1.1.2幂的乘除 (第2课时 幂的乘方) 学案 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

本初中数学讲义聚焦幂的乘方核心知识点，从地球、木星、太阳体积的实际问题切入，通过(6²)⁴、(a²)³等具体算式推导法则，对比同底数幂乘法梳理联系，构建“实际情境—具体计算—归纳法则—应用拓展”的学习支架。 资料以现实情境培养数学眼光，通过球体体积问题抽象出幂的乘方研究对象；以“尝试·思考”引导推理，从具体算式归纳(a^m)^n=a^(mn)法则，发展推理意识；设置对比表格、逆用练习及综合应用，提升运算能力与应用意识，课中助教师高效授课，课后供学生查漏补缺。

1.1.2幂的乘除 (第2课时 幂的乘方) 情景1. 如图，地球、木星、太阳可以近似地看成球体.木星、太阳的半径分别约为地球的10倍和102倍，它们的体积分别约为地球的多少倍?(球的体积公式是V＝πr3，其中V是球的体积，r是球的半径.) 木星的半径约为地球的10倍，它的体积约为地球的103倍. 太阳的半径约为地球的102倍，它的体积约为地球的(102)3倍. →思考：(102)3这个数，它有什么特点？(102)3又怎样计算？ 这个数有两个指数，如果把102看成一个整体，那么(102)3这个数的底数也是幂. · 对(102)3进行计算，我们称为“幂的乘方” · 尝试·思考 1. 计算下列各式，并说明理由. (1)(62)4； (2)(a2)3； (3)(am)2. 解：(1)(62)4＝ 62 × 62 × 62 × 62 ＝6( 2 )+ ( 2 )+ ( 2 )+ ( 2 )＝6( 2 )×( 4 )＝6( 8 )； (2)(a2)3＝ a2 × a2 × a2 ＝a( 2 )+ ( 2 )+ ( 2 )＝a( 2 )×( 3 )＝a( 6 )； (3)(am)2＝ am × am ＝a( m )+ ( m )＝a( m )×( 2 )＝a( 2m ). 2. 如果m，n正整数，那么(am)n等于什么？为什么？ · 幂的乘方运算公式：(am)n＝amn(m，n都是正整数)．即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 注意：底数(即上面公式中的a)既可以是单项式，也可以是多项式 例1：计算 (1)(102)3； (2)(b5)5； (3)(an)3； (4)－(x2)m； (5)(y2)3·y (6)2(a2)6－(a3)4. 解：(1)(102)3＝102×3＝106； (2)(b5)5＝b5×5＝b25； (3)(an)3＝an×3＝a3n； (4)－(x2)m＝－x2·m＝－x2m ；(5)(y2)3·y＝y2×3·y＝y6·y＝y7；(6)2(a2)6－(a3)4＝2a2×6－a3×4＝a12 随堂练习： 1. 计算 (1)(103)3； (2)－(a2)5； (3)(x3)4·x2. 解：(1)109；(2)－a10；(3)x14 2. 已知 xn＝2，求x2n的值. 解：x2n＝(xn)2＝22＝4. 情景2. 想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？ 运算种类 公式 法则中运算 计算结果 底数 指数 同底数幂乘法 am·an＝a m+n 乘法 不变 指数相加 幂的乘方 (am)n＝amn 乘方 不变 指数相乘 练习1. 1. 计算(－a3)2的结果是( A ). A. a6 B.－a6 C.－a5 D. a5 2. 计算(a2)3的结果是( D ). A. 3a2 B. 2a3 C. a5 D. a6 3. 计算：(1)(103)4；(2) (－a5)6；(3)－(a5)3. 解：(1)1012；(2)a30；(3)－a15 情景3. 1. 下面这道题该怎么进行计算呢? [(a2)3]4＝ (a6)4 ＝ a24 2. [(am)n]p＝?(m，n，p为正整数)能否利用幂的乘方法则来进行计算呢？ ①(am)n＝amn；②[amn]p＝amnp(把amn中mn可以看做整体) · 幂的乘方:[(am)n]p＝amnp(m，n，p为正整数) 情景4. (－a2)5和 (－a5)2的结果相同吗？与同伴交流. 不相同.(－a2)5表示5个－a2相乘，其结果带有负号； (－a5)2表示2个－a5相乘，结果没有负号. 情景5. 填一填： (1)amn＝( am )n＝( an )m(m，n都是正整数)； (2)x13·x7＝x( 20 )＝( x4 )5＝( ±x5 )4＝( ±x2 )10； (3)a2m＝( ±am )2＝( a2 )m (m为正整数). · 幂的乘方法则可逆用，即amn＝(am)n(m，n都是正整数). 此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法法则，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可. 练习2. 1. 下列计算正确的是( B ). A. (x2)3＝x5　 B. (x3)4＝x12 C. (xn+1)3＝x3n+1 D. x5•x6＝x30 2. 下列各式的括号内，应填入b4的是( C ). A. b12＝(　　)8 B. b12＝(　　)6 C. b12＝(　　)3 D. b12＝(　　)2 3. 已知5m＝3，5n＝2，求下列各式的值. (1)53m； (2)52n； (3)53m+2n． 解：(1)53m＝(5m)3＝33＝27；(2)52n＝(5n)2＝22＝4； (3)53m+2n＝53m×52n＝27×4＝108. 4. 已知10x＝m，10y＝n，则102x+3y等于( D ). A.2m＋3n B.m2＋n2 C.6mn D.m2n3 5. 若xm•x2m＝3，求x9m的值． 解：∵xm•x2m＝3， ∴x3m＝3， ∴x9m＝(x3m)3＝33＝27. 6. 若2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值. 解：4x·32y＝22x·25y＝22x+5y＝23＝8. 7. 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较2a，2b的大小(a＞0)． 因为a＞b，所以2a＞2b，因为当底数相同时，指数越大幂的值越大； ②比较350和275的大小． 因为350＝(32)25＝925，275＝(23)25＝825，9＞8，所以925＞825， 即350＞275. 因为当指数相同时，底数越大幂的值越大． 根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：320___＜___915；(填写“＞”“＜”或“＝”) (2)已知a＝355，b＝444，c＝533，试比较a，b，c的大小． 答案：533＜355＜444，即c＜a＜b. 8. 比较2100与375的大小. 提示:要比较乘方的大小，就得想办法，把它们变成底数一样，或者指数一样 解：因为2100＝(24)25＝1625， 375＝(33)25＝2725， 且16＜27，所以2100＜375. 巩固练习： 1. 计算： (1)(82)3； (2)－(a2)4； (3)(x3)5·x3； (4)[(－x)2]3； (5)(－a)2·(a2)2； (6)x·x4－x2·x3. 解：(1)(82)3＝86；(2)－(a2)4＝－a8；(3)(x3)5·x3＝x18； (4)[(－x)2]3＝x6 ；(5) (－a2)·(a2)2＝a6；(6) x·x4－x2·x3＝0 2. 已知a x＝－3，a y＝3．求： (1) ax+y的值； (2) a3x的值； (3) a3x+2y的值． 解：(1)ax+y＝－9；(2)a3x＝－27；(3)a3x+2y＝－243. 3. 已知2m＋3n＝5，则4m·8n的值为( C ). A．16 B．25 C．32 D．64 4. 已知a是正整数，比较大小：23a ＜ 32a．(填“＜”“＞”“＝”) 5. (1)若am＝2，an＝3，求a3m+2n的值； (2)若3×9x×27x＝326，求x的值． 解：(1)a3m+2n＝72；(2)x＝5. 6. 若am＝an(a＞0，a≠1，m，n都是正整数)，则m＝n，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果2x·23＝32，求x的值； (2)若x＝5m－3，y＝－25m，用含x的代数式表示y． 解：(1) x＝2；(2)y＝－(x＋3)2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2幂的乘除 (第2课时 幂的乘方) 情景1. 如图，地球、木星、太阳可以近似地看成球体.木星、太阳的半径分别约为地球的10倍和102倍，它们的体积分别约为地球的多少倍?(球的体积公式是V＝πr3，其中V是球的体积，r是球的半径.) 木星的半径约为地球的10倍，它的体积约为地球的103倍. 太阳的半径约为地球的102倍，它的体积约为地球的(102)3倍. →思考：(102)3这个数，它有什么特点？(102)3又怎样计算？ 这个数有两个指数，如果把102看成一个整体，那么(102)3这个数的底数也是幂. · 对(102)3进行计算，我们称为“幂的乘方” · 尝试·思考 1. 计算下列各式，并说明理由. (1)(62)4； (2)(a2)3； (3)(am)2. 解：(1)(62)4＝__ ×__ ×__ ×__ ＝6( )+( )+( )+( )＝6( )×( )＝6( )； (2)(a2)3＝__ ×__ ×__ ＝a( )+( )+( )＝a( )×( )＝a( )； (3)(am)2＝__ ×__ ＝a( )+( )＝a( )×( )＝a( )； 2. 如果m，n正整数，那么(am)n等于什么？为什么？ · 幂的乘方运算公式：(am)n＝amn(m，n都是正整数)．即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 注意：底数(即上面公式中的a)既可以是单项式，也可以是多项式 例1：计算 (1)(102)3； (2)(b5)5； (3)(an)3； (4)－(x2)m； (5)(y2)3·y (6)2(a2)6－(a3)4. 随堂练习： 1. 计算 (1)(103)3； (2)－(a2)5； (3)(x3)4·x2. 2. 已知 xn＝2，求x2n的值. 情景2. 想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？ 运算种类 公式 法则中运算 计算结果 底数 指数 同底数幂乘法 幂的乘方 练习1. 1. 计算(－a3)2的结果是( ). A. a6 B.－a6 C.－a5 D. a5 2. 计算(a2)3的结果是( ). A. 3a2 B. 2a3 C. a5 D. a6 3. 计算：(1)(103)4；(2) (－a5)6；(3)－(a5)3. 情景3. 1. 下面这道题该怎么进行计算呢? [(a2)3]4＝ ＝ 2. [(am)n]p＝?(m，n，p为正整数)能否利用幂的乘方法则来进行计算呢？ · 幂的乘方:[(am)n]p＝amnp(m，n，p为正整数) 情景4. (－a2)5和 (－a5)2的结果相同吗？与同伴交流. 情景5. 填一填： (1)amn＝( )n＝( )m(m，n都是正整数)； (2)x13·x7＝x( )＝( )5＝( )4＝( )10； (3)a2m＝( )2＝( )m (m为正整数). · 幂的乘方法则可逆用，即amn＝(am)n(m，n都是正整数). 此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法法则，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可. 练习2. 1. 下列计算正确的是( ). A. (x2)3＝x5　 B. (x3)4＝x12 C. (xn+1)3＝x3n+1 D. x5•x6＝x30 2. 下列各式的括号内，应填入b4的是( ). A. b12＝(　　)8 B. b12＝(　　)6 C. b12＝(　　)3 D. b12＝(　　)2 3. 已知5m＝3，5n＝2，求下列各式的值. (1)53m； (2)52n； (3)53m+2n． 4. 已知10x＝m，10y＝n，则102x+3y等于( ). A.2m＋3n B.m2＋n2 C.6mn D.m2n3 5. 若xm•x2m＝3，求x9m的值． 6. 若2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值. 7. 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： ①比较2a，2b的大小(a＞0)． 因为a＞b，所以2a＞2b，因为当底数相同时，指数越大幂的值越大； ②比较350和275的大小． 因为350＝(32)25＝925，275＝(23)25＝825，9＞8，所以925＞825， 即350＞275. 因为当指数相同时，底数越大幂的值越大． 根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：320_ _915；(填写“＞”“＜”或“＝”) (2)已知a＝355，b＝444，c＝533，试比较a，b，c的大小． 8. 比较2100与375的大小. 提示:要比较乘方的大小，就得想办法，把它们变成底数一样，或者指数一样 巩固练习： 1. 计算： (1)(82)3； (2)－(a2)4； (3)(x3)5·x3； (4)[(－x)2]3； (5)(－a)2·(a2)2； (6)x·x4－x2·x3. 2. 已知a x＝－3，a y＝3．求： (1) ax+y的值； (2) a3x的值； (3) a3x+2y的值． 3. 已知2m＋3n＝5，则4m·8n的值为( ). A．16 B．25 C．32 D．64 4. 已知a是正整数，比较大小：23a 32a．(填“＜”“＞”“＝”) 5. (1)若am＝2，an＝3，求a3m+2n的值； (2)若3×9x×27x＝326，求x的值． 6. 若am＝an(a＞0，a≠1，m，n都是正整数)，则m＝n，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果2x·23＝32，求x的值； (2)若x＝5m－3，y＝－25m，用含x的代数式表示y． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $