2.3 实数（十大题型）（题型专练）数学新教材湘教版七年级下册

2.3实数 【题型一】实数的分类 【例1】（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 【变式1-1】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【变式1-2】在实数：3.14159，，1.010 010 001，，π，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④0.54；⑤0.13；⑥；⑦0；⑧；⑨；⑩（相邻两个2之间0的个数逐次加一）． 有理数： ； 无理数： ； 正实数： ； 负实数： ． 【题型二】无理数的估算 【例2】（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2-1】下列整数中，与最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 【变式2-2】比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【题型三】相反数、倒数、绝对值的求值 【例3】（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【变式3-1】的相反数是 ，当时，则x的绝对值是 ； 【变式3-2】求下列各数的绝对值： ，，，，． 【变式3-3】（24-25七年级下·天津南开·期中）的相反数与的绝对值的和等于 ． 【题型四】实数与数轴 【例4】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式4-1】实数，在数轴上的位置如图所示，且，则式子化简的结果是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】若实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级上·北京·期末）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【题型五】 实数的大小比较 【例5】若，，，则a、b、c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）把下列实数表示在如图所示的数轴上、并比较它们的大小（用“”连接）． 【题型六】 实数的运算 【例6】计算： ． 【变式6-1】（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 【变式6-2】（24-25七年级下·山东德州·期中） ． 【变式6-3】计算 【题型七】程序设计与实数运算 【例7】按如图所示的运算程序，若输入，则输出的y值为（    ）    A．0 B． C． D．以上都不对 【变式7-1】有一个数值转换器，流程如图所示．当输入值为64时，输出 的值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式7-2】如图所示的运算程序中，若开始输入的值为96．我们发现第一次输出的结果为48．第二次输出的结果为24．则第2019输出的结果为（    ） A．6 B．3 C．12 D． 【变式7-3】如图为一个数值转换器． (1)当输入的x值为4时，输出的y值为 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 ； (2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x值； (3)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？ 【题型八】与实数运算有关的新定义问题 【例8】（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）规定一种新的定义： ，若，则 ． 【变式8-2】任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，对36只需进行（    ）次操作后变为1． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】我们把称为有理数的差倒数，如：2的差倒数是，-2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【题型九】实数运算的实际应用 【例9】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【变式9-1】虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【变式9-2】（2025·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【变式9-3】“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【题型十】实数运算中规律探索 【例10】已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是( ) A． B． C． D．2023 【变式10-1】有一列数按如下规律排列：则第2017个数是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（    ） A．2020 B．2021 C． D． 1 已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，化简： . 2 在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（     ） A． B． C． D． 3若记表示任意实数的整数部分例如：， ，则（其中“”“”依次相间）的值为 4 为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（    ） A． B． C． D． 【点睛】本题考查数字的变化类，有理数的混合运算，找到变化规律是解题的关键． 5观察①；②；③，根据提供的信息请猜想的结果（   ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3实数 【题型一】实数的分类 【例1】（24-25七年级下·河南焦作·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数：{                        …}； 非负实数：{                        …}； 无理数：{                        …}． 【答案】①，⑧；①，③，④，⑤，⑦，⑧；②，④，⑤ 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的概念等知识点，解题的关键是熟练掌握实数的分类及无理数的概念． 根据整数、非负实数和无理数的概念进行分类即可． 【详解】解：整数：{①，⑧…}； 非负实数：{①，③，④，⑤，⑦，⑧…}； 无理数：{②，④，⑤…}． 【变式1-1】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 【变式1-2】在实数：3.14159，，1.010 010 001，，π，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：， ∴在实数：3.14159，，1.010010001，，π，中，无理数有，π，共2个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 【变式1-3】（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④0.54；⑤0.13；⑥；⑦0；⑧；⑨；⑩（相邻两个2之间0的个数逐次加一）． 有理数： ； 无理数： ； 正实数： ； 负实数： ． 【答案】 ②③④⑤⑦⑧⑨ ①⑥⑩ ①④⑤⑥⑨⑩ ②③⑧ 【分析】本题考查实数，运用实数的概念进行逐一分类、辨别．题题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，实数分为正实数和负实数以及0；无理数是指无限不循环小数；整数和分数统称为有理数． 【详解】解：∵，， ∴有理数：②③④⑤⑦⑧⑨； 无理数：①⑥⑩； 正实数：①④⑤⑥⑨⑩； 负实数：②③⑧． 故答案为：②③④⑤⑦⑧⑨；①⑥⑩；①④⑤⑥⑨⑩；②③⑧． 【题型二】无理数的估算 【例2】（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 【变式2-1】下列整数中，与最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据无理数的估算选择答案即可． 【详解】解：∵ ∴ 则 故 观察四个选项中，与最接近的是6 故选：C． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，求得的近似值是解本题的关键． 【变式2-2】比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的估算方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴，即，原式错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴，即，正确，不符合题意； D、∵，，且， ∴，正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键． 【变式2-3】（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)的整数部分为4， 小数部分为． (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入求其值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【题型三】相反数、倒数、绝对值的求值 【例3】（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可. 【详解】解：∵， ∴3的倒数是， ∴ 的倒数是， 故选：B 【变式3-1】的相反数是 ，当时，则x的绝对值是 ； 【答案】 / 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，立方根的定义进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 当时，，则x的绝对值是 故答案为：，8 【点睛】本题考查了相反数的定义，立方根的定义，熟练掌握相反数、立方根的定义是解题的关键． 【变式3-2】求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】，，，， 【分析】根据正数及零的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，可得答案． 【详解】解：， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了实数的绝对值， 理解绝对值的意义是解题的关键． 【变式3-3】（24-25七年级下·天津南开·期中）的相反数与的绝对值的和等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相反数，绝对值的含义，实数的混合运算，先求解的相反数与的绝对值，再列式求和即可． 【详解】解：的相反数为， 的绝对值是， ∴ 故答案为：0． 【题型四】实数与数轴 【例4】（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 【变式4-1】实数，在数轴上的位置如图所示，且，则式子化简的结果是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得到，，再脱去绝对值，进行整式的加减运算即可求解． 【详解】解：由图可知，， ∵， ∴，， ∴ ． 故选：． 【点睛】此题考查了实数与数轴，实数的性质，整式的加减等知识，理解题意，正确判断出绝对值内各式的符号是解题的关键． 【变式4-2】若实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置得到，，，再根据绝对值的性质化简求解即可． 【详解】解：由数轴知，，，， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查数轴、绝对值的化简、整式的加减，根据数轴得到，，以及正确化简绝对值是解答的关键． 【变式4-3】（24-25八年级上·北京·期末）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点表示的数为2， ∴点表示的数为， 故选：B． 【题型五】 实数的大小比较 【例5】若，，，则a、b、c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简b，c，再进行比较即可得． 【详解】解：， ， ∴， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握绝对值，立方根． 【变式5-1】（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：，，，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 【变式5-2】比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的估算方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴，即，原式错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴，即，正确，不符合题意； D、∵，，且， ∴，正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键． 【变式5-3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）把下列实数表示在如图所示的数轴上、并比较它们的大小（用“”连接）． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了实数的大小比较、立方根、算术平方根、实数与数轴，准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．先在数轴上找到各数对应的点，观察数轴即可比较它们的大小． 【详解】解：，， 实数表示在如图所示的数轴上： ∴由数轴可得，． 【题型六】 实数的运算 【例6】计算： ． 【答案】/ 【分析】根据平方差公式进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【变式6-1】（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可. 【详解】原式 . 【变式6-2】（24-25七年级下·山东德州·期中） ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了算术平方根、绝对值、乘方、立方根的定义及运算，熟练掌握这些数学概念的定义和性质是解题的关键．本题需要分别根据算术平方根、绝对值、乘方、立方根的定义，逐步化简式子中的各项，然后按照运算顺序进行计算． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式6-3】计算 【答案】 【分析】先运算零指数幂、二次根式的除法，和化简绝对值，然后运算加减法即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到零指数幂、二次根式的除法法则，绝对值的性质等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型七】程序设计与实数运算 【例7】按如图所示的运算程序，若输入，则输出的y值为（    ）    A．0 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据程序运算列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，程序运算，代数式求值，解题的关键是理解题意，根据无理数的估算方法，得出． 【变式7-1】有一个数值转换器，流程如图所示．当输入值为64时，输出 的值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据输入的值为64按照流程逐一计算、判断可得． 【详解】解：当输入的值为64时， ，是有理数， ，是有理数， 是无理数，输出，即， 故选：C． 【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根及实数的定义，看懂流程图且熟练计算算术平方根、立方根是解题的关键． 【变式7-2】如图所示的运算程序中，若开始输入的值为96．我们发现第一次输出的结果为48．第二次输出的结果为24．则第2019输出的结果为（    ） A．6 B．3 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算. 【详解】由设计的程序，知 依次输出的结果是48，24，12，6，3，6，3…，发现从6开始循环． 则2019-3=2016，2016是2的倍数，故第2019次输出的结果是3． 故选：B. 【点睛】此类题主要是能够正确发现循环的规律，根据循环的规律进行推广．该题中除前三次不循环外，后边是2个一循环. 【变式7-3】如图为一个数值转换器． (1)当输入的x值为4时，输出的y值为 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 ； (2)输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x值； (3)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？ 【答案】(1)； (2)输入的x值为9 (3)他输入的x值为0或1 【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解． （2）对平方两次即可出答案． （2）始终输不出y值， x为非负数，则x的任何算术平方根都是有理数，只有0和1，即可得到答案． 【详解】（1）解：依据题意得： 当x=4时， ， 继续输入x=2， 结果：； 当x=16时， 是有理数， 继续输入x=4， 是有理数， 继续输入x=2， 结果：； 故答案为：；． （2）∵输出y的值为， ∴第二次输入的数为， ∴第一次输入的数为； ∴输入的值为9． （3）∵x为非负数， ∴当x=1时，1的算术平方根是1，1是有理数，始终输不出y值， ∴当x=0时，0的算术平方根是0，0是有理数，，始终输不出y值， ∴x取值为1或0． 【点睛】此题考查算术平方根概念及无理数，解题关键是正确理解题目中规定的运算 【题型八】与实数运算有关的新定义问题 【例8】（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 【变式8-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）规定一种新的定义： ，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义运算. 根据定义先求出，再计算即可. 【详解】∵， ∴ 即 故答案为：4. 【变式8-2】任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，对36只需进行（    ）次操作后变为1． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据已知信息，对数字36的第一次操作为，第二次操作为 ， 再按照这种运算方法计算下去，直到操作结果为1时停止． 【详解】解：解：对36进行如下操作： 第一次：； 第二次：； 第三次：； 所以将36变为1需要操作的次数是3． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的相关运算，解题关键是理解新运算的含义． 【变式8-3】我们把称为有理数的差倒数，如：2的差倒数是，-2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据差倒数的定义，计算前几项发现数列呈现周期性循环，周期为3。进一步分析符号交替规律，确定每三个项的和交替为和，总项数为2025，可整除周期3，得到总和的表达式． 本题考查了新定义，有理数的混合计算，循环节，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：1. 计算数列前几项： ，，， 由此可知，循环节为3：． 2. 分析符号交替规律： 表达式为，符号按交替。每三个项为一组，符号模式依次为和，对应的和分别为： 第一组：， 第二组：， 每两组（6项）的和为，但总项数2025为奇数个周期（675组），最后一组为奇数组，和为． 3. 计算总和： 总组数组，奇数组（338组）和为，偶数组（337组）和为，总和为： 故选：D． 【题型九】实数运算的实际应用 【例9】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 【变式9-1】虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 【变式9-2】（2025·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【答案】25.2 【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可． 【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶 合计费用为：元 第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶 合计费用为：元 故选择第二种更划算，最低费用为25.2元 故答案为：25.2． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键． 【变式9-3】“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 【题型十】实数运算中规律探索 【例10】已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是( ) A． B． C． D．2023 【答案】B 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【详解】解：∵一列实数：，，，，，， ，，， ，…， ∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根， ∵， ∴这一列数中的第2023个数应是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 【变式10-1】有一列数按如下规律排列：则第2017个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，则可得分子、分母的规律及符号的规律，从而可得结果． 【详解】解：，符号两项负一项正循环，而，则第2017项的符号为负；分子是从2开始的连续自然数的算术平方根，即，则第2017项的分子为；分母是以2为底数的乘方，且指数从1开始，且分子的被开方数比分母指数大1，即，则第2017项的分母为，综合得第2017个数是； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数规律的探索，找到规律是解题的关键． 【变式10-2】已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可计算，，，推导出一般性规律，然后进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， 可推导出一般性规律为：，，，循环出现 ∵ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律题．解题的关键在于根据计算推导一般性规律． 【变式10-3】如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（    ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为n＝，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为n＝， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了数字类的排列规律，解题的关键在于能够准确观察出规律． 1 已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，化简： . 【答案】 【分析】根据点的位置，可得a，b，c的关系，根据绝对值的性质化简绝对值，然后可得答案． 【详解】解：由数轴可知：， 所以，，， 所以原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，利用绝对值的性质化简绝对值是解题的关键． 2 在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，可以求出线段的长度，然后根据点B和点C关于点A对称，求出的长度，最后可以计算出点C的坐标． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， ∵点B关于点A的对称点为点C， ∴， 设点C表示的数为x，则， ∴； ∴点C的坐标为：． 故选：C． 【点睛】本题考查的是实数与数轴的关系，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较大的数，就用较小的数加上两点间的距离． 3若记表示任意实数的整数部分例如：， ，则（其中“”“”依次相间）的值为 【答案】 【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算． 【详解】解：∵即时，，此时n=1，2，3， ∴； ∵即时，，此时n=4，5，6，7，8， ∴； ∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15， ∴=； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ∵，， ∴即时，， ∴=-44， ∴ =1-2+3-4+5-6+…+43-44 =(1-2)+(3-4)+…+(43-44) = =-22， 故答案为：-22． 【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律． 4 为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，再将第二个等式与第一个等式左右两边相减求出的值即可求解． 【详解】解：令， ∴， ②减①，得：， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查数字的变化类，有理数的混合运算，找到变化规律是解题的关键． 5观察①；②；③，根据提供的信息请猜想的结果（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的三个式子，得到， 即可得到的结果． 【详解】解：由； ； ； 可得：， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查数字类规律探究．根据给出的三个式子，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $