浙江省温州市泰顺县育才高级中学2025-2026学年高二上学期第三次周考数学试题

机密★考试结束前 泰顺育才高中2024级高二年级第一学期第三次周考 数学学科 试题 姓名： 班级： 本试题卷考查范围：必修一~选择性必修一 注意事项： 1.全卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟」 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息，点涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破。 选择题部分（共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},CB={3,4},则A∩B= A.{1} B.{3,4 C.{1,2,3,4 D.必 2.若复数z满足i·z=1+3(1是虚数单位)，则下列说法正确的是 () A.z<3 B.z的模为4 C.z在复平面内对应的点位于第一象限 D.z-2z=-3-3i 3.直线的方向向量坐标为(-√2，一√2)，则直线的倾斜角为 A于 B.胃 c暨 D平 4记P2.0:为双曲线B答-普-1a>0)的有焦点，则E的新近线方程为 () A.y=±2x B.y=±√3x C.y=±x D.y=±√5x 5.如图，在平行六面体ABCD-A1B,CD中，AC与B,D相交于点O,记AB=d,AD=,AA=d, 则BO= D A B B A号d+5+d B.-2a+26+在C.}i-26+8 D.-5-d 三测高二数学第1页（共4页） 6.圆C:(x+1)2+(y-12=4与圆C:(x-2)2+(y+3)2=25的位置关系为 () A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 7.已知点P(1,-2,1),Q(1,2,3),点P在平面a内，若平面的法向量元=(1,0,1)，则点Q到平面&的 距离为 () A.1 B.√2 C.√ D.2 8.如图，点M是棱长为1的正方体ABCD-ABCD的侧面ADDA1上的一个动点（包含边界），则下 列结论不正确的 A.当CM⊥AD时，点M一定在线段AD上 D B.当M为AD的中点时，三棱锥M-ABD的外接球的表面积为2π A C.当点M在棱DD上运动时，MA+MB1的最小值为3+1 D.线段AD上存在点M,使异面直线MB与CD所成角的正切值为3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.若两条平行直线l1:x-2y+m=0与l2:2x十ny-6=0之间的距离是2W5,则m= () A.7 B.-7 C.13 D.-13 10.在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为1、2、3、4的4个神秘书签，书签除编号外 完全相同.小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号 () A.第一张书签编号比第二张大的概率是号 B“两书签编号之和为6”的概率是立 C.“抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为5”相互独立 D“抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为5”的概率为号 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y2=2(r>0)上恰有3个点到直线√c+y+3=0 的距离为号.设点A(-20),B2.0),N(0,4,点Q是圆0上的任意一点，过点B作BMLAQ于 M,则下列说法中正确的有 () A.r=3 B.点M的轨迹方程为x2+y2=4(x≠2) M C.2QM+|QA的最小值为2W√10 B D.圆O上存在唯一点Q,使得号QA+QN取到最小值 三测高二数学第2页（共4页） 非选择题部分（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面上的动点P(x,)与点A(0,-2),B(0,2)满足PA一PB=4,则P点的轨迹方程为 13.在正四面体ABCD中，点M在BC上，且BM=2CM,则异面直线AM与CD所成角的余弦值为 14已知椭园号+芳-1a>6>0)的坐标原点0逆时针旋转0<0<号》角后符到鱼线r:7- 2到+7-21-0若点MN为l线r上的两个动点，满足O成-而，记定点(-号，-号)》 则、1 的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（本小题满分13分) 已知圆C过点(1,1)，圆心在y轴正半轴上，且与直线y=一x+4相切. (1)求圆C的标准方程： ②已知过点P(-1,山的直线交图C于A,B两点，且AB的长度为，求直线的方程. 16.(本小题满分15分) 已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为6，到y轴的距离为5· (1)求C的方程： (2)设C的焦点为F,过点F的直线l与C交于M、N两点，M匝=2F,求|MN. 17.（本小题满分15分) 锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且（a2-c2)sinC=(bc-c2)sinB. (1)求角A的大小： (2)若△ABC的周长为6，求a的取值范围. 三测高二数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 己知七面体ABCDEFG中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形，如图所示， E D (1)求证：FC∥平面ADGB: (2)若GF=CD=BC=2AE,∠EAD=60°，平面ADGE⊥平面ABCD, (i)求直线GF与平面CDF所成角的余弦值； (ⅱi)将△DGF以GF为折痕进行翻折得到△D'GF,且D'∈平面DGF.在翻折的过程中，棱 DG与棱DF所形成的曲面与平面DFG所围成的图形记为⊙，记Θ的内切球体积为M,七面体 的值. ABCDEFG的体积为，求 19.(本小题满分17分) 双曲线的光学性质：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上，其反射光线的反向延长线经过另一个 焦点.已知双曲线r:苦-号=1@>0,5>0)的焦距为25，左、右焦点分别为公，，从点沿垂直 于如轴的方向射出的光线经过双曲线反射后，反射光线与入射光线所成的角为号 (1)求双曲线Γ的方程： (2)已知点M(1,0),N(2,0),直线l交双曲线Γ于A,B两点，以AB为直径的圆恒过原点， (i)试问直线1上是否存在一点Q满足|QN=√2QM？若存在，求出点Q的个数，若不存 在，请说明理由： (i)若直线l与双曲线T的两条渐近线的交点分别为C,D,求证：AC=BD 三测高二数学第4页（共4页）泰顺育才高中2024级高二年级第一学期第三次周考数学学科参考答案 题号 1 2 8 9 10 11 答案 A D ⊙ B C AD ACD AC 12.x=0(y≥2) 9 13.7 14. 15.【详解】(1)设点A(xo,),因为点A到C的焦点的距离为6，到y轴的距离为5， 根据抛物线的定义，得 +号=6：解得p=2,所以抛物线C的方程为=场 x0=5 (2)由(1)得，抛物线C的方程为y2=4c,所以F(1,0), 设直线l:c=my+1,M(m,),N(c2,): 则c=my+1,化简得-mg-1=0.所以△=16m2+16>0,为+=m:=-4, y2=4x [-=2 又匠=2F示，则-h=2,所以+=nm,解得m=± (幼劭=-4 得=i+m√+0-场=1+m√m-x(-=+m=4x1+片)-号： 16.【详解】(1)设圆心为C0,t>0.则V0-+t-=世二.解得t=2或t=-6(舍去 2 ∴C(0,2),则r=√(0-1)2+(2-12=√2，故圆C的标准方程为x2+(y-2)2=2: 2)由峦的长度为号，则∠4CB=号→A5=2, ①若l斜率不存在，则1：x=-1,代入圆C得(-1)2+(y-2)2=2,解得y=3或y=1,显然AB=2,符合： ②若l斜率存在，设斜率为k,则直线l:y-4=k(x+1),即kx-y+k+4=0, 由圆心C到直线的距离为1=P-(-1,即是=1.所以=呈 √2+1 所以-是。-y-至+4=0.即3z+y-13=0: 综上，所求直线l的方程为x=-1或3c+划-13=0. 17.【详解】(1)由正弦定理可得，(a2-c2)c=(bc-c2)b,即b2+c2-a2=bc 由余弦定理可得oA=+C2-分由于A0小则A=号 2bc 3 2由正弦定号得6=29c血8，&=29m0=29a夸8 则周长a+6+c=a2mB+29m(号-B)t1)=a2m(8+若)+1)=6， 由于△ABC为锐角三角形，所 0<B<号 以0<C-香-n<号·得后<B<号所以晋<B+看<答 所以n(B+看)c(小，则8=2n(B+看)+1e(v3+13,解得ae[23-3). . 18.【详解】(1)证明：因为四边形ABFE与四边形ABCD均为平行四边形，所以AE∥BF,BC∥AD, 因为BF寸平面ADGE,AEC平面ADGE,所以BF∥平面ADGE,同理可证BC∥平面ADGE, 因为BF∩BC=B,BFC平面BFC,BCC平面BFC,所以平面BFC∥平面ADGE, 又CFC平面ADGE,所以FC∥平面ADGE; (2)(1)连接BD,根据BF∥DG且BF=DG,所以四边形BDGF是平行四边形，则GF=BD,所以△DBC是正三角形， 则口ABCD是菱形且∠BAD=60°，取AD的中点O,连接OB,OE,则OB⊥AD,OE⊥AD,因为平面ADGB⊥平面 ABCD,平面ADGE∩平面ABCD=AD,所以OE⊥平面ABCD,因此以O为原点，OA,OB,平面ABD的法向量分别 为x轴，y轴，z轴的正方向，如图建系， 三测参考答案高二数学第1页（共2页） 设AE=1,则AD=AB=2, 则D-1.00.B050.c(-2,0.E分，0,9)》 则=-（号0）元=(-1,0.=丽=(1.0 设平面CDF的法向量元=(2，则元C-0.即V8x+2=0 元DC=0 -x+√5y=01 取y=1,得x=√5，z=-3,则元=（√3,1，-3）， 设直线GF与平面CDF所成角为0， 则sin0=cos(i,GF)= 元GF-2W3= G2×113 则cos0=V130,即直线GF与平面CDF所成角的余弦值为13D 13 13 （)设A5=,则=2a.=纸则片哥 50 19.【详解】1)2C=2W3,则c=W3,设点P为反射点，在t△PRB中，=2W3,∠FPR=号· 则5PEP=12=之所以a=1.又a24,所以6=2.则吸自线r的方程为。-号-1 21)首斜年存在时设直线y=+则仁2得2-22：-+2=0 2-k2西=、2+2 △=8-8+16>0且≠2.设A(),B(,,则十西=2t, k32 则h3=(（k+(k+)=k西+km(,+)十t=28-) 2-k2 面0A-.0=西+2名+2r二2=22=0.所以=2+2， 2-2 2-k2 设点Q(x,),由|QN|=V2QM得Vx-2+y2=√2√(x-1)+y2,化简得x2+y2=2, 原点到直线1的距离为，什三2，所以直线与园0相切，即存在一个点Q满足QN=V2Q, 当斜率不存在时，设直线U:c=m,因为以AB为直径的圆过原点，所以直线l:x=±√2，与圆x2+y=2相切，即存在 一个点Q满足IQN|=√2QM, 综上所述：直线l上存在一个点Q满足|QN=√2QM: 的设Ce,联立方程塑包计。为2-g--=n 2kt △=8-8+16>0且心≠2.则+=2A=+,AC=V1+R购-川BD=1+Rm,-四l, ①当点A,B分别在双曲线的左右两支且都在x轴上方时，不妨设点从左到右按A,C,D,B的顺序排列，则 |AC-|BD=V1+2(g-)-V1+(2-c4)=√1+2[(+x4)-(c,+2)]=0,所以|ACl=|BD, 由对称性可得，当点A,C,D,B都在x轴下方时也有|AC=BD; ②当点A,B分别双曲线的同支时，不妨设顺点从下到上按D,A,B,C的顺序排列， 若直线l的斜率不存在，则A(√2，-√2)，B(W2,√2)，D(√2，-2)，C(√2,2)或A(-√2，-√2)，B(-√2，√2)，D(-√2，-2)，C( -√2,2)，都满足|AC=|BD, 若直线1的斜率存在，则14C-BD-V1+右(-)-√+右(：一）-V1+右[+)-(+w] 因为+2=十x4:所以9+4=k(+c)+2t=k(x+x)+2t=+次 综上所述：AC=BD 三测参考答案高二数学第2页（共2页）