浙江省温州市泰顺县育才高级中学2025-2026学年高二上学期第四次周考数学试题

机密★考试结束前 泰顺育才高中2024级高二年级第一学期第四次周考 数学学科试题 姓名： 班级： 本试题卷考查范围：必修一一选必一 注意事项： 1.全卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上。 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位 置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答 的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破。 选择题部分（共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.己知集合A={1,2,B={3,6},则集合C={yx∈Ay∈B}的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.在复平面内，(2+2i)(1+2)的共轭复数对应的点位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若{è，色，}是空间的一个基底，且{它+2,2+，3+}不能构成空间的一个基底，则t=（) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 4.在直角坐标平面内，与点A(-1,2)距离为1，且与点B(3,-1)距离为4的直线共有 () A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.已知平面内有四点O,A,B,C,若OC=xOA+yOB,则“A,B,C三点共线”是“x+y=1”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若OOR+sinvsiny=分，im2x+in2y=号，则smx+)= A.-3 4 c号 D.③ 四测高二数学第1页（共4页） 7.四边形ABCD中，AB=DC=(1,1), 高厨+高8C=品m,则四边形D积为 BD () A.√3 B.√2 C.2 D.3 3 8.已知椭圆C: G元+31(a>b>0,:E为左、右焦点，P为椭圆上一点，∠PB=60 直线y=一x十t经过点P.若点F关于1的对称点在线段FP的延长线上，则C的离心率是() A号 B.V② 2 C. 业号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.设向量在向量上的投影向量为，则下列等式一定成立的是 A.m B.成=36 C.mB=d.B D.md=B.d 10.已知点A(a,b),直线1：ax+by+c=0,圆O:x2+y2=1,圆C:x2+y2=c2.下列命题中的真命题是 () A.若1与圆C相切，则A在圆O上 B.若1与圆O相切，则A在圆C上 C.若1与圆C相离，则A在圆O外 D.若1与圆O相交，则A在圆C外 11.已知曲线C:x2+y2=2x+2y(x,y不同时为零)，则 A.C上的点的到点(3,3)的距离的最大值为5√2 B.C上的点的横坐标的取值范围是[1-√2,1+√2] C.C围成的图形的面积为4π+8 D.若C上有四个点到直线y=x十m的距离等于巨，则-3<m<3 2 非选择题部分（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在△ABC中，AB=4,B=60°，AC=b,若满足要求的三角形有且只有一个，则b的取值范围为 13.已知直线1：(m+2)x+(m-1)y+m-1=0,若直线1与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公 共点，则1的倾斜角范围为 14.已知正方体ABCD-ABC1D1的棱长为2，M为CC1的中点，若AM⊥平面，且B∈平面，则平 面α截正方体所得截面的周长为 四测高二数学第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知圆Ox2+y2=1,圆M:(x-2)2+（y-1)2=9. (1)求圆O与圆M的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 16.(本小题满分15分) 在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD中点，PO⊥平面ABCD,PO= AB=2,平面PAB∩平面PCD=1. P O (1)求证：1∥AB: (2)若M∈1且PM=1,求点M到平面PBC的距离： 17.(本小题满分15分) 已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边，且2b-3 asinC=0. (1)若tanC=1,求cos2B; (2)若tanA十tamB+tanC>0,求tanC+tanA的最小值. 四测高二数学第3页（共4页） 18.（本小题满分17分) 在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为p1(0<P<1),收到0 的概率为1-P:发送1时，收到0的概率为P2(0<P2<1),收到1的概率为1-P2:现有两种传输方 案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3 次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则 译码为1，若收到0，则译码为0)：三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依 次收到1,0,1，则译码为1，若依次收到1,1,1，则译码为1). (山)已知n=号=是 ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率： ②若采用单次传输方案，依次发送0,0,1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到 √3， 的数字之和为2”相互独立. (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求P2 的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知A,B是双曲线C三-片=1(a>0,6>0)的左、右顶点，4B=4,点（←V5,2)在C上. 22 (1)求C的方程， (2)M是C左支上一点（异于点A),设直线AM交直线x=-1于点P,连接PB,直线PB与C的另一 个交点为N,设直线BM,BN的斜率分别为k,k2. (i)证明：飞2为定值. (i)证明：直线MW恒过定点. 四测高二数学第4页（共4页）高中高二2025学年第一学期数学第四次周测选填题答案速查 题号 2 3 7 8 9 10 11 答案 B C B BC ABD ACD 12.{2W3}U[4,+o0) [0,]u(, 13 14.3W2+25 选填题详解 1.C【详解】若x∈A,y∈B,A={1,2},B={3,6},则xy可能为1×3=3,1×6=6,2×3=6,2×6=12，所以C= {3,6,12}的元素个数为3. 2.C【详解】根据题意，（2+2i)(1+2i)=2+4i+2i+4i2=-2+6i,则-2+6i的共轭复数为-2-6i,其对应的点 为(-2-6)，位于第三象限 3.A【详解】{e1,e2,已}是空间的一个基底，设a=d1+e2,万=e2+e,c=3记1+te,则b不共线.因为ai,c不 能构成空间的一个基底，则a,五，共面，所以存在实数x,y使得c=xa+yb,即31+t=x(1+2)+ye2十)=xe1十 3=x (x+y)2十y厄，所以{0=x十y,解得x=3,y=-3,t=-3. t=y 4.C【详解】以A(-1,2)为圆心，1=1为半径的圆O1,以B(3,-1)为圆心，2=4为半径的圆O2,所以两圆的圆 心距为d=OO1=√(-1-32+(2+1)2=5，而两圆的半径之和h+2=5,即d=1+2,所以两圆外切，此时两圆 有三条公切线，这三条公切线满足与点A(-1,2)距离为1，且与点B(3,-1)距离为4. 5.B【详解】当x+y=1时，OC=xOA+vOB=xOC+xCA+yO乙+yC元=OC+xC+yC元，因此xCA+yC =0,所以A,B,C三点共线；另一方面，当A,B,C三点共线时，若O,A,B,C四点也共线，设OA=AOB,则OC= xOA+vOB=xOA-OA+yOB+AOB=(x-1)OA+(y+)OB,若系数和恒为1，则有x-1+y+1恒为1，x+y 恒为1，显然因1的不确定性，假设不成立，因此系数和并不一定恒为1.则“A,B,C三点共线”是“x+y=1”的必 要不充分条件 6.C【详解】cos(x-y)=cOSxcosy+sinxsiny= sin2x+sin2yin2 +sin2y-sim[(+)+ mlx+）-(x-p1=2in(x+y)co(x--y=子，即sm(x+co86x-)=专sm6x+v)= 1 2 3cos(x-y)3 7.A【详解】若A店=DC=(1,1),则四边形ABCD为平行四边形，且A正=DC=√2，可知1BA,1与BC BA BC 表示分别与队元同向的单位向，若高京+成0高心，则对角线0为/A8C的角平分线，故四 BD 边形ABCD为麦形，则厨=BC=,放方厨+方C=号（函+0）=而=源励.则顾- BD √6，：BD=(BA+BC}=BA+2B.BC+BC”,即2+2BA.BC+2=6,解得BA.BC=1,故cosLABC= .GC=且cos乙ABCE0,x,则∠ABC=即△4BC为等边三角形，则AC=A=V2, BD,四边形ABCD面积S=ACBD=,×V2×V6=V3. 8.B【详解】由直线1y=一x+t,且点关于l的对称点在线段P的延长线上，如图所示，可得点M与点F关于 PH对称，且∠PF=60°，故在△PFM中，则∠，PM=120°，故∠PM=30°又PH的倾斜角为135°，则∠HFM= 四测参考答案高二数学第1页（共4页） 45°，故在△PFE中，有∠FPF=60°，∠PFF=105°，∠PFF=15°， PF PR 又由 sm∠P8 -sinPR—snZ8PE可得Pa+P 2a 2c sinl5°+sinl05 si∠GPg'即 inl5'isin105sin 又因为sin15°=sin(45°-30)=2×3-2×1=6-2 2 2 2 2 4 2+×-6+ sin105°=sin(60°+45°)=3×V2+1× 2 2 4 所以e= sin60° 2 √2 a sinl5°+sin105°=V6=2+Y6+2 2 4 4 9.BC【详解】记向量，的夹角为0，则向量a在向量b上的投影为acos0, 又与同向的单位向量为 所以向量a在向量上的投影向量为 -c0s日， 6 即= ab -cos= =à-b.石，A错误，B正确： 所以成，6=-6 66= =ai,故C正确，D错误. 12 12 10.ABD【详解】选项A:若1与圆C相切，则 √a2+b2 =C,心+b2=1,所以A在圆O上，A正确： 选项B:若1与圆O相切，则 =1,2+b2=c2,所以A在圆C上，B正确： √+b 选项C:若1与圆C相离，则一一 >c,+b2<1,所以A在圆O内，C错误： √+b2 选项D:若1与圆0相交，则一 <1,+b2>c2,所以A在圆C外，D正确. √a2+b 11.ACD【详解】将-x或-y代入方程，方程不发生改变，故曲线x2+y2=2x+2y关于x 轴，y轴对称，当x≥0，y≥0时，曲线x2+y2=2x+2y可化为：(x-1)2+（y-1)2=2, 表示的图形为以(1,1)为圆心，半径为√2的一个半圆 对于A:坐标原点到(3,3)的距离为3√2，所以C上的点的到点(3,3)的距离的最大值为 2W2+3W2=5√2，正确： 对于B:由图象可知C上的点的横坐标的取值范围是[-1-√2,1+√2]，故B错误： 对于C第一象限围成的面积为S=号×2×2+x(V2=2+元， 故曲线x2+y2=2x+2y围成的图形的面积为S=4(2+π)=8+4π.C正确： 对于D:接第二象限和第四象限的圆心得到直线：y=一x,显然y=一x与y=x十m垂直，画 =x+3 出=x+3与y=x-3两条直线，由(-1,1)到y=x+3的距离为P1-1+3=2 V2 ,可知 曲线C上恰有三个点到直线y=x十3的距离等于Y2,由(1，-1)到y=x一3的距离为 2 1+1一3到=2，可知曲线C上恰有三个点到直线y=x一3的距离等于，所以结合图 √2 2 2 象可知：若C上有四个点到直线y=x+m的距离等于，则-子<m<3故D正确 12.{2W3}U[4,+∞)【详解】易设BC边上的高为AD,则AD=2W3,又AB=4,要使满足要求的三角形有且只有 一个，则有b=AD或b≥AB,即b的取值范围为{2√3}U[4,+∞). 四测参考答案高二数学第2页（共4页） 13.[0,牙]U(3征x)【详解】直线1的方程可化为m(x+y+1)+(2x-y-1)=0,由 可得化 所以，直线l过定点P(0,-1),直线1的斜率为k,直线1的倾斜角为，则0≤α<π 因为宜线A的斜半为。巴1点线5的车为号1，N为点线/经过 点P(0,-1),且与线段AB总有公共点，将A(1,-2)代入方程：(m+2)x+(m-1)y+m- 1=0可得：3=0不成立，A(1,-2)不在直线1上，所以-1<k≤1，即-1<tama≤1， 因为0≤&<元 所以0≤a≤聋或子<a<x直线1的领斜角的取位范围是[0引]U(卒小 4 14.3W2+2W5.【详解】在正方体ABCD-ABCD1中，CC1⊥平面ABCD,BD是正方形ABCD的对角线，则 BD⊥CM,BD⊥AC,又AC∩CM=C,AC,CIMC平面ACM,则BD⊥平面ACM,而AMC平面ACM, 则BD⊥AM,取BB,的中点N,AB,的中点E,连接MN,AN,BE,tan∠ANB=2=tan∠BEB1,则∠ANB=∠BEB1, BE⊥AN,由MN∥BC,BC⊥平面ABBA,得MN⊥平面ABBA1,而BEC平面ABBA1,则N⊥BE, 又AN∩MN=N,AN,MNC平面AMN,于是BE⊥平面AMN,又AMC平面AMN,则BE⊥AM, 而BD∩BE=B,BD,BEC平面BDE,因此AM⊥平面BDE,取AD1的中点F,由EF∥BD1∥BD, 得点F在平面BDE上，梯形BDFE是平面α截正方体所得截面，又正方体棱长为2， 所以截面周长为2√2+√5+√2+√5=3√2+2W5. 15.【详解】（1)圆Ox2+y2=1①，圆M:x2+y2-4x-2y=4②，①-②得公共弦方程：4x+2y+3=0. 0到红++3=0E商=后气总，别公共弦长为：小-（瓷了- 5 (2)如图所示：因为OM=√22+12=√5,3-1<√5<1+3，所以圆O和圆M相交， 因为O到x=-1的距离为1，M到x=-1的距离为3，所以x=-1为两圆的一条公切线， 国为一吉=合，所以含R-1吉》设公发+片-+即 2kx-2y+2k-1=0,0到2kx-2y+2k-1=0的距离d= |2k-1 =1, √4k2+4 解得：=子，即公切线方程为3x+4y+5=0综上：P-1,号》公切线方程为3x十+5=0和x=-1 16.【详解】(1)：四边形ABCD为正方形，.AB∥CD,又AB丈平面PCD,CDC平面PCD,∴.AB∥平面 PCD,又ABC平面PAB,平面PAB∩平面PCD=I,∴.I∥AB; (2)如图所示，取BC中点N,连接ON,则ON⊥OA,:PO⊥平面ABCD,ADC平面ABCD, ONC平面ABCD,∴.PO⊥OA,PO⊥ON,如图：建立空间直角坐标系， 如图，由对称性，不妨设点M在点P的右侧时，则P(0,0,√3)，B(1,2,0),C(-1,2,0),M(0,1,√3)，A(1,0,0),于 是PB=(1,2,-√3)，BC=(-2,0,0),MP=(0,-1,0) 设平面PBC的法向量为i=(x1,y,a), 则明i=0,得2.3=0， BC.=0 -2x1=0 令y=√3，解得x1=0,五=2，即平面PBC的一个法向量为=(0，√3,2)， D ∴.点M到平面PBC的距离为 _-√3=2L」 A 7 四测参考答案高二数学第3页（共4页） 17.【详解】(1)由正弦定理可得2sinB-3 sin AsinC=0, 即2sin4+C3sn4snC=0.2sin4cosC+2 cos Asin-3 sin AsinC,则aC+aA于3 因为tamC=1,所以tanA-=2tamB=-tam(A+C)=-an4+tamC=3, 1-tan AtanC cos2B=cos2B-sin'B=cos"B-sin'B 1-tan'B 4 cos2B+sin2B 1+tan2B 5' 2由①可知，一2t一2e3,即lC+立=马由amA+B三anA+ia6可得amA+tmB+tamC tanc tanA 1-tanAtanB =tan(A+B)(1-tanAtan B)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tan Atan BtanC>0, 即tanA,tanB,tanC∈(0，+o),所以△ABC为锐角三角形 由值不等式可知一子 √/aA扌tac,即，√m:AtanC≥ 2 3 所以mC+mA≥号，当且仅当mA=mC=专时等号成立，故mC+amA的最小值为号 3 1s.【详解11)0记事件A为“至少收到一次0，则P(A=2×号×号+号×号=多 ②证明：记事件B为“第三次收到的信号为1”，则P回)=1一圣-子记事件C为“三次收到的数字之和为2”， 则P(C)=?x2×3+2x1x1+1x2x1=4 3343343349 因为P(BC)=号x分×行+号×号×}=)-PaPC, 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立. (2)记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”，则P(M)=3p(1-P2)+p2.记事件N为“采用单次传输方案时译 码为0”，则P(N)=p2.根据题意可得P(M)>P(N),即3p(1-p2)+p>p2, 因为0<p,<1,所以3p,(1-p,)+>1,2p-3p+1<0,解得号<P,<1,故p的取值范围为（分1片 9.①)因为AB=4,所以a=2,则双曲线C￥- =1,又点(-52)在C上，所以子-年=1，解得=16 所以C的方程为文-广三1 4-16 2易知A-2.0,B2.0:设M:P1,m,则kA+2kw=kap=O2 =, 即m产2脂。及号所以k=产2-号)=甘×产习×中2 -1-23 3(x-4) 又翠-器=1，所以时=4i-4,故= 州号为定强 x=ty+n 设直线MN的方程为x=+mn≠2MM,V22,由号一1得 (4t2-1)y2+8ty+42-16=0, M十y2=- 所以{ =二 1.由(1)可知，kk2=- 3 即. ViV2 ViV2 x-2-2(+n-2)(%2+n-2)Pyy2+t(n-2)(+2)+(n-2 3 4n2-16 即 4t2-1 s4,化简得-4(-4)-4(n+2》 4 .g6+0m-2(40+(n-2 n2-4n+4 n-2 3 4t2-1 解得n=-4,所以直线MN的方程为x=y-4,因此直线MN经过定点(-4,0). 四测参考答案高二数学第4页（共4页）