3.3 一元一次不等式解法（九大题型）（题型专练）数学新教材湘教版七年级下册

3.3一元一次不等式解法 【题型一】一元一次不等式的定义 【例1】（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在，，，，，，是一元一次不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】求一元一次不等式的解集 【例2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）不等式的解集为 ． 【变式2-1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【变式2-3】定义新运算“⊕”如下：当时，，当时，，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型三】在数轴上表示不等式的解集 【例3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（   ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【题型四】求一元一次不等式的整数解 【例4】25-26八年级上·浙江杭州·期中）写出不等式的一个正整数解 ． 【变式4-1】（23-24七年级下·安徽宣城·期中）不等式的正整数解有（    ） A．无数个 B．0个 C．1个 D．2个 【变式4-2】若关于的不等式的最小整数解为3，则整数的值为________． 【变式4-3】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为 ． 【题型五】列一元一次不等式 【例5】（25-26八年级上·四川成都·月考）下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．a不是负数，可表示成 B．x与2的和是非负数，可表示成 C．m与4的差不多于3，可表示成 D．x不大于3，可表示成 【变式5-1】（23-24七年级下·安徽滁州·期中）一辆新型电动汽车售价为26万元，已知销售这种电动汽车获利超过，设这辆新型电动汽车的出厂价为x万元，则x满足的不等式为（  ） A． B． C． D． 【变式5-2】学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完．学校要求完成全部任务的时间不超过小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2所示． (1)设每颗玻璃球的体积为，列出x满足的不等式； (2)已知每放一个玻璃球水面上升，若使水不溢出杯子，最多能放几个小球？ 【题型六】 一元一次不等式解的最值 【例6】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了 道题； 【变式6-1】已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【变式6-2】一元一次不等式的最大整数解为_____________； 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【题型七】 解带绝对值的不等式 【例7】（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·山东德州·期末）已知（是整数），则的值是 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·广东江门·月考）解不等式： 【变式7-3】（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【题型八】用一元一次不等式解决实际问题 【例8】（25-26九年级上·重庆·月考）中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯，有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，已知进货4盒甲种月饼，3盒乙种月饼，花费145元，进货3盒甲种月饼，4盒乙种月饼，花费135元． (1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少? (2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完，甲种月饼卖了后，发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒? 【变式8-1】某品牌电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于的利润销售，最低可打（　　）折出售． A．7折 B．7.5折 C．8折 D．8.5折 【变式8-2】（25-26七年级上·山东日照·月考）某商品的进价是元，售价是元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于，那么商店最多可打几折出售此商品？ 【变式8-3】（25-26七年级上·重庆·期末）某商店5月1日举行促销活动，当天到该店购买商品有两种优惠方案： 方案①：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任意商品，一律打八折． 方案②：若不购买会员卡，则购买商店内任意商品，一律打九五折． 已知小芳5月1日前不是该商店的会员． (1)若小芳不购买会员卡，购买一件商品时付了380元，她购买这件商品优惠了多少元？ (2)请你帮小芳算一算，当购买商品超过多少元时，采用方案①更合算？ 【题型九】用一元一次不等式解决几何问题 【例9】（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式9-1】如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【变式9-2】如图，是等边三角形，是边上一点，且的度数为，则的值可能是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式9-3】（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 1．（22-23七年级下·安徽亳州·期中）已知． (1)化简； (2)若的值是不等式的最小整数解，求的值． 2．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，． (1)求不等式的解集； (2)若关于x的不等式的解都是（1）中不等式的解，求n的取值范围． 4．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）蚌埠百大电器商场购进甲、乙两种型号的电器，甲、乙每台进价分别为160元、140元．下表是近两周的销售情况． 时段 销售量 销售收入 甲种型号 乙种型号 第一周 2台 3台 1080元 第二周 3台 2台 1120元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－成本） (1)求甲、乙两种型号的电器的销售单价； (2)若商场准备用不多于5100元的金额再采购这两种型号的电器共35台，求甲种型号的电器最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，商场销售完这35台电器能否实现利润超过2280元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 5（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）有大，小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35． (1)3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？ (2)某物流公司计划选用这两种货车共10辆运输一批货物，若运输的总货物不少于，则该物流公司最少要选用大货车多少辆？ 6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3一元一次不等式解法 【题型一】一元一次不等式的定义 【例1】（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意； B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意； C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意； D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是一元一次不等式； B、中不含未知数，不符合一元一次不等式定义； C、有两个未知数，不符合一元一次不等式定义； D、分母含有未知数，不符合一元一次不等式定义； 故选：A 【变式1-2】下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】、中不含有未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 、是代数式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 、 是一元一次方程，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 、是一元一次不等式，故此选项符合题意． 故选：D 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式． 【变式1-3】在，，，，，，是一元一次不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以． 【详解】解：是一元一次不等式的有：，共有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0． 【题型二】求一元一次不等式的解集 【例2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，准确的计算是解决本题的关键． 先去分母，然后移项合并同类项，再系数化1求解即可． 【详解】解： ， 解得． 故答案为：． 【变式2-1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先移项，再合并同类项，即可求解． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 故选：A 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算，例如：． (1)计算：； (2)请根据上述定义解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义与一元一次不等式，理解题意后按要求进行计算是解题关键． （1）根据题意，展开后计算即可； （2）按照新定义将不等式左边展开，然后按照一元一次不等式的要求解不等式即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， 由题意得，， 去括号得，， 移项后合并同类项得，， 解得，． 【变式2-3】定义新运算“⊕”如下：当时，，当时，，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分当，即时，当，即时两种情况，根据新定义求解即可． 【详解】解：∵当时， ，当时，， ∴当，即时， ∵⊕， ∴ 解得：， ∴； 当，即时， ∵⊕， ∴ 解得：， ∴， 综上，或， 故选：C． 【点睛】本题考查新定义，解一元一次不等式，理解新定义和掌握解一元一次不等式是解题的关键，注意分类思想的运用． 【题型三】在数轴上表示不等式的解集 【例3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式，再根据解集即可判断求解，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集在数轴上表示为， 故选：． 【变式3-1】（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则将解集在数轴上表示出来即可；本题主要考查解不等式得基本能力及在数轴上表示不等式的解集． 【详解】解 不等式的解集在数轴上表示： 故选：B． 【变式3-2】不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解出不等式，在进行判断即可； 【详解】， ， ， 解集表示为： ； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集表示，准去计算是解题的关键． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】（1），图见解析 （2），最小整数解为，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可； （2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下： 则这个不等式的最小整数解为． 【题型四】求一元一次不等式的整数解 【例4】25-26八年级上·浙江杭州·期中）写出不等式的一个正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及正整数解的确定，解题关键是先解不等式求出解集，再从解集中找出正整数解． 先解不等式 ，得到解集 ，再从中选取一个正整数解即可． 【详解】 因此，不等式的解集为 ． 满足条件的正整数解有 、、，任选其一即可． 故答案为：（故答案不唯一）． 【变式4-1】（23-24七年级下·安徽宣城·期中）不等式的正整数解有（    ） A．无数个 B．0个 C．1个 D．2个 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解不等式，先解出不等式的解集为，结合正整数的定义进行作答即可． 【详解】解： ∴ ∴不等式的正整数解有0个 故选：B 【变式4-2】若关于的不等式的最小整数解为3，则整数的值为________． 【答案】7或8或9 【分析】先解一元一次不等式，再根据题意判定，即可得出m的取值范围． 【详解】解：根据题意，不等式可转化为： ． 又∵其最小整数解为3， ∴． 解得． 满足条件的整数的m的值是：7或8或9， 故答案是：7或8或9． 【点睛】此题主要考查解一元一次不等式和不等式的整数解，根据最小整数解为3得出m的取值范围是解题的关键． 【变式4-3】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的负整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解不等式得到解集，再找出负整数解，代入方程求解a． 【详解】解：解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴负整数解为， 将代入方程， 得，即， 解得． 故答案为：． 【题型五】列一元一次不等式 【例5】（25-26八年级上·四川成都·月考）下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．a不是负数，可表示成 B．x与2的和是非负数，可表示成 C．m与4的差不多于3，可表示成 D．x不大于3，可表示成 【答案】C 【分析】本题主要考查了列不等式，不是负数，则该数大于或等于0，非负数即为大于或等于0的数，不多于，即小于或等于，不大于，即小于或等于，据此列出对应选项中的不等式即可得到答案． 【详解】解：A、a不是负数，可表示成，原式错误，不符合题意； B、x与2的和是非负数，可表示成，原式错误，不符合题意； C、m与4的差不多于3，可表示成，原式正确，符合题意； D、x不大于3，可表示成，原式错误，不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】（23-24七年级下·安徽滁州·期中）一辆新型电动汽车售价为26万元，已知销售这种电动汽车获利超过，设这辆新型电动汽车的出厂价为x万元，则x满足的不等式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式 【分析】主要考查了不等式的应用，解题的关键是找到不等量关系． 根据销售这种电动汽车获利超过，即可列出不等式解答； 【详解】解：根据题意可得：， 即 故选：A． 【变式5-2】学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完．学校要求完成全部任务的时间不超过小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“学校要求完成全部任务的时间不超过小时”，列出不等式，即可． 【详解】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地， 由题意得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查不等式的实际应用，准确找出不等量关系，是解题的关键． 【变式5-3】如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2所示． (1)设每颗玻璃球的体积为，列出x满足的不等式； (2)已知每放一个玻璃球水面上升，若使水不溢出杯子，最多能放几个小球？ 【答案】(1) (2)使水不溢出杯子，最多能放15个小球． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用： （1）根据题意可知五个小球的体积加上水的体积小于杯子的容量，据此列出不等式即可； （2）设可以放m个小球，根据所有小球使水面上升的体积加上水的体积不超过杯子的容量列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设可以放m个小球， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为15， 答：使水不溢出杯子，最多能放15个小球． 【题型六】 一元一次不等式解的最值 【例6】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了 道题； 【答案】2 【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题的关键，注意答错一题扣2分，要用减法． 设小聪答错了道题，则答对了道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解的取值范围，并取最大整数解． 【详解】解：设小聪答错了道题，则答对了道题， 依题意，得：， 化简得：， 移项得：， 两边同除以，不等号方向改变，得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为2． 故答案为：2． 【变式6-1】已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【变式6-2】一元一次不等式的最大整数解为_____________； 【答案】-1 【分析】先化简不等式，再求解即可． 【详解】解：， ， 则最大整数解为：-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整数解． 【变式6-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 【题型七】 解带绝对值的不等式 【例7】（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确分析判断是解题的关键． 根据绝对值的非负性，等式成立需，即，且代入验证成立． 【详解】， ， ，即， 故选． 【变式7-1】（24-25七年级下·山东德州·期末）已知（是整数），则的值是 ． 【答案】或或或0或1或2或3 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，解不等式可得，再根据x是整数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x是整数， ∴x的值是或或或0或1或2或3， 故答案为：或或或0或1或2或3． 【变式7-2】（24-25七年级下·广东江门·月考）解不等式： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 【变式7-3】（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3； （2）①或；②；（3）或，见解析． 【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）； （2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集． 【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于． 故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于； ② 令， 使不等式“”成立的整数为，， 故答案为：，． （2）①由题意可知， 不等式的解集是或， 故答案为：或； ②由题意可知，不等式的解集为： ， 即， 故答案为：； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值， 如下图所示， 可知不等式的解集是或． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 【题型八】用一元一次不等式解决实际问题 【例8】（25-26九年级上·重庆·月考）中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯，有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，已知进货4盒甲种月饼，3盒乙种月饼，花费145元，进货3盒甲种月饼，4盒乙种月饼，花费135元． (1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少? (2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完，甲种月饼卖了后，发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒? 【答案】(1)甲种月饼的进货单价为25元/盒，乙种月饼的进货单价为15元/盒 (2)甲种月饼至少购进68盒 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立方程组或不等式求解． （1）设甲种月饼的进货单价为a元/盒，乙种月饼的进货单价为b元/盒，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒，列一元一次不等式求出，根据为整数，求出m的最小值即可． 【详解】（1）解：设甲种月饼的进货单价为a元/盒，乙种月饼的进货单价为b元/盒， 根据题意：， 解得， 答：甲种月饼的进货单价为25元/盒，乙种月饼的进货单价为15元/盒； （2）解：设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒， 由题意可得： ， 解得：， 为整数， ； 答：甲种月饼至少购进68盒． 【变式8-1】某品牌电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于的利润销售，最低可打（　　）折出售． A．7折 B．7.5折 C．8折 D．8.5折 【答案】C 【分析】设最低可打折，根据电脑的成本为2400元，标价为3150元，如果商店要以不低于的利润销售，可列不等式求解． 【详解】解：设最低可打折，则 ∴， ∴最低打八折， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据利润＝售价−进价，可列不等式求解，难度一般． 【变式8-2】（25-26七年级上·山东日照·月考）某商品的进价是元，售价是元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于，那么商店最多可打几折出售此商品？ 【答案】 商店最多打折出售此商品 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．设商店最多可打折出售此商品，根据利润率不低于列出不等式，求解即可． 【详解】解：设商店最多可打折出售此商品， 根据题意得， 解得． 答：商店最多可打折出售此商品． 【变式8-3】（25-26七年级上·重庆·期末）某商店5月1日举行促销活动，当天到该店购买商品有两种优惠方案： 方案①：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任意商品，一律打八折． 方案②：若不购买会员卡，则购买商店内任意商品，一律打九五折． 已知小芳5月1日前不是该商店的会员． (1)若小芳不购买会员卡，购买一件商品时付了380元，她购买这件商品优惠了多少元？ (2)请你帮小芳算一算，当购买商品超过多少元时，采用方案①更合算？ 【答案】(1)她购买这件商品优惠了20元 (2)当购买商品超过1120元时，采用方案①更合算 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，关键是根据两种方案的优惠政策，计算所需钱数． （1）依据题意，用花的钱数除以（九五折），求原价，再乘，进而可以得解； （2）依据题意，设当购买商品超过x元时，采用方案①更合算，再利用两种方案的优惠政策列出不等式求解即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，根据方案②，购买商店内任意商品，一律打九五折， ∴ （元） 答：她购买这件商品优惠了20元． （2）解：设当购买商品超过x元时，采用方案①更合算， ∴． ∴． 答：当购买商品超过1120元时，采用方案①更合算． 【题型九】用一元一次不等式解决几何问题 【例9】（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，根据题意，得，结合三角形三边数量关系得，转化为不等式，求正整数解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，不等式的应用，整数解的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y， 根据题意，得， 由三角形三边数量关系得， 故， 故， 解得，又y是整数， 故， 又， 故， 故或， 都满足三角形三边关系定理， 故有2个等腰三角形． 故选：C． 【变式9-1】如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此可求解． 【详解】解：由三角形内角和可得：， ∵， ∴当与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有； 当大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，熟练掌握三角形内角和及一元一次不等式的应用是解题的关键． 【变式9-2】如图，是等边三角形，是边上一点，且的度数为，则的值可能是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】利用三角形外角的性质得出与的关系，再根据的范围，就可以确定出x的取值范围，从而找到答案. 【详解】∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选B 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及不等式，掌握三角形外角的性质是解题的关键. 【变式9-3】（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)见解析 【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可； （2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把，代入进行计算即可； （3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答． （4）根据侧面数第一种方法第二种方法第三种方法，底面数第二种方法第三种方法，表示出底面和侧面的个数，然后根据底面和侧面的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （2）由题意得： 当时，纸盒的容积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，， 故答案为：，； （4）由题意得：可以裁出的侧面：个． 可以裁出的底面：个． ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴， ∴， ∴当时， ∴可以裁出的侧面有（个）， 可以裁出的底面有（个）， ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱个． 【点睛】本题考查了列代数式，几何问题(一元一次方程的应用)，用一元一次不等式解决几何问题，整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 1．（22-23七年级下·安徽亳州·期中）已知． (1)化简； (2)若的值是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解； （2）先解一元一次不等式，求得最小整数解，代入（1）中，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 所以不等式最小的整数解是4，即． 把代入，得． 【点睛】本题考查了平方差公式与完全平方公式，求不等式的整数解，求代数式的值，熟练掌握乘法公式、解一元一次不等式是解题的关键． 2．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围为或． 【分析】本题考查解一元一次不等式，新定义，解题的关键是明确题意，利用新定义解答． （）根据“”的定义，可得，然后求解即可； （）根据题意，分情况讨论，即时和时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：当时，即， ∴， ， ∴， ∴的取值范围为； 当时，即， ∴， ， ∴， ∴的取值范围为； 综上可知：的取值范围为或． 3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，． (1)求不等式的解集； (2)若关于x的不等式的解都是（1）中不等式的解，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一次不等式，熟练掌握不等式的解法是关键． （1）根据二阶行列式的运算法则列出不等式解答即可； （2）根据题意解出，再根据条件列出，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意得式， 解不等式得：； （2）∵， 即， ， ∵关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解， ， ． 4．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）蚌埠百大电器商场购进甲、乙两种型号的电器，甲、乙每台进价分别为160元、140元．下表是近两周的销售情况． 时段 销售量 销售收入 甲种型号 乙种型号 第一周 2台 3台 1080元 第二周 3台 2台 1120元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－成本） (1)求甲、乙两种型号的电器的销售单价； (2)若商场准备用不多于5100元的金额再采购这两种型号的电器共35台，求甲种型号的电器最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，商场销售完这35台电器能否实现利润超过2280元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)甲、乙两种型号电器的销售单价分别为240元、200元 (2)10台 (3)能实现，购买甲10台、乙25台 【分析】（1）设甲､乙两种型号电器的销售单价分别为x元、y元，根据题意即可列出二元一次方程组求解； （2）设采购甲种型号电器a台，则采购乙种型号电器台．根据题意即可列出一元一次不等式求解； （3）根据题意可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：设甲､乙两种型号电器的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：甲、乙两种型号电器的销售单价分别为240元、200元． （2）解：设采购甲种型号电器a台，则采购乙种型号电器台． 依题意得：， 解得：． 答：甲种型号的电器最多能采购10台． （3）解：根据题意得： ， 解得：， ∵．且a应为整数， ∴，， ∴在（2）的条件下购买甲10台、乙25台，商场能实现利润超过2280元的目标． 【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用．正确理解题意是解题关键． 5（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）有大，小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35． (1)3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？ (2)某物流公司计划选用这两种货车共10辆运输一批货物，若运输的总货物不少于，则该物流公司最少要选用大货车多少辆？ 【答案】(1)24.5 (2)4辆 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设1辆大货车一次运货，1辆小货车一次运货，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设该物流公司选用大货车辆，则选用小货车辆，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运货，1辆小货车一次运货， 由题意得， 解得， ∴． 答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨； （2）设该物流公司选用大货车辆，则选用小货车辆， 由题意得， 解得， ∴的最小整数解为4． 答：该物流公司至少要选用大货车4辆． 6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【知识点】图形类规律探索、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $