3.5 一元一次不等式组（八大题型）（题型专练）数学新教材湘教版七年级下册

3.5一元一次不等式组 【题型一】 一元一次不等式组的定义 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024八年级上·全国·专题练习）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（    ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型二】求不等式组的解集 “【例2】（甘肃省兰州市四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试卷）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式2-1】（24-25九年级上·广西贺州·期中）不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】在数轴上表示不等式组的解，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】一个不等式组，那么它的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型三】解特殊不等式组 【例3】对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d=_______． 【变式3-1】定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏南通·期中）若关于x的不等式的最小整数解是，则实数的值可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知实数满足，且，设，则的取值范围是_____． 【题型四】求一元一次不等式组的整数解 【例4】（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【变式4-1】（25-26九年级上·重庆·月考）求不等式组的所有整数解． 【变式4-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）不等式组的最大整数解是（   ） A．5 B．4 C．2 D．3 【变式4-3】满足不等式组的整数解的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．无数 【题型五】 列一元一次不等式组 【例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若某运算进行了2次才停止，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型六】由一元一次不等式组的具体解集求参数 【例6】（22-23八年级下·全国·单元测试）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】关于的不等式组的解集为＞3，则的取值范围是（   ） A．＞1 B．＜1 C．≥1 D．≤1 【变式6-3】若不等式组 的解集是，则m的取值范围是________． 【变式6-4】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若不等式组的解集是，则的值是 ． 【变式6-5】已知不等式组，的解集为，则的值为（    ） A． B．2022 C．1 D． 【题型七】由不等式组解集的情况求参数 【例7】（25-26八年级上·山东聊城·月考）已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型八】不等式组和方程组结合的问题 【例8】（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【变式8-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式8-3】在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围应为（      ） A． B． C． D． 【变式8-4】已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-5】（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式8-6】．如果整数m使得关于x的不等式组有解，且使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．要使方程组有正整数解，则整数a有___________个． 2．我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是__________． 3 不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．关于的不等式组无解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知关于x，y的方程组，给出下列结论，其中错误的个数是（　　） ①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解 ②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数； ③不论a取什么数，2x+7y的值始终不变； ④若x≤1，则y≥； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6 若关于的不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 8（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 9（25-26八年级上·浙江杭州·月考）有、两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，地可运出粮食80吨，地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如下：从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨200元和300元，设地运送到甲中心粮食为吨． (1)设运送粮食的总费用为元，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障基地的运输效率，规定地运往甲中心的粮食吨数至少比地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的值．（为整数） (3)按照题（2）的调运方案，当取何值时，总运费最低？最低总运费是多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5一元一次不等式组 【题型一】 一元一次不等式组的定义 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（2024八年级上·全国·专题练习）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【变式1-2】下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可． 【详解】解：A、含有三个未知数，不符合题意； B、未知数的最高次数是2，不符合题意； C、含有两个未知数，不符合题意； D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答． 【变式1-3】下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（    ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【来源】第15讲 一元一次不等式组-【寒假自学课】2023年八年级数学寒假精品课（北师大版） 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 答案：B． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键. 【题型二】求不等式组的解集 “【例2】（甘肃省兰州市四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试卷）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：． 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： ． 【变式2-1】（24-25九年级上·广西贺州·期中）不等式组中，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不等式组的解集，并在数轴上进行表示，正确求出每一个不等式解集及熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键； 先求出不等式组的解集，再根据带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点，在数轴上表示出来，判断即可． 【详解】解：解不等式组，得： ， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图： ； 故选B． 【变式2-2】在数轴上表示不等式组的解，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【来源】2023年广东省东莞市中考一模数学试卷 【答案】B 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而用数轴表示出解集即可． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键． 【变式2-3】一个不等式组，那么它的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出每个不等式的解集，后把解集表示到数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示，熟练求得不等式组的解集是解题的关键． 【题型三】解特殊不等式组 【例3】对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d=_______． 【答案】3或-3 【分析】首先根据运算符号的定义以及b、d是整数求得b、d的值，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：1＜4-bd＜3， 则-3＜-bd＜-1，即1＜bd＜3， ∵b、d是整数， ∴bd是整数． ∴bd=2， 则或或或， 则b+d=3或-3． 故答案是：3或-3． 【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，正确求得b、d的值是关键． 【变式3-1】定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏南通·期中）若关于x的不等式的最小整数解是，则实数的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式得出，根据不等式的最小整数解是即可确定的取值范围，继而得出结论．解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x的不等式的最小整数解是， ∴， ∴， ∴实数的值可能是． 故选：C． 【变式3-3】已知实数满足，且，设，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据得到，通过解不等式得出x的取值范围，表达出即可求出k的取值范围． 【详解】解：由得：， ∵ ∴ 解得 又∵ ∴ ∴ ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围，求代数式的取值范围，解题的关键是对已知条件进行变形． 【题型四】求一元一次不等式组的整数解 【例4】（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 【变式4-1】（25-26九年级上·重庆·月考）求不等式组的所有整数解． 【答案】，， 【分析】本题考查一元一次不等式的解法以及一元一次不等式组的解集确定，掌握一元一次不等式的解法是解题关键． 先分别求出两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，确定不等式组的解集，最后从解集中筛选出所有整数即可． 【详解】解：解： ， ， ； 解： ， ， ， ； 则不等式组的解集为， 所以不等式组的所有整数解为，，． 【变式4-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）不等式组的最大整数解是（   ） A．5 B．4 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，正确求解是关键；分别求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分，即可求得最大整数解． 【详解】解：解第一个不等式得：，第二个不等式得：； 则不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数分别为，0，1，2，3，4， 则最大整数解为4； 故选：B． 【变式4-3】满足不等式组的整数解的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．无数 【答案】B 【分析】先求出不等式组的解集，进而确定整数解，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴不等式组的整数解为：，共个； 故选B． 【点睛】本题考查求不等式组的整数解．正确的求出不等式组的解集，是解题的关键． 【题型五】 列一元一次不等式组 【例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 【变式5-1】八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不到2棵意思是植树棵数在0棵和2棵之间，包括0棵，不包括2棵，关系式为：植树的总棵数，植树的总棵数，把相关数值代入即可． 【详解】解：位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到2棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为． 故选：D． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键． 【变式5-2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据船的数量表示出学生人数，再结合“每船坐人时，空一条船且有船不空也不满”这一条件列不等式组．本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式组是解题的关键． 【详解】解：设有条船，由题意可得， 故选：C． 【变式5-3】如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若某运算进行了2次才停止，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【来源】专题7.14 一元一次不等式与不等式组（常考易错知识点分类专题）（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版） 【答案】C 【分析】根据运算程序结合运算进行了2次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【详解】由题意可得：， 解得：11<x≤19； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【题型六】由一元一次不等式组的具体解集求参数 【例6】（22-23八年级下·全国·单元测试）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 故选：A． 【变式6-1】若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集为x≤3即可求得a的取值范围． 【详解】解：解不等式2(a﹣x)＞0，得：x＜a， 解不等式，得：， ∵原不等式组的解集为， ∴a＞3， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式6-2】关于的不等式组的解集为＞3，则的取值范围是（   ） A．＞1 B．＜1 C．≥1 D．≤1 【答案】D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并不等式组的解集求解即可． 【详解】解：解3x+13＜7x+1，得：x＞3， 解不等式，得：x＞k+2， ∵不等式组的解集为x＞3， ∴k+2≤3， 解得k≤1， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式6-3】若不等式组 的解集是，则m的取值范围是________． 【答案】m＜3 【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴m＜3． 故答案为：m＜3 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 【变式6-4】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若不等式组的解集是，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据解集为确定出a、b的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为， ∵解集是， ∴且， 解得，， ∴， 故答案为：1． ．【变式6-5】已知不等式组，的解集为，则的值为（    ） A． B．2022 C．1 D． 【答案】C 【分析】解不等式得出x≥-a，x≤-b，由不等式组的解集得出-b=3，-a=2，解之求得a、b的值，代入计算可得． 【详解】解：由x+a≥0，得：x≥-a， 由x+b≤0，得：x≤-b， ∵解集是2≤x≤3， ∴-b=3，-a=2， 解得：a=-2，b=-3， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能求出不等式（或组）的解集是解此题的关键． 【题型七】由不等式组解集的情况求参数 【例7】（25-26八年级上·山东聊城·月考）已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解含参数的一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式组是解决问题的关键． 先分别解两个不等式，得到的取值范围，再根据不等式组有解的条件，即两个不等式的解集有交集，确定的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得； 不等式组有解， 存在同时满足和， ， 故选：C． 【变式7-1】不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【来源】安徽省六安市轻工中学2022-2023学年七年级下学期第一次月考综合素养数学提升训练 【答案】C 【分析】利用不等式组的解集是无解可知，x应该是大大小小找不到． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故选：C． 【点睛】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时（如：，），没有交集也是无解，但是要注意当两数相等时，在解题过程中不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 【变式7-2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组，易错点是的取值边界． 首先解不等式组得到解集为，由于有且仅有4个整数解，且，因此整数解为，为确保仅这些整数解，需满足，为不包括，需． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵有且仅有4个整数解，且， ∴整数解为， 为确保被包括，需， 为确保不被包括，需， ∴的取值范围是． 故选：． 【变式7-3】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 先求出不等式组的解集，再根据关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，可以求得的取值范围． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的一元一次不等式组至少有3个整数解， ∴， 故选：B． 【题型八】不等式组和方程组结合的问题 【例8】（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 【变式8-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 【变式8-2】关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将2个方程相加得出，根据不等式的解集的情况，得出，进而即可求解． 【详解】解： 由得： ∴， ∵， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出的表达式是解答此题的关键． ．【变式8-3】在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围应为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程组中的两个方程相加即可得到，再利用得到不等式即可求解． 【详解】解：， ①+②，得， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合运用，解题的关键是根据方程组的特点得到的值． 【变式8-4】已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个方程相减得出x﹣y＝1﹣2k，由0＜x﹣y＜1知0＜1﹣2k＜1，解之即可得出答案． 【详解】解：两个方程相减，得：x﹣y＝1﹣2k， ∵0＜x﹣y＜1， ∴0＜1﹣2k＜1， 解得0＜k＜， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式8-5】（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知关于的方程组的解都为非负数，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为非负数得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于的方程组的解都为非负数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 【变式8-6】．如果整数m使得关于x的不等式组有解，且使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】不等式组整理后，根据有解确定出m的范围，再由方程组的解为整数确定出满足题意m的值，判断即可． 【详解】解： 由①得，， 由②得， ∵不等式组有解， ∵不等式组的解集为m＜x≤4， ∴m＜4， 方程组， ①－②得：（m﹣2）x＝4， 解得：x， 把x代入②得：y＝1， 解得：y＝1， ∵x与y都为整数， ∵m＜4， ∴m－2＜2，且m≠2， ∴m－2＝1或﹣1或﹣2或﹣4， 解得：m＝3或1或0或﹣2， 故符合条件的所有整数m的个数为4个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的整数解，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 1．要使方程组有正整数解，则整数a有___________个． 【答案】4 【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出符合的整数a即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 即方程组的解是， ∵方程组有正整数解， ∴， 解得：， ∴整数a有，，0，4，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 2．我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是__________． 【答案】-5 【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解． 【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3， 则3＜xy＜5， 又∵x、y均为整数， ∴x=1，y=4；此时，x+y=5； x=2，y=2；此时，x+y=4； x=-1，y=-4；此时，x+y=-5； x=-2，y=-2；此时，x+y=-4； 故x+y的最小值是-5， 故答案为-5． 【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键． 3 不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解出每一个不等式，根据不等式组的解集的确定方法，同大取大，求出m的取值范围即可． 【详解】解：由，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查根据不等式组的解集求参数的取值范围．熟练掌握不等式组的解集的确定方法：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，是解题的关键． 4．关于的不等式组无解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出每个不等式的解集，根据不等式组无解即可得到结论． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， ∵不等式组无解， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了根据不等式组的解集的情况求参数，正确掌握一元一次不等式的解法及不等式组的解集的确定方法是解题的关键． 5．已知关于x，y的方程组，给出下列结论，其中错误的个数是（　　） ①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解 ②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数； ③不论a取什么数，2x+7y的值始终不变； ④若x≤1，则y≥； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】解方程组得，①将a＝1的值代入方程组的解和方程中进行判断即可；②将a＝﹣2代入方程组的解，依据相反数的概念判断即可；③将所求x、y代入2x+7y，判断最后化简结果与a有无关系即可；④由x≤1得出a的范围，再结合a的范围求出的范围即可． 【详解】解：解方程组得， ①当a＝1时，，此时方程x+y＝4﹣1＝3，x＝3、y＝0是该方程的解，正确，不符合题意； ②当a＝﹣2时，，x、y不是互为相反数，错误，符合题意； ③2x+7y＝＝6，不论a取什么数，2x+7y的值始终不变，正确，不符合题意； ④若x≤1，则≤1，解得a≤，此时≥，正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次不等式及不等式组的能力． 6 若关于的不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先解不等式组，求出a的范围，再根据的解为正整数，确定a的值，从而求出答案． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： ∵关于的不等式组有解， ∴ ∴ 解 ∵关于的方程的解为正整数 ∴当时，，∴ ∴当时，，∴ 当时，，∴应舍去 当时，，不符合条件， ∴满足条件的所有整数的个数是2个 故选B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组及一元一次方程中字母的值，解题的关键是明确如何讨论a的个数． 7（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 8（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 9（25-26八年级上·浙江杭州·月考）有、两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，地可运出粮食80吨，地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如下：从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨200元和300元，设地运送到甲中心粮食为吨． (1)设运送粮食的总费用为元，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障基地的运输效率，规定地运往甲中心的粮食吨数至少比地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的值．（为整数） (3)按照题（2）的调运方案，当取何值时，总运费最低？最低总运费是多少元？ 【答案】(1)，其中 (2)48，49，50 (3)当时，W最低，最低总运费为50600元 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键，掌握一次函数的性质是解题的关键； （1）根据题意求出总费用即可求出关于的函数关系式，再根据粮食的质量是非负数列关于x的不等式组，即可求出自变量x的范围． （2）根据题意列不等式组，再求出整数解即可． （3）根据一次函数的性质可知，时，W取得最小值，求出W的最小值即可． 【详解】（1）解：已知A地运送到甲中心粮食为x吨，A地可运出粮食80吨，则A地运往乙中心的粮食为吨． 甲地需要粮食90吨，A地运往甲中心x吨，所以B地运往甲中心的粮食为吨． 乙地需要粮食50吨，A地运往乙中心吨， 所以B地运往乙中心的粮食为吨． 根据题意，得：， 根据题意，得：， 解得． W关于x的函数关系式为； （2）解：根据题意，得， 解得． x为整数， x的值为48，49，50． 符合条件的x值为48，49，50； （3）解：由（1）可知， ， W随x的增大而增大． ， 当时，W取得最小值． 此时(元) ， 当时，总运费W最低，最低总运费是50600元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $