5.1 轴对称及其性质（六大题型）讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

5.1 轴对称及其性质 题型一 轴对称图形的识别 1．食品安全问题是全球性的挑战，我国已经建立了较为完善的食品安全法律法规体系．下面四个图形是食品安全方面的标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．已知直线，垂足为，则图形①与图形 成轴对称．    3．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 题型二 成轴对称的两个图形的识别 4．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 5．窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是 （填序号）． 6．如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 7．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 8．如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段 （填＞、、）． 9．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． (1)指出图中的两对对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线对称的三角形． 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 10．如图，与关于直线l对称，则（   ） A． B． C．BC D． 11．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于，的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是 ． 12．如图，在四边形中，连接，与关于直线对称，与交于点M，与关于直线对称，已知，，求的度数． 题型五 求对称轴条数 13．下面图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，该轴对称图形有 条对称轴． 15．（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    题型六 折叠问题 16．如图，在长方形中，点分别在边上，将长方形沿折叠，使点分别落在长方形外部的点处．若，则整个阴影部分图形的周长为（   ） A． B． C． D． 17．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、、若重合部分的，则的度数为 °．（用含的代数式表示）． 18．综合与探究 【问题情境】 已知长方形纸片，点E在边上，点N在边上，将沿翻折到，射线与交于点F．点M在边上，将沿翻折到，射线与交于点G． 【初步探究】 （1）现将长方形纸片按照图1所示的方式折叠，此时点F与点G重合．任意写出一个与相等的角：______；的度数为______； 【深入探究】 （2）若将长方形纸片按照图2所示的方式折叠，此时点F在点G的左侧，且，，求的度数． 【类比拓展】 （3）若将长方形纸片按照图3所示的方式折叠，此时点F在点G的右侧，且，直接写出的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 轴对称及其性质 题型一 轴对称图形的识别 1．食品安全问题是全球性的挑战，我国已经建立了较为完善的食品安全法律法规体系．下面四个图形是食品安全方面的标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．已知直线，垂足为，则图形①与图形 成轴对称．    【答案】② 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键，根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知，图形和图形是关于对称的． 故答案为：． 3．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【答案】(1)三角形①分别与三角形②④成轴对称 (2)整个图形是轴对称图形，有两条对称轴 【分析】本题考查了轴对称和轴对称图形，解决本题的关键是能根据定义识别轴对称和轴对称图形； （1）根据轴对称图形的定义即可解答； （2）根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：根据图形可得：三角形①分别与三角形②④成轴对称． （2）解：根据图形可得：整个图形是轴对称图形，有横竖两条对称轴． 题型二 成轴对称的两个图形的识别 4．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意； D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； 故选：C． 5．窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 6．如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 【答案】不可以 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：因为找不到一条直线使沿着这条直线对折后与互相重合， 所以不可以看作由经过轴对称得到． 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 7．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线关于直线对称，因此交点一定在上．D错误； 故选：D． 8．如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段 （填＞、、）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称图形中对应点所连线段被对称轴垂直平分这一性质． 根据线段与关于直线对称这一条件，利用轴对称性质判断与的关系． 【详解】因为线段与关于直线对称，点与点是关于这条直线的对应点， 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线， 所以直线是线段的垂直平分线，点O在对称轴上，即． 故答案为：． 9．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． (1)指出图中的两对对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线对称的三角形． 【答案】(1)和和和和（任写两对即可）． (2)． (3)和，和． 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的定义，即可解答； （2）根据轴对称的定义，即可解答； （3）根据轴对称的定义，即可解答． 【详解】（1）解：对称点：和和和和（任写两对即可） （2）解：相等的线段：． （3）解：和，和都关于直线对称． 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 10．如图，与关于直线l对称，则（   ） A． B． C．BC D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键． 先根据和关于直线对称得出，故可得出． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴， ∴． 故选：D． 11．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于，的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；由轴对称的性质可知，然后根据及三角形的周长公式可进行求解． 【详解】解：由轴对称的性质可知， ∵，的周长， ∴的周长， 故答案为：9． 12．如图，在四边形中，连接，与关于直线对称，与交于点M，与关于直线对称，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质，设，则，由对称的性质得到，，表示出，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，则， ∵与关于直线对称，与关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型五 求对称轴条数 13．下面图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是它的对称轴． 先根据对称轴的定义确定各图形对称轴的条数，进而完成解答． 【详解】 解：有4条对称轴； 有3条对称轴； 有2条对称轴； 有2条对称轴； 所以对称轴数量最多的是． 故选：A． 14．如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【答案】4 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴数量． 根据图形作答即可． 【详解】解：该轴对称图形有4条对称轴， 故答案为：4． 15．（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8；（2）n；（3）见解析 【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    题型六 折叠问题 16．如图，在长方形中，点分别在边上，将长方形沿折叠，使点分别落在长方形外部的点处．若，则整个阴影部分图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，根据折叠的性质，得，由阴影部分图形的周长，即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得， ∴阴影部分图形的周长 ， ， ， ， ， 故选：B． 17．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、、若重合部分的，则的度数为 °．（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得，则由平角的定义和角的和差关系可得，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．综合与探究 【问题情境】 已知长方形纸片，点E在边上，点N在边上，将沿翻折到，射线与交于点F．点M在边上，将沿翻折到，射线与交于点G． 【初步探究】 （1）现将长方形纸片按照图1所示的方式折叠，此时点F与点G重合．任意写出一个与相等的角：______；的度数为______； 【深入探究】 （2）若将长方形纸片按照图2所示的方式折叠，此时点F在点G的左侧，且，，求的度数． 【类比拓展】 （3）若将长方形纸片按照图3所示的方式折叠，此时点F在点G的右侧，且，直接写出的度数． 【答案】（1）或或（写一个即可），；（2）；（3） 【分析】本题考查折叠，角的和差，根据折叠得到角相等是解题的关键． （1）由折叠可得，，，根据即可得到，然后根据余角的性质可得出，即可找出与相等的角； （2）由折叠可得，，然后根据平角定义可求出，进而得到，，根据即可求解； （3）由折叠可得，，根据，得到，进而根据即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可得，，， ∵， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴与相等的角有：或或， 故答案为：或或（写一个即可），； （2）∵，， ∴由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）由折叠可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 1 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