寒假作业13 折叠问题专题（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 折叠问题专题 一、核心知识点 1. 折叠的基本性质（轴对称性质） · 折叠前后的两个图形全等，对应边相等，对应角相等。 例：将△ABC沿直线l折叠得到△A'BC，则 ，，。 · 折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕上的任意一点到对应点的距离相等。 2. 勾股定理及逆定理 · 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即 若 中，，则 （ 为直角边， 为斜边）。 · 勾股逆定理：若一个三角形的三边长满足 ，则这个三角形是直角三角形（用于判断折叠后是否形成直角三角形）。 3. 常见折叠模型的隐含条件 折叠模型 隐含等量关系 矩形沿对角线/某直线折叠 折叠后重叠部分为等腰三角形；对边相等（，） 直角三角形沿直角边/斜边的高折叠 折叠后会形成新的直角三角形；对应直角边/斜边相等 正方形沿中线/对角线折叠 折叠后角度为 ；边长均相等 二、核心解题技巧（四步走法） 步骤1：找折叠等量关系，标记对应边/角 折叠的核心是“全等”，解题第一步必须根据折叠方式，找出相等的线段和相等的角，并用相同符号标记。 · 关键动作：将折叠后的“重合线段”转化为已知线段的等量代换。 步骤2：构造直角三角形，确定直角边与斜边 勾股定理的应用前提是直角三角形，折叠问题中需先定位或构造直角三角形： · 直接利用原图直角：矩形、正方形的内角都是；直角三角形的直角。 · 辅助线构造直角：若没有现成直角，可作高（如过某点作边的垂线）。 · 关键注意：区分直角边和斜边（斜边是直角所对的边，最长边）。 步骤3：设未知数，用代数式表示三角形三边 折叠问题通常求某条线段长度，设未知线段为，结合步骤1的等量关系，用含的式子表示直角三角形的三条边。 · 常用策略：设较短的未知边为，避免出现分式。 步骤4：列勾股定理方程，求解并验证 将步骤3中表示的三边代入勾股定理公式，建立方程求解，最后验证解的合理性（线段长度为正，且符合图形实际）。 三、常见易错点规避 1. 混淆对应边：折叠后未准确识别全等的对应线段，导致等量关系错误（如把非对应边当作相等边）。 2. 找错直角三角形：误用非直角三角形列勾股定理方程，或混淆直角边与斜边。 3. 忽略解的验证：解方程得到负数解或不符合图形边长的解，未舍去。 4. 漏用隐含条件：忽略矩形对边相等、正方形边长相等这类基础条件，导致线段无法表示。 四、典型题型总结 题型 解题关键 长方形折叠求折痕长度/未知边长 利用矩形对边相等，折叠后构造两个关联的直角三角形（如△ABF和△EFC） 直角三角形折叠求线段长度、或重叠部分面积 先求重叠部分三角形的边长，再用面积公式计算；注意重叠部分是等腰三角形的情况 正方形折叠求角度+边长 结合正方形角的性质，折叠后角度转化，再用勾股定理求边长 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 利用勾股定理解决三角形的折叠问题 1．如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 2．如图，在中，，，，为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 由题意得是直角三角形，，可知，在中，，代入求值即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴即 ∴是直角三角形， ∵为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处， ∴ ∴ ∴   设，则 在中， ∴，解得 故选：C. 3．有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 ； 或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 4．如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，根据实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系；在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴ ∵将进行折叠，使顶点重合 ∴， 设，在中， ∴ 解得： 则 ∴在中， 故答案为：． 5．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 题型二 利用勾股定理解决长方形的折叠问题 6．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，坐标与图形性质．先根据点D的坐标得到，，再由折叠的性质得到，，利用勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】∵四边形是长方形，点D的坐标为， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：D． 7．如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质等知识点， 由折叠性质知，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由四边形是长方形 ， ∴， 由折叠性质知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 8．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 9．在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 10．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 题型三 利用勾股定理解决正方形的折叠问题 11．如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． (1)求线段长． (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的，本题中翻折是解题的关键． （1）设长度为．由题意得，，在中，，根据勾股定理得：，建立方程求解即可； （2）连接，设的长度为，在中，，根据勾股定理得：，在中，，根据勾股定理得；，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设长度为． 由题意得，， 在中，，根据勾股定理得：， 解得： ∴线段的为； （2）解：连接，设的长度为． 由题意得，， ∴在中，，根据勾股定理得：， 在中，，根据勾股定理得；， 解得： 的长为． 12．如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图1）折叠成一个正方形（如图2）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为 ，的长为 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、梯形的面积．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． （1）根据折叠的性质可知正方形的边长为，根据正方形的面积公式求出正方形的面积即可； （2）过点D作，利用勾股定理求出，设，根据梯形的面积公式可知四边形的面积是，由折叠的性质可知梯形的面积是，得到关于的方程，解方程求出的值，即为的长． 【详解】解：由折叠可知，，， ， ， ， 正方形的面积是， 故答案为：； 解：如下图所示，过点D作， 则， ，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 设， 则， 四边形的面积是， 由可知正方形的面积是， 由折叠可知：四边形的面积是， ， 解得：， 的长为． 故答案为：． 13．如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为 ． 【答案】或（或） 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 14．如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由正方形可得，再由折叠可得，，，，利用勾股定理可求的长，进而得到，在中，利用勾股定理构造方程，即可求得的长． 【详解】解：由题意得，， 由折叠的性质可得，，， ，， ； ∵， ∴， ； 设，则， 在中，由勾股定理得 ， 解得 故答案为：． 15．如图，在正方形中，，点是线段上的动点，将沿直线翻折，得到，点是上一点，且，连接，，则当的长为 时，是直角三角形．    【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，翻折变换，全等三角形的判定和性质；分两种情况讨论，利用直角三角形全等的判定和性质以及勾股定理求解即可． 【详解】①当点在直线下方，且时，如图．    又， 点，，三点共线 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 故 ②当点在直线上方，且时，点与点重合， 此时点与点重合， 故． 故答案为：或． 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得，设，则，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故选：C． 2．如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查翻折变换，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点E作，由折叠可知：，，由勾股定理可得，再得，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， 由题意可得：， 由折叠可知：，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：D． 3．如图，在中，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上，则折痕的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用这两个知识是解题的关键； 由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长． 【详解】解：如图，将沿折叠，使点C恰好落在边上点E处， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的不变性． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 5．如图，中，已知，将沿直线折叠，使点与点重合，点、点分别在边和上，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，由勾股定理得，由折叠得，设，则，再根据勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为， 故选：． 6．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 7．如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：D． 8．如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 9．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B'是点B的对应点，延长EB'交DC于点G，B'G＝cm，则△ECG的面积为 cm2． 【答案】 【分析】根据翻折的性质可知△ABE和△AB′E全等，则BE＝B′E，连接AG，可证△AB′G≌△ADG，则DG＝ B′G＝ cm，CG＝10－DG＝ cm，在Rt△ECG中，设BE＝x cm，根据勾股定理列出方程，可求出BE的值，从而求出CE，最后由三角形面积公式求出△ECG的面积. 【详解】根据翻折的性质可知△ABE和△AB′E全等，BE＝B′E， 连接AG，如图， ∵A B′＝AD，AG＝AG， ∴Rt△AB′G≌Rt△ADG， ∴DG＝B′G＝ cm， ∴CG＝10－DG＝ cm， 在Rt△ECG中，设BE＝x cm，则CE＝(10－x)cm，EG＝ B′E＋ B′G＝(x＋)cm, 根据勾股定理列出方程，CE2＋CG2＝EG2, 即, 解得：x＝2, 所以BE＝2 cm，CE＝10－2＝8 (cm)， △ECG的面积＝(cm2) 故答案为：. 10．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 1．如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质以及勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； 当共线时，的值最小，为的长，线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得，设，由折叠的性质得，，从而得到，在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】（1）解：在长方形中，， 为线段的中点， ， 由折叠的性质，得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：． （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长， 此时，点在上的点处，点在点处，如图， ， 在中，由勾股定理得， 设， 由折叠的性质得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 线段的值最小时，的长度为． 故答案为：． 2．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 【答案】(1)1 (2)或13 (3)或10 【分析】（1）由长方形性质得知，，，，再证，则，然后由勾股定理得，则，由此得出结论． （2）分两种情况：E在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答． （3）分两种情况：E在AB上方和下方两种情况，由折叠性质与勾股定理即可解答． 【详解】（1） 四边形ABCD是长方形， ，，，， ， 由翻折性质可知：， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ． （2）存在，分两种情况： 如图③，当点E在长方形内部时： 作于G，设，则 由翻折可知，， 在中，由勾股定理可得：，即 ， 解得：，即， 在与 中： ，解得：． 如图④，当点P运动至与点C重合时，在与中： ， ． 综上，当或时，有． （3）过点E作交AB于点M，交CD于点N． 如图⑤，点E在长方形内部： 则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 如图⑥，点E在长方形外部：则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 综上，若点E到直线AB的距离等于3，或． 3．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出即可； （3）先得到，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）（i）12；（ii）14或4；（2）． 【分析】此题考查了勾股定理、折叠问题等知识． （1）（i）设，则，利用勾股定理得到，则，求出，则； （i）分为锐角和钝角两种情况进行解答即可； （2）连接交于点，则，过点作于，在中，，在中，，根据折叠得到，设，则，由勾股定理得到，求出，进一步由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：（1）（i）设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （i）在中，， 在中，， 当为锐角时，如图，， 当为钝角时，如图，； （2）如图2，连接交于点，则，过点作于， 在中， 在中， 垂直平分， ∴ ， ， ， 设，则 ， ， ， 5．在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 折叠问题专题 一、核心知识点 1. 折叠的基本性质（轴对称性质） · 折叠前后的两个图形全等，对应边相等，对应角相等。 例：将△ABC沿直线l折叠得到△A'BC，则 ，，。 · 折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕上的任意一点到对应点的距离相等。 2. 勾股定理及逆定理 · 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即 若 中，，则 （ 为直角边， 为斜边）。 · 勾股逆定理：若一个三角形的三边长满足 ，则这个三角形是直角三角形（用于判断折叠后是否形成直角三角形）。 3. 常见折叠模型的隐含条件 折叠模型 隐含等量关系 矩形沿对角线/某直线折叠 折叠后重叠部分为等腰三角形；对边相等（，） 直角三角形沿直角边/斜边的高折叠 折叠后会形成新的直角三角形；对应直角边/斜边相等 正方形沿中线/对角线折叠 折叠后角度为 ；边长均相等 二、核心解题技巧（四步走法） 步骤1：找折叠等量关系，标记对应边/角 折叠的核心是“全等”，解题第一步必须根据折叠方式，找出相等的线段和相等的角，并用相同符号标记。 · 关键动作：将折叠后的“重合线段”转化为已知线段的等量代换。 步骤2：构造直角三角形，确定直角边与斜边 勾股定理的应用前提是直角三角形，折叠问题中需先定位或构造直角三角形： · 直接利用原图直角：矩形、正方形的内角都是；直角三角形的直角。 · 辅助线构造直角：若没有现成直角，可作高（如过某点作边的垂线）。 · 关键注意：区分直角边和斜边（斜边是直角所对的边，最长边）。 步骤3：设未知数，用代数式表示三角形三边 折叠问题通常求某条线段长度，设未知线段为，结合步骤1的等量关系，用含的式子表示直角三角形的三条边。 · 常用策略：设较短的未知边为，避免出现分式。 步骤4：列勾股定理方程，求解并验证 将步骤3中表示的三边代入勾股定理公式，建立方程求解，最后验证解的合理性（线段长度为正，且符合图形实际）。 三、常见易错点规避 1. 混淆对应边：折叠后未准确识别全等的对应线段，导致等量关系错误（如把非对应边当作相等边）。 2. 找错直角三角形：误用非直角三角形列勾股定理方程，或混淆直角边与斜边。 3. 忽略解的验证：解方程得到负数解或不符合图形边长的解，未舍去。 4. 漏用隐含条件：忽略矩形对边相等、正方形边长相等这类基础条件，导致线段无法表示。 四、典型题型总结 题型 解题关键 长方形折叠求折痕长度/未知边长 利用矩形对边相等，折叠后构造两个关联的直角三角形（如△ABF和△EFC） 直角三角形折叠求线段长度、或重叠部分面积 先求重叠部分三角形的边长，再用面积公式计算；注意重叠部分是等腰三角形的情况 正方形折叠求角度+边长 结合正方形角的性质，折叠后角度转化，再用勾股定理求边长 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 利用勾股定理解决三角形的折叠问题 1．如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 4．如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段 ． 5．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 题型二 利用勾股定理解决长方形的折叠问题 6．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标是（　　） A． B． C． D． 7．如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 9．在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 10．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 题型三 利用勾股定理解决正方形的折叠问题 11．如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． (1)求线段长． (2)求线段的长． 12．如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图1）折叠成一个正方形（如图2）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为 ，的长为 ． 13．如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为 ． 14．如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ． 15．如图，在正方形中，，点是线段上的动点，将沿直线翻折，得到，点是上一点，且，连接，，则当的长为 时，是直角三角形． 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 3．如图，在中，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上，则折痕的长是（    ） A．5 B． C． D． 4．如图，在中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边的延长线于点，交边于点，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 5．如图，中，已知，将沿直线折叠，使点与点重合，点、点分别在边和上，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 7．如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 8．如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 9．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B'是点B的对应点，延长EB'交DC于点G，B'G＝cm，则△ECG的面积为 cm2． 10．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 1．如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 2．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 3．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 4．（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 5．在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $