寒假作业14 新定义问题专题（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业14 新定义问题专题 一、 解题核心步骤（四步拆解法） 步骤1：精读题干，吃透新定义的内涵与外延 这是解题的基础，需逐字逐句分析，避免遗漏关键条件： 1. 圈画关键词：明确新定义的适用范围（如“正整数”“非负数”“平面直角坐标系中”）、限定条件（如“若，则”）、核心规则（如运算公式、图形特征、判定标准）。 例：新定义“对于两个非零实数，定义”，关键词是非零实数（范围）、的运算公式（规则）。 2. 举例验证理解：若题目给出示例，先通过示例验证自己对定义的解读是否正确；若没有示例，主动举简单特例（如代入计算），避免因理解偏差导致后续解题错误。 步骤2：转化建模，将“新定义”转化为“旧知识” 这是解题的核心，本质是用已学知识翻译新定义，常见转化方向如下： 新定义类型 常见转化方向 示例 新运算型（如、） 转化为学过的相关运算 新定义，求→直接代入转化为有理数计算 新图形型（如“准勾股三角形”“智慧三角形”） 转化为三角形、四边形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形等 新定义“准勾股三角形”：有两边的平方和等于第三边平方的2倍→转化为勾股定理的变形应用 新规则型（如“距离函数”“最优解”） 转化为函数图象、几何最值、分类讨论思想 步骤3：结合设问，明确解题目标 新定义题的设问通常分为三类，需针对性处理： 1. 直接应用型：直接利用新定义计算或判断→ 直接代入定义求解。 2. 综合应用型：结合方程、函数、几何性质解题（如“已知，求与的关系”）→ 先代入定义转化为方程，再求解。 3. 拓展探究型：证明新定义的性质或规律（如“证明对任意实数，都有”）→ 利用代数推导或几何证明的方法验证。 步骤4：检验复盘，确保符合定义的限定条件 解题后需检查两个关键点： 1. 结果是否在定义的适用范围内：如新定义要求“正整数解”，则需舍去负数或分数解。 2. 推理过程是否严格遵循新定义：避免用课本知识替代新定义规则（如新定义的运算不满足交换律，就不能随意交换顺序）。 二、 分类型解题技巧 1. 新运算类问题 · 核心技巧：严格代入，按步运算 新运算的本质是“自定义的代数式变形”，解题时需注意： （1） 运算顺序：若有括号先算括号内，再算括号外； （2） 多步运算：分步代入，逐步化简，避免一步到位出错； （3） 含参数运算：先代入转化为方程/不等式，再结合参数的取值范围求解。 例：新定义，若，求的值→代入得→解得。 2. 新图形类问题 · 核心技巧：紧扣特征，数形结合 新图形通常是在课本图形基础上增加限定条件，解题时需： （1） 提取新图形的核心特征（如边长关系、角度关系、位置关系）； （2） 结合课本图形的性质（如三角形内角和、矩形对边相等）； （3） 构造辅助线或直角三角形，将不规则图形转化为规则图形。 例：新定义“等腰梯形的‘准中线’为两底中点连线与两腰中点连线的和”→ 转化为梯形中位线公式，结合等腰梯形的性质计算。 3. 新规则类问题 · 核心技巧：分类讨论，归纳规律 这类题的新规则往往涉及“分类标准”（如“对正整数，定义为的各位数字之和”），解题时需： （1） 按规则的分类标准进行分类讨论，避免遗漏情况； （2） 对计算结果进行归纳总结，找出规律； （3） 结合函数、数列等知识解决拓展问题。 三、 常见易错点规避 1. 对新定义理解片面：忽略定义中的限定条件（如“非零实数”“正整数”），导致结果错误。 2. 知识迁移错误：强行套用课本公式替代新定义规则（如将新运算当作乘法运算）。 3. 分类讨论不全面：新规则涉及多种情况时，漏算其中一种（如新图形的位置有多种可能）。 4. 计算失误：新运算的代数式变形步骤较多，容易出现符号错误或漏项。 四、 实战训练建议 1. 刻意训练“读题—转化”能力：拿到新定义题，先不急于解题，而是用一句话概括新定义的核心内容。 2. 积累常见新定义模型：整理中考真题中的新定义题型，归纳其转化方向（如新运算→整式、新图形→相似）。 3. 错题复盘：记录因理解偏差或分类遗漏导致的错题，标注错误原因。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 与全等三角形相关的新定义问题 1．阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务： (1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由． (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 【答案】(1)见解析 (2)不能 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，全等四边形的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用证明得到，则可利用证明得到，据此可证明四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等，则可证明结论； （2）同理可证明得到，再导角证明，但是不可根据证明，据此可得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等， ∴四边形四边形； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 而由，，，不可以根据证明， ∴满足这五个条件不能得到四边形四边形． 2．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系等知识； （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）延长至，使，连接证明，推出A，利用三角形的三边关系即可解决问题； 【详解】（1）解：过点作垂直于， ∵与是积等三角形， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接 ∵与为积等三角形， 在与中， ∴ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为正整数， ∴或3； 3．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）先证，再根据即可证明； （2）先证，再根据即可证明； （3）连接，先证，则可得，，进而可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形， ∴， 又∵ ∴，即， 在和中，， ∴． 故答案为： ， （2）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 4．【综合与实践】 阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质． 解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 【答案】(1)“筝形”的对角线互相垂直； (2)见解析； (3)“筝形”的面积等于对角线积的一半． 【分析】（）根据题意写出答案即可； （）根据题意，画出图形，根据图形写出已知求证，利用“”可证明，得到，利用“”可证明，即可证明“筝形”的对角线互相垂直； （）把“筝形”转化为两个三角形的面积相加，即可得到“筝形”的面积计算公式； 本题考考查了“筝形”对角线的性质及其应用，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：“筝形”的对角线互相垂直； （2）已知：四边形是“筝形”，，，对角线相交于点． 求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴“筝形”的面积等于对角线积的一半． 5．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 题型二 与等腰三角形相关的新定义问题 6．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【答案】(1)是 (2)5 (3)2或1或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等直分割线的定义判断即可； （2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答； （3）根据等直三角形的定义，分是直角三角形和等腰三角形时，画出图形，分别求解即可. 【详解】（1）解：直角三角形一定是等直三角形 证明：如图：是的垂直平分线， ，则是等腰三角形， 是直角三角形 是的一条等直分割线段； ∴直角三角形一定是等直三角形， 故答案为：是； （2）是的等直分割线段 是等腰三角形 设：，则 在中，根据勾股定理得 解得 ； （3）在中，，，是的等直分割线段， ①若，时，如图1， ∴， ∴， ∴， ②若，时，如图2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ③若，时，如图3， ∴ ④若，时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长可以为或或. 故答案为：或或. 7．我们在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为我们积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是我们尝试给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． (1)观察猜想 定义：四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形具有一些性质，请你猜想一条筝形的性质：______（除定义外）； (2)推理验证 根据数学探究的步骤，对自己的猜想进行推理验证； 任务二： 如图1，筝形中，，，求证：______． (3)性质应用 任务三： 如图2，筝形中，，，，则筝形的面积为______； (4)拓展推广 如图3，在筝形中，，，对角线相交于点O，过点D作于点M，交干点N．若，则______（直接写出的长）． 【答案】(1)，且平分 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）：根据，，得到垂直平分； （2）利用线段垂直平分线的判定和性质证明即可． （3）求得，的长，根据图形，得，解答即可． （4）连接，过点O作于点K，得到，证明，设，则，，，利用勾股定理，解方程求解即可． 【详解】（1）解：根据，， 故垂直平分， 故答案为：，且平分． （2）证明：如图，连接，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，且平分． （3）解：筝形中，，，， ∴，， ∴， ∵筝形， ∴，且平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． （4）解：如图，连接，过点O作于点K， ∵筝形中，，，对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设， 则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，（舍去） ∴． 故答案为：． 8．【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 【应用】如图2，和是“友好三角形”，，与相交于点D． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）若的面积为1，点P是直线上的一动点，连接，当图中出现一个三角形和是“友好三角形”时，求出此时的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ． 【答案】（1）见解析；（2）2或4；（3）或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质及等腰三角形的性质等知识，理解题中新概念是解题的关键． （1）由题意得点D是的中点，再证明，得，从而可证结论成立； （2）分两种情况：当点P在线段的延长线上时；当点P在线段的反向延长线上时；利用“友好三角形”的意义即可求解； （3）分是顶角与底角两种情况考虑，利用三角形内角和求出底角或顶角即可求解． 【详解】（1）证明：∵和是“友好三角形”， ∴D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的边上的中线， ∴和是“友好三角形”； （2）解：当点P在线段的延长线上时，如图2， 当时，和是“友好三角形”, ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在线段的反向延长线上时，如图3， 当和是“友好三角形”时,则， ∴， ∴， ∴； 综上，的面积为2或4； （3）解：当是顶角时，则底角为， ∴； 当是底角时，则顶角为， ∴； 综上，k的值为或； 故答案为：或． 9．在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； (3)拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 【答案】(1)② (2)证明见解析 (3)，或 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质进行推理证明，利用分类讨论的思想求角的大小． （1）根据邻等对补四边形的定义，从对角是否互补，是否有一组邻边相等逐个验证，可得结果； （2）过点A作于E，作，交延长线于F，先后证明，，可得，所以平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． 【详解】（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形； ③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形； 综上可知，是邻等对补四边形的有②． （2）证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示： 则， 四边形是邻等对补四边形， ， 又， ， 又由题知， ， ， 又， ， ， 平分． （3）解：在中，， ∴， 四边形是邻等对补四边形， ，， ，． 根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得 当时，如图2.1： 结合，可得， ． 当时，如图2.2： ， ， ． 当时，如图2.3： ， ． 当时，如图2.4： 结合，可得， ． 综上可知，大小为或或． 10．定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形叫“恰等三角形”，这条中线叫“恰等中线”． 【直角三角形中的“恰等中线”】 （1）如图，在中，，，，为的中线．求证：是“恰等中线”． 【等腰三角形中的“恰等中线”】 （2）已知，等腰是“恰等三角形”，，求底边的值． 【答案】（1）见解析；（2）底边的值为或． 【分析】此题主要考查了新定义、勾股定理、等腰三角形的性质；熟练掌握新定义，利用勾股定理解题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，再比较即可求证； （2）分①当腰上的中线时；②当底边上的中线时，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴是“恰等中线”； （2）∵等腰是“恰等三角形”，， 分两种情况： 如图，当腰上的中线时，则，过作于， ∵，∴，， ∴， ∴中，， ∴中，， ∴； 如图，当底边上的中线时， 则，且， 设，则， ∴， ∴， ∴． 综上所述，底边的值为或． 题型三 与勾股定理相关的新定义问题 11．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等腰直角三角形一定_______（填“是”或“不是”）可爱三角形； ②若三角形的三边的长分别是，试判断该三角形是否为可爱三角形，并说明理由； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 【答案】(1)①不是，②该三角形是可爱三角形，理由见解析； (2)的长为或． 【分析】本题考查了新定义“可爱三角形”，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长，根据“可爱三角形”的定义即可判断； ②直接根据“可爱三角形”的定义即可判断； （2）分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：①设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长， ， ∴等腰直角三角形一定不是“可爱三角形”， 故答案为：不是； ②由题意得：， ，， ， ∴该三角形是可爱三角形； （2）解：是直角三角形，， ，即， ∵是可爱三角形，， ∴有三种情况： ，即 ， ， （负值已舍去）； ，即 （负值已舍去）； ，此种情况不成立． 综上，的长为或． 12．定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 【答案】(1)假 (2) (3)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）在线段上取一点，使，连，过作交于，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． 【详解】（1）解：在类勾股中，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形， 命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题， 故答案为：假； （2）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）证明：在线段上取一点，使，连，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 整理得， 是“类勾股三角形”． 13．阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ (1)根据·“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，是真命题，还是假命题？并说明理由． (2)在中，两边长分别是这，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． (3)在中，，且，若是奇异三角形，求的值． 【答案】(1)是真命题，理由见解析 (2)当c为斜边时，不是奇异三角形；当b为斜边时，是奇异三角形； (3)． 【分析】（1）根据奇异三角形的定义直接进行判断即可； （2）分c为斜边和b为斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义； （3）先根据勾股定理得出各边的关系，再根据此三角形是奇异三角形定义得到，直一步计算即可求解． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为a， ∵， ∴等边三角形一定是奇异三角形，是真命题； （2）解：当c为斜边时， ， ∴， ∴或， ∴不是奇异三角形； 当b为斜边时， ， ∴， ∵， ∴， ∴是奇异三角形； （3）解：在中， ∵， ∴， ∵是奇异三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了新定义的知识、勾股定理、等边三角形的性质等知识点．解题的关键理解题意、掌握数形结合思想是解答本题的关键． 14．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出两种你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称： ； (2)如图1，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形； (3)如图2，在四边形中，，，且，连接．探究、和三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)正方形和长方形 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查勾股定理、全等三角形的性质与判定，正方形和矩形的性质等等，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，充分利用其特点解题． （1）正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解， （2）根据勾股定理计算出对角线的长度，得到，再根据情况画出即可； （3）如图所示，连接，在下方作等边，连接，求出，证明出，得到，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：正方形和长方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 故答案为：正方形和长方形； （2）解：由题意得： ∴，即要使， ∴点都满足条件， 如图所示，四边形和四边形即为所求， （3）如图所示，连接，在下方作等边，连接 ∵在四边形中，，， ∴ ∵是等边三角形 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ 15．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质． （1）根据共边直角三角形的概念作图； （2）取的中点O，连接、，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式求出，结合图形计算得到答案； （3）分别延长、交于点F，证明，根据等腰三角形的性质证明． 【详解】（1）解：作出的共边直角三角形如图1所示，即为所求作的三角形； （2）解：取的中点O，连接、， 由勾股定理得，， ∵，点O为的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，即， 解得，， ∴； （3）证明：分别延长、交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴平分． 题型四 与一次函数相关的新定义问题 16．如图，在平面直角坐标系中，直线l为第一、三象限的角平分线．定义点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记为．例如，点的一次反射点的坐标为，二次反射点的坐标为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点的坐标为________，二次反射点的坐标为________； (2)若的一次反射点和的二次反射点重合，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了坐标与轴对称，掌握关于轴对称的性质是关键； （1）根据一次反射点的定义及二次反射点的定义求解； （2）根据一次反射点，二次反射点的定义解题即可． 【详解】（1）解：点的一次反射点的坐标为，二次反射点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：的一次反射点为，点的一次反射点为，二次反射点为， 由题意知：， 解得：， ∴． 17．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” (1)点的“长距”为______； (2)若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)点D是“角平分线点”，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义“长距”和“角平分线点”、点到坐标轴的距离等知识点，理解新定义是解题关键． （1）根据“长距”的定义求解即可； （2）根据“长距”的定义确定，进而可知点D的坐标，然后判断是否为“角平分线点”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴根据“长距”的定义，可得点的“长距”为6． 故答案为：6． （2）解：点D是“角平分线点”，理由如下： ∵点的长距为7， ∴点到轴的距离为， 则点到轴的距离， 又∵点在第三象限， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是3， ∴点D是“角平分线点”． 18．定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“超亮点”，例如求的“超亮点”，联立，得方程组，解得，则的“超亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“超亮点”为___________； (2)一次函数的“超亮点”为，求的值； (3)已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线上没有“超亮点”．点为轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的值为的值为6 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“超亮点”为，代入求得q，进而代入求得p即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“超亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“超亮点”为； 故答案为：； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点又在上， ， 又， ， 解得． （3）解：∵直线上没有“超亮点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， 设， ∵， ， ∴， ， 即或， 解得或， ∴或． 19．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得 一次函数的“不动点”为 （2）解：根据定义可得，点在上， 解得 点又在上， ， 又 解得 （3）直线上没有“不动点”， 直线与平行 ，令， 令，则 设 即或 解得或 或 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 20．定义：若关于x的一次函数，满足，则称这两个一次函数互为“未来伴侣函数”． (1)已知关于x的一次函数和互为“未来伴侣函数”，求a，b的值． (2)若关于x的一次函数有“未来伴侣函数”，这两个函数的图象与y轴所围成的三角形的面积为8，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，求直线围成的三角形面积等知识； （1）根据“未来伴侣函数”的定义，直接由绝对值之和为0得出方程求解； （2）先根据定义求出伴侣函数，再求两函数与y轴的交点及交点坐标，利用三角形面积公式建立方程求解． 【详解】（1）解：∵互为“未来伴侣函数”， 根据定义，，其中， ∴， ∵ 绝对值非负， ∴ ， ∴； （2）解：设的“未来伴侣函数”为， 根据定义，，其中， ∴， ∴且。 ∴， ∴， 对于，当时，，即点， 对于，当时，，即点， 解方程 ， ∵（否则两直线重合，无三角形）， ∴， 代入，即点， 三角形顶点为，，， 底边在y轴上，长度， 高为点C到y轴距离1， 由题意得： ， ∴或， 故选：B． 1．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（   ） A．2 B．3 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系．分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 观察四个选项，三角形第三边的长是3． 故选：B． 2．定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形是“邻等对补四边形”，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，理解“邻等对补四边形"定义，熟练掌握三角形的面积，勾股定理是解决问题的关键． 设，根据“邻等对补四边形”定义得，再根据得①，得②，将①代入②得，由此解出即可得的长． 【详解】解：设， ∵四边形是“邻等对补四边形”，， ， ， ， ， 即①， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 将①代入②，得：， ， 或， 由，解得：， 由，解得：(不合题意，舍去)， 故选：C． 3．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”如图，在中，，，，则中边的“中高偏度值”为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，理解题意是解题的关键． 如图，作边上的中线，边上的高线，由勾股定理得，，则，由，可求，由勾股定理得，，根据边的“中高偏度值”为，计算求解即可． 【详解】解：如图，作边上的中线，边上的高线， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴边的“中高偏度值”为， 故选：B． 4．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 根据“倍长三角形”的定义和直角三角形勾股定理，分三种倍长关系情况讨论，结合一边长为1，求解较长直角边的所有可能取值，共有5种不同值． 【详解】解：设较长直角边为 ，较短直角边为 ，斜边为 ，则 ，倍长关系有三种情况：；；； 又有一条边长为 1，分别讨论： 当，则， 若，则； 若，则； 若，则，； 较长直角边可能为； 当，则， 若，则； 若，则； 若，则，， 较长直角边可能为； 当时，不符合三角形三边关系，不符合题意， 综上，较长直角边所有可能取值为 ，共 5 种． 故选：B． 5．定义：如果一个正整数m能表示成两个不同的正整数a和b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面四个结论：①不是广义勾股数；②是广义勾股数；③广义勾股数的2倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义的理解与应用，有理数的计算，理解题目的定义并正确应用是解题关键．根据题目的定义逐项判断即可． 【详解】解：①∵其中2和3是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义， ∴是广义勾股数，故①错误． ②∵ 其中3和是两个不同的正整数，满足广义勾股数的定义， ∴是广义勾股数，故②正确． ③设m是广义勾股数，且 (a、b为不同的正整数)， 则 ， ∵a、b是不同的正整数， ∴和也是正整数，且，满足广义勾股数的定义， ∴广义勾股数的2倍是广义勾股数，故③正确． ④例如 它们都是广义勾股数， 但无法表示成两个不同正整数的平方和，不满足广义勾股数的定义， ∴不同的广义勾股数的和不一定是广义勾股数，故④错误． 综上，正确的结论有②③，共2个， 6．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)是 (2)4 (3)8 【分析】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论． 【详解】（1）解：由旋转得：，， ∵， ∴， ∴四边形是等补四边形， 故答案为：是； （2）如图2，∵，， ∴将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （3）∵， ∴将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， 当时，的面积最大，为， 则四边形面积的最大值为8． 7．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫黑神话悟空三角形． (1)①根据“黑神话悟空三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； ②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； (2)若是黑神话悟空三角形，，，求的长． 【答案】(1)①是；②是 (2)的长为或． 【分析】本题考查了勾股定理，新定义“黑神话悟空三角形”，等边三角形的性质等知识，理解新定义“黑神话悟空三角形”的定义是解本题的关键． （1）①设等边三角形的边长为，则，在由“黑神话悟空三角形”的定义即可得出结论； ②由，即可得出结论； （2）分；；三种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：①设等边三角形的边长为， ∵， ∴等边三角形一定是“黑神话悟空三角形”， 故答案为：是； ②∵， ∴该三角形是“黑神话悟空三角形”， 故答案为：是； （2）解：∵是直角三角形，， ∴，即． ∵是黑神话悟空三角形，， ∴有三种情况： ①，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ②，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ③，此种情况不成立． 综上，的长为或． 8．在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解：小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有____________；（填序号） (2)性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 求证：平分； 若，，，，则四边形的面积为____________； (3)拓展应用：如图，在中，，，分别在边、上取点，使四边形是邻等对补四边形，当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，则的度数为____________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)； (2)见解析；； (3)或． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“邻等对补四边形”定义判定即可； （）过作于点，作，交于点，则，又四边形是邻等对补四边形，所以，又，则有，证明，所以，从而得点在角平分线上，即有平分；由得，，所以， 又，平分，则，根据三角形性质得，然后通过四边形的面积为，再代入即可求解； （）分四种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别求出的大小即可. 【详解】（1）解：和中对角不互补；符合邻等对补四边形的定义， 故答案为：； （2）证明：过作于点，作，交于点，如图， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在角平分线上， ∴平分； 由得，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：； （3）解：在中，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴；（不满足四边形仅有一组邻边相等，舍去） 当时，如图， 同理；（不满足四边形仅有一组邻边相等，舍去） 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：的大小为或 或． 故答案为：或． 9．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“完美四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)操作判断 用含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是完美四边形的有_______（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出完美四边形的边、角的性质．下面探究与对角线相关的性质．如图2，四边形是完美四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角；并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n的式子表示） (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边上取点M，N，使四边形是完美四边形．当该完美四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)②④ (2)①，理由见解析；②； (3)或 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）①延长至点E，使，连接，证明，可得，，即可解答；②过点A作于点F，根据等腰三角形的性质可得，再由，可得，然后根据直角三角形的性质可得，即可求解； （3）由勾股定理可得，根据“完美四边形”的定义可得，根据仅有一组邻边相等分四种情况讨论，利用勾股定理和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①，理由如下： 如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形是完美四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴； ②如图，过点A作于点F， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，，，， ∴， ， ∵ 四边形是完美四边形， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，连接，则， 在中，， 在和中，， ∴， 解得：， ∴，，满足仅有一组邻边相等， ∴； 当时，如图，连接，则， 在和中， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 当时，如图，连接，则是等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，，满足仅有一组邻边相等， ∴； 当时，如图，连接， 在和中， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上所述，四边形的面积为或． 10．定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“亮点”，例如求的“亮点”，联立，得方程组，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为______ (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值； (3)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上没有“亮点”．P为x轴上一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练地利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得q，进而把点的坐标代入求得p即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“亮点”为； 故答案为：； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∵点又在上， ， ∴， （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， 设， ∵， ， ∴， ， 即或， 解得或， ∴或． 1．在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是； (2)如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点P与原点O的“直角距离”．请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知点是x轴上的一个点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点， ∴，，，， ∴与原点O的“直角距离”等于1的点是，； 故答案为：，； （2）解：设， ∵点P与原点O的“直角距离”， ∴， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 如图1所示， （3）解：由（2）可得：，则点D在正方形边上，如图2， ∴， ∵点D在直线， ∴当时， 即直线过点， 由图2可知：当直线过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线， 把点E的坐标代入中，，， 把点F的坐标代入中，，， 故k的取值范围是：． 2．定义：在平面直角坐标系中，任意两点，，如果，那么称点是点的和差点． 【概念理解】 （1）已知点，，且点是点的和差点，那么根据定义可得：，即．由此可知：点的和差点在一次函数的图像上． 请判断：在点，，中，点的和差点为______； 【初步应用】 （2）若点是点的一个和差点，且点在直线上，求出点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图，已知的顶点坐标分别为，，，点为三条边上的任意一点．请用阴影标注所有点的和差点组成的区域，只需标注网格内（含边界）的部分． 【答案】（1）、；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，直线的交点坐标，解题的关键是数形结合，理解题意． （1）点，，的坐标适合关系式的，即为点的和差点； （2）设，根据新定义得出点Q在直线上，联立，解方程组即可； （3）设点的和差点Q的坐标为，分三种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，当点P在边上时，分别求出点Q所在的范围即可得出答案． 【详解】解：（1）把代入得：， ∴在直线上， 把代入得：， ∴不在直线上， 把代入得：， ∴在直线上， ∴点的和差点为、； （2）设， ∵点是点的一个和差点， ∴， 整理得：， ∴点Q在直线上， 又∵点在直线， ∴联立， 解得：， ∴点的坐标为； （3）设点的和差点Q的坐标为， 当点P在边上时，设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线直线的解析式为：， 设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∴此时点的和差点Q在直线上； 当点P在边上时，设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴此时点的和差点Q在直线和之间； 当点P在边上时，设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴此时点的和差点Q在直线和之间； 综上分析可知：点的和差点Q在直线和之间，如图所示： 3．定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，若，则线段的长为 ； (2)如图2，已知点在线段上，且，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，点在斜边上，且，求证：点是线段的勾股分割点． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了新定义“勾股分割点”、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）由勾股分割点的定义知，代入计算可得； （2）分两种情况：最长和最长，利用勾股定理即可解决问题； （3）过点A作，且．先证，得，，再证，得，然后在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点M，N是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，， ∴， 故答案为：； （2）解：当最长时，， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当最长时，， 设，则， ， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或； （3）证明：如图，过点A作，且， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点M，N是线段的勾股分割点． 4．综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，；理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 初步把握：先证明，再利用“”证明即可； 深入研究：由等边三角形的性质可得，，，再证明，进而证明，得出，即可得解； 拓展延伸：证明，得出，，即可得解． 【详解】初步把握： 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究： 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴．即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 拓展延伸： 解：，；理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 5．定义：如图1，在和中，，当时，我们称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高线叫做的“顶心距”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图2，图3中，与互为“顶补等腰三角形”，是“顶心距”． ①如图2，当时，与之间的数量关系为________； ②如图3，当，时，的长为________． (2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给予证明． (3)拓展应用：如图4，在四边形中，，，，，，在四边形的内部找到点，使得与互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题． ①请用尺规作图，在图中作出点的位置； ②直接写出的“顶心距”的长为________． 【答案】(1)①；② (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得，由全等三角形性质可得BC=DE，即可求解； ②由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （2）过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由全等三角形的性质可得，则可得结论． （3）①如图4中，连接，作的中点，即可求解； ②连接，作于．先证明，都是等边三角形，进一步即可证明与互为“顶补等腰三角形”，再根据直角三角形的性质求出的“顶心距”即可． 【详解】（1）①，； ， 为等腰直角三角形 在与中， ， ． ② ，； 为等边三角形 即： ，， ． （2）猜想：结论． 理由如下：如图，过点作于 ， ， 同理可得：， ， ， ， 在与中， ， （3）①如图所示， ②如图4中，连接,作于． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴和是“顶补等腰三角形”， 在中，∵，， ∴． 2 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业14 新定义问题专题 一、 解题核心步骤（四步拆解法） 步骤1：精读题干，吃透新定义的内涵与外延 这是解题的基础，需逐字逐句分析，避免遗漏关键条件： 1. 圈画关键词：明确新定义的适用范围（如“正整数”“非负数”“平面直角坐标系中”）、限定条件（如“若，则”）、核心规则（如运算公式、图形特征、判定标准）。 例：新定义“对于两个非零实数，定义”，关键词是非零实数（范围）、的运算公式（规则）。 2. 举例验证理解：若题目给出示例，先通过示例验证自己对定义的解读是否正确；若没有示例，主动举简单特例（如代入计算），避免因理解偏差导致后续解题错误。 步骤2：转化建模，将“新定义”转化为“旧知识” 这是解题的核心，本质是用已学知识翻译新定义，常见转化方向如下： 新定义类型 常见转化方向 示例 新运算型（如、） 转化为学过的相关运算 新定义，求→直接代入转化为有理数计算 新图形型（如“准勾股三角形”“智慧三角形”） 转化为三角形、四边形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形等 新定义“准勾股三角形”：有两边的平方和等于第三边平方的2倍→转化为勾股定理的变形应用 新规则型（如“距离函数”“最优解”） 转化为函数图象、几何最值、分类讨论思想 步骤3：结合设问，明确解题目标 新定义题的设问通常分为三类，需针对性处理： 1. 直接应用型：直接利用新定义计算或判断→ 直接代入定义求解。 2. 综合应用型：结合方程、函数、几何性质解题（如“已知，求与的关系”）→ 先代入定义转化为方程，再求解。 3. 拓展探究型：证明新定义的性质或规律（如“证明对任意实数，都有”）→ 利用代数推导或几何证明的方法验证。 步骤4：检验复盘，确保符合定义的限定条件 解题后需检查两个关键点： 1. 结果是否在定义的适用范围内：如新定义要求“正整数解”，则需舍去负数或分数解。 2. 推理过程是否严格遵循新定义：避免用课本知识替代新定义规则（如新定义的运算不满足交换律，就不能随意交换顺序）。 二、 分类型解题技巧 1. 新运算类问题 · 核心技巧：严格代入，按步运算 新运算的本质是“自定义的代数式变形”，解题时需注意： （1） 运算顺序：若有括号先算括号内，再算括号外； （2） 多步运算：分步代入，逐步化简，避免一步到位出错； （3） 含参数运算：先代入转化为方程/不等式，再结合参数的取值范围求解。 例：新定义，若，求的值→代入得→解得。 2. 新图形类问题 · 核心技巧：紧扣特征，数形结合 新图形通常是在课本图形基础上增加限定条件，解题时需： （1） 提取新图形的核心特征（如边长关系、角度关系、位置关系）； （2） 结合课本图形的性质（如三角形内角和、矩形对边相等）； （3） 构造辅助线或直角三角形，将不规则图形转化为规则图形。 例：新定义“等腰梯形的‘准中线’为两底中点连线与两腰中点连线的和”→ 转化为梯形中位线公式，结合等腰梯形的性质计算。 3. 新规则类问题 · 核心技巧：分类讨论，归纳规律 这类题的新规则往往涉及“分类标准”（如“对正整数，定义为的各位数字之和”），解题时需： （1） 按规则的分类标准进行分类讨论，避免遗漏情况； （2） 对计算结果进行归纳总结，找出规律； （3） 结合函数、数列等知识解决拓展问题。 三、 常见易错点规避 1. 对新定义理解片面：忽略定义中的限定条件（如“非零实数”“正整数”），导致结果错误。 2. 知识迁移错误：强行套用课本公式替代新定义规则（如将新运算当作乘法运算）。 3. 分类讨论不全面：新规则涉及多种情况时，漏算其中一种（如新图形的位置有多种可能）。 4. 计算失误：新运算的代数式变形步骤较多，容易出现符号错误或漏项。 四、 实战训练建议 1. 刻意训练“读题—转化”能力：拿到新定义题，先不急于解题，而是用一句话概括新定义的核心内容。 2. 积累常见新定义模型：整理中考真题中的新定义题型，归纳其转化方向（如新运算→整式、新图形→相似）。 3. 错题复盘：记录因理解偏差或分类遗漏导致的错题，标注错误原因。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 与全等三角形相关的新定义问题 1．阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务： (1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由． (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 2．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 3．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 4．【综合与实践】 阅读材料：课本第页数学活动中介绍一种新的几何图形——“筝形”．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 我们研究一种新几何图形的一般过程：先学习定义，再研究性质和判定．而性质的研究，其实就是对图形边，角，对角线等基本要素的研究．八年级某班按照这样的思路对“筝形”的性质开展研究： 第一步：根据定义剪出一个“筝形”； 第二步：用测量、折纸等方法猜想“筝形”边，角，对角形的结论； 第三步：通过证明得到性质． 解答问题： (1)猜想“筝形”的对角线有怎样的结论？请写出来． (2)请画出图形，写出已知，求证并证明得到对角线的性质． (3)从性质进一步探究可得到“筝形”的面积公式，请直接写出“筝形”的面积公式． 5．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 题型二 与等腰三角形相关的新定义问题 6．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 7．我们在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为我们积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是我们尝试给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． (1)观察猜想 定义：四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形具有一些性质，请你猜想一条筝形的性质：______（除定义外）； (2)推理验证 根据数学探究的步骤，对自己的猜想进行推理验证； 任务二： 如图1，筝形中，，，求证：______． (3)性质应用 任务三： 如图2，筝形中，，，，则筝形的面积为______； (4)拓展推广 如图3，在筝形中，，，对角线相交于点O，过点D作于点M，交干点N．若，则______（直接写出的长）． 8．【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 【应用】如图2，和是“友好三角形”，，与相交于点D． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）若的面积为1，点P是直线上的一动点，连接，当图中出现一个三角形和是“友好三角形”时，求出此时的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ． 9．在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； (3)拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 10．定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形叫“恰等三角形”，这条中线叫“恰等中线”． 【直角三角形中的“恰等中线”】 （1）如图，在中，，，，为的中线．求证：是“恰等中线”． 【等腰三角形中的“恰等中线”】 （2）已知，等腰是“恰等三角形”，，求底边的值． 题型三 与勾股定理相关的新定义问题 11．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等腰直角三角形一定_______（填“是”或“不是”）可爱三角形； ②若三角形的三边的长分别是，试判断该三角形是否为可爱三角形，并说明理由； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 12．定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 13．阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ (1)根据·“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，是真命题，还是假命题？并说明理由． (2)在中，两边长分别是这，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． (3)在中，，且，若是奇异三角形，求的值． 14．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出两种你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称： ； (2)如图1，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形； (3)如图2，在四边形中，，，且，连接．探究、和三者之间的数量关系，并说明理由． 15．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 题型四 与一次函数相关的新定义问题 16．如图，在平面直角坐标系中，直线l为第一、三象限的角平分线．定义点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记为．例如，点的一次反射点的坐标为，二次反射点的坐标为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点的坐标为________，二次反射点的坐标为________； (2)若的一次反射点和的二次反射点重合，求的值． 17．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” (1)点的“长距”为______； (2)若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 18．定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“超亮点”，例如求的“超亮点”，联立，得方程组，解得，则的“超亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“超亮点”为___________； (2)一次函数的“超亮点”为，求的值； (3)已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线上没有“超亮点”．点为轴上一点，若，求点的坐标． 19．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 20．定义：若关于x的一次函数，满足，则称这两个一次函数互为“未来伴侣函数”． (1)已知关于x的一次函数和互为“未来伴侣函数”，求a，b的值． (2)若关于x的一次函数有“未来伴侣函数”，这两个函数的图象与y轴所围成的三角形的面积为8，求k的值． 1．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（   ） A．2 B．3 C．10 D．12 2．定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形是“邻等对补四边形”，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 3．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”如图，在中，，，，则中边的“中高偏度值”为（ ） A． B． C． D． 4．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 5．定义：如果一个正整数m能表示成两个不同的正整数a和b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．给出下面四个结论：①不是广义勾股数；②是广义勾股数；③广义勾股数的2倍是广义勾股数；④不同的广义勾股数的和是广义勾股数．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 7．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫黑神话悟空三角形． (1)①根据“黑神话悟空三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； ②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； (2)若是黑神话悟空三角形，，，求的长． 8．在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解：小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有____________；（填序号） (2)性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 求证：平分； 若，，，，则四边形的面积为____________； (3)拓展应用：如图，在中，，，分别在边、上取点，使四边形是邻等对补四边形，当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，则的度数为____________．（直接写出答案即可） 9．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“完美四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)操作判断 用含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是完美四边形的有_______（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出完美四边形的边、角的性质．下面探究与对角线相关的性质．如图2，四边形是完美四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角；并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n的式子表示） (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边上取点M，N，使四边形是完美四边形．当该完美四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出四边形的面积． 10．定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“亮点”，例如求的“亮点”，联立，得方程组，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为______ (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值； (3)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上没有“亮点”．P为x轴上一点，若，求点P的坐标． 1．在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是； (2)如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点P与原点O的“直角距离”．请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知点是x轴上的一个点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 2．定义：在平面直角坐标系中，任意两点，，如果，那么称点是点的和差点． 【概念理解】 （1）已知点，，且点是点的和差点，那么根据定义可得：，即．由此可知：点的和差点在一次函数的图像上． 请判断：在点，，中，点的和差点为______； 【初步应用】 （2）若点是点的一个和差点，且点在直线上，求出点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图，已知的顶点坐标分别为，，，点为三条边上的任意一点．请用阴影标注所有点的和差点组成的区域，只需标注网格内（含边界）的部分． 3．定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，若，则线段的长为 ； (2)如图2，已知点在线段上，且，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，点在斜边上，且，求证：点是线段的勾股分割点． 4．综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 5．定义：如图1，在和中，，当时，我们称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高线叫做的“顶心距”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图2，图3中，与互为“顶补等腰三角形”，是“顶心距”． ①如图2，当时，与之间的数量关系为________； ②如图3，当，时，的长为________． (2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给予证明． (3)拓展应用：如图4，在四边形中，，，，，，在四边形的内部找到点，使得与互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题． ①请用尺规作图，在图中作出点的位置； ②直接写出的“顶心距”的长为________． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $