第20讲 图形的相似与位似（复习讲义，2考点6题型2重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“图形的相似与位似”专题，覆盖比例线段、相似图形、位似图形三大中考核心考点，通过考情剖析、知识导航构建知识网络，结合考点解析、命题洞悉梳理题型方法，配套真题训练与分层练习，系统突破黄金分割、平行线分线段成比例等难点。 亮点在于“真题情境化”和“分层突破”策略，如以黄金分割在建筑中的应用为例，结合尺规作图培养几何直观与推理意识，设置“基础-能力-新趋势”三级练习。通过坐标系位似变换实例，强化模型意识，助力学生高效掌握相似比与坐标计算，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第四章 三角形 第20讲 图形的相似与位似 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 图形的相似 题型01 黄金分割 题型02 相似多边形的性质 题型03 由平行判断成比例线段 命题点二 坐标系与位似图形 题型01 求位似图形的对应坐标 题型02 求两个图形的位似比 题型03 在坐标系中画位似图 05·重难突破·思维进阶难 19 突破一 由平行截线求相关线段的长或比值 突破二 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 06·优题精选·练能提分 21 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 比例线段的概念与性质 山东潍坊T22 山东济南T9 山东枣庄T9 山东威海T23 山东枣庄T24 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段； 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 相似图形的概念与性质 / / 山东威海T9 1.通过具体实例认识图形的相似. 2.了解相似多边形和相似比. 位似图形 山东烟台T15 / / 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 命题预测 比例线段仍会以基础计算形式出现在选择题前5题，结合比例尺、线段分割等实际场景；相似图形的判定与性质会作为核心工具，融入三角形、四边形的中档解答题，可能与勾股定理、三角函数综合考查；位似图形则大概率结合坐标系或网格，出现在选择题第8-10题，考查坐标变换与面积比计算，整体难度适中，注重基础与应用的结合。 考点一 比例线段及其性质 1.两条线段的比及比例线段 定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比） 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 2.比例的基本性质 （1）基本性质： （2）推论： （3）合比性质：，分比性质： 合分比性质： （4）等比性质：如果 （5）黄金分割 定义：点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 1．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东滨州·模拟预测）【背景】 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．我们可以用数学的方法定义“美感”，把“美感”量化． 【初识】 把上面的问题一般化，如图，在线段上找一点，把分为和两段，是较短的一段，则当时，雕像富有“美感”．人们把此时的比值叫做黄金比值．易知，如果较长一段与整个线段的比是黄金比，那么较短一段与较长一段的比也是黄金比．点叫线段的黄金分割点，显然，一条线段有两个黄金分割点． （1）为简单起见，不失一般性，令，，则，请求出的值． 【拓展】 在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形． （2）如图，矩形为黄金矩形（），点在四条边上，交于点，且四边形，都是正方形，找出图中一对面积相等的四边形，并进行证明． 【迁移】 类似的，数学上称底与腰的比等于黄金比的等腰三角形为黄金三角形． （3）如图，在中，，．求证：是黄金三角形． （4）如图，为的内接正二十边形的边，连接．求证：． 考点二 平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. （1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. （2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 1．（2025·山东淄博·二模）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，求则的值． 2．（2025·山东德州·一模）【课本再现】 推论  直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 【知识应用】 （2）如图，内接于，D是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心O作的平行线交的延长线于点E，若的半径为2，且，求的长度． 3．（2025·山东青岛·二模）已知：如图1，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为2单位／s；同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1单位／s，过点作，交于点，连接，以和为邻边作平行四边形．设运动时间为． 解答下列问题： (1)连接，当时，求的值； (2)如图2，连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)如图3，连接与交于点，当时，求的值． 考点三 位似图形 1.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 2.位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 1．（2025·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，已知点 ， 以原点 O 为位似中心，位似 比为，把扩大，则点 B 的对应点的坐标是（          ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·山东潍坊·二模）如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，，的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．与的周长之比为 C． D．一定在第一象限内 3．（2025·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为 ． 命题点一 图形的相似 ►题型01 黄金分割 / 黄金分割:点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【典例】（2025·山东滨州·二模）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 米（结果保留根号）．（说明：黄金分割比的数学表达式为，其中 1 是整体的长度， 是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 【变式】1．（2024·山东济南·一模）如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交、于点D、E，连接．以下结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·一模）综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． （3）作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） ►题型02 相似多边形的性质 / 性质： 1. 对应角相等，对应边成比例（比=相似比k） 2. 周长比=k，面积比=k² 3. 对应高/中线/对角线比都=k 解题方法： 1.求边长/角度：先对好顶点→角直接等，边列比例计算 2.证相似：全对应角相等+全对应边成比例（正多边形直接相似） 【典例】（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【变式】1．（2025·山东济宁·一模）按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．        图1                               图2        图3 (1)请直接写出A系列纸的长宽比为________； (2)将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； (3)在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． ►题型03 由平行判断成比例线段 / 1. 找平行线+被截直线，确认平行线截2条及以上直线。 2. 按“截得线段对应成比例”列式，平行于三角形一边的直线额外记：截两边得线段成比例，且对应线段比=对应三角形相似比。 【典例】（2025·山东临沂·一模）如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·山东淄博·一模）如图，在中，，以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·一模）如图．以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点． 作射线交于点． 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于，两点．作直线，交，分别于点，． 若，， ，则的长是（    ） A． B． C． D． 命题点二 坐标系与位似图形 ►题型01 求位似图形的对应坐标 / 1. 位似中心在原点(0,0)：原坐标(x,y)，位似比k，新坐标(kx,ky)；k负就反向，坐标符号变 2. 位似中心在任意点(a,b)：原(x,y)，k为比，新坐标(a+k(x-a), b+k(y-b)) 【典例】（2025·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的点，，以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的倍，再绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式】1．（2024·山东滨州·一模）已知的顶点坐标是，以点为位似中心，将缩小为原来的，则点A的对应点的坐标为 ． 2．（2025·浙江湖州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是 ． ►题型02 求两个图形的位似比 / 1. 找一组对应点+明确位似中心，算对应点到中心的距离 2. 位似比k=新点距/原点距，注意顺序（谁在前谁为新），有方向则k可正可负 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） 如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点， A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）如图所示，与是位似图形，点为位似中心，且 若的周长为6，则的周长为（　　） A．4 B． C．12 D．32 ►题型03 在坐标系中画位似图 / 1. 定位似中心（题目给/自己选，分在图形内、外、边上三种） 2. 连对应点与位似中心，画射线（过位似中心和原图形每个顶点） 3. 按位似比k算新点位置：k>0同方向取点，k<0反方向取点，距离=原距离×|k| 4. 顺次连接新顶点，得到位似图形，标注对应关系 【典例】（2025·安徽·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，利用无刻度尺按要求作图． (1)在第一象限内，作关于原点O的位似图形，相似比为； (2)将绕原点顺时针旋转，得，画出； (3)在（2）操作中，的弧长为 ． 【变式】1．（2025·湖北·一模）如图，已知，，． (1)将向右平移3个单位长度再向下平移1个单位长度，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，画出，并写出点A的对应点的坐标； (2)以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请在所给的平面直角坐标系中作出所有满足条件的图形． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的每个顶点都在网格的格点处． (1)在所给网格内画出以点为位似中心的位似图形，使它与的相似比为，其中与是对应顶点，与是对应顶点； (2)直接写出的面积为___________． 突破一 由平行截线求相关线段的长或比值 【典例】如图，与相交于点E，点F在线段上，且，若，，，则的值为 ． 【变式】1．如图矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接；F为中点，连接． (1)， ①求的长； ②求． (2)若恰好平分，延长交于M，求的值． 2．类比转化：从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在中，于点，点是边上一点，与交于点，过点作交于点，若，求的值． (1)尝试探究：在图1中，过点作交于点，则和的数量关系是______，的值是______； (2)类比延伸：如图2，在中，，过点作于点，点是边上一点，与相交于点，过点作交于点，设，，求证：； (3)拓展迁移：如图3，在（2）的条件下，若，直接写出的值． 突破二 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例】如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的周长之比为 ． 【变式】1．如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，在平面直角坐标系中画出的位似图形（点，，的对应点分别为，，），使与的相似比为，且点在第一象限． (2)画出以点为旋转中心，将旋转后得到的． (3)的值为______． 1．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东临沂·二模）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 3．（2024·山东·模拟预测）如图，中A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知，那么的值为 ． 5．（2024·山东东营·模拟预测）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的．得到，则点A的对应点C的坐标是 6．（2025·山东济南·二模）已知菱形中，，，E为边的中点，F为边上一点，将F点沿过C点的直线翻折，翻折后的对应点G恰好落在直线上，则的最小值为 ． 7．（2025·山东青岛·二模）如图，直线与双曲线交于点，点是直线上一点，且，过点作轴于点，作交双曲线于点，过点作于点，则 ． 8．（2025·山东滨州·一模）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接，四边形是平行四边形（依据：______）四边形是矩形矩形的对角线相等结论． 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点O作边的垂线，垂足为D． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填______；利用尺规在图3中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． 1．（2024·山东东营·模拟预测）在平面直角坐标系中有两点，以点为位似中心，位似比为．把线段AB缩小成，则过A点对应点的反比例函数的解析式为（    ）． A． B． C．或 D．或 2．（2025·山东淄博·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是 ． 3．（2024·山东·模拟预测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度．A、B、C三点在直角坐标系中的位置如图所示． (1)在y轴上存在一点P，使最小，在x轴上存在一点Q，使最小，连接，求所在直线的表达式； (2)以点O为位似中心，在第三象限内画出的位似图形，，并写出三个顶点的坐标； (3)的三个顶点、、三个点能确定一个圆吗？如果能，请直接写出圆心坐标及半径长；若不能，请说明理由． 4．（2025·山东日照·二模）已知抛物线（，是常数，且）经过点． (1)若，求该函数的表达式及顶点坐标； (2)当时，函数有最小值，求的值； (3)如图，在（1）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，连接．若动直线，直线与抛物线交于两点（点在点左侧），直线与直线相交于点，求点到轴的距离． 5．（2025·山东临沂·二模）如图，已知直角梯形中，，，，，，动点从点出发，沿方向向终点匀速运动，速度为，同时动点、都从点出发，分别沿、的方向匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，连接，，设它们运动时间为． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使得的面积等于四边形的面积的三分之一？ (4)如图，连接，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，位似比是，则点对应点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 3．（2025·陕西西安·模拟预测）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点把线段分成，两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图②，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是 ． 4．（2025·广西南宁·三模）如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（网格中的每个小正方形的边长为1）． (1)画出向下平移6个单位得到的； (2)在内有一点，点P在经过（1）的平移后，其对应点的坐标为______； (3)以点O为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且位似比为． 5．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知，在如图所示的平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，． (1)求线段所在直线的解析式； (2)如图，在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的得到线段，若反比例函数的图象过点，求k的值，并直接判断点是否落在反比例函数的图象上； (3)在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的所得线段记为，当点落在（2）中的反比例函数的图象上时，请直接写出m的值． 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使； (3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使； (4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使． 7．（2025·上海·一模）在平行四边形中，对角线交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作的平行线，交于点E，交于点F、G，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 8．（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第20讲 图形的相似与位似 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 21 命题点一 图形的相似 题型01 黄金分割 题型02 相似多边形的性质 题型03 由平行判断成比例线段 命题点二 坐标系与位似图形 题型01 求位似图形的对应坐标 题型02 求两个图形的位似比 题型03 在坐标系中画位似图 05·重难突破·思维进阶难 43 突破一 由平行截线求相关线段的长或比值 突破二 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 06·优题精选·练能提分 52 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 比例线段的概念与性质 山东潍坊T22 山东济南T9 山东枣庄T9 山东威海T23 山东枣庄T24 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段； 2.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 相似图形的概念与性质 / / 山东威海T9 1.通过具体实例认识图形的相似. 2.了解相似多边形和相似比. 位似图形 山东烟台T15 / / 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 命题预测 比例线段仍会以基础计算形式出现在选择题前5题，结合比例尺、线段分割等实际场景；相似图形的判定与性质会作为核心工具，融入三角形、四边形的中档解答题，可能与勾股定理、三角函数综合考查；位似图形则大概率结合坐标系或网格，出现在选择题第8-10题，考查坐标变换与面积比计算，整体难度适中，注重基础与应用的结合。 考点一 比例线段及其性质 1.两条线段的比及比例线段 定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比） 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 2.比例的基本性质 （1）基本性质： （2）推论： （3）合比性质：，分比性质： 合分比性质： （4）等比性质：如果 （5）黄金分割 定义：点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 1．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析． 【分析】（）设，则，勾股定理得，然后通过线段和差求出，则，所以； （）延长交于点，根据勾股定理得，所以，则有，所以，所以，则，从而可得； （）过点作于点，证明，通过性质可得，设，则，解得，所以，连接，在中，，所以，Rt中，，所以，根据垂径定理，得，所以，又，所以，从而得证． 【详解】（）解：设，则， 在中，根据勾股定理得， 所以， 所以， 所以； （）解：延长交于点， 在中，根据勾股定理，得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以； （3）证明：因为半径，所以，， 过点作于点， 因为平分， 所以， 所以， 所以， 所以， 在中，， 设，则， 解得， 所以， 连接，在中，， 所以， 在Rt中，， 所以， 根据垂径定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正方形的性质，圆内接正五边形，黄金分割点等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2025·山东滨州·模拟预测）【背景】 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．我们可以用数学的方法定义“美感”，把“美感”量化． 【初识】 把上面的问题一般化，如图，在线段上找一点，把分为和两段，是较短的一段，则当时，雕像富有“美感”．人们把此时的比值叫做黄金比值．易知，如果较长一段与整个线段的比是黄金比，那么较短一段与较长一段的比也是黄金比．点叫线段的黄金分割点，显然，一条线段有两个黄金分割点． （1）为简单起见，不失一般性，令，，则，请求出的值． 【拓展】 在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形． （2）如图，矩形为黄金矩形（），点在四条边上，交于点，且四边形，都是正方形，找出图中一对面积相等的四边形，并进行证明． 【迁移】 类似的，数学上称底与腰的比等于黄金比的等腰三角形为黄金三角形． （3）如图，在中，，．求证：是黄金三角形． （4）如图，为的内接正二十边形的边，连接．求证：． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）由题意知：，代入数据得：，解出的值，即可求得的值； （2）证明，先由矩形是黄金矩形，得到，由四边形是正方形，得，所以，，由四边形是正方形 ，得，所以，化简得，即； （3）根据题意证明，可得，又，得，所以，即可得，即得证； （4）先根据题意证明出是黄金三角形，得到，再由，即可证明． 【详解】（1）解：由题意知：， ，，，   ， 解得：，（舍去）， ； （2）， 证明：矩形是黄金矩形，   ， 四边形是正方形， ， ， ， 四边形是正方形 ， ， ， ， 即； （3）证明：延长到点，使，连接， ，， ， ，， ，   ， ， 又，， ，   ， ，   ，   ，   ， 是黄金三角形； （4）证明：连接、，交于点， 、是的内接正二十边形的边， ， ， ， ，， ，，   是黄金三角形，   即， 在中  ， 即． 考点二 平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. （1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. （2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 1．（2025·山东淄博·二模）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，求则的值． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，求出，再证明，进行求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（2025·山东德州·一模）【课本再现】 推论  直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 【知识应用】 （2）如图，内接于，D是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心O作的平行线交的延长线于点E，若的半径为2，且，求的长度． 【答案】（1）直角；（2）①见解析；② 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，正确理解圆周角定理是解决此题的关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可得结论； （2）①由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论； ②设，则，，由勾股定理求出，得，再由平行线分线段成比例定理可得结论． 【详解】解：（1）直径所对的圆周角是直角； 故答案为：直角； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； ②解：设，则，， ∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 解得，（舍去），或， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得，． 3．（2025·山东青岛·二模）已知：如图1，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为2单位／s；同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1单位／s，过点作，交于点，连接，以和为邻边作平行四边形．设运动时间为． 解答下列问题： (1)连接，当时，求的值； (2)如图2，连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)如图3，连接与交于点，当时，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，建立方程进行解方程，即可作答． （2）过点D作于H，，则，，故，则，分别把数值代入，，得，所以，得，整理得，即可作答． （3）过点作于，整理得，则运用即，，建立方程，进行解方程，即可作答． 本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形的相关运算，方程与动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． ，， ，， ， ∴， 解得， （2）解：过点D作于H， 在中，， ， ． 在中，， ，， ， 则， ， ， ， 则， ∴ 则， ， （3）解：过点作于， 在中，， ， ． ， ， ， ， 又， ， 即，， ∴． 解得， ， ∴ 考点三 位似图形 1.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 2.位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 1．（2025·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，已知点 ， 以原点 O 为位似中心，位似 比为，把扩大，则点 B 的对应点的坐标是（          ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查坐标与位似，根据以原点为位似中心的两个位似图形的对应点的坐标之间的关系，倍或倍，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：或， 即：或； 故选D． 2．（2025·山东潍坊·二模）如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，，的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．与的周长之比为 C． D．一定在第一象限内 【答案】C 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，根据位似的性质画出，可得点的坐标为或．根据位似的性质可得与的周长之比为，与的边长之比为，由勾股定理得，则，进而可得答案． 【详解】解：画出如图，有两种画法： 由图可得，点的坐标是或， 故A选项错误，不符合题意； ∵与位似，位似比为， ∴与的周长之比为，与的边长之比为， 故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴， 故C选项正确，符合题意； 由图可知，在第一象限或第三象限， 故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．（2025·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形，正确解得两三角形的相似比是解题关键． 首先结合点、点的坐标确定与的位似比为3，即可获得答案． 【详解】解：∵点的对应点为，与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的位似比为， ∴， ∵为12， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为： 命题点一 图形的相似 ►题型01 黄金分割 / 黄金分割:点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【典例】（2025·山东滨州·二模）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 米（结果保留根号）．（说明：黄金分割比的数学表达式为，其中 1 是整体的长度， 是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可． 【详解】解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 即主持人站在最佳位置处时至少要走米， 故答案为：． 【变式】1．（2024·山东济南·一模）如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交、于点D、E，连接．以下结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，黄金分割比，相似三角形的判定和性质等知识，掌握黄金三角形的概念是解题关键．利用等腰三角形的判定和性质以及垂直平分线的性质，即可判断A 、B选项；利用黄金分割比，即可判断C选项；利用相似三角形的判定和性质，即可判断D选项． 【详解】解：， ， 由作法可知，平分， ，， ， ，A选项结论正确； ， ， ， ，B选项结论正确； 是顶角为的等腰三角形， 是黄金三角形， ， ，C选项结论错误； ，， ， ， ，D选项结论正确， 故选：C． 2．（2025·山东威海·一模）综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． （3）作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 【答案】（1）484；（2）否；100；200；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据，计算得出的值，进一步计算即可求解； （2）由，可判断该杠杆是否符合黄金分割省力设计；根据公式，代入数据计算即可求解；设将支点向左侧移动，则新的阻力臂长，新的动力臂长，由题意得，计算即可求解； （3）设，则，求得，求得，，计算的值，即可求解； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 【详解】解：（1）由题意得， 解得， ， 则该版本的总时长为484秒； 故答案为：484； （2）∵， ∴该杠杆不符合黄金分割省力设计； ∵，，，， ∴； 设将支点向左侧移动， 则新的阻力臂长，新的动力臂长， 由题意得， 解得， ∴新的动力臂长， 故答案为：否；100；200； （3）设，则， ∴， 由作图知，， ∴， ∴， ∴点就是线段的黄金分割点； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 设正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查黄金分割，尺规作图，矩形的判定和性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． ►题型02 相似多边形的性质 / 性质： 1. 对应角相等，对应边成比例（比=相似比k） 2. 周长比=k，面积比=k² 3. 对应高/中线/对角线比都=k 解题方法： 1.求边长/角度：先对好顶点→角直接等，边列比例计算 2.证相似：全对应角相等+全对应边成比例（正多边形直接相似） 【典例】（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1)小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， (2)． 【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可； （2）由使矩形矩形，利用相似多边形的性质，可得＝ ，然后利用比例的性质． 【详解】（1）解：小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， 解：设温室的宽为xm，则长为，则矩形蔬菜种植区域的宽为m，长为m． ∵， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以温室的长为， 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． （2）解：要使矩形矩形， 就要＝，即， 即， 即， ∴， ． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，与图形有关的一元二次方程的应用；如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 【变式】1．（2025·山东济宁·一模）按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．        图1                               图2        图3 (1)请直接写出A系列纸的长宽比为________； (2)将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； (3)在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查矩形与折叠，相似多边形的性质，菱形的判定和勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为，根据对折得到的矩形纸都是相似图形，列出比例式进行求解即可； （2）由（1）可知：，折叠推出四边形为正方形，进而求得，即可得证； （3）易得，得到，折叠得到，，，进而推出，即可得证． 【详解】（1）解：设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为， ∵通过对折得到的矩形纸都是相似图形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：设，由（1）可得：， ∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． （3）由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，正方形相似性质，规律探索，找到规律是解决问题的关键． （1）根据勾股定理可知，所求为以为边长的正方形面积，因为正方形皆相似，利用等腰面积为求出以为边长的正方形面积，再根据已知得到，即可求解． （2）利用（1）的方法求解即可； （3）利用（1）的方法找到规律求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰， ， ∴以为边长的正方形面积为1， ∵， ， ∵正方形皆相似， ∴， ∴以为边长的正方形面积为4， 由勾股定理得； 故答案为：4； （2）同（1）得： ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ； 故答案为：16； （3）同上所得：， ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ． 故答案为：． ►题型03 由平行判断成比例线段 / 1. 找平行线+被截直线，确认平行线截2条及以上直线。 2. 按“截得线段对应成比例”列式，平行于三角形一边的直线额外记：截两边得线段成比例，且对应线段比=对应三角形相似比。 【典例】（2025·山东临沂·一模）如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ，故B正确； ， ，故A正确； ， ，， ， ，故C正确； ， ，故D错误； 故选：D． 【变式】1．（2025·山东淄博·一模）如图，在中，，以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例，，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，由题意得垂直平分，得到，求出，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， 由题意得垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（2025·山东济南·一模）如图．以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点． 作射线交于点． 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于，两点．作直线，交，分别于点，． 若，， ，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图复杂作图，菱形的判定和性质，平行成比例线段，垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 利用作法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形，得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长． 【详解】解：由作法得平分，垂直平分，连接，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， 而， ∴四边形为菱形， ， ， ， 即， ； 故选：C 命题点二 坐标系与位似图形 ►题型01 求位似图形的对应坐标 / 1. 位似中心在原点(0,0)：原坐标(x,y)，位似比k，新坐标(kx,ky)；k负就反向，坐标符号变 2. 位似中心在任意点(a,b)：原(x,y)，k为比，新坐标(a+k(x-a), b+k(y-b)) 【典例】（2025·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的点，，以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的倍，再绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质、旋转变换的性质、坐标与图形性质，掌握位似图形的概念、旋转变换的性质是解题的关键． 根据位似变换的性质求出位似变换后点的对应点的坐标，再根据旋转变换的性质求出旋转变换后的点的对应点的坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的倍，， ∴点的对应点的坐标为，即， 绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为， 故选：D． 【变式】1．（2024·山东滨州·一模）已知的顶点坐标是，以点为位似中心，将缩小为原来的，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心，把缩小为原来的，可以得到，点的坐标为， 点的坐标是或，即或． 故答案为：或． 2．（2025·浙江湖州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．据此求解即可． 【详解】解：由题意，和以原点O为位似中心，相似比为， ∵， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或． ►题型02 求两个图形的位似比 / 1. 找一组对应点+明确位似中心，算对应点到中心的距离 2. 位似比k=新点距/原点距，注意顺序（谁在前谁为新），有方向则k可正可负 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） 如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点， A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质，圆的性质．利用位似图形得出，再结合，，得出，即可求解． 【详解】解：∵和是位似图形，位似中心为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式】1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似变换，根据位似图形的概念得到，根据点、的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可．解题的关键是掌握：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】解：∵与是以为位似中心的位似图形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴与的相似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是． 故选：B． 2．（2025·云南·模拟预测）如图所示，与是位似图形，点为位似中心，且 若的周长为6，则的周长为（　　） A．4 B． C．12 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：由题意知：，， ∴， ∴， 即和的相似比为， ∴和的周长比为， ∵的周长为6， ∴的周长为12． 故选：C ． ►题型03 在坐标系中画位似图 / 1. 定位似中心（题目给/自己选，分在图形内、外、边上三种） 2. 连对应点与位似中心，画射线（过位似中心和原图形每个顶点） 3. 按位似比k算新点位置：k>0同方向取点，k<0反方向取点，距离=原距离×|k| 4. 顺次连接新顶点，得到位似图形，标注对应关系 【典例】（2025·安徽·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，利用无刻度尺按要求作图． (1)在第一象限内，作关于原点O的位似图形，相似比为； (2)将绕原点顺时针旋转，得，画出； (3)在（2）操作中，的弧长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-位似变换，旋转变换和求弧长，解题的关键是掌握旋转变换，位似变换的性质． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C 的对应点即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可． （3）根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图，即为所作． （3）解：， 所以，的弧长为， 故答案为：． 【变式】1．（2025·湖北·一模）如图，已知，，． (1)将向右平移3个单位长度再向下平移1个单位长度，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，画出，并写出点A的对应点的坐标； (2)以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请在所给的平面直角坐标系中作出所有满足条件的图形． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质及作图——平移、旋转、位似．要求考生熟知平移、旋转和位似等图形变化的性质． （1）根据平移的性质，找出A、B、C的对应点、、，然后顺次连接得出，根据旋转的性质，找出、、的对应点、、，然后顺次连接即可，写出点的坐标即可； （2）根据位似的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，如图所示，点的坐标为， （2）解：符合条件的有两个，如图所示． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的每个顶点都在网格的格点处． (1)在所给网格内画出以点为位似中心的位似图形，使它与的相似比为，其中与是对应顶点，与是对应顶点； (2)直接写出的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据位似图形的性质作图即可； （2）根据割补法即可求解的面积 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积为． 突破一 由平行截线求相关线段的长或比值 【典例】如图，与相交于点E，点F在线段上，且，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，设，则，求出，再由，即可求出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式】1．如图矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接；F为中点，连接． (1)， ①求的长； ②求． (2)若恰好平分，延长交于M，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由矩形的性质和折叠的性质可得，进而得到、，然后运用勾股定理求解即可；②如图：过C作延长线于点G，易证，根据相似三角形的性质可得，，进而得到，然后根据正切的定义求解即可； （2）如图：延长交于M，过E作交于N，则，易证可得，易证为等腰直角三角形，设，则， ，然后根据平行线分线段定理即可解答． 可得， 【详解】（1）解：①∵矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接， ∴，， ∴，   ∴， ∴； ②如图：过C作延长线于点G， ∴，       ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵F为中点， ∴， ∴． （2）解：如图：延长交于M，过E作交于N，则 ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形 设，则， ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 2．类比转化：从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在中，于点，点是边上一点，与交于点，过点作交于点，若，求的值． (1)尝试探究：在图1中，过点作交于点，则和的数量关系是______，的值是______； (2)类比延伸：如图2，在中，，过点作于点，点是边上一点，与相交于点，过点作交于点，设，，求证：； (3)拓展迁移：如图3，在（2）的条件下，若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、三角形相似的判定与性质、平行直线分线段成比例定理、三角形全等的判定与性质、正切等： （1）证明是等腰直角三角形，得，即可得到和的数量关系；证明即可得到的值； （2）通过得，即，和（1）类似，证明即可证明结论； （3）过点作，交于点，过点作的垂线，垂足分别为，证明，再利用，写出比例关系可求解． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ； ∵， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：如图2，过点作，交于点， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴ 又由（1）知，， ∴ ； （3）解：如图3，过点作，交于点，过点作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在、、和中， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 解得（舍负）， ∴． 突破二 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例】如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴与的周长之比为， 故答案为：． 【变式】1．如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，在平面直角坐标系中画出的位似图形（点，，的对应点分别为，，），使与的相似比为，且点在第一象限． (2)画出以点为旋转中心，将旋转后得到的． (3)的值为______． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，位似的性质，旋转的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求； （2）分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求； （3）由（1）可得，由（2）可得，即可求解． 【详解】（1）解：分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求，如图： （2）解：分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求，如图： （3）解：由（1）可得： ，即， 由（2）可得， ∴， 故答案为：． 1．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应点的坐标． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心，且，点， ∴，，即点的坐标是． 故选：B． 2．（2025·山东临沂·二模）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴ 故选：A． 3．（2024·山东·模拟预测）如图，中A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．设点B的横坐标为x，则B、C间的水平距离为，、C间的水平距离为，再根据位似变换的概念列式计算． 【详解】设点B的横坐标为x，则B、C间的水平距离为，、C间的水平距离为， ∵与的位似比为， ∴， 解得， 故选：D． 4．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例性质，将转化为，代入代数式化简求值即可得到答案，熟记此类题型的解题方法是解决问题的关键． 【详解】解：，即， ，则， 故答案为：． 5．（2024·山东东营·模拟预测）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的．得到，则点A的对应点C的坐标是 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，进行计算即可． 【详解】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点的坐标为， 点C的坐标为或，即或， 故答案为：或． 6．（2025·山东济南·二模）已知菱形中，，，E为边的中点，F为边上一点，将F点沿过C点的直线翻折，翻折后的对应点G恰好落在直线上，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】设折痕为，连接，由题意得，，．证明是等边三角形得，，求出，可得，即当E，G，G共线时，的值最小，然后证明是的中位线，是的中位线，进而可求得结论． 【详解】解：如图，设折痕为，连接，由题意得，，． ∵菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵当E，G，G共线时，的值最小， ∴此时值最小，， ∴． ∵E为边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴，即的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，折叠的性质，证明是的中位线，是的中位线是解答本题的关键． 7．（2025·山东青岛·二模）如图，直线与双曲线交于点，点是直线上一点，且，过点作轴于点，作交双曲线于点，过点作于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，等腰直角三角形的判定与性质，反比例函数的几何应用，过点作轴于点，由平行线等分线段定理可得，进而可得， 即得，可得反比例函数解析式为，又由，可得，设，则，可得点的坐标为，即得，再根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∵轴于点， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵，， ∴， 设，则， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·山东滨州·一模）阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接，四边形是平行四边形（依据：______）四边形是矩形矩形的对角线相等结论． 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点O作边的垂线，垂足为D． …… 任务： (1)解题思路中“依据”处应填______；利用尺规在图3中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)补全小颖的证明过程 (3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． 【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，图见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定即可求解，根据作垂线的方法即可作图； （2）过点作边的垂线，垂足为D．，则，而，那么，可得是的垂直平分线，则，即可证明； （3）延长到点F，使，连接，先证明，再证明，则，即可求证． 【详解】（1）解：如图2， ∵是斜边上的中线， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 补全图形3如下： 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵是斜边上的中线， ∴． ∴． ∴D是边的中点，即是的垂直平分线． ∴． ∴； （3）解：如解图，延长到点F，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（2024·山东东营·模拟预测）在平面直角坐标系中有两点，以点为位似中心，位似比为．把线段AB缩小成，则过A点对应点的反比例函数的解析式为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，轴为轴建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式．本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【详解】解：以点为坐标原点，轴为轴建立新的平面直角坐标系， 在新坐标系中，点的坐标为， 在新坐标系中，以原点为位似中心，位似比为．把线段缩小成， 则点对应点的坐标为，或，，即或， 在原坐标系中，点或的坐标为或， 设反比例函数的解析式为 分别把或代入 得出过点的反比例函数的解析式为：或， 故选：C． 2．（2025·山东淄博·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是 ． 【答案】13 【分析】勾股定理求出，进而得到，作，过点作，过点作，则：，得到，进而得到当的值最小时，的值最小，推出当最小时，的值最小，的值最小，圆周角定理，得到点在以为直径的圆上，取的中点，连接，过点作，交于点，得到的最小值为的长，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 作，过点作，过点作，则：， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， ∵， ∴当最小时，的值最小，的值最小， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接，过点作，交于点， ∴，， ∴当三点共线时，的值最小为的长，此时点与点重合， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：13． 3．（2024·山东·模拟预测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度．A、B、C三点在直角坐标系中的位置如图所示． (1)在y轴上存在一点P，使最小，在x轴上存在一点Q，使最小，连接，求所在直线的表达式； (2)以点O为位似中心，在第三象限内画出的位似图形，，并写出三个顶点的坐标； (3)的三个顶点、、三个点能确定一个圆吗？如果能，请直接写出圆心坐标及半径长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析，，，； (3)能，，半径长为 【分析】（1）根据图形得到，，，作关于y轴的对称点，连接交y轴于点，根据两点之间线段最短，以及轴对称性质，得到，即当，，三点共线时，最小，利用待定系数法求得直线的解析式，得到点的坐标，同理求得点的坐标，连接，设所在直线的表达式为，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据位似的性质求得各点的坐标，描点，连线得到； （3）根据不在同一直线上的三个点确定一个圆，作的垂直平分线，作的垂直平分线，与交于点，连接，，，根据垂直平分线性质得到点为的三个顶点、、构成的圆的圆心，根据图形即可得到圆心坐标，再利用勾股定理求解，即可得到半径长． 【详解】（1）解：由图知，，，， 作关于y轴的对称点，连接交y轴于点，根据两点之间线段最短，以及轴对称性质，得到，即当，，三点共线时，最小， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为； 作关于x轴的对称点，连接交x轴于点， 同理可得，此时最小， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，有，解得， 点的坐标为； 连接，设所在直线的表达式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：所作如下图所示： 与位似，， 位似比为， 在第三象限， ，，； （3）解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，与交于点， 连接，，， 由图形得，圆心点的坐标为， 半径为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点情况，作已知图形的位似图形，位似图形性质，不在同一直线上的三个点确定一个圆，垂直平分线性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质，并利用数形结合的思想解决问题． 4．（2025·山东日照·二模）已知抛物线（，是常数，且）经过点． (1)若，求该函数的表达式及顶点坐标； (2)当时，函数有最小值，求的值； (3)如图，在（1）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，连接．若动直线，直线与抛物线交于两点（点在点左侧），直线与直线相交于点，求点到轴的距离． 【答案】(1)；顶点坐标 (2)或 (3)点的横坐标是为定值 【分析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系； （1）将代入解析式得出，根据进而得出的值，即可求解； （2）先求得抛物线对称轴为直线，进而分讨论，根据最小值为，分别将代入解析式，建立方程解方程，即可求解． （3）先求得直线的解析式为，设直线的解析式为，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 进而联立联立直线与抛物线解析式得，根据得出，进而得出． 【详解】（1）解：∵抛物线（，是常数，且）经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴ ∴抛物线解析式为， ∵ ∴顶点坐标 （2）解：∵， 抛物线对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∴当时，取得最小值， ∴ 解得：， 当时，抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴ 解得：， ∴或 （3）解：由（1）可得， 当时，，则， 当时， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵直线， ∴设直线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得： ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 将代入得，， ∴， ∴， 即的横坐标为定值． 5．（2025·山东临沂·二模）如图，已知直角梯形中，，，，，，动点从点出发，沿方向向终点匀速运动，速度为，同时动点、都从点出发，分别沿、的方向匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，连接，，设它们运动时间为． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使得的面积等于四边形的面积的三分之一？ (4)如图，连接，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 (4)存在，的值为 【分析】（）由矩形的性质可得，即得，解方程即可求解； （）根据的面积梯形的面积的面积的面积解答即可求解； （）求出四边形的面积，根据题意得到，解方程即可求解； （）设为的中点，作于于，由是的中位线，得到，，求出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，则， 当四边形为矩形，， ∴， 解得， 即当为时，四边形为矩形； （2）解：∵， ， ∵， ， ∵的面积梯形的面积的面积的面积， ∴， 即； （3）解：存在，理由如下： 四边形的面积， 若的面积等于四边形的面积的三分之一， 则， 解得或， 即存在某一时刻或，使得的面积等于四边形的面积的三分之一； （4）解：存在，理由如下： 设为的中点，作于于，如图所示，则， ∵， ∴四边形是矩形， ， 为的中点，， ∴， ∴， 是的中位线， ， ， ， ， ， 即， 解得或， 当时，， ∴不合题意，舍去， ， 存在某一时刻，使经过的中点，此时的值为． 1．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，位似比是，则点对应点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，根据位似变换的性质计算即可，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． 【详解】解：等边三角形的顶点，， ， 如图：过作轴于， 是等边三角形， ，， ， 与位似，位似中心是原点，位似比是， 点的对应点的坐标是或，即或， 故选：B． 2．（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ， 因为， 所以 故答案为： 3．（2025·陕西西安·模拟预测）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点把线段分成，两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图②，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，先求出k，再根据“黄金三角形”的定义先求出，再求出即可． 【详解】解：如图①，设，则， ， ，， ， 整理得， ，即， 解得：（负值舍去）， ∵为“黄金三角形”， ，即， ， 为“黄金三角形”， ，即， ， 故答案为：． 4．（2025·广西南宁·三模）如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（网格中的每个小正方形的边长为1）． (1)画出向下平移6个单位得到的； (2)在内有一点，点P在经过（1）的平移后，其对应点的坐标为______； (3)以点O为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且位似比为． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和位似，熟知平移和位似的相关知识是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律即可得到答案； （3）把A、B、C的横纵坐标分别乘以得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：∵向下平移6个单位得到的， ∴点在经过（1）的平移后，其对应点的坐标为，即； （3）解：如图所示，即为所求． 5．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知，在如图所示的平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，． (1)求线段所在直线的解析式； (2)如图，在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的得到线段，若反比例函数的图象过点，求k的值，并直接判断点是否落在反比例函数的图象上； (3)在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的所得线段记为，当点落在（2）中的反比例函数的图象上时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)；点不在反比例函数的图象上 (3) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，位似变换，反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握求一次函数的解析式及反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）先根据位似图形求出，的坐标，然后将点的坐标代入求解，得到反比例函数的解析式，再验证是否在反比例函数的图象上即可； （3）先根据位似图形求出的坐标，然后将点的坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为， 点A，B坐标代入，得， 解得， 线段所在直线的解析式为； （2）解：由题意，， 反比例函数的图象过点， ， ， ， 当时，， 点不在反比例函数的图象上； （3）解：由题意， 点落在中的反比例函数的图象上， ， ， ， ． 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使； (3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使； (4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）找到以为对角线的矩形，连接另一条对角线，利用矩形对角线互相平分即可找到的中点； （2）连接，可证为边中线，则与的交点为三角形的重心，利用重心的性质可知此点即为所求点； （3）连接，可证明四边形为平行四边形，所以，则与交点即为点； （4）因为，所以，若使，即使，即使，利用平行线分线段成比例定理作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，连接即为所求； ∵四边形为矩形， ∴为的中点， 连接即为△ABC的中线； （2）解：如图，连接与交于点，点即为所求； 为中点， ∴为边中线， 则与的交点为三角形的重心， 根据重心性质可知， ∴点即为所求； （3）解：如图，连接交于，即为所求； ， ∴四边形为平行四边形， ∴， 则与交点即为点， 故即为所求； （4）解：如图，连接，与交于点，点即为所求； ∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点即为所求． 【点睛】本题考查方格纸作图，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，重心的性质，平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 7．（2025·上海·一模）在平行四边形中，对角线交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作的平行线，交于点E，交于点F、G，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得到，，，即可求解； （2）根据题意得到当时，，则，结合题意，设，则，，，，，，根据即可求解； （3）根据菱形的性质，找出线段比例关系，证明，设，则，结合两直线平行同旁内角互补，列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 设，则，， 在平行四边形中，，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2， ∵， ∴平行四边形为矩形，则， ∴，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，且， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴； （3）解：补全图形如下， ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负根已舍）， ∴， ∴，且， ∴， 又∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识的综合运用，掌握以上知识，找出三角形相似得到线段之间的关系是解题的关键． 8．（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了黄金分割比，勾股定理，尺规作图等知识，解题的关键是： （1）设，根据作图知，根据勾股定理求出，则，然后代入计算即可求解； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，过F作，在上截取，连接，并延长，在延长线上截取，以E、F为圆心，为半径画弧，两弧相交于A，连接、即可． 【详解】（1）解：设， 由作图知，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， 理由： 设， 由作图知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是黄金三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $