精品解析：天津市滨海新区大港第一中学2026-2027学年高一上学期第一次形成性检测数学试题

大港一中2026级高一上第一次形成性检测（数学）试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于，故. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题设结合充分，必要条件定义可判断选项正误. 【详解】或，则由不能得到，则“”不是“”的充分条件； 由可以得到，则“”是“”的充分条件， 从而“”是“”的必要不充分条件. 3. 给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④错误． 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及解析式是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，由于定义域不相同，所以不是同一个函数， 对于B，的定义域为，的定义域为，由于定义域不相同，所以不是同一个函数， 对于C, 的定义域为，的定义域为，定义域相同， 又，故，因此表达式相同，故是同一个函数， 对于D，,的表达式不相同，所以不是同一个函数， 5. 对于实数，，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】由知，，即，故A正确， 当时，，故B错误， 取，满足，，此时，故C错误， 由不等式性质可知，故D错误. 6. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分式不等式的解法求解即可. 【详解】不等式等价于不等式， 即， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为或. 7. 已知函数满足，则等于（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】①， 将替换为，可得， 即②， 由②①，得，即， 故. 8. 若不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为不等式的解集为，所以， 所以且，所以. 9. 某科技公司对100名职场人士进行“AI工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过A类（AI写作助手）、B类（AI绘图工具）、C类（AI会议助手）三类AI工具中的一类.调查数据显示使用过A类工具的有55人，使用过B类工具的有40人，使用过C类工具的有45人；A类和B类工具都使用过的有15人，A类和C类工具都使用过的有20人；三类工具都使用过的有8人，则B类和C类工具都使用过的人数为（ ） A. 5 B. 13 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】作出韦恩图，由集合容斥原理可得． 【详解】设仅只使用过类工具的职场人士的人数为， 由图可得，解得， 所以类和类工具都使用过的人数为. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. （）的最大值是 B. 若，则的最大值是 C. 若，，则 D. 若函数（）在处取得最小值为4 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由基本不等式可判断选项正误；对于B，由题设结合基本不等式可判断选项正误； 对于C，由不等式性质结合题设可判断选项正误；对于D，由基本不等式可判断选项正误. 【详解】对于A，当时，， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，当时，， 当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，当时，，又，则，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，故D错误. 11. 已知函数，记为它们中的最小者，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先明确的性质，根据表达式画图象，再利用分段函数求解. 【详解】将，画在同一个直角坐标系中， 由函数的定义，取三个函数中的最小者，可得图象. 故选：A 12. 已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.将答案填写在答题卡上. 13. 命题“”的否定是______. 【答案】， 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得： 命题“”的否定是“”. 14. 设函数，则________． 【答案】 【解析】 【详解】，则. 15. 设，，，，若，则的值为__________． 【答案】0 【解析】 【详解】，，，， ，则，解得，则. 16. 若命题“：，”是假命题，则实数的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】由命题p为假推出其全称否定命题为真，分a=0和a≠0两类讨论不等式恒成立的条件，进而求解a的取值范围. 【详解】 ∵命题是假命题， ∴其否定为真命题， 当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，为关于x的二次函数，若要其值恒大于0，需满足开口向上且与x轴无交点， 即： 解得. 综上，的取值范围为. 17. 某市推行“垃圾回收积分奖励计划”，居民通过智能回收箱投放可回收物可获得积分．当单次可回收物投放重量（单位：）不超过时，奖励积分；当时，其中部分奖励10积分，超出的部分奖励积分．若居民甲单次投放的可回收物，获得积分为______；若居民乙单次投放可回收物，获得积分为______． 【答案】 ①. 7.5 ②. 22 【解析】 【分析】建立奖励积分与的函数关系，可得答案. 【详解】设奖励积分为 ，则： ， 居民甲：投放  kg，满足 ， 所以：； 居民乙：投放  kg，满足 ， 所以：. 故答案为：； 18. 若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 ①. 9 ②. 3 【解析】 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 19. 已知函数，若对任意实数且，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由单调性定义判断函数的单调性，结合分段函数的单调性列不等式组即可求解. 【详解】因为对任意实数且，不等式恒成立， 所以函数在R上为减函数. 所以，即，所以， 即实数的取值范围是. 20. 对于任意实数，表示不超过的最大整数.如，.定义在上的函数，若，则中所有元素的和为_____. 【答案】11 【解析】 【分析】就的取值范围分类讨论后可求函数值，从而可求中元素的和. 【详解】注意到 且 所以， 所以，故所求为. 故答案为：11. 【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义函数、集合的理解，分类讨论要做到不重不漏，由此即可顺利得解. 三、解答题：本大题共4个小题，共计40分，请在解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案填写在答题卡的相应位置上. 21. 已知集合，或. （1）当时，求和. （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；或 （2）. 【解析】 【小问1详解】 当时，，或， ；或， 得到；或， 【小问2详解】 由题意得，当时，可得， 当时，，，， 综上，实数的取值范围为. 22. 已知函数，且满足，. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明如下： 设任意，，且， 则 ， 由，可得， 又，，， 则， 即， 所以在上单调递增. （3），. 【解析】 【分析】（1）代入，，求出的值，即可得答案； （2）任取，，且，利用作差法证明即可； （3）根据（2）求解即可. 【小问1详解】 由函数满足，， 可得，解得， 则. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（2）得函数在上单调递增. ，. 23. 已知函数，， （1）当时，求关于的不等式的解集. （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. （3），恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先因式分解，再根据的分类计算得出解集； （2）根据的分类结合判别式得出参数范围； （3）先应用参数分离得出在恒成立，最后再结合函数单调性计算求解. 【小问1详解】 不等式，即，因式分解为， ，的两根为，， ①当，即时，不等式，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 当，即时，，解集不为，不符合题意； 当，即时，的解集为， ，即，解得， 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 ，恒成立，等价在恒成立， 由于恒成立，可得在恒成立， 则，， 令，因为，所以， 则， 由，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数的取值范围为. 24. 函数满足方程，且， （1）求. （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. （3），若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】（1）（）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程组求解函数解析式即可. （2）利用分离参数法得到，进而求解参数范围即可. （3）结合题意得到，进而利用基本不等式求解参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得， 解得，故（）. 【小问2详解】 对任意，恒成立，即， 解得，令，由，得， 令，由二次函数性质得在区间上单调递减， 得到，要使对任意恒成立， 只需，所以的取值范围为. 【小问3详解】 易知在上单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立， 易知函数在区间上单调递增，且，可得最大值2， 由基本不等式得函数， 当且仅当时取等号，有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大港一中2026级高一上第一次形成性检测（数学）试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 对于实数，，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 6. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 7. 已知函数满足，则等于（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 8. 若不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 某科技公司对100名职场人士进行“AI工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过A类（AI写作助手）、B类（AI绘图工具）、C类（AI会议助手）三类AI工具中的一类.调查数据显示使用过A类工具的有55人，使用过B类工具的有40人，使用过C类工具的有45人；A类和B类工具都使用过的有15人，A类和C类工具都使用过的有20人；三类工具都使用过的有8人，则B类和C类工具都使用过的人数为（ ） A. 5 B. 13 C. 15 D. 20 10. 下列说法不正确的是（ ） A. （）的最大值是 B. 若，则的最大值是 C. 若，，则 D. 若函数（）在处取得最小值为4 11. 已知函数，记为它们中的最小者，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.将答案填写在答题卡上. 13. 命题“”的否定是______. 14. 设函数，则________． 15. 设，，，，若，则的值为__________． 16. 若命题“：，”是假命题，则实数的取值集合为________． 17. 某市推行“垃圾回收积分奖励计划”，居民通过智能回收箱投放可回收物可获得积分．当单次可回收物投放重量（单位：）不超过时，奖励积分；当时，其中部分奖励10积分，超出的部分奖励积分．若居民甲单次投放的可回收物，获得积分为______；若居民乙单次投放可回收物，获得积分为______． 18. 若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 19. 已知函数，若对任意实数且，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 20. 对于任意实数，表示不超过的最大整数.如，.定义在上的函数，若，则中所有元素的和为_____. 三、解答题：本大题共4个小题，共计40分，请在解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案填写在答题卡的相应位置上. 21. 已知集合，或. （1）当时，求和. （2）若，求的取值范围. 22. 已知函数，且满足，. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）求函数在区间上的最值. 23. 已知函数，， （1）当时，求关于的不等式的解集. （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. （3），恒成立，求实数的取值范围. 24. 函数满足方程，且， （1）求. （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. （3），若存在，对任意，都有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $