广东省深圳外国语学校2025-2026学年高三上学期第14周周测数学试题（1.8）

深圳外国语学校2026届高三数学周测14参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A A B C C D AC ACD 题号 11 答案 CD 12． 13． ①. ②. 14． 15．【详解】（1）由题意有， ， ， 所以，， 所以； ………………………………8分 （2）零假设H0：假设课后自主学习与成绩进步无关 由题意有， 所以根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为课后自主学习与成绩进步有关. ………………………………15分 16．【详解】（1）证明：过作面，垂足为，连接，，， 因为，，，所以，所以， 又因为面，面，所以， 因为，，且平面，所以平面， 又因为面，所以，同理， 因为，所以四边形为矩形. ………………………………2分在矩形中，可得，所以，所以， 又因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面，平面，所以. ………………………………6分 （2）解：因为，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 如图所示 由，可得，且，，， 所以，，，. 设为平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， ………………………………10分 设为平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， ………………………………12分 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. ………………………………15分 17．【详解】（1）解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为， 因为点在上，且，可得，解得， 所以抛物线的方程为. ………………………………4分 （2）解：（ⅰ）由抛物线，可得， 设点，可得，所以切线方程为， 整理得， 令，代入切线方程，可得，即， ………………………………6分 又由，可得，所以的方程为， 则，则的方程为， 联立方程组，解得， ………………………………9分 则， 因为，可得， 由抛物线的定义，可得，所以，解得，解得， 所以点或. ………………………………12分 （ⅱ）因为点（）在抛物线上，可得，即， 由（i）知，点在以点为圆心，半径为的圆上， 又由， 则，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. ………………………………17分    学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2026届高三年级统一测试 数学第十四次周测 时间：1月8日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（    ） A．58 B．57 C．56 D．55 3．一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们的70百分位数是中位数的两倍，则x的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 4．已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（    ） A． B． C． D．2 5．已知等比数列前项和为， 若，，则（    ） A．128 B．255 C．256 D．511 6．在中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，，，，则面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 7．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 8．已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. ； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 10．在某次校园十佳歌手比赛中，八名评委根据参赛选手的表现在5，6，7，8，9，10这六个分值中选择一个作为选手分数，按照规则，八个得分中去掉一个最高分和一个最低分（如有同分，则只去掉同分中的一个），剩下的六个分数作为有效得分.现对某名选手的六个有效得分进行统计，发现其平均值为.在对这六个有效得分统计的下述结论中，一定能判断六个有效得分的中位数不超过8的是（   ） A．仅出现一个分数是5 B．极差为4 C．众数为7 D．方差不超过3 11. 已知函数（）的部分图象如图所示，将方程的所有正实数根从小到大排列得到，，，则（　　） A. B. 存在正整数使得 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．方程表示椭圆，则的取值范围为 ． 13. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数） 14．函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共3小题，共 47分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如右表： (1)若该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求y关于x的回归直线方程．（参考数据：） (2)基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了160位学生．按照参与课后自主学习与成绩进步情况得到如右2×2列联表： 依据小概率值的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ，其中． 16．如图，在三棱锥中，已知，，，，，. (1)若为的中点，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. (1)求C的方程； (2)过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $