3.4 一元一次不等式应用（十大题型）（题型专练）数学新教材湘教版七年级下册

3.4一元一次不等式应用 【题型一】列一元一次不等式 【例1】如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯子中（如图2），结果水没有满．设每颗玻璃球的体积为．请列出不等式：______． 【变式1-1】小明参加了某商店的促销活动，设小明购买的商品定价为x元，可列出不等式，则下列情况符合该不等式的是（   ） A．买两件等值的商品可打4折，再减100元，最后不到1500元 B．买两件等值的商品可打6折，再减100元，最后不到1500元 C．买两件等值的商品可减100元，再打4折，最后不到1500元 D．买两件等值的商品可减100元，再打6折，最后不到1500元 【变式1-2】某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了x道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】某苏州特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不少于，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式（    ） A． B． C． D． 【题型二】得分问题 【例3】一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分．小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至多答错了几道题? 【变式2-1】甲、乙两队进行篮球对抗赛，现规定每队胜一场得4分，负一场得2分，双方比赛10场且每一场都赛出胜、负（没有平场），甲队至少要胜多少场才能使得分不少于30分？设甲队胜了x场，则下列不等式正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某中学举行了以“二十大精神”为主题的知识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题倒扣1分，小华有1题没答，大赛组委会规定总得分不低于80分获奖，小华要想获奖，最多只能错多少道题？（列不等式解答） 【变式2-3】（24-25七年级下·北京丰台·期末）3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为 ； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要 人报名参加“24点速算”． 【题型三】数字问题 【例3】三个连续奇数的和不大于27，则有________组这样的正奇数． 【变式3-1】一个两位数，它的十位数上的数字比个位上的数字大2.且这个两位数小于40，则这个两位数是 . 【变式3-2】48．如图，串联在一起的每个曲别针下方挂着一张写有整数的卡片，从左到右的第1个至第3个曲别针所挂卡片上的整数分别为﹣3，﹣1，4． (1)求前三个曲别针所挂卡片上数的积； (2)若前四个曲别针所挂卡片上数的积不大于它们的和，那么第四张卡片上的整数有最大值还是最小值？并求出这个值． 【变式3-3】阅读材料：一个四位自然数各位数字不同且不为0，若它满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这个四位自然数为“双城数”．比如8631，各位数字均不为0且不相同，8+1＝6+3，所以8631是“双城数”． (1)请判断5724，6532是否是“双城数”，并写出判断过程； (2)一个“双城数”A千位数字为2，百位数字为m，个位数字为n，若A的各位数字之和恰为7的倍数，求所有满足题意的“双城数” 【题型四】销售问题 “【例4】在某文具用品商店购买3个篮球和1个足球共花费190元；购买2个篮球和3个足球共花费220元． (1)求购买1个篮球和1个足球各需多少元？ (2)若计划用不超过900元购买篮球和足球共20个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【变式4-1】美佳学校为参加“体育节”的获胜班级购买奖品，第一次用440元同时购进A、B两种型号篮球各8个，其中购进一个A型号篮球比购进一个B型号篮球少5元． (1)求A、B两种型号篮球的进货单价各为多少元？ (2)学校第二次共购进A、B两种型号篮球50个做为奖品，若总金额不高于1450元，最少应购进A型号篮球多少个？ 【变式4-2】某商店欲购进A、B两种商品．若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；购进A种商品6件和B种商品8件需440元． (1)求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？ (2)若该商店每销售1件A种商品可获利8元，每销售1件B种商品可获利6元，该商店准备购进A、B两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总获利不低于344元，则至少购进多少件A商品？ 【变式4-3】某校近期举办了一年一度的戏剧节比赛．某班级因节目需要，须购买A、B两种道具．已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元． (1)购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？ (2)根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过615元．求道具A最多购买多少件？ 【题型五】行程问题 【例5】随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站，他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为（如图）．此时有两种选择： （1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车． 假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】．A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是．学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时的速度返回，在下午4时30分前赶回学校．你认为学校可计划登哪几座山?请说明理由． 【变式5-2】某公园为了方便游客游览，设置了观光接驳车.公园设计的其中一条观光路线上设有，，，四个站点（如图所示），相邻两个站点的距离都是5千米，游客只能在站点上下车.一辆接驳车在，之间往返行驶；一名游客在距离站点千米（）的处徒步游览时.临时有事要赶回站点，此时他正好遇到开往站点的接驳车，他决定走到站点等待刚才那辆车从站点开回.已知接驳车行驶的平均速度为30千米/时，该游寄步行的平均速度为6千米/时，游客上、下车的时间忽略不计 (1)接驳车在，之间往返行驶一次所需时间为_________小时； (2)该游客从处走到站点所需时间为_________小时；（用含的式子表示） (3)如果该游客不晚于接驳车到达了站点，那么当时他离站点的距离最多有多远？ 【变式5-3】如图所示，一条公路上有A，B，C三座城市，A，B两城间的路程是．一天早上，嘉淇乘坐客运班车从城出发，前往城参赛，同时，嘉淇的舅舅驾驶轿车从城前往A城送一个急件．已知客运班车每发一班车，并以的速度匀速行驶． (1)若轿车的速度为，求几点几分时，轿车和嘉淇乘坐的客运班车在途中相遇？ (2)嘉淇乘坐的客运班车从A城出发行驶后突发故障，嘉淇有下列两种方案前往城： 方案①：原地等候下一班客运班车，再乘坐客运班车前往城； 方案②：立即电话联系舅舅，并让舅舅把车速由原来的提至，接上自己后，先陪舅舅一块去A城送急件，之后立即返程，保持的车速前往城． 事后嘉淇发现，选择方案②比选择方案①到达城更早，则B，C两城之间的路程至少是多少km（结果取整数，换乘车、电话通话和交接急件过程所用的时间忽略不计）？ 【题型六】 工程问题 【例6】某车工计划在15天内至少加工零件408个，前3天每天加工零件24个．该车工若在规定的时间内完成任务，此后平均每天需要加工零件（　　） A．最少28个 B．最少29个 C．最多28个 D．最多29个 【变式6-1】现有甲乙两个工程队参加一条道路的施工改造，受条件阻制，每天只能由一个工程队施工．甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务． (1)求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？ (2)要改造的道路全长1300米，工期不能超过30天，那么乙工程队至少施工多少天？ 【变式6-2】有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨． (1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完，请问货运公司最少安排几辆大货车？ 【变式6-3】有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成，已知甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，设两工程队合作施工天． (1)用含的代数式表示甲队单独工作天数； (2)如果甲队每天需工程费7000元，乙队每天需工程费5000元，且支付工程队总费用不超过79000元，请列不等式求出的最大值． 【题型七】几何图形问题 【例7】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某展览馆为适应更多会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长米，宽米的长方形，现计划将其分成两个同样大的长方形展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x米． (1)若一个长方形展览区的宽度至少是通道宽度的倍，求通道的最大宽度； (2)已知通道宽度最终确定为米，工程负责人准备用，两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，用种彩砖铺设展览区每平方米需要元，用B种彩砖铺设展览区每平方米需要元，若铺设展览区的总费用不超过元，求最多购买多少平方米种彩砖？ 【变式7-1】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【变式7-3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的A型长方形纸板和B型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成8张A型长方形纸板或者恰好裁成12张B型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求m的最大值． 【题型八】运输问题 【例8】随着科技兴农不断深化，某果农在科技兴农服务团的帮助下，种植的西瓜喜迎丰收，货物运输成为焦点问题．现有大小两种货车，1辆大货车和2辆小货车一次可以运货9t，3辆大货车和4辆小货车一次可以运货22 t． (1)求1辆大货车、1辆小货车每次分别运货多少吨； (2)目前受疫情影响，大货车数量紧缺，该果农计划共租用8辆货车运走不少于t西瓜，那么至少租几辆大货车？ 【变式8-1】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某超市购进一批水果，运输过程中质量损耗，只计购进水果的费用，其它费用忽略不计． (1)若该超市在进价的基础上提高作为售价，请通过计算说明超市是否亏本； (2)若该超市至少获得的利润，请通过计算说明这种水果的售价最低应提高百分之几？ 【变式8-2】我市某镇组织20辆汽车装运完A，B，C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨脐橙获得/百元 12 16 10 (1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案． (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值． 【变式8-3】某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元．由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存．经市场调查获得以下信息： ①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米； ②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）； ③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费； ④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元． （1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？ （2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务．加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由． 【题型九】方案问题 【例9】某商场上在销售A、B两种型号玩具，已知购买1个A型玩具和2个B型玩具共需180元；购买2个A型玩具和1个B型玩具共需240元． (1)求一个A型玩具和一个B型玩具的价格各是多少元？ (2)小明同学准备购买这两种型号的玩具共12个送给幼儿园，且购买金额不能超过600元，请你帮小明设计购买方案？ (3)在（2）的前提下，若要求A、B两种型号玩具都要购买，且费用最少，请你选择一种最佳的设计方案，并通过计算说明． 【变式9-1】某超市对 A，B 两种商品开展春节促销活动，活动方案有如下两种： 商品 A B 标价（单位：元） 110 160 方案一 每件商品出售价格 按标价打7折 按标价打 a 折 方案二 若所购商品超过10件（不同商品可累计）时，每件商品均按标价打8折后出售 （同一种商品不可同时参与两种活动） (1)某单位购买A商品5件，B 商品4件，共花费961元，求a的值； (2)在（1）的条件下，若某单位购买A商品x件，购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多一件，请问该单位该如何选择才能获得最大优惠？请说明理由． 【变式9-2】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）某污水处理企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行污水处理（两种型号机器人都买）．相关信息如下： 信息一： A型机器人（台） B型机器人（台） 总费用／万元 1 2 20 1 4 32 信息二： 每台每天处理污水质量（吨） A型机器人 36 B型机器人 30 (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过68万元购买A，B两种型号智能机器人共10台．问该企业有几种购买方案？怎样选择才能每天能处理的污水最多？ 【变式9-3】（24-25七年级下·广东广州·期末）某校七年级名学生和位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆，客运公司有、两种型号的客车可供租用已知满员时，辆型客车和辆型客车每次可运送人；辆型客车和辆型客车每次可运送人． (1)求型客车和型客车的载客量分别是多少人？ (2)学校计划租用辆客车，一次运送全部师生到历史博物馆． 最多可以租用多少辆型客车？ 若，两种型号客车的租金分别是元和元，则共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？ 【题型十】 分段收费问题 【例10】美团外卖骑手分为专职和兼职两种，专职骑手月工资4000元保底，每送一单外卖可再得3元；兼职骑手没有保底工资，每送一单外卖可得4元．小张是一名专职美团骑手，小李是一名兼职美团骑手． (1)若10月小张和小李送出的外卖单数相同，且小张比小李多收入了2500元，求小张送出了多少单外卖． (2)根据国家个人所得税率标准，月工资超过5000时，需要交纳个人所得税，税率如下表所示： 级数 工资范围 个人税率 1 不超过5000 0 2 超过5000元至不超过8000元的部分 3% 3 超过8000元至不超过17000元的部分 10% ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ 如果小张在11月交了200元的个人所得税，请问小张在11月送出了多少单外卖？ (3)如果小李在10月和11月两个月共交纳了个人所得税300元，且他每个月的工资都不低于5000元，请直接写出小李在这两个月中最多送出了 　 　单外卖，最少送出了 　 　单外卖． 【变式10-1】“中秋节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“中秋节”当天对一种原来售价相同的月饼分别推出了不同的优惠方案． 甲超市方案：购买该种月饼超过200元后，超出200元的部分按95%收费； 乙超市方案：购买该种月饼超过300元后，超出300元的部分按90%收费． x（单位：元） 实际在甲超市的花费（单位：元） 实际在乙超市的花费（单位：元） 0＜x≤200 x x 200＜x≤300 x x＞300 设某位顾客购买了x元的该种月饼． （1）补充表格，填写在“横线”上； （2）分类讨论，如果顾客在“中秋节”当天购买该种月饼超过200元，那么到哪家超市花费更少？ 【变式10-2】某水果店到水果批发市场采购苹果，师傅看中了甲、乙两家某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同，甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠，乙家的规定如下表： 数量范围（千克） 不超过50的部分 50以上但不超过150的部分 150以上的部分 价格（元） 零售价的95% 零售价的85% 零售价的75% （1）如果师傅要批发240千克苹果选择哪家批发更优惠？ （2）设批发x千克苹果（），问师傅应怎样选择两家批发商所花费用更少？ 【变式10-3】“共享单车”已经成为城市的一道风景，由于其符合低碳出行，绿色出行的理念，为市民带来了极大便利，也越来越引起大家的重视．已知某“共享单车”企业拟采用的收费方式如下： 每月用车时间（小时） 单价（元/小时） 不超过10的部分 2 超过10不超过20的部分 1.5 超过20的部分 1 （1）甲一月份用车28小时，则甲该月车费多少元？ （2）乙二月份的车费平均每小时是1.5元，则乙二月车费是多少元？ （3）丙一、二月份共用车31小时（二月份比1月份多），共用车费54元，试求丙一、二月份各用车多少小时？ 1 .依法纳税是每个公民应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定从2011年9月1日起，公民全月工薪不超过3500部分不必纳税，超过3500元部分为全月应纳税所得税额，此项税额按下表分段累进计算。 全月应纳税所得税额 税率 不超过1500元的 3% 超过1500元至4500元的部分 10% 超出4500元以上 15% （1）若李先生今年10月工薪是4900元，则他应缴纳个人所得税税金是________元。 （2）若陈女士今年10月工薪是9000元则她应缴纳个人所得税金多少元？ （3）若某纳税人的10月月工薪不超过15000元他每月的纳税金额能超过月工薪的8％吗？若能，请给出该纳税人的月工薪。 2．综合与实践： 合肥市某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推． 【规律总结】 （1）按图示规律，第一个图案（图②）的长为 ，第五个图案的长为 ； （2）若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为n（n为正整数），则 （用含n的代数式表示）； 【问题解决】 （3）若要使走廊的长不小于72，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 3．六一儿童节当天，七（1）班同学在公园里举行义卖活动，他们制作了一定数量的爆米花、蛋挞进行销售，已知爆米花和蛋挞成本分别为1.5元/份和2元/份，每份爆米花售价比蛋挞少1元，开始一小时，他们一共售出爆米花20份和蛋挞50份，销售利润为200元． (1)求每份爆米花和蛋挞的售价； (2)临近中午时，他们的销售利润超过了900元，但由于销售量较多，同学们只记得售出爆米花的数量满足份，上午至少售出蛋挞几份？ (3)下午，一部分同学继续出售爆米花和蛋挞，另一部分同学组成团队在现场制作冰淇淋用于义卖，冰淇淋售价为5元/份，租借冰淇淋制作机需要100元，每制作一份冰淇淋需要材料费2元，到结束时，全班同学制作了三种食品共份全部销售一空，爆米花与蛋挞的份数之比为，制作销售冰淇淋的团队也有盈利，且三种食品的销售总利润恰好为2025元，求的最大值． 4．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包A种食品？ 5 （24-25七年级下·吉林长春·期末） 问题背景 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，数学老师带领学生开展项目学习“体育比赛计分”，结合相关调研数据完成任务． 调研 调研：某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 雄鹰 卫星 钢铁 调研：球赛出线是我们经常谈及的话题，它是指比赛中参赛队伍通过比赛成绩达到规定条件获得晋级下一轮比赛的资格．篮球赛单循环赛一般按积分确定名次，经调研，某次篮球赛赛制积分规则与调研相同． 问题解决 任务 根据调研中的数据回答问题： （1）某次篮球联赛积分中，胜一场积______分，负一场积______分，卫星队的积分为______分； （2）求雄鹰队的胜场数和负场数． 任务 根据调研中的数据回答问题：某次篮球赛中，火炬队与月亮队要争夺出线权．火炬队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场；月亮队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场． （3）火炬队已经获得积分为______分； （4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜多少场？ 6（24-25九年级下·海南·阶段练习）综合与实践 背景 【缤纷11．11，优惠送大家】去年双11各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年末大促进入“白热化”．海口各大购物中心早在10月就开始推出11．11活动，进入11月更是持续加码，如图，某商场为迎接11．11优惠节，采购了若干辆购物车． 素材 如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身总长增加． 问题解决 任务1 3辆购物车车身总长是_____； 任务2 若某商场采购了辆购物车，车身总长_____； 任务3 任务4 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 若该商场扶手电梯一次性最多可以运输25辆购物车，若要运输110辆购物车，且最多只能使用扶手电梯和直立电梯共5次，求：共有多少种运输方案？（使用扶手电梯和直立电梯次数相同时为同一运输方案） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4一元一次不等式应用 【题型一】列一元一次不等式 【例1】如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯子中（如图2），结果水没有满．设每颗玻璃球的体积为．请列出不等式：______． 【答案】 【分析】根据水的体积+五颗相同玻璃球的体积小于杯子的容量，即可列出不等式． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是由实际问题抽象出的一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意． 【变式1-1】小明参加了某商店的促销活动，设小明购买的商品定价为x元，可列出不等式，则下列情况符合该不等式的是（   ） A．买两件等值的商品可打4折，再减100元，最后不到1500元 B．买两件等值的商品可打6折，再减100元，最后不到1500元 C．买两件等值的商品可减100元，再打4折，最后不到1500元 D．买两件等值的商品可减100元，再打6折，最后不到1500元 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出题目中的关系式表示的含义． 根据，可以理解为买两件该商品减100元，再打4折得出总价小于1500元． 【详解】解：由题意得，表示买两件等值的商品可减100元，再打4折，最后不到1500元， 故选：C． 【变式1-2】某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了x道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设答对x道，则答错道，根据成绩超过了60分列不等式求解即可. 【详解】解：设答对x道，则答错道，由题意得 ， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据实际问题中的条件列不等式时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出不等关系，列出不等式式是解题关键． 【变式1-3】某苏州特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不少于，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按标价×折扣-进价＝进价×利润率列式即可． 【详解】解：∵进价为每盒100元，标价为150元，要保证利润率不少于5%， ∴ 故选C． 【点睛】本题主要考查不等式的应用，能够熟练通过条件列不等式是解题关键． 【题型二】得分问题 【例3】一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分．小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至多答错了几道题? 【答案】小聪至多答错了道题 【分析】设小聪答对了x道题，则答错了道题，根据总分答对题目数答错题目数，结合总分超过80分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论． 【详解】设小聪答对了x道题，则答错了道题， 依题意，得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为17． 即最少答对17题， ∴小聪至多答错了道题． 答：小聪至多答错了道题． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【变式2-1】甲、乙两队进行篮球对抗赛，现规定每队胜一场得4分，负一场得2分，双方比赛10场且每一场都赛出胜、负（没有平场），甲队至少要胜多少场才能使得分不少于30分？设甲队胜了x场，则下列不等式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出不等关系，列出不等式求解．设甲队胜了x场，根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设甲队胜了x场， 则， 故选：D． 【变式2-2】为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某中学举行了以“二十大精神”为主题的知识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题倒扣1分，小华有1题没答，大赛组委会规定总得分不低于80分获奖，小华要想获奖，最多只能错多少道题？（列不等式解答） 【来源】四川省成都市锦江区四川师范大学附属中学2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题 【答案】小华要想获奖，最多只能错道题 【分析】设小华错道题，则答对了道题，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】设小华错道题，则答对了道题，依题意，得， 解得： ∵为整数， ∴的最大值为， 答：小华要想获奖，最多只能错道题． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键． 【变式2-3】（24-25七年级下·北京丰台·期末）3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为 ； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要 人报名参加“24点速算”． 【答案】 176分 15 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）求出只参加一项的人数再进行计算即可； （2）设七年级2班报名参加“24点速算”有人，且同时参加两项的有人，根据题意列不等式讨论求解即可． 【详解】解：（1）七年级1班参加一项的人数为：人， 积分为：（分）， 故答案为：176分； （2）设七年级2班报名参加“24点速算”有人，且同时参加两项的有人（且）， 总积分为：， ∴， ∴， 当时，的最大值为22， ∴，即， 所以，的最小值为15.， 即至少需要15人报名参加“24点速算”， 故答案为：15． 【题型三】数字问题 【例3】三个连续奇数的和不大于27，则有________组这样的正奇数． 【答案】4 【分析】设三个数中最小的数为，则另外两个数分别为，，根据三个数的和不大于27，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合为正奇数，即可得出这样的正奇数一共有4组． 【详解】解：设三个数中最小的数为，则另外两个数分别为，， 依题意得：， 解得：， 又为正奇数， 可以取1，3，5，7， 这样的正奇数一共有4组． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式3-1】一个两位数，它的十位数上的数字比个位上的数字大2.且这个两位数小于40，则这个两位数是 . 【答案】31或20 【分析】首先设个位数字为x，则十位数字为x+2，即可以列出不等式求解. 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为x+2，由题意得 10（x+2）+x＜40 解得： 因为x是非负整数， 所以x=1或0，该数的个位数字为1或0，则十位数字是3或2，故这个两位数为31或20． 故答案为31或20． 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，理解题意，找出不等关系列出不等式即可求解． 【变式3-2】48．如图，串联在一起的每个曲别针下方挂着一张写有整数的卡片，从左到右的第1个至第3个曲别针所挂卡片上的整数分别为﹣3，﹣1，4． (1)求前三个曲别针所挂卡片上数的积； (2)若前四个曲别针所挂卡片上数的积不大于它们的和，那么第四张卡片上的整数有最大值还是最小值？并求出这个值． 【答案】(1) (2)第四张卡片上的整数有最大值为0 【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解； （2）设张卡片上的整数为，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． （1）解：； （2）解：设张卡片上的整数为，根据题意可得， ， 即， 解得， ∵为整数， ∴第四张卡片上的整数有最大值为0． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，一元一次不等式的应用，正确的计算是解题的关键． 【变式3-3】阅读材料：一个四位自然数各位数字不同且不为0，若它满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这个四位自然数为“双城数”．比如8631，各位数字均不为0且不相同，8+1＝6+3，所以8631是“双城数”． (1)请判断5724，6532是否是“双城数”，并写出判断过程； (2)一个“双城数”A千位数字为2，百位数字为m，个位数字为n，若A的各位数字之和恰为7的倍数，求所有满足题意的“双城数” 【答案】(1)5724，6532都是“双城数” (2)2165、2345、2435、2615 【分析】（1）根据“双城数”的定义判断即可； （2）根据“双城数”的定义可确定该“双城数”十位数字为．再结合题意可知（k为正整数），由“双城数”的定义可知或且为整数，在分类讨论列出等式和不等式，即可求出答案． （1） ∵5724各位数字不同且不为0，5+4=7+2=9， ∴5724是“双城数”； ∵6532各位数字不同且不为0，6+2=5+3=8， ∴6532是“双城数”； （2） 由题意可知该“双城数”十位数字为． ∵A的各位数字之和恰为7的倍数， ∴（k为正整数）， 整理，得：， ∵或且为整数， ∴当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得： ∴k可取2和3． 当时，，即此时千位数字为2，个位数字为5， ∴此时该“双城数”可为2165、2345、2435、2615、2075（不合题意，舍去），2705（不合题意，舍去）； 当时，，不符合题意． 综上可知，满足题意的“双城数”为2165、2345、2435、2615． 【点睛】本题考查新定义，学生的阅读理解能力和知识迁移能力，解一元一次不等式组．理解“双城数”的定义是解题关键． 【题型四】销售问题 “【例4】在某文具用品商店购买3个篮球和1个足球共花费190元；购买2个篮球和3个足球共花费220元． (1)求购买1个篮球和1个足球各需多少元？ (2)若计划用不超过900元购买篮球和足球共20个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买1个篮球需要50元，1个足球需要40元 (2)10个 【分析】（1）设购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元，根据“购买3个篮球和1个足球共花费190元；购买2个篮球和3个足球共花费220元”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设可以购买m个篮球，则购买个足球，利用总价=单价×数量，结合总价不超过900元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元， 根据题意得：, 解得：， 答：购买1个篮球需要50元，1个足球需要40元； （2）设可以购买m个篮球，则购买个足球， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为10． 答：最多可以购买10个篮球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式4-1】美佳学校为参加“体育节”的获胜班级购买奖品，第一次用440元同时购进A、B两种型号篮球各8个，其中购进一个A型号篮球比购进一个B型号篮球少5元． (1)求A、B两种型号篮球的进货单价各为多少元？ (2)学校第二次共购进A、B两种型号篮球50个做为奖品，若总金额不高于1450元，最少应购进A型号篮球多少个？ 【答案】(1)A型号篮球的进货单价为25元，B型号篮球的进货单价为30元 (2)最少应购进A型号篮球10个 【分析】（1）设A型号篮球的进货单价为x元，则B型号篮球的进货单价为元，根据单价乘以数量等于总价列一元一次方程，即可求解； （2）根据总金额不高于1450元，列一元一次不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设A型号篮球的进货单价为x元，则B型号篮球的进货单价为元， 由题意知， 解得，， 即A型号篮球的进货单价为25元，B型号篮球的进货单价为30元． （2）解：设购进A型号篮球m个， 则， 解得， 即最少应购进A型号篮球10个． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程和不等式． 【变式4-2】某商店欲购进A、B两种商品．若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；购进A种商品6件和B种商品8件需440元． (1)求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？ (2)若该商店每销售1件A种商品可获利8元，每销售1件B种商品可获利6元，该商店准备购进A、B两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总获利不低于344元，则至少购进多少件A商品？ 【答案】(1)40，25 (2)22 【分析】（1）分别设A、B两种商品进价为x、y元，由题意可列出方程组，求解即可． （2）设A种商品x件，则B种商品为件，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）设A、B两种商品进价分别为x、y元，根据题意可得： 解得： ∴A种商品每件的进价为40元，B种商品每件的进价为25元． （2）设购进A种商品x件，则B种商品为件，根据题意可得： 解得： ∴至少购进22件A商品． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用与解法及一元一次不等式的实际应用与解法，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【变式4-3】某校近期举办了一年一度的戏剧节比赛．某班级因节目需要，须购买A、B两种道具．已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元． (1)购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？ (2)根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过615元．求道具A最多购买多少件？ 【答案】(1)购买1件A道具需要15元，1件B道具需要5元 (2)道具A最多购买31件 【分析】（1）设购买1件A道具需要x元，1件B道具需要y元，利用总价=单价×数量，结合“购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A道具m件，则购买B道具件，利用总价=单价×数量，结合购买两种道具的总费用不超过615元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）设购买1件A道具需要x元，1件B道具需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买1件A道具需要15元，1件B道具需要5元． （2）设购买A道具m件，则购买B道具件， 依题意得：， 解得：． 答：道具A最多购买31件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【题型五】行程问题 【例5】随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站，他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为（如图）．此时有两种选择： （1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车． 假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设看手机时小明到A站的距离为，到B站的距离为．到A公交站，由小明到A站所用时间不能多于公交车到A站所用时间，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可求出x的取值范围；到B公交站，由小明到B站所用时间不能多于公交车到B站所用时间，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可求出y的取值范围，进而可得出的取值范围，再取其最大值即可得出结论． 【详解】解：设看手机时小明到A站的距离为，到B站的距离为． 到A公交站：， 解得：； 到B公交站：， 解得：． ∴， 即A，B两公交站之间的距离最大为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【变式5-1】．A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是．学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时的速度返回，在下午4时30分前赶回学校．你认为学校可计划登哪几座山?请说明理由． 【答案】、两座小山符合计划． 【分析】设路程为千米，根据在下午4时30分前赶回学校，得出不等式求出的取值范围，继而可作出判断． 【详解】解：设路程为千米， 出发时间为，回家时间，总共花费时间8.5小时，活动时间加登山下山时间为1.5小时， ， 解得：， 、两座小山符合计划． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是设出未知数，求出路程的范围． 【变式5-2】某公园为了方便游客游览，设置了观光接驳车.公园设计的其中一条观光路线上设有，，，四个站点（如图所示），相邻两个站点的距离都是5千米，游客只能在站点上下车.一辆接驳车在，之间往返行驶；一名游客在距离站点千米（）的处徒步游览时.临时有事要赶回站点，此时他正好遇到开往站点的接驳车，他决定走到站点等待刚才那辆车从站点开回.已知接驳车行驶的平均速度为30千米/时，该游寄步行的平均速度为6千米/时，游客上、下车的时间忽略不计 (1)接驳车在，之间往返行驶一次所需时间为_________小时； (2)该游客从处走到站点所需时间为_________小时；（用含的式子表示） (3)如果该游客不晚于接驳车到达了站点，那么当时他离站点的距离最多有多远？ 【答案】(1)1 (2) (3)该游客离站点的距离最远为千米 【分析】（1）根据时间=路程÷速度进行计算即可； （2）根据时间=路程÷速度进行计算即可； （3）根据题意列一元一次不等式进行解题即可． （1） 解：（小时），故答案为：1； （2） 解：游客从处走到站点所需时间为：（小时） （3） 解：由题意得：， 解得 答：该游客离站点的距离最远为千米． 【点睛】本题考查一元一次不等式得实际应用，根据题意准确的列出一元一次不等式是解题的关键． 【变式5-3】如图所示，一条公路上有A，B，C三座城市，A，B两城间的路程是．一天早上，嘉淇乘坐客运班车从城出发，前往城参赛，同时，嘉淇的舅舅驾驶轿车从城前往A城送一个急件．已知客运班车每发一班车，并以的速度匀速行驶． (1)若轿车的速度为，求几点几分时，轿车和嘉淇乘坐的客运班车在途中相遇？ (2)嘉淇乘坐的客运班车从A城出发行驶后突发故障，嘉淇有下列两种方案前往城： 方案①：原地等候下一班客运班车，再乘坐客运班车前往城； 方案②：立即电话联系舅舅，并让舅舅把车速由原来的提至，接上自己后，先陪舅舅一块去A城送急件，之后立即返程，保持的车速前往城． 事后嘉淇发现，选择方案②比选择方案①到达城更早，则B，C两城之间的路程至少是多少km（结果取整数，换乘车、电话通话和交接急件过程所用的时间忽略不计）？ 【答案】(1)7点50分 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式的应用行程问题．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设早上出发后，经x小时轿车和客运班车相遇，列出一元一次方程，求解即可； （2）设B，C两城之间的路程是，先确定客运班车突发故障时，嘉淇和舅舅尚未相遇；此时，轿车距离A城还有，再根据选择方案②比选择方案①到达城更早，列出一元一次不等式，求出最小整数值即可． 【详解】（1）解∶设早上出发后，经x小时轿车和客运班车相遇， 依据题意，得 解得　， 而， 答：7点50分时，轿车和嘉淇乘坐的客运班车在途中相遇． （2）因为，所以客运班车突发故障时，嘉淇和舅舅尚未相遇； 此时，轿车距离A城还有． 设B，C两城之间的路程是， 依据题意，得 整理，得． 所以，的最小整数值为44． 答：B，C两城之间的路程至少是． 【题型六】 工程问题 【例6】某车工计划在15天内至少加工零件408个，前3天每天加工零件24个．该车工若在规定的时间内完成任务，此后平均每天需要加工零件（　　） A．最少28个 B．最少29个 C．最多28个 D．最多29个 【答案】A 【分析】设此后平均每天加工x个零件，根据“在15天内至少加工零件408个”列不等式求解即可． 【详解】解：设此后平均每天加工x个零件， 依题意得：3×24＋（15-3）x≥408， 解得：x≥28， ∴x的最小值为28， ∴该车工若在规定的时间内完成任务，此后平均每天需要加工零件最少28个， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 【变式6-1】现有甲乙两个工程队参加一条道路的施工改造，受条件阻制，每天只能由一个工程队施工．甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务． (1)求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？ (2)要改造的道路全长1300米，工期不能超过30天，那么乙工程队至少施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成施工任务30米，乙工程队每天能完成施工任务50米 (2)乙工程队至少施工20天 【分析】（1）设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，然后根据甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成340米施工任务；甲工程队先单独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成260米的施工任务建立方程求解即可； （2）设乙工程队施工天，根据时间任务量每天的工作任务列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米． 根据题意得：， 解得： 答：甲工程队每天能完成施工任务30米，乙工程队每天能完成施工任务50米． （2）解：设乙工程队施工天． 根据题意得：， 解得： 答：乙工程队至少施工20天． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程，找到不等关系建立不等式是解题的关键． 【变式6-2】有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨． (1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完，请问货运公司最少安排几辆大货车？ 【答案】(1)4,1.5 (2)8 【分析】（1）设1辆大货车一次运货x吨，1辆小货车一次运货y吨，依题意列二元一次方程组求解即可； （2）设货物公司安排大货车m辆，则小货车需要安排辆，根据题意，列一元一次不等式求整数解即可； 【详解】（1）设1辆大货车一次运货x吨，1辆小货车一次运货y吨， ， 得 把代入①，得 ， ； （2）设货物公司安排大货车m辆，则小货车需要安排辆， 解得：； ∵m为正整数， ∴m最小可以取8 答：该货物公司至少安排辆大货车． 【点睛】本题考查了方程组和不等式应用．理解题意中的数量关系，正确的列出方程组或不等式是解题的关键． 【变式6-3】有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成，已知甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，设两工程队合作施工天． (1)用含的代数式表示甲队单独工作天数； (2)如果甲队每天需工程费7000元，乙队每天需工程费5000元，且支付工程队总费用不超过79000元，请列不等式求出的最大值． 【答案】(1)甲队单独工作天数为天 (2)6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出关系式是解答本题的关键． （1）设甲队单独工作t天，根据“甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，设两工程队合作施工天，共修6000米长”列出二元一次方程求解即可； （2）根据支付工程队总费用不超过79000元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲队单独工作t天，根据题意得， ， 解得，， 所以，甲队单独工作天数为天； （2）解：根据题意得，， 化简得， 解得，， 所以，的最大值为6． 【题型七】几何图形问题 【例7】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某展览馆为适应更多会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长米，宽米的长方形，现计划将其分成两个同样大的长方形展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x米． (1)若一个长方形展览区的宽度至少是通道宽度的倍，求通道的最大宽度； (2)已知通道宽度最终确定为米，工程负责人准备用，两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，用种彩砖铺设展览区每平方米需要元，用B种彩砖铺设展览区每平方米需要元，若铺设展览区的总费用不超过元，求最多购买多少平方米种彩砖？ 【答案】(1)通道的最大宽度为米 (2)最多购买平方米种彩砖 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，列不等式． （1）根据题意列不等式，解不等式即可； （2）根据题意列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 答：通道的最大宽度为4米． （2）解：当通道宽度为4米时， 展览区的长为（米）， 展览区的宽为（米）， 展览区的总面积为（平方米）， 设购买平方米种彩砖，则购买平方米种彩砖， 由题意得，， 解得，， 答：最多购买平方米种彩砖． 【变式7-1】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 【变式7-2】如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 【变式7-3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的A型长方形纸板和B型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成8张A型长方形纸板或者恰好裁成12张B型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求m的最大值． 【答案】(1)3，4 (2)可制作横式纸盒16个，竖式纸盒4个 (3)16 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）根据图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒即可得出答案； （2）设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据用8张大纸板裁成A型长方形纸板，用3张大纸板剪裁B型正方形纸板，且裁成的A、B两种型号纸板恰好都用完，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）根据制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知：1个横式无盖长方体纸盒需要3张A型和2张B型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张A型和1张B型； （2）解：设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个， 由题意得： 解得， 答：可制作横式纸盒16个，竖式纸盒4个； （3）解：由题意得， 解得：， ∴m的最大值为16． 【题型八】运输问题 【例8】随着科技兴农不断深化，某果农在科技兴农服务团的帮助下，种植的西瓜喜迎丰收，货物运输成为焦点问题．现有大小两种货车，1辆大货车和2辆小货车一次可以运货9t，3辆大货车和4辆小货车一次可以运货22 t． (1)求1辆大货车、1辆小货车每次分别运货多少吨； (2)目前受疫情影响，大货车数量紧缺，该果农计划共租用8辆货车运走不少于t西瓜，那么至少租几辆大货车？ 【答案】(1)1辆大货车每次运货4吨，1辆小货车每次运货2.5吨 (2)至少租 5 台大货车 【分析】（1）设1辆大货车一次可以运货x吨， 1辆小货车一次可以运货y吨，根据“1辆大货车和2辆小货车一次可以运货9t，3辆大货车和4辆小货车一次可以运货22 t”列方程组求解即可； （2）设果农租用大货车m辆，则安排小货车(8-m)辆，根据“果农计划运走不少于t西瓜”列出不等式，求解不等式确定m的值即可． （1） 解：设1辆大货车一次可以运货x吨， 1辆小货车一次可以运货y吨，根据题意得： ， 解得 ， 答：1辆大货车每次运货4吨，1辆小货车每次运货2.5吨； （2） 解：设果农租用大货车m辆，则安排小货车(8-m)辆，根据题意得： 4m+2.5(8-m)≥27.5， 解得：m≥5， ∴至少租 5 台大货车． 【点睛】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是理清等量关系和不等关系列出方程组和不等式． 【变式8-1】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某超市购进一批水果，运输过程中质量损耗，只计购进水果的费用，其它费用忽略不计． (1)若该超市在进价的基础上提高作为售价，请通过计算说明超市是否亏本； (2)若该超市至少获得的利润，请通过计算说明这种水果的售价最低应提高百分之几？ 【答案】(1)超市亏本 (2)这种水果的售价最低应提高 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式． （1）设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的进价为n元，由，知这一次销售中超市亏本； （2）设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的进价为n元，这种水果的售价应提高，根据超市至少获得的利润得，解出x范围可得答案． 【详解】（1）解：设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的进价为n元， 超市最终的销售额为元， 因为， 所以这一次销售中，超市亏本． （2）设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的进价为n元，设这种水果的售价最低应提高， 依题意得：， 解得： 所以这种水果的售价最低应提高． 【变式8-2】我市某镇组织20辆汽车装运完A，B，C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨脐橙获得/百元 12 16 10 (1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案． (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值． 【答案】(1)y＝－2x＋20（0≤x≤10，且x为整数） (2)安排方案共有5种，方案一：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车；方案二：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车；方案三：装运A种脐橙6车，B种脐橙8车，C种脐橙6车；方案四：装运A种脐橙7车，B种脐橙6车，C种脐橙7车；方案五：装运A种脐橙8车，B种脐橙4车，C种脐橙8车； (3)装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车获利最大，最大为14．08万元． 【分析】（1）等量关系为：车辆数之和=20； （2）由（1）知，装运A，B，C三种脐橙的车辆数分别为x，－2x＋20，x，由题意得－2x＋20≥4，于是解得4≤x≤8，从而得x的值为4，5，6，7，8，即可求解各种方案； （3）总利润为：装运A种脐橙的车辆数×6×12+装运B种脐橙的车辆数×5×16+装运C种脐橙的车辆数×4×10，然后按x的取值来判定即可． （1） 解：根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为（20－x－y），则有6x＋5y＋4（20－x－y）＝100，整理得y＝－2x＋20（0≤x≤10，且x为整数）． （2） 解：由（1）知，装运A，B，C三种脐橙的车辆数分别为x，－2x＋20，x，由题意得－2x＋20≥4，解得x≤8． 又∵x≥4， ∴4≤x≤8． ∵x为整数， ∴x的值为4，5，6，7，8， ∴安排方案共有5种． 方案一：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车； 方案二：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车； 方案三：装运A种脐橙6车，B种脐橙8车，C种脐橙6车； 方案四：装运A种脐橙7车，B种脐橙6车，C种脐橙7车； 方案五：装运A种脐橙8车，B种脐橙4车，C种脐橙8车． （3）设利润为W百元，则W＝6x×12＋5（－2x＋20）×16＋4x×10＝－48x＋1600（4≤x≤8）． ∵－48＜0， ∴W的值随x的增大而减小． ∴故选方案一，W最大＝－48×4＋1 600＝1 408（百元）＝14．08（万元）． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用以及不等式的实际应用，以及一次函数与方案问题，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装载的几种方案是解决本题的关键． 【变式8-3】某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元．由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存．经市场调查获得以下信息： ①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米； ②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）； ③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费； ④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元． （1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？ （2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务．加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由． 【答案】（1）加工厂购进A种原料25吨，B种原料15吨；（2）当m﹣n＜0，即a＜b时，方案一运输总花费少，当m﹣n＝0，即a＝b时，两种运输总花费相等，当m﹣n＞0，即a＞b时，方案二运输总花费少，见解析 【分析】（1）设加工厂购进种原料吨，种原料吨，由题意：某加工厂用52500元购进、两种原料共40吨，其中原料每吨1500元，原料每吨1000元．列方程组，解方程组即可； （2）设公路运输的单价为元，铁路运输的单价为元，有两种方案，方案一：原料公路运输，原料铁路运输；方案二：原料铁路运输，原料公路运输；设方案一的运输总花费为元，方案二的运输总花费为元，分别求出、，再分情况讨论即可． 【详解】解：（1）设加工厂购进种原料吨，种原料吨， 由题意得：， 解得：， 答：加工厂购进种原料25吨，种原料15吨； （2）设公路运输的单价为元，铁路运输的单价为元， 根据题意，有两种方案， 方案一：原料公路运输，原料铁路运输； 方案二：原料铁路运输，原料公路运输； 设方案一的运输总花费为元，方案二的运输总花费为元， 则， ， ， 当，即时，方案一运输总花费少，即原料公路运输，原料铁路运输，总花费少； 当，即时，两种运输总花费相等； 当，即时，方案二运输总花费少，即原料铁路运输，原料公路运输，总花费少． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用等知识；解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式或一元一次方程． 【题型九】方案问题 【例9】某商场上在销售A、B两种型号玩具，已知购买1个A型玩具和2个B型玩具共需180元；购买2个A型玩具和1个B型玩具共需240元． (1)求一个A型玩具和一个B型玩具的价格各是多少元？ (2)小明同学准备购买这两种型号的玩具共12个送给幼儿园，且购买金额不能超过600元，请你帮小明设计购买方案？ (3)在（2）的前提下，若要求A、B两种型号玩具都要购买，且费用最少，请你选择一种最佳的设计方案，并通过计算说明． 【答案】(1)一个A型玩具的价格是元，一个B型玩具的价格是元 (2)方案1：购买A型玩具个，B型玩具12个；方案2：购买A型玩具个，B型玩具11个；方案3：购买A型玩具个，B型玩具10个 (3)方案2，购买A型玩具个，B型玩具个 【分析】（1）设一个A型玩具的价格为x元，一个B型玩具的价格为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买a个A型玩具，则购买个B型玩具，根据“总价单价数量”结合购买总金额不能超过600元，即可得出关于a的一元一次不等式，求出a的取值范围，再结合a为非负整数即可得出各购买方案； （3）利用“总价单价数量”，分别求出方案2和方案3所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设一个A型玩具的价格为x元，一个B型玩具的价格为y元， 则根据题意，得， 解得， 即一个A型玩具的价格是元，一个B型玩具的价格是元； （2）解：设购买A型玩具个，B型玩具个， 则根据题意，得， 解得， 为非负整数， 或或， 购买方案有三种，分别是： 方案1：购买A型玩具个，B型玩具12个， 方案2：购买A型玩具个，B型玩具11个， 方案3：购买A型玩具个，B型玩具10个； （3）解：应选择方案2，购买A型玩具个，B型玩具个．理由如下： 方案2需费用为：（元）， 方案3需费用为：（元）， ， 方案2购买A型玩具个，B型玩具个费用最少． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组和一元一次不等式． 【变式9-1】某超市对 A，B 两种商品开展春节促销活动，活动方案有如下两种： 商品 A B 标价（单位：元） 110 160 方案一 每件商品出售价格 按标价打7折 按标价打 a 折 方案二 若所购商品超过10件（不同商品可累计）时，每件商品均按标价打8折后出售 （同一种商品不可同时参与两种活动） (1)某单位购买A商品5件，B 商品4件，共花费961元，求a的值； (2)在（1）的条件下，若某单位购买A商品x件，购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多一件，请问该单位该如何选择才能获得最大优惠？请说明理由． 【答案】(1)9 (2)当时，选择方案一才能获得最大优惠，当时选择方案二才能获得最大优惠 【分析】（1）先求出商品A和B每件的出售价格，再由其出售的件数和总费用即可列出关于的一元一次方程，求解即可； （2）可知B商品购买的件数为件，表示出方案一和方案二的总费用，比较即可确定选择方案． 【详解】（1）商品A每件的出售价格为（元），商品B每件的出售价格为（元）， 根据题意得： 解得 所以的值为9． （2）若某单位购买商品件，则购买B商品件， 当，即时，只能选择方案一得最大优惠 当，即时， 方案一中商品B每件的出售价格为（元），总费用为； 方案二的总费用为， 当时选择方案二才能获得最大优惠， 综合上述，当时，选择方案一才能获得最大优惠，当时选择方案二才能获得最大优惠． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找准题中等量关系列出一元一次方程是解题的关键． 【变式9-2】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）某污水处理企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行污水处理（两种型号机器人都买）．相关信息如下： 信息一： A型机器人（台） B型机器人（台） 总费用／万元 1 2 20 1 4 32 信息二： 每台每天处理污水质量（吨） A型机器人 36 B型机器人 30 (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过68万元购买A，B两种型号智能机器人共10台．问该企业有几种购买方案？怎样选择才能每天能处理的污水最多？ 【答案】(1)A型机器人的单价为万元，B型机器人的单价为万元； (2)共有四种方案，其中，方案一：A型机器人有台，则B型机器人有台，处理污水为（吨），每天处理污水最多． 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设A型机器人的单价为万元，B型机器人的单价为万元，由此列二元一次方程组即可求解； （2）设A型机器人有台，则B型机器人有台，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A型机器人的单价为万元，B型机器人的单价为万元， ∴， 解得，， ∴A型机器人的单价为万元，B型机器人的单价为万元； （2）解：设A型机器人有台，则B型机器人有台， ∴， 解得，， 方案一：A型机器人有台，则B型机器人有台，处理污水为（吨）， 方案二：A型机器人有台，则B型机器人有台，处理污水为（吨）， 方案三：A型机器人有台，则B型机器人有台，处理污水为（吨）， 方案四：A型机器人有台，则B型机器人有台，处理污水为（吨）， ∴共有四种方案，其中，方案一：A型机器人有台，则B型机器人有台，处理污水为（吨），每天处理污水最多． 【变式9-3】（24-25七年级下·广东广州·期末）某校七年级名学生和位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆，客运公司有、两种型号的客车可供租用已知满员时，辆型客车和辆型客车每次可运送人；辆型客车和辆型客车每次可运送人． (1)求型客车和型客车的载客量分别是多少人？ (2)学校计划租用辆客车，一次运送全部师生到历史博物馆． 最多可以租用多少辆型客车？ 若，两种型号客车的租金分别是元和元，则共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？ 【答案】(1)型客车的载客量为人，型客车的载客量为人； (2)最多可以租用辆型客车；共有种租车方案，租用辆型客车，辆型客车的租金最低 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用； （1）设型客车的载客量为人，型客车的载客量为人，根据辆型客车和辆型客车每次可运送人；辆型客车和辆型客车每次可运送人；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设可以租用辆型客车，则可以租用辆型客车，根据一次运送全部师生到历史博物馆，列出一元一次不等式，解不等式即可； 由可知，，，，共有种租车方案，再分别求出种方案的租金，然后比较即可． 【详解】（1）解：设型客车的载客量为人，型客车的载客量为人， 根据题意得：， 解得：， 答：型客车的载客量为人，型客车的载客量为人； （2）解：设可以租用辆型客车，则可以租用辆型客车， 由题意得：， 解得：， 为非负整数， 的最大值为， 答：最多可以租用辆型客车； 由可知，，，， 共有种租车方案： 方案：租用辆型客车，租金为元； 方案：租用辆型客车，辆型客车，租金为元； 方案：租用辆型客车，辆型客车，租金为元； ， 租用辆型客车，辆型客车的租金最低， 答：共有种租车方案，租用辆型客车，辆型客车的租金最低． 【题型十】 分段收费问题 【例10】美团外卖骑手分为专职和兼职两种，专职骑手月工资4000元保底，每送一单外卖可再得3元；兼职骑手没有保底工资，每送一单外卖可得4元．小张是一名专职美团骑手，小李是一名兼职美团骑手． (1)若10月小张和小李送出的外卖单数相同，且小张比小李多收入了2500元，求小张送出了多少单外卖． (2)根据国家个人所得税率标准，月工资超过5000时，需要交纳个人所得税，税率如下表所示： 级数 工资范围 个人税率 1 不超过5000 0 2 超过5000元至不超过8000元的部分 3% 3 超过8000元至不超过17000元的部分 10% ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ 如果小张在11月交了200元的个人所得税，请问小张在11月送出了多少单外卖？ (3)如果小李在10月和11月两个月共交纳了个人所得税300元，且他每个月的工资都不低于5000元，请直接写出小李在这两个月中最多送出了 　 　单外卖，最少送出了 　 　单外卖． 【答案】(1)小张送出了1500单外卖 (2)小张11月份送了1700单外卖 (3)4300，3775 【分析】（1）设小张送出了送出了a单，根据小张比小李多收入了2500元，建立方程求解即可； （2）先表示小张送的钱数，再表格中的数据可以表示小张的个人所得税，建立方程求解即可； （3）设小李10月和11月的月收入中，收入较少的月收入为w元，收入较多的月收入为z元，分两种情况讨论，即可. 【详解】（1）解：设小张送出了送出了a单，则小李也送出了a单， 根据题意可得，4000＋3a−4a＝2500，解得a＝1500， ∴小张送出了1500单外卖； （2）∵（8000−5000）×3%＝90， 90＜200， ∴小张的收入高于8000， 设小张送出了送出了b单， 则小张的收入为4000＋3b， ∴3000×3%＋（4000＋3b−8000）×10%＝200， 解得b＝1700， ∴小张11月份送了1700单外卖； （3）设小李10月和11月的月收入中，收入较少的月收入为w元，送出的外卖单数为单， 收入较多的月收入为z元，则送出的外卖单数为单，两月送出总单数为（单）， 由（2）知：月收入为8000元应交纳个人所得税90元；月收入为17000元应交纳个人所得税990， 他每个月的工资都不低于5000元，由题意，当5000≤w≤8000时， 则8000＜z＜17000 可得(w-5000)×3%＋90＋(z-8000)×10%=300 整理，得z=11600-0.3w 总单数为：． >0，5000≤w≤8000 总单数随w的增大而增大，当w=5000时，总单数最少为×5000+2900=3775（单）； 当w=8000时，总单数最多为×8000+2900=4300（单)； 当两个月工资都大于8000元，且不超过17000元，由题意，得 90+(w-8000)×10%+90+(z-8000)×10%=300 整理，得w+z=17200 总单数为： 综上所述，小李在这两个月中最多送出了4300单外卖，最少送出了3775单外卖． 故答案是：4300，3775． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用税收标准和分类讨论的方法解答． 【变式10-1】“中秋节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“中秋节”当天对一种原来售价相同的月饼分别推出了不同的优惠方案． 甲超市方案：购买该种月饼超过200元后，超出200元的部分按95%收费； 乙超市方案：购买该种月饼超过300元后，超出300元的部分按90%收费． x（单位：元） 实际在甲超市的花费（单位：元） 实际在乙超市的花费（单位：元） 0＜x≤200 x x 200＜x≤300 x x＞300 设某位顾客购买了x元的该种月饼． （1）补充表格，填写在“横线”上； （2）分类讨论，如果顾客在“中秋节”当天购买该种月饼超过200元，那么到哪家超市花费更少？ 【答案】；；；（2）当顾客在“中秋节”当天购买该种月饼超过200元不超过400元时，选择甲超市花费更少；当购买该种月饼400元时，选择两家超市花费相同；当购买该种月饼超过400元时，选择乙超市花费更少 【分析】（1）当时，利用实际在甲超市的花费超过200元的费用可求出实际在甲超市的花费；当时，利用实际在乙超市的花费超过300元的费用可求出实际在乙超市的花费； （2）当时，显然选择甲超市花费更少；当时，分，及三种情况求出的取值范围（或的值），进而可得出结论． 【详解】解：（1）当时，实际在甲超市的花费为元； 当时，实际在甲超市的花费为元， 实际在乙超市的花费为元． 故答案为：；；． （2）当时，显然选择甲超市花费更少； 当时，若， 解得：； 若， 解得：； 若， 解得：． 答：当顾客在“中秋节”当天购买该种月饼超过200元不超过400元时，选择甲超市花费更少；当购买该种月饼400元时，选择两家超市花费相同；当购买该种月饼超过400元时，选择乙超市花费更少． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各数量；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）． 【变式10-2】某水果店到水果批发市场采购苹果，师傅看中了甲、乙两家某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同，甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠，乙家的规定如下表： 数量范围（千克） 不超过50的部分 50以上但不超过150的部分 150以上的部分 价格（元） 零售价的95% 零售价的85% 零售价的75% （1）如果师傅要批发240千克苹果选择哪家批发更优惠？ （2）设批发x千克苹果（），问师傅应怎样选择两家批发商所花费用更少？ 【答案】（1）在乙家批发更优惠；（2）当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少． 【分析】（1）分别求出在甲、乙两家批发240千克苹果所需费用，比较后即可得出结论； （2）分两种情况：①若100<x≤150时，②若x>150时，分别用含x的代数式表示出在甲、乙两家批发x千克苹果所需费用， 再比较大小，列出不等式，求出x的范围，即可得到结论． 【详解】（1）在甲家批发所需费用为：240×8×85%=1632（元）， 在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(150−50)×8×85%+(240−150)×8×75%=1600（元）， ∵1632>1600， ∴在乙家批发更优惠； （2）①若100<x≤150时， 在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x， 在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(x−50)×8×85%=6.8x+40， ∵6.8x＜6.8x+40， ∴师傅应选择甲家批发商所花费用更少； ②若x>150时， 在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x， 在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(150−50)×8×85%+(x−150)×8×75%=6x+160， 当6.8x=6x+160时，即x=200时，师傅选择两家批发商所花费用一样多， 当6.8x＞6x+160时，即x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少， 当6.8x＜6x+160时，即150＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少． 综上所得：当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少． 【点睛】本题主要考查代数式，一元一次方程，一元一次不等式的综合实际应用，理清数量关系，列出代数式，不等式或方程，是解题的关键． 【变式10-3】“共享单车”已经成为城市的一道风景，由于其符合低碳出行，绿色出行的理念，为市民带来了极大便利，也越来越引起大家的重视．已知某“共享单车”企业拟采用的收费方式如下： 每月用车时间（小时） 单价（元/小时） 不超过10的部分 2 超过10不超过20的部分 1.5 超过20的部分 1 （1）甲一月份用车28小时，则甲该月车费多少元？ （2）乙二月份的车费平均每小时是1.5元，则乙二月车费是多少元？ （3）丙一、二月份共用车31小时（二月份比1月份多），共用车费54元，试求丙一、二月份各用车多少小时？ 【答案】（1）43元；（2）45元；（3）丙一月份用车8小时，二月份用车23小时 【分析】（1）分段计算，10小时内一部分车费，11至20小时内一部分车费，超过20小时的一部分车费，三者之和即为所求； （2）设总里程为x，且x>20，根据题意得到：10小时内车费+11至20小时内车费+超过20小时车费=1.5总里程，列出方程求解即可； （3）设丙一月份用车x小时，则二月份用车小时，根据题意得到，分为三种情况讨论：①一月份不超过10小时，②一月份超过10小时，不超过15.5小时且二月不超过20小时，③一月份超过10小时，不超过15.5小时且二月超过20小时，列出方程求解即可． 【详解】（1）甲该月车费：（元）． （2）设乙二月份用车小时， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴乙二月份车费是：（元）． （3）设丙一月份用车小时，则二月份用车小时． 由题意可知：， ①若，则， ∴， 解得：（满足题意），则， ∴丙一月份用车8小时，二月份用车23小时． ②若，则． 1°．若， 则：， 此时，上述方程无解，舍去． 2°．若， 则：， 解得：，（舍） ∴综上可知，丙一月份用车8小时，二月份用车23小时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，重点是根据题意列出不等式，分情况讨论是本题的关键． 1 .依法纳税是每个公民应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定从2011年9月1日起，公民全月工薪不超过3500部分不必纳税，超过3500元部分为全月应纳税所得税额，此项税额按下表分段累进计算。 全月应纳税所得税额 税率 不超过1500元的 3% 超过1500元至4500元的部分 10% 超出4500元以上 15% （1）若李先生今年10月工薪是4900元，则他应缴纳个人所得税税金是________元。 （2）若陈女士今年10月工薪是9000元则她应缴纳个人所得税金多少元？ （3）若某纳税人的10月月工薪不超过15000元他每月的纳税金额能超过月工薪的8％吗？若能，请给出该纳税人的月工薪。 【答案】（1）42元；（2）陈女士应缴纳个人所得税金495元；（3）能，12214元＜月工薪≤15000元 【分析】（1）按照图表计算即可得应纳多少税． （2）首先得出x的取值范围，进而根据纳税方案得出方程求出即可； （3）设该纳税人的月工薪为y元，利用345+（y-8000）×20%＞8％y，进而得出该纳税人的月工薪范围． 【详解】解：（1）全月应纳税所得额为：4900-3500=1400（元）， 1400×3%=42（元）． 故他应缴纳个人所得税税金是42元； 故答案为：42元； （2）∵9000-3500=5500（元） ∴1500×3%+(4500-1500)×10%+(5500-4500) ×15%=495， ∴她应缴纳个人所得税金495元 （3）能， 当月工薪为8000时全月应纳税所得额为：1500×3%+3000×10%=345（元） 设月工薪为y元，0＜y≤8000范围内不可能， 则8000＜y≤15000，由题意可得出：345+（y-8000）×15%＞8％y 解得：y＞12214， 故该纳税人的月工薪范围为：12214元＜月工薪≤15000元． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，利用图表得出正确信息是解题关键． 2．综合与实践： 合肥市某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推． 【规律总结】 （1）按图示规律，第一个图案（图②）的长为 ，第五个图案的长为 ； （2）若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为n（n为正整数），则 （用含n的代数式表示）； 【问题解决】 （3）若要使走廊的长不小于72，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 【答案】（1），；（2）；（3）至少需要带有圆形花纹的地砖60块． 【分析】（1）第一个图案边长，第二个图案边长，得出第n个图案边长为，从而计算第五个图案的长； （2）根据（1）中的结论可解答； （3）根据题意列不等式可解答． 【详解】解：（1）第一图案的长度， 第二个图案的长度， •••， 第n个图案边长为； ∴第五个图案的长为； 故答案为：，； （2）由（1）得第n个图案的长为； 故答案为：； （3）由题意得：， ∴， ∴， ∴至少需要带有圆形花纹的地砖60块． 【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，以及一元一次不等式的应用，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题． 3．六一儿童节当天，七（1）班同学在公园里举行义卖活动，他们制作了一定数量的爆米花、蛋挞进行销售，已知爆米花和蛋挞成本分别为1.5元/份和2元/份，每份爆米花售价比蛋挞少1元，开始一小时，他们一共售出爆米花20份和蛋挞50份，销售利润为200元． (1)求每份爆米花和蛋挞的售价； (2)临近中午时，他们的销售利润超过了900元，但由于销售量较多，同学们只记得售出爆米花的数量满足份，上午至少售出蛋挞几份？ (3)下午，一部分同学继续出售爆米花和蛋挞，另一部分同学组成团队在现场制作冰淇淋用于义卖，冰淇淋售价为5元/份，租借冰淇淋制作机需要100元，每制作一份冰淇淋需要材料费2元，到结束时，全班同学制作了三种食品共份全部销售一空，爆米花与蛋挞的份数之比为，制作销售冰淇淋的团队也有盈利，且三种食品的销售总利润恰好为2025元，求的最大值． 【答案】(1)爆米花的售价为4元，蛋挞的售价为5元 (2)217份 (3)781 【分析】本题主要考查一元一次方程，二元一次方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设爆米花的售价为元，则蛋挞的售价为元，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）设上午售出蛋挞份，由题意易得，然后根据可得，进而问题可求解； （3）设制作的爆米花为份，蛋挞为份，则冰淇淋为份，由题意易得，且，进而求解即可. 【详解】（1）解：设爆米花的售价为元，则蛋挞的售价为元．根据题意，得： ， 解得， 所以． 答：爆米花的售价为4元，蛋挞的售价为5元． （2）解：设上午售出蛋挞份．根据题意，得： ，即． 又因为， ∴． 又因为是正整数，所以的最小值为217． 答：上午至少售出蛋挞的份数为217份． （3）解：∵爆米花与蛋挞的份数之比为， 设制作的爆米花为份，蛋挞为份，则冰淇淋为份，根据题意，得： ，且， 解得， 解得：． 因为均为正整数，所以当时，取得最大值，． 所以的最大值为781． 4．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包A种食品？ 【答案】(1)应选用A种食品5包，B种食品4包 (2)最多能选用2包A种食品 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设选用A种食品包，B种食品包，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设选用包种食品，根据题意列出不等式，求出的范围，结合是整数，求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：设选用A种食品包，B种食品包， 由题意得，， 解得：， 答：应选用A种食品5包，B种食品4包． （2）解：设选用包A种食品， 由题意得，， 解得：， 是整数， 的最大值为2， 答：最多能选用2包A种食品． 5 （24-25七年级下·吉林长春·期末） 问题背景 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，数学老师带领学生开展项目学习“体育比赛计分”，结合相关调研数据完成任务． 调研 调研：某次篮球联赛积分 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 雄鹰 卫星 钢铁 调研：球赛出线是我们经常谈及的话题，它是指比赛中参赛队伍通过比赛成绩达到规定条件获得晋级下一轮比赛的资格．篮球赛单循环赛一般按积分确定名次，经调研，某次篮球赛赛制积分规则与调研相同． 问题解决 任务 根据调研中的数据回答问题： （1）某次篮球联赛积分中，胜一场积______分，负一场积______分，卫星队的积分为______分； （2）求雄鹰队的胜场数和负场数． 任务 根据调研中的数据回答问题：某次篮球赛中，火炬队与月亮队要争夺出线权．火炬队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场；月亮队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场． （3）火炬队已经获得积分为______分； （4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜多少场？ 【答案】（1），，；（2）雄鹰队胜了场，负了场；（3）；（4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜场． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程或不等式是关键． 依据题意，由钢铁队比赛场，负场，积分为分，则可得负一场积分，又前进队比赛场，胜场，负场，积分为分，则胜一场积分，从而可得卫星队胜了场，负了场的积分，即可得解； 依据题意，设雄鹰队胜了场，则负了场，则，进而计算可以得解； 依据题意，火炬队的积分为：分，即可得解； 依据题意，设火炬队在后面的比赛中要胜场，则，则，结合为正整数，即可判断得解． 【详解】解：由题意，钢铁队比赛场，负场，积分为分， 负一场积分， 前进队比赛场，胜场，负场，积分为分， 胜一场积分， 卫星队胜了场，负了场，积分分， 故答案为：，，； 由题意，设雄鹰队胜了场，则负了场， ． 解得：， ， ∴雄鹰队胜了场，负了场； 由题意，火炬队的积分为：分， 故答案为：； 由题意，设火炬队在后面的比赛中要胜场， ， 解得：， 又为正整数， 可取的最小值为， 火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜场． 6（24-25九年级下·海南·阶段练习）综合与实践 背景 【缤纷11．11，优惠送大家】去年双11各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年末大促进入“白热化”．海口各大购物中心早在10月就开始推出11．11活动，进入11月更是持续加码，如图，某商场为迎接11．11优惠节，采购了若干辆购物车． 素材 如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身总长增加． 问题解决 任务1 3辆购物车车身总长是_____； 任务2 若某商场采购了辆购物车，车身总长_____； 任务3 任务4 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 若该商场扶手电梯一次性最多可以运输25辆购物车，若要运输110辆购物车，且最多只能使用扶手电梯和直立电梯共5次，求：共有多少种运输方案？（使用扶手电梯和直立电梯次数相同时为同一运输方案） 【答案】任务1：；任务2：；任务3：20辆；任务4：有四种方案：方案一：直梯3次，扶梯2次；方案二：直梯2次，扶梯3次：方案三：直梯1次，扶梯4次；方案四：直梯0次，扶梯5次； 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务1：直接根据题意列式求解即可； 任务2：根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，且采购了n辆购物车，L是车身总长，即可作答． 任务3：结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答． 任务4：根据“该商场扶手电梯一次性可以运输25辆购物车，若要运输110辆购物车，且最多只能使用电梯5次”，列式，再解不等式，即可作答． 【详解】解：任务1：由题意得，3辆购物车车身总长是； 任务2：∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加 ∴辆购物车，车身总长； 任务3：由题意得，， 解得， ∵一次可以运输两列购物车， ∴一次性最多可以运输辆购物车； 任务4：设使用x次扶手电梯，则次直梯， ∵该商场扶手电梯一次性可以运输25辆购物车，若要运输110辆购物车，且最多只能使用电梯5次， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴的值为2或3或4或5， 当使用直梯2次时，直梯最多可运输50辆购物车，则最少需要扶梯次， 当使用直梯3次时，直梯最多可运输75辆购物车，则最少需要扶梯次，即为2次； 当使用直梯4次时，直梯最多可运输100辆购物车，则最少需要扶梯次，即为1次； 当使用直梯5次时，直梯最多可运输125辆购物车，则最少需要扶梯0次； 综上所述，有四种方案：方案一：直梯3次，扶梯2次； 方案二：直梯2次，扶梯3次： 方案三：直梯1次，扶梯4次； 方案四：直梯0次，扶梯5次； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $