7,可得b18 b225 7 a2s1+ a=7 因出b_十32土34，可知渐近线方程为y=±34 =土 √7 ,3W14 故答案为：y= 14.已知点P是椭圆c:二+ 64 =1上除顶点外的任意一点，过点P向圆O:x2+y2=4引两条切线PM,PN, 设切点分别是M,N,若直线MN分别与x轴，y轴交于A,B两点，则△AOB面积的最小值是 14.【答案】46 【解析】设P(,o),x八≠0， 则以OP为直径的圆的方程为x2+y2-x,x-%y=0, 与圆O:x2+y2=4的方程相减得xx+y-4=0, 即xx+yoy-4=0是过切点M,N的直线方程， 则44,0B0,4 16,164x号+ 所以到+元% 4 又因为点O到直线AB的距离d= Vx+好 8/16 又因为在点P在椭圆C: 若1 所以5+发=1，即24=4x+6≥46k, 6 4 所以x,≤V6,当且仅当4x=6y,即x=3,后=2时取等号， 所以S.a4B= 8、84V6 即△4OB面积的最小值是4V6 3 B 故答案为：4W6 31 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在平行六面体ABCD-A8,GO中，AB=AD=LA4=2,∠B1D=∠B4=∠D14=于M是CC的中 点 (1)求BD的长： (2)求BD1·AM. 15.(13分) 【解析】(1)连接AC,BD, ABAD=4BADcos.∠BAD=1xI×cos=1 3-2 .=1x 2xco1. 9/16 ABA4=到4∠BA4=1x2×cs号=1， BD=BD+DD=BA+BC+DD=-AB+AD+AA BD=(-AB+AD+AA)=AB'+AD+A-2B AD+MD:A4-2BAA =+D+4-2x3+2x1-2x1=1+1+4-1+2-2=5, BD=VBD=5,即BD的长为5 (2)AM-AC+CM-AB+AD+CC.-AB+AD+ .BDAM-(-AB+AD+)B+AD+ 丽+而++}西+而网 =--+网++1 16.(15分) 己知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F作直线1与抛物线C交于A,B两点O为坐标原 点.当直线1Ly轴时，AB=4. (1)求抛物线C的标准方程： (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积. 16.(15分) 【解析】(1)由题可知： 当直线Ly辅时，可得4-号)，号)所以-2p 因为AB=4,所以2p=4,解得p=2,故抛物线C的标准方程为x2=4y. (2)由(1)知：F(0,1),所以直线1：y=x+1. 10116