2025-2026学年九年级中考一轮专题练习：动态函数 专题综合练习

动态函数专题综合练习 重庆中考数学中，动态函数问题是压轴题的高频考点，这类题融合一次函数、二次函数、反比例函数的性质，结合几何图形的平移、旋转、折叠、动点运动，对学生的数形结合、分类讨论能力要求极高。以下是针对性的答题技巧，帮助高效突破这类题型。 一、 核心解题思路：数形结合，以静制动 动态函数的本质是 “运动中的不变关系”，解题关键是将动态过程拆解为多个静态瞬间，结合函数解析式与几何图形性质建立等量关系。 第一步：分析运动过程，确定变量与不变量 明确动点的运动轨迹：是在直线上运动、抛物线上运动，还是在几何图形的边上运动（如三角形、矩形的边）。 确定自变量的取值范围：这是重庆中考的易错点，自变量通常是运动时间t或点的横坐标x，取值范围由动点的起点、终点和临界位置决定。 锁定不变量：如线段长度、角度、图形面积公式、函数的对称轴 / 顶点坐标等，这些是建立函数关系的基础。 第二步：建立函数解析式，注意分类讨论 用变量表示关键线段长度：若动点运动时间为t，结合速度可表示线段长度；若动点坐标为(x,y)，结合函数解析式转化线段长度。 根据几何性质列等量关系：常见的有勾股定理、相似三角形对应边成比例、面积公式、线段和差关系等。 分类讨论的常见场景： 动点在不同线段上运动时，线段表达式不同； 图形的位置关系变化（如两直线相交/平行、点在图形内/外）； 等腰三角形、直角三角形、平行四边形的存在性问题中，需按边或角分类。 第三步：结合函数性质，求解问题 若为二次函数，关注顶点坐标、对称轴、最值；若为一次函数，关注斜率、截距、增减性；反比例函数关注比例系数k的几何意义。 结合自变量取值范围，验证所求结果是否在范围内，避免 “增根”。 二、 常见题型及专项技巧 1.动点轨迹型动态函数 题型特征：动点沿直线、抛物线或几何图形的边运动，求线段长度、面积、周长等与自变量的函数关系。 答题技巧： 设动点坐标；用坐标法求线段长度：斜线段用勾股定理或两点间距离公式。 面积问题优先用割补法：不规则图形面积转化为矩形、三角形等规则图形的和差，避免复杂计算。 2. 图形变换型动态函数 题型特征：几何图形（三角形、矩形）平移、旋转、折叠后，求变换后图形的顶点坐标或相关函数关系。 答题技巧： 平移：“左减右加，上加下减”，直接对图形顶点坐标进行变换，再代入函数解析式。 旋转：抓住旋转中心、旋转角度、旋转方向，利用全等三角形或三角函数求旋转后顶点坐标。 折叠：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，常结合勾股定理列方程。 三、 重庆中考高频易错点规避 忽略自变量取值范围：动态问题中自变量t或x有明确范围，求解后必须验证结果是否在范围内，否则会扣分。（不取短点） 计算失误：动态函数计算量大，建议分步计算，每一步验证，避免因计算错误导致整题丢分。 四、 实战训练 1．如图，在矩形ABCD中，，．动点以每秒个单位长度从点出发．沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，两点同时停止运动，点为直线上的动点，满足，设点的运动时间均为秒，记的面积为，点到的距离为． (1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 2．如图，在中，，，，动点从点出发，沿着折线（不含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动．设点的运动时间为，点到的距离为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)若函数，在直角坐标系中分别画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接估计当时的取值范围．（保留1位小数，误差不超过） 3．如图，在菱形中，．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线方向匀速运动，点Q沿折线方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 4．在矩形中，，．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿方向运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着运动，设点P，Q的运动时间均为x秒，E是边上的一个动点，记的面积为，点E到点P的距离为． (1)若E到点P的距离满足，平面直角坐标系中已经画出的部分图象，请你根据解析式补全表格，画出的图像的剩余部分，并写出函数的一条性质； x 1 2 3 5 1 (2)请直接写出关于x的函数关系式及自变量的取值范围，并在给定的平面直角坐标系中画出的图象； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．     5．在中，，，，是边上的中线，点M以的速度从点A出发沿折线匀速运动（点M不与点A、C重合），同时点以的速度从点A出发沿匀速运动，当点M停止运动时点N也随之停止运动．设两点的运动时间为，记的面积为，记与的面积比为，请回答下列问题： (1)请直接写出，分别关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，分别写出函数、的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围：______（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 6．如图，在等腰中，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，到达时停止运动，设运动时间为秒，过点作于点，线段的长度与线段的长度之和为，线段长度与点运动的路程之比为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 7．如图，点为菱形对角线，的交点，，，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着线段运动，用（单位：秒）表示点的运动时间，其中，过点作垂直于直线于，作垂直于直线于．点之间的距离为的和与之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 8．如图，在中，，，为的中线，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动秒（），的面积为，为周长与点运动路程之比． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时，请直接写出的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 9．如图，在中，，，，动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点B时停止运动，连接，．点N以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止．两点同时出发，设运动时间为x秒（），过点N作于点E．的面积为，的周长与的周长之比为．      (1)请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，当时，请直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 10．如图1，矩形中，，，动点以的速度从点沿折线运动，连接，同时，动点以的速度从点出发沿运动，当点停止运动时点也随之停止运动．过点作于点，设点的运动时间为，记的面积为，记与的周长比为，请回答下列问题： (1)请直接写出分别与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围： ．（近似值保留一位小数，误差不超过） 11．如图1，在中，为的中点，连接．动点P从点A出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点B时停止运动；同时动点Q从点C出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点A时停止运动．设点P 的运动时间为x秒，记为，记为． (1)请直接写出分别关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过0.2）． 12．如图，在中，，，，点以每秒2个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．点以每秒1个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．两点同时出发，设运动时间为秒，取的中点为，连结和．过点作于点．运动过程中，的面积为的周长与与的周长之比为． (1)请直接写出和关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（注：三角形的面积不得取0） (2)在给定的平面直角坐标系中画出和的图象，并写出函数图象的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 13．如图1，在矩形中，．动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒0.5个单位长度从点出发，沿方向运动，两点同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点的运动时间均为秒（），记的面积为，点到的距离为． (1)请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 14．如图1，在矩形中，，，动点以每秒1个单位的速度，从点出发，按的顺序在边上运动．动点以相同的速度，从点出发，按的顺序在边上运动．当动点运动到点时，动点、都停止运动．在运动路径上，设点的运动时间为秒，此时点，点之间的路径距离（注：路径距离是从一个点到另一个点的实际路径长度，而不是简单的直线距离）与点，点之间的路径距离之和为，点所走总路径距离（即）与点所走路径距离之比为． (1)分别求出，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在如图2的平面直角坐标系中，画出为，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当一次函数与的图象有两个交点时，的取值围________． 15．如图，在中，，，，是边上的中线，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着运动，同时动点P以相同的速度从点A出发，沿着运动，点P运动到点B处两点都停止，连接，．设点P、Q的运动时间为x．的面积为，的面积与面积之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 16．如图，在直角中，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点A处停止，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线方向匀速运动，两点同时出发，设运动时间为秒，过点作于点，的周长与的周长之比为，点到的距离为． (1)请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数图像的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案：1．(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据矩形性质得到，，根据勾股定理得到，过作于，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数的图象即可； （3）根据函数的图象即可得到结论． 【详解】（1）解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 过作于， ∵， ∴， 当点在上时，， ∴， 当点在上时，， ∴， 综上所述，； ∵动点以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动， ∴． ∵． ∴， ∴； （2）解：列表： 如图所示： 当时，随的增大而增大； （3）解：由图象知，当时，的取值范围为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了三角形的面积公式，一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 2．(1) (2)画图见解析，当时，随t的增大而增大，当时，随t的增大而减小 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数解析式，画函数图像，函数的性质，注意数形结合与分类讨论思想的运用． （1）分两种情况：点D在线段上，此时；点D在线段上，此时；利用相似三角形的性质即可求解； （2）根据反比例函数与一次函数的图像，描点画出图形即可；根据图像即可写出的一条性质； （3）观察图像，当的图像在的图像上方或相交时，且，即可确定自变量的取值范围． 【详解】（1）解：当点D在线段上，此时； ∵， ∴， ∴，即； ∵，， ∴，其中； 当点D在线段上，如图，此时，； ∵， ∴， ∴，即； ∵，， ∴，其中； 综上，， （2）解：所画的两个函数的图像如下： 函数的性质为：当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小． （3）解：当时，， 解得， 由图，可得 当时，， 由图像，可得 当时，． 3．(1) (2)见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 (3)或 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质： （1）当点P在，点Q在上运动时，即时，证明是等边三角形，即可求解；当时，同理可解； （2）当时，，当时，，当时，，即可画出函数图象，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 正确理解动点问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵菱形 ∴ ∴总的运动时间为：（秒）， 当点P在，点Q在上运动时，即时，连接， 由题意得， ∴是等边三角形， ∴； 当点P在，点Q在上运动时，即时，如图所示：是等边三角形， ∴， ∴； 综上可得：； （2）解：当时，，当时，，当时，，依次描点再连接 该函数图象如图所示： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 （答案不唯一）； （3）解：从图象看，当时x的取值范围为：或． 4．(1)作图见详解，补全表格见详解，当，时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大 (2)，作图见详解 (3) 【分析】（1）根据已知条件将表格中x的值代入的表达式计算即可，再根据补全表格的数据在图象中找出对应点，并用平滑的曲线连接即可，最后根据的函数图象发现当，时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大； （2）过点P作，连接，根据矩形的性质利用勾股定理求出的长，再根据题中已知条件设，，，证明，利用相似三角形对应边成比例得到的表达式，求得面积的表达式，即为，再根据点P在运动的时间最大值为5秒即可得到x的取值范围，此时是一个二次函数图象，将的函数图象在图中标出顶点，并用平滑的曲线连接即可，需注意x在0和5处用空心表示； （3）结合函数图象可得出当时x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补全表格如下： x 1 2 3 5 1 3 根据表格中的数据，的图象剩余部分如图所示： 性质：当，时，随x的增大而减小， 当时，随x的增大而增大． （2）解：如图，过点P作，连接， ∵在矩形中，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得，, 由题意知，设，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点P在运动的时间为（秒）， ∴x的取值范围为， ∴． 的函数图象如图所示： （3）解：由（2）的函数图象可知，当时， x的取值范围为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质及函数与几何的综合应用． 5．(1)，； (2)见解析，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，函数有最大值；当时，随的增大而减小； (3) 【分析】（1）根据勾股定理和直角三角形的斜边中线，得到，，分两种情况求关于x的函数关系式：当时，点在上，此时，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求解；当时，点在上，此时，过点作于点，利用相似三角形的性质求解，再求解关于x的函数关系式，当时，点在上，此时，过点作于点，同理运用相似三角形的性质求解即可； （2）根据与的函数关系式可画出两函数的图象，再写出函数的性质即可； （3）结合函数图象，找出函数的图象在函数的图象上方部分的自变量取值范围即可得解． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 是边上的中线， ， 如图，当时，点在上，此时，过点作于点， ，， ， 在中，， ； 如图，当时，点在上，此时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当时，点在上，此时，过点作于点， ，， ， ， ，， , （2）解：函数列表如下： 1 3 6 4 12 3 函数列表如下： 2 5 5 2 描点画图如下： 观察图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，函数有最大值；当时，随的增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 则当时，x的取值范围为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，画函数图象，以及函数图象的交点问题的知识，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 6．(1)， (2)图像见详解，在范围内函数的值随的增大而增大，在范围内函数的值随的增大而减小 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一及勾股定理求出及各边边长，再利用相似得到，，再根据题意即可得到关于的函数表达式； （2）根据（1）中函数关系式，结合自变量的范围，即可画出函数图象，再由函数图象即可得到性质； （3）观察函数图象在的图象上方时，的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：等腰中，， 过点作交于点， 当时，点沿方向运动，如图： ∴，， 根据勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当时，点沿方向运动，如图： 此时， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段长度与点运动的路程之比为， ∴． 综上得，； （2）函数图象如图所示： 观察图像可得在范围内函数的值随的增大而增大，在范围内函数的值随的增大而减小； （3）根据函数图象：当时，（因为误差不超过0.2所以右侧可以写成2.2，2.3，2.5）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，等腰三角形的性质,一次函数与反比例函数的性质，相似三角形，解直角三角形及勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 7．(1)， (2)图见详解，在内，随着的增大而减小；在内，随着的增大而减小； (3) 【分析】（1）先根据菱形的性质得，，，结合点P的运动速度，分析得，再结合过点作垂直于直线于，作垂直于直线于．所以，即，进行分析，即可作答． （2）根据，，进行描点作图，再分析函数图象，即可作答． （3）运用数形结合思想得当时，则的取值范围为，即可作答． 【详解】（1）解：点为菱形对角线，的交点，，， ∴，， ∴， 则 ∵点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着线段运动，用（单位：秒）表示点的运动时间， ∴当点P在上运动时，则，即， ∴， ∴当点P在上运动时，则，即， ∴， 则， 即； 连接， ∵过点作垂直于直线于，作垂直于直线于． ∴， 则， ∵， 即， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， 进行补充函数图象如下所示： ∴在内，随着的增大而减小； 在内，随着的增大而减小； （3）解：结合（2）的函数图象，当时，则的取值范围为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．(1)，； (2)图见解析，由函数图象可知，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； (3)当时，． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数，勾股定理等知识，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键． （1）分点在上和上分别讨论即可； （2）用描点法画出函数图象，然后根据图象写出一条性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：，为的中线， ，， 在中，， ， ∵点以每秒1的速度匀速运动到点A，运动时间为x秒， ∴点运动的路程为x， ①当点在上，即当时，如图： ， ， ②当点在上时，即当时，如图： ∴， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 与的函数关系式为：， 周长，运动路程为， ； （2）解：如图，函数图象即为所求， 由函数图象可知，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； （3）解：联立， 得， （负值已舍去）， 联立 得：， 解得：或（舍去）， 由函数图象可知，当时，． 9．(1)；； (2)见解析，性质：当时，随的x增大而增大，当时，随x的增大而减小． (3) 【分析】（1）分两种情况讨论，当点M在C→A上运动时，由相似三角形的性质，即边长成比例，求解的高；当点M运动到上时，可得，即，根据三角形面积公式表示即可；先求出的周长，再根据相似三角形的性质表示出的周长即可求解； （2）先列表，再描点画函数图象即可，再根据一次函数的性质，观察增减性可得到其一条性质； （3）根据一次函数与一元一次不等式的关系观察图象找到函数的图象在函数的图象的上方的x的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， 由勾股定理可得，， ∵动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 当点M在C→A上运动时，即时， ∴， 过点M作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点M在C→A→B上运动，即点M运动到上时，即时， 连接，如图， ∴，即， ∴； ∴； ∵，，， ∴的周长为， ∵点N以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴的周长为， 的周长与的周长之比为， 即； （2）解：由（1）知，，， 列表如下： 1 5 7 6 3 10 2 函数、图象如图， 性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小． （3）解：根据图象可知，若， 则表示函数的图象在函数的图象的上方的x的取值范围， ∴由图象可得，x的取值范围为． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质并正确观察图象是解决本题的关键． 10．(1)； (2)图象见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． (3)或 【分析】（1）分和两种情况，根据矩形的性质及解直角三角形的知识可求得与的函数关系式，根据“动点从点出发，沿折线方向运动，当点停止运动时点也随之停止运动．”可分别求得自变量的取值范围； （2）根据与的函数关系式可画出两函数的图象，可写出一条函数的性质； （3）根据函数图象，可得两函数的交点的横坐标约为和，因此可求得当时的取值范围． 【详解】（1）解：当时，由题意得， 则以为底，为高， ， ， 当时， ， 如图，过作， ， ， ， ， ， ， 综上； ， ， ， 周长， 由题意得，则， 周长， 与的周长比为， 则； （2）解：①画的图象： 列表： 描点，连线，如图 ②画的图象， 列表： 描点，连线如图： 性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）当时，联立， 解得或（舍去）， 所以当时，两个函数的交点的横坐标为， 当时，联立， 解得或（舍去） 所以当时，两个函数的交点的横坐标为， 综合图像可知，时，的取值范围为或 【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，一次函数和反比例函数的图象与性质，画一次函数和反比例函数的图象，函数与不等式等知识，熟练掌握矩形的性质及解直角三角形的知识是解题的关键． 11．(1)， (2)画图见解析，函数的一条性质：当时，取得最大值； (3)或 【分析】（1）如图所示，过点B作交于点E，勾股定理求出，求出，然后利用等面积法求出，然后分和两种情况讨论，分别求出，然后利用面积公式即可求出； （2）根据列表，描点，然后用平滑的线连接即可画出图象，进而求得函数的一条性质； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作交于点E ∵， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，根据题意得， ∴； 当时，点P在上，如图所示， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，； 根据题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）列表如下： x 1 2.5 5 3 0 5 2 1 画图如下： 函数的一条性质：当时，取得最大值； （3）由图象可得，当和时，函数图象在函数图象得下面 ∴时x的取值范围为或． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，一次函数和反比例函数的图象和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 12．(1)， (2)图见详解，在时，随的增大而减小． (3)或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解直角三角形的相关运算，勾股定理，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用三角函数的性质列式算出，结合面积公式列式计算，得，然后运用三角函数的性质列式算出，，则的周长，的周长，即可得． （2）根据以及分别作图，再结合一次函数的性质，进行作答即可． （3）运用数形结合思想，得出结合图象，当时，则或． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示： ∵，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 则， ∴； ∵点以每秒2个单位长度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止． ∴， ∴，， 在时，； 在时，； 综上，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴； 则的周长，的周长， ． （2）解：如图所示： ∴ 依题意，在时，随的增大而减小． （3）解：结合图象，当时，则或． 13．(1)；； (2)见解析；当时随的增大而增大，当时随的增大而减小 (3) 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）分两种情况讨论，当时，作于点，利用正弦函数的定义求得，利用三角形面积公式列式计算求解即可；当时，求得，利用三角形面积公式列式计算求解即可；求得，根据，据此求解即可； （2）列表，描点，连线，作出函数图象，根据图形，即可写出函数的一条性质； （3）数形结合，即可求解． 【详解】（1）解：当时，作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，如图， ∵，∴， 综上，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：列表： 0 1 2 3 5 6 8 0 6 0 6 3 2 1 描点，连线，作出函数图象如下： 函数的一条性质：当时随的增大而增大，当时随的增大而减小； （3）解：当时的取值范围：． 14．(1) (2)图见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而不变；当时，随的增大而增大 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可分当在上，当在上，当在上，然后分类求解即可； （2）根据（1）可直接进行作图，然后根据图象可进行求解； （3）根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ①当在上，即时，则有：， ； ②当在上，即时，则有：； ③当在上，即时，； 综上，；； （2）解：函数图象如下所示： 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而不变；当时，随的增大而增大； （3）解：∵一次函数恒过点， 如图，当一次函数过点时，，解得：， 当一次函数过点时，，解得：， 故根据图象可得一次函数与的图象有两个交点时，． 15．(1)， (2)图见解析，函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一） (3)当时x的取值范围： 【分析】（1）先求出，由题意得，，由共高三角形面积比化为底之比得到，故；根据，那么，当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，再根据面积公式得到；当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，即可表示面积； （2）先作出反比例函数和正比例函数以及一次函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质； （3）当时，即函数图象在函数图象上方时，交点的横坐标取值范围． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， ∵点D为的中点， ∴， 由题意得，， ∵与共高， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴, 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 综上：； （2）解：画出函数，的图象如图， 函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：记函数与函数的交点为， 由图象可得：， ∴当时x的取值范围：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 16．(1)， (2)图象见详解，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小 (3)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象与性质、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，则有，进而分当时和当时，最后得出函数解析式即可； （2）根据（1）中函数解析式及描点法可得函数图象，然后根据函数图象可进行求解； （3）由（2）中函数图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长与的周长之比为， 由题意得：， ∴； 当时，点M在边上，则； 当时，点M在边上，即为图上，过点作，如图所示： 由图可知：， 综上所述：； （2）解：的图象如图所示： 由图象可知：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小． （3）解：由（2）中图象可知：当时，的取值范围为或． $