寒假作业05 实数（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 实数 知识点1：平方根 平方根 文字语言 举例 定义 如果x²=a,(a≥0)那么x叫做a的平方根。 3²=9,(-3)²=9, 3和-3都叫做9的平方根 表示方法 2的平方根记作 性质 正数的两个平方根互为相反数； 0的平方根是0 负数没有平方根 知识点2：算术平方根 1. 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2. 表示方法：记作“”。 3．算术平方根的性质：具有双重非负性①;②a. 知识点3：立方根 1.立方根：如果x³=a，那么x就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 2.立方根的表示方法： 3.立方根的性质： （1）一个正数有一个正的立方根； （2）一个负数有一个负的立方根； （3）零的立方根是零。 知识点4：实数 1.实数：是有理数与无理数的统称。 2、有理数、无理数概念： （1）有理数：整数和分数统称为有理数，即能写成分数形式的数。 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。 （2）无理数：无限不循环小数，无理数的几种常见表现形式： ①开方开不尽的数，如等； ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； ③有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号） 3.实数的分类 1、按照定义分类 2、按照正负分类 4.实数与数轴上点的关系：一一对应 即一个实数对应数轴上一个点；反之，数轴上一个点对应一个实数。这也是数形结合数学思想的出发点。 5：实数的大小比较与估计 （1）实数的大小比较的常用方法： 方法一：数轴比较法：左<右 方法二: 作差比较法 方法三: 作商比较法 设a、b是两正实数，， 方法四: 平方法 设a、b是两负实数，则。 设a、b是两正实数，则。 （2）无理数的大小估计方法: 先找到离a最近的两个平方数，例如a的前面一个平方数为m,后面一个平方数为n,即m<a<n,则 6.实数的运算 实数的运算有加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等几种运算。 有理数中的所有运算顺序和运算律在实数中都可以正常使用。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 平方根、算术平方根的概念 1．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 2．是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 利用平方根、算术平方根的性质求字母的值 4．若一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． 5．（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 6．已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 题型三 立方根的概念 7．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 8．下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 9．如果，则 ． 题型四 利用平方根、立方根的概念和性质解方程 10．求x的值： (1) (2) 11．解方程： (1)； (2)． 12．求的值： (1)； (2)． 题型五 算术平方根的估算问题 13．一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 14．估算的值在（    ）． A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 15．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 题型六 实数的分类 16．下列四个实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 17．实数，0，，，0.4040040004……（相邻两个4之间多一个0），其中无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型七 实数的混合运算 19．计算：． 20．计算： (1)； (2)． 21．计算： (1)； (2)． 1．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．9的算术平方根是（    ） A． B．3 C．9 D． 3．下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 4．已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 5．估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间 6．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 7．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 8．在实数：，，（每相邻两个1之间依次多1个0），，，，中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列实数中，绝对值最小的数是（） A． B． C． D． 10．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知某数的一个平方根为，则这个数为 ． 12．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是 ． 13．如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． 14．化简 ． 15．立方根等于的实数是 ． 16．已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是 三、解答题 17．求下列各式中x值： (1) (2) 18．求下列各式中的． (1)； (2)． 19．计算： (1)； (2)． 20．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 1．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 2．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 3．综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 4．探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：= ；= ； (2)当时，= ；当时，= ； (3)计算：． 5．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 实数 知识点1：平方根 平方根 文字语言 举例 定义 如果x²=a,(a≥0)那么x叫做a的平方根。 3²=9,(-3)²=9, 3和-3都叫做9的平方根 表示方法 2的平方根记作 性质 正数的两个平方根互为相反数； 0的平方根是0 负数没有平方根 知识点2：算术平方根 1. 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2. 表示方法：记作“”。 3．算术平方根的性质：具有双重非负性①;②a. 知识点3：立方根 1.立方根：如果x³=a，那么x就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 2.立方根的表示方法： 3.立方根的性质： （1）一个正数有一个正的立方根； （2）一个负数有一个负的立方根； （3）零的立方根是零。 知识点4：实数 1.实数：是有理数与无理数的统称。 2、有理数、无理数概念： （1）有理数：整数和分数统称为有理数，即能写成分数形式的数。 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。 （2）无理数：无限不循环小数，无理数的几种常见表现形式： ①开方开不尽的数，如等； ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； ③有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号） 3.实数的分类 1、按照定义分类 2、按照正负分类 4.实数与数轴上点的关系：一一对应 即一个实数对应数轴上一个点；反之，数轴上一个点对应一个实数。这也是数形结合数学思想的出发点。 5：实数的大小比较与估计 （1）实数的大小比较的常用方法： 方法一：数轴比较法：左<右 方法二: 作差比较法 方法三: 作商比较法 设a、b是两正实数，， 方法四: 平方法 设a、b是两负实数，则。 设a、b是两正实数，则。 （2）无理数的大小估计方法: 先找到离a最近的两个平方数，例如a的前面一个平方数为m,后面一个平方数为n,即m<a<n,则 6.实数的运算 实数的运算有加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等几种运算。 有理数中的所有运算顺序和运算律在实数中都可以正常使用。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 平方根、算术平方根的概念 1．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确负数没有平方根，一个正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：A、负数没有平方根，无平方根，此选项不符合题意； B、，的平方根是，此选项不符合题意； C、，故是的平方根，此选项符合题意； D、的平方根是，此选项不符合题意． 故选：C． 2．是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根；根据算术平方根的定义，表示的算术平方根，结果为． 【详解】解：∵表示的算术平方根，且， ∴ ． 故选：A． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的概念，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键；因此此题可根据算术平方根进行求解即可． 【详解】解：∵，∴A错误； ∵，∴B错误； ∵，∴C正确； ∵，∴D错误； 故选C． 题型二 利用平方根、算术平方根的性质求字母的值 4．若一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，可得，求出a的值，即可求解． 【详解】因为一个正数的两个平方根互为相反数， 所以， 解得， 则， 所以这个正数是． 5．（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根与， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 6．已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或9 【分析】（1）根据平方运算，可得的值，求解可得答案； （2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】（1）解：∵的一个平方根是3， ∴，解得． （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或，解得或， ∴或， ∴这个数是1或9． 【点睛】本题考查了平方根的概念，熟练掌握相关定义是解决本题的关键． 题型三 立方根的概念 7．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 8．下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义和性质，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，任何实数都有立方根，依次判断即可. 【详解】解：A、的立方根是，不是，所以 A错误； B、 任何实数都有立方根，的立方根是，所以 B错误； C、 的立方根是，不是，所以 C错误； D、 =， = ，∴ = ，故D正确. 【点睛】本题主要考查的是立方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的定义，掌握乘方的计算是解题的关键． 根据立方根的定义，可直接得出结果． 【详解】解：∵， 由于， 即， 故答案为：． 题型四 利用平方根、立方根的概念和性质解方程 10．求x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是掌握求一个数的平方根和立方根． （1）根据求一个数的平方根解方程； （2）根据求一个数的立方根解方程． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， ， ， 解得． 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了利用立方根和平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）利用立方根的性质解方程即可； （2）利用平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 或 或． 12．求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的定义和立方根的定义，能熟记平方根和立方根的定义是解此题的关键． （1）根据立方根的定义进行解方程，即可得到答案； （2）先移项，再根据平方根的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 题型五 算术平方根的估算问题 13．一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根取值范围的估算，掌握算术平方根取值范围的估算方法是解题的关键． 根据正方形的面积公式，边长是面积的平方根，即．再通过比较邻近的完全平方数，估算的范围即可解答． 【详解】解：∵正方形的面积是11， ∴边长为． ∵，且， ∴，即， ∴边长在3和4之间． 故选C． 14．估算的值在（    ）． A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 15．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出正方形花坛的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：设正方形边长为， 则面积， 解得：， ， ， 边长介于和之间， 故选：D． 题型六 实数的分类 16．下列四个实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义逐一判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是分数，属于有理数，该选项不符合题意； 、属于无理数，该选项符合题意； 、是有限小数，属于有理数，该选项不符合题意； 、，是整数，属于有理数，该选项不符合题意； 故选：． 17．实数，0，，，0.4040040004……（相邻两个4之间多一个0），其中无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②与π有关的数；③有特定规律的无限不循环小数等．根据无限不循环小数是无理数，判断即可． 【详解】解：，0是有理数， ，，0.4040040004……（相邻两个4之间多一个0）是无理数，共3个， 故选：C． 18．在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数的概念，解题关键是依据无理数 “无限不循环小数” 的定义，区分有理数与无理数． 先明确无理数是 “无限不循环小数”，再逐一判断每个数的类型，统计无理数的个数． 【详解】解：逐一分析各数： ：分数，是有理数； 是无限不循环小数，故是无理数； ：是无限不循环小数，故是无理数； ：分数，是有理数； 0：整数，是有理数； ：有限小数，是有理数； （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）：是无限不循环小数，是无理数． 综上所述共有3个无理数． 故选：B． 题型七 实数的混合运算 19．计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根，立方根的意义是解答本题的关键． 先计算算术平方根，立方根，再计算绝对值，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，立方根、平方根的运算，负整数指数幂、零指数幂的运算，熟练掌握幂运算、根式运算的法则是解题关键． （1）先算乘方开方，再算乘除，最后加减，逐步计算得结果； （2）依次处理负指数幂、绝对值、平方根、零指数幂，再合并运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂等知识点，正确计算是解题的关键： （1）先计算算术平方根，立方根，再进行加减运算即可； （2）先根据零指数幂，负整数指数幂，立方根，绝对值进行化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 1．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选B． 2．9的算术平方根是（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根是非负的平方根是解题关键．9的算术平方根是正数3． 【详解】解：9的算术平方根是3， 故选：B． 3．下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，解题的关键是掌握平方根、算术平方根的概念． 根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A、因为负数没有平方根，而是负数，所以没有平方根，故A错误； B、因为0的平方根是0，故B错误； C、因为若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，，所以1的算术平方根是1，故C正确； D、先计算，因为4的平方根是，所以的平方根是，故D错误． 故选：C． 4．已知，则的算术平方根是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的算术平方根，根据算术平方根和绝对值的非负性得到关于的二元一次方程组，求解后，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴的算术平方根是1； 故选B． 5．估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的估算能力， 通过比较平方数确定 的取值范围，然后计算 的区间． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 因此值在2和3之间 故选：C． 6．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 7．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义． 先计算的值，再求其算术平方根得到；计算的值，再求其立方根得到；最后求． 【详解】解：∵， ∴， ∵的算术平方根是， ∴． ∵的立方根是，， ∴． ∴． 故选B． 8．在实数：，，（每相邻两个1之间依次多1个0），，，，中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，算术平方根．根据无理数是无限不循环小数，进行判断每个数是否为无限不循环小数，即可作答． 【详解】解：和都是可分化分数的小数，是有理数， ，4是有理数， 是分数，是有理数， （每相邻两个1之间依次多1个0），，都是无限不循环小数， ∴无理数的个数是3个， 故选：C 9．下列实数中，绝对值最小的数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质以及大小比较．绝对值表示数到原点的距离，绝对值最小的数即离原点最近的数． 【详解】解：∵ ∴绝对值最小的数是， 故选：C． 10．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 二、填空题 11．已知某数的一个平方根为，则这个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个数的平方根有两个，互为相反数．已知一个平方根为，则这个数为该平方根的平方． 【详解】解：． 故答案为：． 12．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是 ． 【答案】121 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握一个正数的两个不相等的平方根互为相反数． 根据平方根的性质，正数的两个不相等的平方根互为相反数，列出方程求解参数，再计算平方根的值，最后求原数． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 则一个平方根为， 因此这个正数为． 故答案为：121． 13．如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故答案为：． 14．化简 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2026． 15．立方根等于的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据立方根的定义，若一个实数的立方根为 ，则该实数为 ，计算可得结果． 【详解】解：∵， ∴立方根等于的实数是． 故答案为 ． 16．已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是 【答案】3 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求一个数的算术平方根． 利用平方根互为相反数的性质求a，利用立方根的定义求b，再计算，求其算术平方根即可． 【详解】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得， 又的立方根是3， ， 解得， ， 的算术平方根， 故答案为： 三、解答题 17．求下列各式中x值： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）将原方程整理得，再等号两边同时开立方，得到一个一元一次方程，即可求解． （2）将原方程整理得，再等号两边同时开平方，得到两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 两边同时开立方，得 解得． （2）解： 两边同时开平方，得或 解得，． 18．求下列各式中的． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根、立方根的定义是解决本题的关键． （1）将常数项移到等式右边，再将系数化为，开平方求解即可． （2）将系数化为，开立方求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， ． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、立方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂等知识点，正确计算是解题的关键： （1）先计算算术平方根，立方根，再进行加减运算即可； （2）先根据零指数幂，负整数指数幂，立方根，绝对值进行化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 20．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，估算无理数的大小等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出，，，即可得出答案； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 1．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 2．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是_____； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“青一区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， ，即， 的“青一区间”为， ， ，即， ， ， 为正整数， 或 当时，， 当时，， 的值为2或； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 两式相减，得， ， 的算术平方根为， ∵ ∴， ， 的算术平方根的“青一区间”是． 3．综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】(1)4，16，25这三个数是“漂亮数” (2)1，9，16；4，25，64（答案不唯一） (3)81 【分析】本题主要考查了新定义和算术平方根，解题关键是理解已知条件中的定义． （1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【详解】（1）解：，，， ，20，10都是整数， ，16，25是“漂亮数”； （2）1，9，16这三个数称为“漂亮数”； 4，25，64这三个数称为“漂亮数”，理由如下： ，，， 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； ，，， 4，25，64这三个数称为“漂亮数”； （3）∵正整数， ∴。 三个算术平方根为、、。 ∵，， ∴“最小算术平方根”为15，“最大算术平方根”为。” ， ． 解得． 的值为81． 4．探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：= ；= ； (2)当时，= ；当时，= ； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解题的关键是理解题意，把握算术平方根的意义． （1）根据题目给出的式子特征按要求填空即可； （2）根据题目给出的式子特征按要求填空即可； （3）分别表示出算式中的算术平方根，再运用有理数加法运算律计算即可． 【详解】（1）解：根据给出的示例得， ， ， 故答案为：；； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：；； （3）解： ． 5．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）；（3）欢欢的想法不对，理由见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $