精品解析：新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2025-2026学年高二上学期末监测数学试题

2025－2026学年第一学期高中期末监测 高二年级数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点的对称性，分析即可得答案. 【详解】点关于平面对称的点是. 故选：A 2. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：， 故选：A 3. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的定义和规律求解即可. 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 4. 若方程表示圆，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】由题意，得， 解得. 故选：D. 5. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程得到，从而根据焦距得到方程，求出，求出答案. 【详解】双曲线中，， 又焦距为4，故，解得，故，解得， 所以的渐近线方程为. 故选：B 6. 已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理得到，进而得到，根据待定系数法求解即可. 【详解】由题意可知，若，，，四点共面，则，， 即， 所以， 又，所以，，， 可得，即，所以. 故选：A. 7. 已知直线与圆相交于A,B两点，则的周长为（ ） A. 26 B. 18 C. 14 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】先得到圆心和半径，进而求得弦长即可. 【详解】由，得， 所以圆心为,半径， 圆心C到直线l的距离， 所以， 所以的周长为． 故选：B． 8. 已知为等比数列的前项和，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合题意计算可得. 【详解】因为，可知， 由，得， 由，得，所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线开口向左或开口向上，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为， 故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向上的抛物线方程为， 故C正确，错误. 故选:BC. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】整理可得，代入即可判断AB；分析可知数列是以3为周期的数列，结合周期性判断CD. 【详解】由可得，且， 则，，，故A错误，B正确； 可知数列是以3为周期的数列， 所以，故CD正确； 故选：BCD． 11. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在圆的内部，则 B. 若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C. 若圆外切，则 D. 过点作圆的切线，则的方程是或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确. 【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误； 对于B，若，则圆， 将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确； 对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 若圆外切，则，即，解得，故C正确； 对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求， 当的斜率存在时，设的方程为， 圆心到的距离，解得， 所以的方程是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是椭圆的左、右焦点，P是C上一点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可计算. 【详解】由题意可知，，即， 由椭圆的定义可知，， 因为，所以. 故答案为： 13. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由线面平行得到，再由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由题可得， 所以. 故答案为：2 14. 已知双曲线，O为坐标原点，过双曲线C的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M，N，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点和渐近线，进而可求的面积，再乘以2即可. 【详解】，故双曲线C的右焦点为， 由已知，一条渐近线的方程为，其倾斜角为， 所以，的面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，直线的方程为. （1）若，求直线的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用待定系数法，结合直线平行与垂直的结论即可得解. 【小问1详解】 因为，直线的方程为， 可设直线的方程为， 将点带入方程，得，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 因为，直线的方程为， 可设直线的方程为， 将点代入方程，得，解得， 所以直线的方程为. 16. 已知数列是等差数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，进而列方程组求解即可； （2）根据数列的正负性求出最值. 【小问1详解】 设数列的公差为，则，得，则. 【小问2详解】 得； 得， 故当时有最小值，为. 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行判定定理证明可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以是的中点， 又为的中点，所以. 又平面，平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面， 又，平面，所以，， 又， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，，，所以， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令1，得，， 所以平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知公比为正数的等比数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公比后代入计算即可得； （2）借助错位相减法求和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由，得，即， 所以，解得或（舍）． 又，所以． 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②恒过点． 【解析】 【分析】（1）根据焦距和求出和，利用求出，得到椭圆方程； （2）①设，则，计算出； ②设，若直线的斜率为0，得到，与不在轴上矛盾，不合题意，若直线的斜率不为0，设，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由①知，又，所以，列出方程，舍去不合要求的根，求出，所以直线恒过点． 【小问1详解】 由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得， 又，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为． ②设， 若直线的斜率为0，则关于轴对称，所以， 又直线的斜率是直线的斜率的3倍，所以，即， 由不在轴上，得，与矛盾， 所以直线的斜率不为0． 设直线的方程为， 由，得， 所以， 且， 由①知，又，所以， 所以，即， 化简，得， 将代入上式并化简，得 即，解得或， 当时，与矛盾，舍去， 当时，满足 所以直线恒过点． 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期高中期末监测 高二年级数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 4. 若方程表示圆，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆相交于A,B两点，则的周长为（ ） A. 26 B. 18 C. 14 D. 13 8. 已知为等比数列的前项和，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在圆的内部，则 B. 若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C. 若圆外切，则 D. 过点作圆的切线，则的方程是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是椭圆的左、右焦点，P是C上一点，若，则______. 13. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 14. 已知双曲线，O为坐标原点，过双曲线C的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M，N，则的面积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，直线的方程为. （1）若，求直线的方程； （2）若，求直线的方程. 16. 已知数列是等差数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最小值. 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知公比为正数的等比数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $