寒假作业06 勾股定理（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 勾股定理 知识点1：勾股定理 文字语言 符号语言 图形语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 知识点2：勾股定理的验证方法 1.验证勾股定理的基本思想：用两种不同的方法表示同一种图形的面积，验证勾股定理. 2.常用来验证勾股定理的图形有： 知识点3：勾股定理的逆定理 1.勾股数的概念：可以构成直角三角形三边的一组正整数。 2.勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 3. 勾股定理的逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形ABC 结论 直角三角形ABC 关系 知识点4：利用勾股定理解决实际问题的步骤 1. 将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 2. 确定所求线段所在的直角三角形； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 利用勾股定理解三角形 1．求图中各直角三角形未知的边长． 2．如图，是的高，是的中线．若，求的长． 3．如图，，E是上的一点，且，． (1) 与全等吗？并说明理由． (2)若，求的长． 题型二 利用勾股定理解决折叠问题 4．如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则 ． 6．我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 题型三 勾股定理的证明与验证 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 8．著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理． 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米． 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______． 9．如图，以的斜边为直角边作等腰直角三角形，再作，交的延长线于点E．请利用面积相等证明勾股定理． 题型四 利用勾股定理解决实际问题 10．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． (1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； (2)若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 11．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 12．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 题型五 勾股定理与网格问题 13．如图，下面的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形． (1)在图1中，画一条长度为的线段； (2)在图2中，画一个，使它的三边长为无理数且面积为5； (3)在图3中，画一个面积为3的四边形． 14．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形． (1)在图1中画出一个等腰． (2)在图2中画出一个，且其三边都为无理数． 15．【借助图形构造无理数】通过学习《勾股定理》和《实数》，给定单位长度，一些无理数可以借助图形构造出来，如图，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．但小明发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． .如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度，为格点三角形，，，其中线段的长为无理数．点为格点，，，以点为圆心，长为半径画弧交网格线于点，连接，，其中线段的长为无理数． .如图所示的数轴中，点分别表示和，作，且，以点为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点，则点表示的数为无理数． 请阅读上面资料，完成以下任务： (1)图中，线段的长分别是______，______； (2)图中，点表示的数为______； (3)仿照图作法，请在图的数轴上找出对应的点（保留作图痕迹）； (4)如图，嘉丽在平面直角坐标系中做出了长度为无理数的线段，已知点坐标为，点坐标为，点为轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 题型六 利用勾股定理解决探究线段平方关系问题 16．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 17．如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 18．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形． (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 题型七 勾股数的概念 19．下列各组数中，是勾股数的是（） A．7，10，12 B．，， C．6，8，10 D．5，8，12 20．下列四组数中，是勾股数的一组是（    ）． A．1，1，2 B．，， C．3，4，5 D．3，4，6 21．下列各组数中，是一组勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．，， C．1，1， D．5，13，13 题型八 勾股定理逆定理的应用 22．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米． (1)求小溪流的长． (2)求四边形的面积． 23．在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 24．如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A．1，， B．，， C．，， D．，， 2．已知一个直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的第三条边的长为（     ） A．5 B． C．8 D．5或 3．已知一直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．6 4．下列说法中正确的是（    ） A．已知是三角形的三边长，则 B．在直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方 C．中，分别是、、的对边，若，则 D．中，分别是、、的对边，若，则 5．如图，在中，D是的中点，于点E，与交于点O，已知，，的长是（    ） A． B．3 C． D． 6．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 7．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 二、填空题 11．如图，在中，，的平分线交于点，是的垂直平分线，点是垂足．若，，则的长为 ． 12．如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2026个等腰直角三角形的斜边长是 ． 13．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 ． 14．勾股定理神秘而美妙，它的证明方法多样，其巧妙各有不同．用4个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放（直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为）．若图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37，则五边形的周长为 ． 15．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 16．如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为 ． 三、解答题 17．（1）在中，，，，求． （2）在中，，，，求的长． 18．如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，．求的长． 19．为了缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库．如图，某建筑公司提供了该地下停车库入口的设计示意图，按规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便停车人判断车辆能否安全驶入．为了标明限高，请你根据图中数据计算的长． 20．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 1．探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 22．在中，．若，如图1，根据勾股定理，则． (1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论． (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由． 23．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 24．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形．我们称这条线段为该三角形的机灵线，这个三角形叫做机灵三角形． (1)如图，在机灵三角形中，，为该三角形的机灵线，，，则长为___________，的度数为___________； (2)如图，中，，，，为斜边中点，连接并延长至点．当时，．求证：是的机灵线； (3)如图，中，，．若是机灵三角形，且为机灵线，求的长． 25．阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 勾股定理 知识点1：勾股定理 文字语言 符号语言 图形语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 知识点2：勾股定理的验证方法 1.验证勾股定理的基本思想：用两种不同的方法表示同一种图形的面积，验证勾股定理. 2.常用来验证勾股定理的图形有： 知识点3：勾股定理的逆定理 1.勾股数的概念：可以构成直角三角形三边的一组正整数。 2.勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 3. 勾股定理的逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形ABC 结论 直角三角形ABC 关系 知识点4：利用勾股定理解决实际问题的步骤 1. 将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型； 2. 确定所求线段所在的直角三角形； 3. 根据勾股定理，列方程求解。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 利用勾股定理解三角形 1．求图中各直角三角形未知的边长． 【答案】；； 【分析】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出边长解答．根据勾股定理得出边长即可． 【详解】解：由勾股定理可得，图（1）中，； 图（2）中，； 图（3）中，． 2．如图，是的高，是的中线．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义，勾股定理，掌握三角形的高与中线的定义，勾股定理是解题的关键． 根据条件，得到，利用勾股定理计算出，再通过中线的含义即可得到答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 3．如图，，E是上的一点，且，． (1) 与全等吗？并说明理由． (2)若，求的长． 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，则，得，由勾股定理得，再由勾股定理求的长． 【详解】（1）与全等，理由如下： 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 题型二 利用勾股定理解决折叠问题 4．如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则． 故选：C． 5．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，结合三角形内角和定理 ，从而可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ∵直角三角形纸片中，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 6．我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 【答案】(1) (2)6 (3)或3或 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可； （2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可； （3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E． ， ∵四边形是长方形， ． ， ， ； 设，则， 在中，，根据勾股定理得，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴的面积为， 故答案为：6； （3）解：①若， ， ； ②若，作于点， ，，， ， ， ； ③若，则，，， ，， ， ； 综上所述，或3或． 题型三 勾股定理的证明与验证 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 8．著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理． 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米． 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了勾股定理的推导与应用、方程思想（利用勾股定理列方程）．熟练掌握“双求法”表示图形面积、勾股定理的实际应用是解题的关键． （1）用“双求法”表示梯形面积，一方面直接用梯形面积公式，另一方面拆分为三个三角形面积和，列等式推导勾股定理． （2）设，利用勾股定理列方程求，再计算． （3）设，用勾股定理表示（分别通过和），列方程求，再求． 【详解】解：（1）梯形面积：，三个三角形面积和：， ∵梯形面积三个三角形面积和， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴千米， 故答案为：； （3）设，则， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴． 9．如图，以的斜边为直角边作等腰直角三角形，再作，交的延长线于点E．请利用面积相等证明勾股定理． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查勾股定理的证明，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理的证明解答即可． 【详解】证明：， 是直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ，， ， ，，， ， ，， ， ， ， 四边形是梯形， 梯形中，，， ， 等腰直角三角形中，， ， ，， ， ， ． 题型四 利用勾股定理解决实际问题 10．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． (1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； (2)若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 【答案】(1)正确，见解析； (2)风筝垂直下降的高度为 【分析】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，用勾股定理解三角形，求风筝高度(勾股定理的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用勾股定理的逆定理求解； （2）先求得，再利用勾股定理求得，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度． 【详解】（1）解：他的说法正确． 理由如下： ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，． （2）由题意得，， ∵， ∴． ∵， ∴在中，． ∴， 即风筝垂直下降的高度为． 11．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 12．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，，，， 是直角三角形，， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． （2）解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 台风影响海港持续的时间为． 答：． 题型五 勾股定理与网格问题 13．如图，下面的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形． (1)在图1中，画一条长度为的线段； (2)在图2中，画一个，使它的三边长为无理数且面积为5； (3)在图3中，画一个面积为3的四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理和利用网格求三角形面积是解题关键． （1）根据画图即可； （2）根据画图即可； （3）根据画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，四边形即为所求， 14．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形． (1)在图1中画出一个等腰． (2)在图2中画出一个，且其三边都为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的性质画图即可，由图可得，即△是等腰三角形． （2）利用网格按照题意画图即可，由图可得可得，得出． 【详解】（1）解：如图1，等腰△即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图2，△即为所求（答案不唯一）． 15．【借助图形构造无理数】通过学习《勾股定理》和《实数》，给定单位长度，一些无理数可以借助图形构造出来，如图，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．但小明发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． .如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度，为格点三角形，，，其中线段的长为无理数．点为格点，，，以点为圆心，长为半径画弧交网格线于点，连接，，其中线段的长为无理数． .如图所示的数轴中，点分别表示和，作，且，以点为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点，则点表示的数为无理数． 请阅读上面资料，完成以下任务： (1)图中，线段的长分别是______，______； (2)图中，点表示的数为______； (3)仿照图作法，请在图的数轴上找出对应的点（保留作图痕迹）； (4)如图，嘉丽在平面直角坐标系中做出了长度为无理数的线段，已知点坐标为，点坐标为，点为轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)画图见解析 (4)或或或 【分析】（）利用勾股定理解答即可求解； （）由勾股定理求出的长度，再根据数轴上两点间距离公式解答即可； （）以数轴上“个单位长度”为直角边、“个单位长度”为另一直角边构造直角三角形，其斜边长度即为，再以为半径，原点为圆心画弧，与轴的正半轴的交点即为所求的点； （）分、、三种情况，分别画出图形，根据等腰三角形的定义和性质以及勾股定理解答即可求解； 本题考查了数轴与实数，勾股定理，等腰三角形，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴， 在中，∵，，， ， 故答案为：，； （2）解：∵点分别表示和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点对应的数是， ∴点表示的数为，即， 故答案为：； （3）解：如图所示，点即为所求； （4）解：若，如图， 则， ∴点坐标为； 若，如图， 设点坐标为，则，， ∵， ∴， 解得， ∴点坐标为； 若，如图， 则， ∴点的横坐标为或， ∴点坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 题型六 利用勾股定理解决探究线段平方关系问题 16．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 17．如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：在等腰中，，在等腰中， ， ，，， ， ． ． （2）由（1）知， ∵在等腰中，， ． ， ． ． ， ． 18．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； （2）解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； （3）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 题型七 勾股数的概念 19．下列各组数中，是勾股数的是（） A．7，10，12 B．，， C．6，8，10 D．5，8，12 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握知识点是解题的关键． 勾股数是满足勾股定理的正整数组，需同时满足正整数和的条件，即可解答． 【详解】解：勾股数需为正整数且满足， 对于A：，不符合； 对于B：，，不是正整数，不符合； 对于C：，相等，且均为正整数，符合； 对于D：，不符合； 故选C． 20．下列四组数中，是勾股数的一组是（    ）． A．1，1，2 B．，， C．3，4，5 D．3，4，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故此项不是勾股数，不符合题意； B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； C、，且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意； D、，故此项不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 21．下列各组数中，是一组勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．，， C．1，1， D．5，13，13 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：A、，是一组勾股数，故选项符合题意； B、，，都是分数，不是正整数，不满足勾股数要求，故选项不符合题意； C、不是正整数，不满足勾股数要求，故选项不符合题意； D、，不满足勾股数要求，故选项不符合题意； 故选：A． 题型八 勾股定理逆定理的应用 22．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米． (1)求小溪流的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)千米 (2)平方千米 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，千米，千米， ∴（千米）； （2）解：∵千米，千米，千米． ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴（平方千米）． 23．在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，连接，先由勾股定理得，根据勾股定理逆定理可得，则有为直角三角形，然后通过，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵，，， ∴由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，    ∴ ． 24．如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． （1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A．1，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足． A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意； C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； D：，是“勾股数”，故此选项符合题意． 故选D． 2．已知一个直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的第三条边的长为（     ） A．5 B． C．8 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握定理内容并分类讨论是关键；根据4为直角边与斜边两种情况，利用勾股定理即可完成． 【详解】解：当3和4是直角边时， 在直角三角形中，第三边长为； 当3是直角边，4是斜边时， 在直角三角形中，第三边长为； 故选：D． 3．已知一直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，与三角形的高相关的计算． 先由勾股定理求斜边长，再利用等积法求斜边上的高． 【详解】解：∵ 直角边分别为6和8， ∴ 斜边长为 设斜边上的高为，则， 解得, ∴斜边上的高为． 故选：B． 4．下列说法中正确的是（    ） A．已知是三角形的三边长，则 B．在直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方 C．中，分别是、、的对边，若，则 D．中，分别是、、的对边，若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查的是勾股定理，熟知定理内容是解答此题的关键． 根据勾股定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵ 勾股定理规定：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； A、三角形未必是直角三角形，∴ 不一定成立，故说法错误； B、直角三角形中，任意两边的平方和不一定等于第三边的平方，只有两直角边的平方和等于斜边的平方， 故说法错误； C、在中，，则a是斜边，∴ 应有，而非，故说法错误； D、在中，，则c是斜边，∴ ，说法正确； 故选：D． 5．如图，在中，D是的中点，于点E，与交于点O，已知，，的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得到，由等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，易得可证是等边三角形得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键． 利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， D、利用C中结论，本选项不符合题意． 故选B． 7．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再利用勾股定理求得，从而可求得“数学风车”的周长． 【详解】解：如图， ∵小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的，， ∴，，“数学风车”的周长为， ∵，， ∴， ∴“数学风车”的周长为， 故选：D． 8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，设点到直线的距离为，等积法进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， 由网格可知：， 设点到直线的距离为，则：，即， 解得； 故选：B． 9．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解这个方程得：， 故选：C． 10．如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点．通过延长线构造全等三角形，将转化为，结合勾股定理求线段长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 二、填空题 11．如图，在中，，的平分线交于点，是的垂直平分线，点是垂足．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质、勾股定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质求出，根据角平分线的性质求出，再根据勾股定理计算得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，． 是的平分线，，， ， 由勾股定理得：． 故答案为：． 12．如图，已知是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2026个等腰直角三角形的斜边长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、数字规律等知识点．先根据勾股定理计算第1个，第2个，第3个，第4个等腰直角三角形的斜边长，再找到规律，再利用规律求出第2026个等腰直角三角形的斜边长． 【详解】解：根据勾股定理可得： 第1个的斜边； 第2个的斜边； 第3个的斜边； ．．．．．． 第n个等腰直角三角形的斜边； 所以第2026个等腰直角三角形的斜边． 故答案为：． 13．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 ． 【答案】a2+b2＝c2 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系． 【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2． 还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2， 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2． 【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 14．勾股定理神秘而美妙，它的证明方法多样，其巧妙各有不同．用4个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放（直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为）．若图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37，则五边形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式与图形面积；先根据面积大小得出，再利用完全平方公式可得，利用平方根解方程可得，由此即可得． 【详解】解：五边形的面积等于一个边长为c的正方形的面积与两个直角边长分别为a、b的直角三角形的面积之和， 由勾股定理得：， 则五边形的面积为； 图中阴影部分的面积为， ∴图中空白部分的面积为， ∵图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 又∵， ∴（负值已舍）， ∴正方形的边长为5， 五边形的周长为， 故答案为：24． 15．如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】分情况讨论：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形；②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形；③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形；画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：①如图1，把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，连接， ∵长方体的宽为，高为，点离点， ∴，， 在中，由勾股定理得，； ②如图2，把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，连接， ∵长方体的宽为，高为，点离点， ∴，， 在中，由勾股定理得，； ③如图3，把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形， ∵长方体的宽为，高为，点离点， ∴， 在中，由勾股定理得，； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 16．如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理推出．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出△的面积． 【详解】解：连接，， ，分别是和中垂线， ，， ， ， ， ， ， △的面积． 故答案为：24． 三、解答题 17．（1）在中，，，，求． （2）在中，，，，求的长． 【答案】（1）5；（2）12 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵中，，，， ∴； （2）∵中，，，， ∴． 18．如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：设，则， 中，， ， 解得：， 则． 19．为了缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库．如图，某建筑公司提供了该地下停车库入口的设计示意图，按规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便停车人判断车辆能否安全驶入．为了标明限高，请你根据图中数据计算的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出的长，再根据，即可求出的长． 【详解】解：由题可知，，，，， 在中，由勾股定理，得， ， ． 答：的长为． 20．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， ∵，，， 而，即， ∴， ∴是直角三角形. （2）解：∵，，， ∴ 过点A作于点G， 由（1）得，是直角三角形， ∴ ∴ ∵滚轮半径 ∴购物车上篮子的左边缘D到地面的距离为． 1．探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【答案】(1)①5；②； (2)1． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）①由题意可知，，根据计算即可； ②由题意得到，，可知，求出，再根据求出，即可求出直角三角形的周长； （2）先证明、是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可． 【详解】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12， ∴，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）； ②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴该直角三角形的周长； （2）解：∵， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 2．在中，．若，如图1，根据勾股定理，则． (1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论． (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形三边关系，利用分类讨论的方法解不等式，灵活作高是解题的关键． （1）过点作的延长线于点，在中，，，，在中，，，那么有，化简可得，从而推出与的大小关系； （2）假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和，根据三角形三边关系有，再结合（1）的结论，可得到的范围，从而解得答案． 【详解】（1）解：，证明过程如下： 过点作的延长线于点，如图所示： 不妨设， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）解：存在，三边为2，3，4，理由如下: 假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和， 那么有， ， 由（1）的结论可知，， ， ， 或， ， 或， 又， ， 当时，，， 综上，存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 3．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； (3)【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 【答案】(1)①，  ② (2) (3)①  ② 【分析】本题是三角形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题.也考查了勾股定理和类比的方法. （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号) ，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （2）利用（1）中的方法画出图形，设 则利用勾股定理得到， 根据三角形三边的关系得到而 (当且仅当、、共线时取等号)，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可. 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②连接， 由①可得， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，作，，，，，点是线段上的动点，连接，，设，． ∴，， ∴， 连接， ∵(当且仅当、、共线时取等号)， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （3）①解：画出边长为的正方形，在边上截取出长为，，的线段，作图如下： 则，， ， 利用两点之间线段最短可知：(当且仅当、、、共线时取等号) ， ， 的最小值为， 的最小值为； ②分别以，为边长作出矩形，则，取，的中点为， 连接， ，， 如图， 则，， ，， ∴以为边的三角形的面积， ， ∴以为边的三角形的面积为， 故答案为： ． 4．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形．我们称这条线段为该三角形的机灵线，这个三角形叫做机灵三角形． (1)如图，在机灵三角形中，，为该三角形的机灵线，，，则长为___________，的度数为___________； (2)如图，中，，，，为斜边中点，连接并延长至点．当时，．求证：是的机灵线； (3)如图，中，，．若是机灵三角形，且为机灵线，求的长． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，含有直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （）由题得，则，进而可证是等边三角形，所以，即为等腰三角形，再利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，即，即可得证； （）由题可知为直角三角形，进而分类讨论，利用含有的直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是机灵三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 故答案为：，； （2）证明：在中，，， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴为直角三角形， ∴是机灵三角形， ∴是的机灵线； （3）解：∵是机灵三角形，且为机灵线， ∴为直角三角形， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； 当时，如图， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 综上，的长为或． 5．阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【答案】探究1（1）①6，8，10；②见解析；探究2（2）①，；②，，证明见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式． （1）①根据为正整数举例即可； ②通过计算验证给定公式满足勾股定理即可； （2）①根据奇数勾股数的规律，勾的平方减1除以2得股，加1除以2得弦即可； ②由①得出规律，并证明其满足勾股定理即可． 【详解】解： 探究1：（1）①∵3，4，5是一组勾股数， 又为正整数， ∴当时，，，，且， ∴6，8，10也是一组勾股数（答案不唯一） ②证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴a，b，c是一组勾股数 （2）①如果勾为7，则股，弦， 故答案为：；； ②当（，且n为奇数）时，，； 证明：∵，， ∴， ∴该规律合理． 故答案为：；． 49 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $