湖北省A20联盟2025--2026学年上学期九年级数学期末质量检测

湖 北 省 A20 联 盟 期 末 质 量 检 测 数 学 试 题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为120分，考试时间为120分钟。 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共6页，“答题卷”共6页。 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并收回。 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，每题3分，满分30分. 在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．年月日，汇聚了全球个知名汽车品牌的第二十一届中国（武汉）国际汽车博览会在武汉国际会展中心拉开帷幕，中国新能源汽车智能化发展进入全面加速期，各大车企以高阶智能技术抢占市场，并开始竞逐低空智慧交通新赛道．以下是款国产新能源汽车标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2．若圆内接正多边形的一个中心角是，则这个正多边形的边数是 （ ） A．5 B．6 C．8 D．9 3．已知是方程的一个根，则代数式的值为 （     ） A．2026 B．2025 C．2024 D．0 4．如图，四边形内接于，点在延长线上，若，则等于 （    ） （第4题图） （第5题图） A． B． C． D． 5．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D．或 6．某校举办校运动会，杜老师作为本次运动会的负责人，准备去超市购买一些奖品，如图，杜老师从学校出发，需先经过广场，最终到达 超市，若杜老师随机选择一条路线，则这条路线恰好 是最短路线的概率是 （    ） A． B． C． D． 7．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是 （　　） A． B． C． D．，方程无实数解 8．如图，在中，，将绕着点顺时针方向旋转到，经过点 ．若，则的度数为 （ ） （第8题图） A． B． C． D． 9．如图，，分别是矩形边，上的两个点，连接，将矩形分为两个全等的四边形，，分别在两个四边形的内部作圆，两个圆与所在四边形的四条边都相切．若，则的值为 （    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形中，，分别是，的中点，是边上的动点，，交于点，连接，，设，，则与的函数图象大致是 （      ） A B C D 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11．若是方程的两个实数根，则的值为 ． 12．学校团委在“五四”青年节举行“校园之星”颁奖活动中，九（1）班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动，则所选两名代表恰好是甲和乙的概率是 ． 13．矩形中，，．现将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点E恰好落在直线上，如图所示．则此时线段的长为 ． 14．如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，过，，三点的圆交边于点，两点，则线段的最大值是 ． 15．已知二次函数的图像如图所示，它与x轴的两个交点的坐标分别为，．对于下列结论：①；②当时，；③当时，；④对任意实数m，不等式恒成立；⑤．其中正确的结论有 个． 三、解答题（共9题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（6分）解方程：． 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)作出与关于原点对称的图形； (2)作出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 18．（6分）已知二次函数，其顶点为，且图象经过． (1)求a，b，c的值： (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 19．（8分）如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接、，使得． (1)求证：． (2)若，弧的长为，连接，求扇形的面积． 20．（8分）设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 21．（8分）如图，将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，当点的对应点恰好落在上时，若，求的长； (2)如图2，，若，求的度数． 22．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某商场准备购进甲，乙两种头盔进行销售，用元购进甲种头盔，用元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.2倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少40个． (1)求购进甲，乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)调查甲种头盔的销售情况后发现，当售价为元/个时，月销售量为个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 23．（11分）某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为， ①求a，b的值； ②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低时，直接写出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离． (2)当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过． 24．（12分）【问题提出】 （1）如图①，点均在上，若，则锐角的度数为___________； 【问题探究】 （2）小聪遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点在上（不与点重合），连接．求证：． 小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程； 【问题解决】 （3）如图③是一个圆形的城市广场，广场边缘分布着四个休息亭，四边形内接于，且是连接休息亭之间的步道，若，求步道的长度． 数学试题 * 第 页（共6页）1 数学试题 * 第 页（共6页）1 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A A C B A B A B 1．B 【详解】解：A选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D选项是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：B． 2．D 【详解】解：设正多边形的边数为， 中心角为， ， ， 这个正多边形的边数是． 故选：． 3．A 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 故选：A． 4．A 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．C 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下，， ∴． 故选：C． 6．B 【详解】解： 根据题意画树状图如下： 可知共有6种路线，它们出现的可能性相同，最短路线只有一种， ∴这条路线恰好是最短路线的概率是． 故选：B． 7．A 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 8．B 【详解】解：设，则， 由旋转可知：，，， 又， ， ， ， 点在线段上， ∴，即， 解得，即， 故选：B． 9．A 【详解】解：如图，设与各边的切点依次为， 根据切线长定理，得， 故， ∴， ∵矩形分为两个全等的四边形，，且， ∴， 设，则，设， ∴， 故， 过点M作于点Q， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得 ∴， 故选：A． 10．B 【详解】解：如图，连接，则的面积是定值． ，分别是，的中点， ， 的底和底边上的高都是定值， 四边形的面积是定值， 与的函数图象是平行于轴的线段． 故选：． 11． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据韦达定理，得，； 将变形为，代入得； 故答案为：． 12． 【详解】解：列表得： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 所有等可能的情况有种，其中所选两名代表恰好是甲和乙的情况有种， 则． 故答案为：． 13． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 14． 【详解】解：过点作于点，连接， ∵， ∴为的直径， ∵ ∴， 在中，，故最小时，取得最大值， ∵， ∴， ∴最大时，取得最大值， 过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 由图可知，， ∴， ∴点在上时，最小，最小值为， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 15．①③④⑤ 【详解】解：根据函数图像可知：抛物线开口向上，则，抛物线与y轴交于负半轴，则， ∵抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， ∴对称轴：， ∴， ∴，即①正确； 由函数图像可知：当时，，即②错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，即③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴该函数的最小值为：， ∵对任意实数m， ∴， ∴，即不等式恒成立；即④正确； 由可得， 由二次函数与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴，即，故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 16．解： ， 17．（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求；的坐标为 18．（1）解：已知二次函数，其顶点为，且图象经过， ∴，则， ， 解得，； （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， ∵平移后，图象经过原点， ∴将抛物线向下平移3个单位得到，． 19．（1）证明：所对应的圆周角为和， ， ， 为等腰三角形， 为的直径， ，即， 是等腰三角形底边的高， ； （2）解：连接，如图所示， 直径， 圆的半径， 设， ， ， ， ，即扇形的面积为． 20．（1）解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中3块是灰色，则指针指向灰色区域的可能性大小是； （2）解：如图，所画转盘即为所求： 将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，此时指针指向阴影区域的可能性大小是． 21．（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故的长为：4； （2）解：∵， ， ∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ． 的度数为． 22．（1）解：设购进甲种头盔的单价是元，则购进乙种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：购进甲种头盔的单价是30元，乙种头盔的单价是36元． （2）解：设甲种头盔的售价应上涨元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：甲种头盔的售价应上涨10元/个． 23．（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴和直线， 解得； ②由①知，，， ∴， ∴火箭运行的最高点高度为， 当时，则有， 解得， 又∵时，， ∴将代入直线， 可得，解得， ∴火箭在运行过程中高度比火箭运行的最高点低的两个位置分别为， ∵，， ∴这个位置与火箭第二级引发点之间的距离为或； （2）解：当火箭落地点与发射点之间的水平距离超过时，火箭第二级的引发点为， 将，代入， 得，解得， ∴． 24．解：（1）∵，且是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴． 故答案为：； （2）如图，延长至点E，使，连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）延长至点E，使，连接， ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 根据勾股定理，得， 即， ∴ ∵ ∴步道的长度为． 数学试题 * 第 页（共6页）1 参考答案 * 第 页（共8页）1 学科网（北京）股份有限公司 $