寒假作业09 几何综合（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 几何综合题 知识点1：全等三角形的概念和性质 1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。完全重合即形状相同，大小相等。 2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等， 面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 知识点2：全等三角形的判定方法： 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 知识点3：全等三角形的主要模型 图示 已知条件 重要结论 倍长中线模型 是的中线，延长至点,使. 一线三等角模型 上，. 半角全等模型 等腰中，, 点在边上，且,将绕着点逆时针旋转，得到,连接. 手拉手全等模型 等腰,，AB=AC,AD=AE,, 对角互补模型 如图，与互补，是的平分线，过作. 知识点4：线段的垂直平分线的性质与判定 1. 线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。 2. 线段的垂直平分线的性质、点在垂直平分线上的判定 性质 点在垂直平分线上的判定 图形 文字语言 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 符号语言 作用 证明线段相等 证明某个点在线段的垂直平分线上 3. 线段的垂直平分线的尺规作图方法： 1.分别以A,B为圆心，大于AB的一半为半径画弧，交于C,D两点； 2.过C,D两点作直线CD,则CD即为线段AB的垂直平分线。 知识点5：角平分线的性质与判定 1.角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 2.角平分线的性质定理、判定定理： 性质定理 判定定理 图形 文字语言 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言 作用 证明线段相等 证明角相等 知识点6：等腰三角形 1.等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 【点拨】等边三角形是等腰三角形的特例。 2.等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在直线。 3.等腰三角形的性质定理： 性质名称 文字语言 几何语言 图形语言 等边对等角 等腰三角形的两底角相等 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合 4.等腰三角形的判定方法： 方法一：定义法； 方法二：判定定理（等角对等边） 文字语言：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 符号语言： 【点拨】 “等边对等角”与“等角对等边”有什么区别？ （1）等边对等角是等腰三角形的性质，作用是用于证明角的相等，只能用于一个三角形内的两个角； （2）等角对等边是等腰三角形的判定方法，作用是用于证明线段的相等，只能用于一个三角形内的两条线段。 知识点7：等边三角形 1.等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 2．等边三角形性质： ①轴对称性：是轴对称图形，有3条对称轴； ②等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°； ③等边三角形的三边相等； ④三线合一； 3．等边三角形的判定方法： 方法一：定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法二：三角相等法：三个角都相等的三角形是等边三角形(判定1)； 方法三：等腰+60度法 有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.（判定2最常用） 知识点8：直角三角形的性质 1.直角三角形性质1： 文字语言：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言： 2.直角三角形性质2： 文字语言：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 知识点9：勾股定理 文字语言 符号语言 图形语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 知识点10：勾股定理的逆定理 1.勾股数的概念：可以构成直角三角形三边的一组正整数。 2.勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 3. 勾股定理的逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形ABC 结论 直角三角形ABC 关系 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 全等三角形倍长中线模型问题 1．【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 2．【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 3．【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是：______． （2）的取值范围是______． 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，交于点F，若，则“燕尾”四边形的面积为______． 题型二 一线三等角模型问题 4．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 5．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 6．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 题型三 借助全等探究线段数量关系问题 7．（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 8．在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 9．已知，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 题型四 借助全等探究角的数量关系问题 10．问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用： （2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 11．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 12．（1）如图1，点，是边长为的正方形的边上两点，且．为了探究，，之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长到，使，连接，先证，再结合得出的结论证明，得，从而得到，，之间的数量关系是___________；的周长是__________． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，点，分别在和的延长线上，且满足，请探究和间的数量关系． 题型五 全等三角形与动点问题 13．如图，在中．直线l经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿B－C－A路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，求t的值； (3)要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出的值． 14．如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 15．如图1，在中，，直线经过点，过点、分别作，垂足分别为和，． (1)①求证：； ②求的长； (2)如图2，点以3个单位长度/秒的速度从点出发沿着边运动，到终点，点以8个单位长度/秒的速度从点出发沿着线段运动，到终点两点同时出发，运动时间为秒（），当点到达终点时，两点同时停止运动，过点作于点，过点作于点； ①当点在线段上时，用含有的代数式表示线段的长度； ②当与全等时，求t的值． 题型六 利用勾股定理解决折叠问题 16．在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点到直线的距离； (2)如图2，点在的内部，试直接写出，，之间的数量关系________． 17．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 18．在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 题型七 利用勾股定理探究线段间的关系 19．【模型呈现】 如图1，为的中线，交的延长线于点E，求证：． 【应用1】 如图2，为的中线，交于点E，交于点F，且．若，，求线段的长． 【应用2】 如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 20．综合与实践： 【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，，点E在线段上，连接，则和的数量关系是____________． 【观察猜想】（2）如图2，将（1）中的绕点C顺时针旋转，点E落在线段上，其他条件不变，此时的度数是____________，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】如图3，是等腰直角三角形，其中，，D为外一点，且，连接BD，若，，请直接写出的长度． 21．在中，，，是边所在直线上与点，不重合的两点． (1)如图，当，时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，当，时，已知，，求线段的长； (3)如图，当，时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型八 等腰三角形的性质与判定综合问题 22．如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． (1)如图1，若，求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 23．如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 24．在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 1．如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 2．如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 3．四边形中，，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点M在上，点N在上，连接、、，若，求证：； (3)如图3，当点M在延长线上，点N在的延长线上，连接，若，求证：平分． 4．在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 5．如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 6．如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 7．已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，当点在线段上，连接，求证：； (2)如图2，当点是延长线上一点，过点作于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，，分别是，上两个动点，满足，且，当最小时，直接写出的大小为_____（用含的式子表示）． 8．问题：在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，请完成下列探究问题． (1)【特例引路】当点为的中点时，如图1，请判断线段与的数量关系，并说明理由． (2)【猜想证明】如图2，点在边上，但点不在的中点处，猜想与的数量关系，并说明理由．（辅助线提示：过点作交于点） (3)【变式探究】如图3，点在的延长线上，点在线段上（不与点重合），请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明：若不成立，写出与的数量关系，并说明理由． 9．如图，在中，，，．点是边上一点，且．在上方作射线，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，连结、、．设点的运动时间为秒． (1)边的长为______； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)当时，探究与有怎样的数量关系，并说明理由； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 10．（1）如图①，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 问题探究： （2）如图②，四边形中，，，，．求的长． 问题解决： （3）如图③，中，，是一个变化的角，以为边向外作等边，连接，试探究，随着的变化，的长是否存在最大值？若存在，求出长的最大值及此时的大小；若不存在，请说明理由． 1．【观察】 （1）如图，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】 当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】 （）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为______． （）如图，点，在上，为的中点，平分．求证：． 【拓展】 （4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 2．在Rt中，，点在直线上． (1)如图1，分别过点，作于点，于点，，当时，与是否全等，请说明理由； (2)当时，如图2，点与点关于直线对称，连接，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒． ①___________；当在路径上时，___________；（用含的代数式表示） ②求当与全等时的值． 3．已知，中，，，为直线上一动点，连接，在直线左侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交线段的延长线于点，求证：． (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，请直接写出的值． 4．如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． (1)如图1，若，求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 5．如图，是等边三角形，D，E两点是边和上的动点（点D不与点B重合），满足，与交于点F． (1)直接写出的度数； (2)作点B关于直线的对称点M，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形： ②请写出一个k的值，使得对于满足上述条件的任意一点F，总有成立，并证明． ③设等边三角形的边长为2，直接写出周长的最小值为__________． 6．如图，在等腰中，，为上的点，．求证：． 7．在中，，，，点为直线上一点，且． (1)如图1，点在线段延长线上，若，求的度数； (2)如图2，与在图示位置时，求证：平分； (3)如图3，若，，将图3中的（从与重合时开始）绕点按顺时针方向旋转，且点与点不重合，当为等腰三角形时，求的值． 8．在中，，，过作于点． (1)如图1，过作于点，连接，若，求线段的长； (2)如图2，为平面内一点，连接，在中，，，延长与交于点，过点作交于点，若在一条直线上，求证：； (3)如图3，为上一点，连接，为上一点，若，，，连接，请直接写出线段的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 几何综合题 知识点1：全等三角形的概念和性质 1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。完全重合即形状相同，大小相等。 2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高） 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等三角形的周长相等， 面积相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 知识点2：全等三角形的判定方法： 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 知识点3：全等三角形的主要模型 图示 已知条件 重要结论 倍长中线模型 是的中线，延长至点,使. 一线三等角模型 上，. 半角全等模型 等腰中，, 点在边上，且,将绕着点逆时针旋转，得到,连接. 手拉手全等模型 等腰,，AB=AC,AD=AE,, 对角互补模型 如图，与互补，是的平分线，过作. 知识点4：线段的垂直平分线的性质与判定 1. 线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。 2. 线段的垂直平分线的性质、点在垂直平分线上的判定 性质 点在垂直平分线上的判定 图形 文字语言 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 符号语言 作用 证明线段相等 证明某个点在线段的垂直平分线上 3. 线段的垂直平分线的尺规作图方法： 1.分别以A,B为圆心，大于AB的一半为半径画弧，交于C,D两点； 2.过C,D两点作直线CD,则CD即为线段AB的垂直平分线。 知识点5：角平分线的性质与判定 1.角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 2.角平分线的性质定理、判定定理： 性质定理 判定定理 图形 文字语言 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言 作用 证明线段相等 证明角相等 知识点6：等腰三角形 1.等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 【点拨】等边三角形是等腰三角形的特例。 2.等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在直线。 3.等腰三角形的性质定理： 性质名称 文字语言 几何语言 图形语言 等边对等角 等腰三角形的两底角相等 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合 4.等腰三角形的判定方法： 方法一：定义法； 方法二：判定定理（等角对等边） 文字语言：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 符号语言： 【点拨】 “等边对等角”与“等角对等边”有什么区别？ （1）等边对等角是等腰三角形的性质，作用是用于证明角的相等，只能用于一个三角形内的两个角； （2）等角对等边是等腰三角形的判定方法，作用是用于证明线段的相等，只能用于一个三角形内的两条线段。 知识点7：等边三角形 1.等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 2．等边三角形性质： ①轴对称性：是轴对称图形，有3条对称轴； ②等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°； ③等边三角形的三边相等； ④三线合一； 3．等边三角形的判定方法： 方法一：定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法二：三角相等法：三个角都相等的三角形是等边三角形(判定1)； 方法三：等腰+60度法 有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.（判定2最常用） 知识点8：直角三角形的性质 1.直角三角形性质1： 文字语言：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言： 2.直角三角形性质2： 文字语言：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 知识点9：勾股定理 文字语言 符号语言 图形语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 知识点10：勾股定理的逆定理 1.勾股数的概念：可以构成直角三角形三边的一组正整数。 2.勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 3. 勾股定理的逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形ABC 结论 直角三角形ABC 关系 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 全等三角形倍长中线模型问题 1．【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 【答案】（1）（2）（3）见解析 【分析】（1）延长至点E，使，连接， 证明，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点F，使，连接，可证，可得，，证明，得到，即得； （3）延长到R，使得，连接，证明，可得，，可证，可得， ，得，． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即； 故答案为：； （2）延长至点F，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长到R，使得，连接， ∵点Q是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ，，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)B； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是：______． （2）的取值范围是______． 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，交于点F，若，则“燕尾”四边形的面积为______． 【答案】（1），（2），（3）8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，等腰三角形的判定与性质等知识． （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，再根据三角形的三边关系求出，即可求解； （3）利用倍长中线法构造全等三角形证得，根据全等三角形的性质得到，，，再根据已知条件证明是等腰直角三角形并计算的面积，最终“燕尾”四边形的面积即为的面积． 【详解】解：（1）延长到E，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． （3）如图，延长到点G，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：8． 题型二 一线三等角模型问题 4．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 5．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明见解析． （2），证明见解析． （3） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 6．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三 借助全等探究线段数量关系问题 7．（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3） 【分析】本题考查“全等三角形的判定与性质”，灵活运用中点构造出全等三角形进行线段转换和计算是解题关键． （1）延长，构造全等三角形，将，，放在同一个三角形的三边中，利用三角形三边关系即可找出的范围； （2）先延长，构造全等三角形，再借助这个全等三角形，得到与全等的三角形，从而得到与的关系； （3）延长到，使，同（1）可证，得出，，利用角的和差关系及外角性质得出，利用证明，即可得． 【详解】（1）解：如图，延长至点E，使得， ∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可知，， ∴，即， ∵， ∴； （2）证明：如图，延长至点E，使得， 同（1）理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长到，使， ∵，， ∴， ∴， 同（1）可证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）延长到点G，使，连接，则，先依据“”判定和全等得，，进而得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到H，使，连接，则，先证明，进而可依据“”判定和全等，则，，继而结合已知条件可得出是的平分线，由此可依据“”判定和全等，则，据此即可得出答案； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①延长到点G，使，连接，如图1所示： ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ②在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，之间的数量关系是：， 故答案为：①，②． （2）解：结论仍然成立，理由如下： 延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立． （3）解：， 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 9．已知，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)结论不成立，有，理由见解析． 【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，除了一般三角形全等的判定方法外，还要掌握直角三角形特殊的全等判定，根据三角形全等将结果中的三条线段转化到一条直线中，得出结论． （1）由得，根据证明得，由代入可得结论； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，根据证明得，再由得出结论． 【详解】（1）①如图①，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②∴， ∴； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，理由是： 连接， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 题型四 借助全等探究角的数量关系问题 10．问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用： （2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），过程见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）对于图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；对于图3：在上截取，使，连接，同图2法进行求解即可； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． （2）对于图2，，理由如下： 在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 对于图3：对于图3，，理由如下：在上截取，使，连接， 同图2法可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 11．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）如图2，， 理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 12．（1）如图1，点，是边长为的正方形的边上两点，且．为了探究，，之间的数量关系．某同学的方法是：如图1，延长到，使，连接，先证，再结合得出的结论证明，得，从而得到，，之间的数量关系是___________；的周长是__________． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，点，分别在和的延长线上，且满足，请探究和间的数量关系． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质得到，则可证明，得到；进一步证明，得到，则可证明，再根据三角形周长计算公式求解即可； （2）延长到H，使得，连接，证明，得到；证明，得到，则可证明； （3）延长到G，使得，连接，证明，得到；再证明，得到；根据周角的定义可推出，即． 【详解】解：（1）如图所示，延长到，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长； 故答案为：；； （2）如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，延长到G，使得，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五 全等三角形与动点问题 13．如图，在中．直线l经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿B－C－A路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，求t的值； (3)要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出的值． 【答案】(1)当，，当，； (2)或或或 (3)4或或16． 【分析】本题考查动点问题，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论，以免漏解. （1）根据题意分在上和在上求解即可； （2）由题意分当在上、在上、在上、在上四种情况求解即可； （3）分、、、四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：， 当在上时，即，，则； 当在上时，即，； 所以当，，当，； （2）解：当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，解得； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，此时运动了， 即，解得； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，此时运动了， 即，解得； 综上，当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，或或或 ； （3）解：当时，点M在上，点N在上，如图， ，， ， ， ， 要使与全等，则， ， 解得； 当 时，即点M在上，点N在上，如图， 若、两点重合，则与全等， 此时， 即， 解得； 当时，即点M在上，点N在上，如图， ，， ， ， ， 要使与全等，则， ， 解得（舍去）； 当时，点M停在点A处，点N在上，如图， 当点与重合时，若，则与全等， 此时， 解得， 综上，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为4或或16， 故答案为：4或或16． 14．如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)证明：； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为2时，求t的值； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且．当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，求t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)t的值为或 (3)t的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据三角形高的定义和直角三角形锐角互余，得到，，结合，根据即可证得结论； （2）根据题意可求得，，，，且，然后分两种情况讨论：①当点Q在线段上时，则；②当点Q在线段上时，则；结合三角形面积公式，列出方程解出t的值即可； （3）由（1）可知，可推出，结合已知条件，分两种情况讨论：①当点F在线段的延长线上时，此时，，；②当点F在线段上时，此时，，；据此列出方程解答即可． 【详解】（1）证明：∵、为边上的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∵动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动， ∴，，且 ①当点Q在线段上时，则，此时， ∴， 解得； ②当点Q在线段的延长线上时，则，此时， ∴， 解得； 综上，当的面积为2时，t的值为或； （3）解：①如图，当点F在线段的延长线上时， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等， ∴， 此时，， ∴， 解得； ②如图，当点F在线段上时， 同①可得，， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，当以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等时，t的值为或． 15．如图1，在中，，直线经过点，过点、分别作，垂足分别为和，． (1)①求证：； ②求的长； (2)如图2，点以3个单位长度/秒的速度从点出发沿着边运动，到终点，点以8个单位长度/秒的速度从点出发沿着线段运动，到终点两点同时出发，运动时间为秒（），当点到达终点时，两点同时停止运动，过点作于点，过点作于点； ①当点在线段上时，用含有的代数式表示线段的长度； ②当与全等时，求t的值． 【答案】(1)见解析；； (2)；等于或． 【分析】（）先证明，由即可得出； 由全等三角形的性质得出，，即可得出； （）当点在线段上时，根据即可得出答案； 分两种情况：当点在线段上时，，则，得，解得；当点在线段上时，，则，解得；即可得出答案． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 解：由得：， ∴，， ∴； （2）解：当点在线段上时，如图所示： ； 分两种情况：当点在线段上时，， ∴， ∴， 解得：； 当点在线段上时，， 即点与重合，，则， 解得：； 综上所述，当与全等时，则等于或． 题型六 利用勾股定理解决折叠问题 16．在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点到直线的距离； (2)如图2，点在的内部，试直接写出，，之间的数量关系________． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查几何变换的综合应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形的性质和折叠的性质，求出和的长度即可解答； （2）过点作交的延长线于点，证明，根据折叠的性质即可解答． 【详解】（1）①证明：， ． ， ． 在和中， ． 沿直线翻折，得到， ， ． ②， ，， ， ，， ． ， ． 由翻折得，，， ， ． ， 点、点、点三点共线， ． 设点到直线的距离为， 则， 即． 答：点到直线的距离为． （2）解：如图， 过点作交的延长线于点， ． ， ． ， ． ， ． ， ． ，， ，． 由翻折得，，， ， ，即． ， ． 故答案为：． 17．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，求的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长（注：长方形的对边平行且相等）． 【答案】（1）的长为24；（2）的长为6；（3）的长为5或20 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定 （1）由折叠得到，然后对运用勾股定理即可求解； （2）先证明，设，则，在中，由勾股定理建立方程，即可求解； （3）设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况：①如图，当点在长方形内部时，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时，由折叠的性质得：，同①得，此时，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长为20． 【详解】解：（1）， ， 由折叠的性质得：， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即的长为24； （2）四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为6； （3）四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点则，分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即的长为5； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，同①得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，即的长为20； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为5或20． 18．在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①等边三角形，点为的中点， ， ， ； ， ②证明：， 同理①得， 为等边三角形； （2）， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， ． （3）如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同理可得：， ． 题型七 利用勾股定理探究线段间的关系 19．【模型呈现】 如图1，为的中线，交的延长线于点E，求证：． 【应用1】 如图2，为的中线，交于点E，交于点F，且．若，，求线段的长． 【应用2】 如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】[模型呈现]见解析；[应用1]7；[应用2]，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． [模型呈现]证明即可得出结论； [应用1]过点B作交延长线于点，由前面结论得到，结合条件，易证，，从而得解； [应用2]过点作交延长线于点，连接，易证，得到，推出，再利用勾股定理即可得出结论． 【详解】[模型呈现]证明：， ，． 为的中线， ， ， ． [应用1]解：过点B作交延长线于点， ， 是中线， ， ， ， ， ， ， ，， ． ． [应用2]解：线段、、之间的等量关系为：． 理由如下：过点作交延长线于点，连接， ，， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 20．综合与实践： 【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，，点E在线段上，连接，则和的数量关系是____________． 【观察猜想】（2）如图2，将（1）中的绕点C顺时针旋转，点E落在线段上，其他条件不变，此时的度数是____________，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】如图3，是等腰直角三角形，其中，，D为外一点，且，连接BD，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）根据证明，得，，由勾股定理可求，，据此即可求解； （3）过点C作，且，连接，由等腰直角三角形的性质可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求出的长． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2），，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；， ∴； ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，过点C作，且，连接，    ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．在中，，，是边所在直线上与点，不重合的两点． (1)如图，当，时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，当，时，已知，，求线段的长； (3)如图，当，时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)7 (3)，理由见解析 【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，得出，根据勾股定理，即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点，根据旋转的性质得出，，，，证明，，再根据勾股定理求出结果即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转得出，，，，，证明，得出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】（1）解：结论：．理由如下： 将绕点逆时针旋转得到，连接，如图所示： ，，，， ，， ∴， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， 即． （2）解：将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点，如图所示， ，， ， 根据旋转可得：，，，， ， ， ， 又，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ∴（负值舍去）， ． （3）解：结论：．理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ，， ∴， 根据旋转可得：，，，，， ， ， ， ∵，， ∴， ， 在中，， ， ． 题型八 等腰三角形的性质与判定综合问题 22．如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． (1)如图1，若，求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及几何最值问题，解题的关键是通过构造辅助线（如延长线段构造全等三角形）转化线段和角的关系，利用全等三角形和特殊三角形的性质解决问题． （1）由推出是等边三角形，得；结合等边的性质，证；用证，得出． （2）延长至H使，证，得；证，得；由，推出． （3）延长至Q使，证，得且；结合，证是等腰直角三角形，得，利用（2）的结论分析角度关系，求出． 【详解】（1）解：， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：；证明如下： 如图，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ，则， 在和中， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使，连接， 因，则， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由（2）得，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 当时， 取最小值，即取最小值，此时． 23．如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 【答案】(1)①；；②结论仍然成立，理由见解析 (2)16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“手拉手模型”，并会通过辅助线构造模型是解题的关键． （1）①先证，再证，则可得，，进而可得；②结论仍然成立，方法同①即可证明； （2）过点作，交于点，构造等腰直角三角形，再同（1）中方法证明得到，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，过点A作于G，则都是等腰直角三角形，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；； ②结论仍然成立，理由如下： ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴结论仍然成立； （2）解：∵，且， ∴； 如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点A作于G，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴． 24．在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据题意得到是等边三角形，证得是等边三角形，再证明，即可解答； （2）利用角的等量代换证明，过点作，交于点，得到是等边三角形，证明，即可得证； （3）根据题意求出，过点作于点，交于点，过点作于点，利用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，过点作，交于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 1．如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)16或 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵，， ∴， 由（2）得， ∴， 的周长为：， 故答案为：或 ． 2．如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；根据全等三角形的性质证明； （2）同（1）方法证明即可； （3）同（2）方法求解． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ， ； ，， ． （2），证明如下， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即． （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即 3．四边形中，，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点M在上，点N在上，连接、、，若，求证：； (3)如图3，当点M在延长线上，点N在的延长线上，连接，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用． （1）连接，证明，得到，，即可证明； （2）延长到，使，连接，得到，根据得到，证明，得到，，，即，，证明，得到，即可证明； （3）作交于，可知，证明，得到，证明，得到，即可证明平分． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （2）证明：延长到，使，连接 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴（），     ∴，， 即，， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， 即； （3）证明：如图，作交于， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， 即平分． 4．在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 5．如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或8 (3)的值为2或6或10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，绝对值方程等知识点，解题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形全等的性质． （1）当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）①根据题意即可求解． ②当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出等式求解即可． （3）根据题意分为当点P在边上时和当点P在边上时，根据全等三角形的性质列出等式求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点，， ∴， ∵， ∴； （2）若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图1，当点P在边上时，， ； 故答案为：； ②如图2，当点P在边上时（点P不与点D重合）， 则， ∴， 若， 则，解得：或． （3）解：若点P以每秒个单位长度的速度运动，秒后， 当点P在边上时，与全等时， ∵， 则， ∴，解得：； 当点P在边上时，若与全等， ∵， 则， ∵， ∴，解得：或； 综上，或或． 6．如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 【答案】(1)①；；②结论仍然成立，理由见解析 (2)16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“手拉手模型”，并会通过辅助线构造模型是解题的关键． （1）①先证，再证，则可得，，进而可得；②结论仍然成立，方法同①即可证明； （2）过点作，交于点，构造等腰直角三角形，再同（1）中方法证明得到，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，过点A作于G，则都是等腰直角三角形，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；； ②结论仍然成立，理由如下： ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴结论仍然成立； （2）解：∵，且， ∴； 如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点A作于G，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴． 7．已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，当点在线段上，连接，求证：； (2)如图2，当点是延长线上一点，过点作于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，，分别是，上两个动点，满足，且，当最小时，直接写出的大小为_____（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质综合，掌握全等三角形的构造是解题关键． （1）根据两个等边三角形的性质，证明，即可求得； （2）作，分别证明与即可证得； （3）延续前两问的解题思路，构造出等边，通过三角形三边关系确定的最小值，最后根据三角形外角和定理即可求得． 【详解】（1）证明：与为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2），理由如下， 如图，连接，过点E作延长线于点H， 与均为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 如图，过点A在右侧作，且，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， 当三点共线时，取得最小值， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 8．问题：在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，请完成下列探究问题． (1)【特例引路】当点为的中点时，如图1，请判断线段与的数量关系，并说明理由． (2)【猜想证明】如图2，点在边上，但点不在的中点处，猜想与的数量关系，并说明理由．（辅助线提示：过点作交于点） (3)【变式探究】如图3，点在的延长线上，点在线段上（不与点重合），请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明：若不成立，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)结论成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定，解题的关键是： （1）根据三线合一的性质求出，，根据等边对等角以及三角形外角的性质求出，然后根据等角对等边即可得出答案； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，推出，根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得出答案； （3）过点作交于点，证明是等边三角形，推出，根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形， ， ∵点E为中点， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ，即， ， ， 又， ， ； （3）解：结论仍成立，理由如下： 过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ，即， 又， ， 又，， ， ． 9．如图，在中，，，．点是边上一点，且．在上方作射线，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，连结、、．设点的运动时间为秒．       (1)边的长为______； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)当时，探究与有怎样的数量关系，并说明理由； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2) (3)，见解析 (4)或 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定和性质，结合勾股定理是解本题的关键．综合性较强． （1）利用勾股定理计算即可； （2）利用等腰直角三角形的性质即可解答； （3）根据直角三角形两个锐角互余，可证明，进一步证明，即证明，即得出答； （4）根据题意可求出的值和的最小值，可推断，即该等腰三角形不可能是．再分类讨论和两种情况结合勾股定理，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 若为等腰三角形，则只能是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故为等腰三角形时，． （3）解：当时，如下图所示： 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （4）解：分类讨论： 当时，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， 此时； 当时： ∵，，， ∴， 点到直线的距离与长度一致，， ∵， 即，故该情况不存在； 当时，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 令，则， ∴，, ∵， ∴， ∴， 解得， 则， 综上，的值为或． 10．（1）如图①，已知，以、为边向外分别作等边和等边，连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 问题探究： （2）如图②，四边形中，，，，．求的长． 问题解决： （3）如图③，中，，是一个变化的角，以为边向外作等边，连接，试探究，随着的变化，的长是否存在最大值？若存在，求出长的最大值及此时的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）存在，的最大值为13，此时． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，求出，证明，可得结论； （2）如图②中，以为边向外作等腰直角，证明，推出，利用勾股定理求出即可； （3）存在，如图③中，以为边向外作等边，连接，证明，推出，可得结论． 【详解】解：（1）． 理由：∵，都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）如图②中，以为边向外作等腰直角，，连接． ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）存在．如图③中，以为边向外作等边，连接． ∵，都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A，C，F共线时，的值最大，最大值为， ∴的最大值为，此时． 1．【观察】 （1）如图，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】 当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】 （）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为______． （）如图，点，在上，为的中点，平分．求证：． 【拓展】 （4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 【答案】（）；（）；（）见解析；（）或 【分析】（）利用线段互相平分的性质，结合全等三角形判定证明三角形全等，进而得到线段平行且相等； （）利用与互相平分得出相等线段，再通过判定，由全等得对应角相等，结合的内错角关系，得到，最终计算出的度数； （）先通过延长到点，使得，连接，结合是中点， 利用证明，得到且；再由平分推出，结合已知，利用证明，最终证得； （）利用中线定义和的条件，结合三角形三边关系确定的取值范围，进而得到整数的值． 【详解】（）解：∵和互相平分， ∴，， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴且， 故答案为：=． （）∵和互相平分， ∴， 在和中 ∴ ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （）（证法不唯一）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （）如图，过点作，且，在上截取，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，此时可得， ∴， ∴是的中点，此时的值最小，最小值为． ∴， ∴， ∴整数的值为或． 2．在Rt中，，点在直线上．    (1)如图1，分别过点，作于点，于点，，当时，与是否全等，请说明理由； (2)当时，如图2，点与点关于直线对称，连接，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒． ①___________；当在路径上时，___________；（用含的代数式表示） ②求当与全等时的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；．②秒或秒． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、对称的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，再利用即可解答； （2）①直接根据题意以及线段的和差即可解答；②动点N沿路径运动，点N沿路径运动，点N沿路径运动三种情况，分别根据全等三角形的判定定理列式计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ； （2）解：①由题意得：，，则， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴． 故答案为：；． ②∵点与点关于直线对称， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，与全等， 当点N沿路径运动时，，解得，（不合题意）， 当点N沿路径运动时，，， ∴，解得：； 当点N沿路径运动时，由题意得：，， ∴，解得：． 综上所述，当与全等时，y的值为秒或秒． 3．已知，中，，，为直线上一动点，连接，在直线左侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交线段的延长线于点，求证：． (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． （1）通过倒角证明即可； （2）作的延长线于点，先证出，进一步再证出，最后倒边即可； （3）根据点需要分两种情况讨论，设，通过证三角形全等，再倒边可分别求出和的值，最后根据面积公式即可求出比值． 【详解】（1）证明：，， ，， ， 又，， ， ． （2）证明：如图， 作的延长线于点， 同理（1），， ，． ， ． 又，， ， ， 即． ， ． （3）， ． 由题意知，点需分两种情况： 当在线段上时，如图， 作的延长线于点， 同理（1），， ，． ， ． 同理（2），， ． 设，则，， ， ， ； 当在的延长线上时，如图， 作的延长线于点， 同理，，， 设，则，， ，， ． 综上所述，的值为或． 4．如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． (1)如图1，若，求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及几何最值问题，解题的关键是通过构造辅助线（如延长线段构造全等三角形）转化线段和角的关系，利用全等三角形和特殊三角形的性质解决问题． （1）由推出是等边三角形，得；结合等边的性质，证；用证，得出． （2）延长至H使，证，得；证，得；由，推出． （3）延长至Q使，证，得且；结合，证是等腰直角三角形，得，利用（2）的结论分析角度关系，求出． 【详解】（1）解：， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：；证明如下： 如图，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ，则， 在和中， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使，连接， 因，则， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由（2）得，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 当时， 取最小值，即取最小值，此时． 5．如图，是等边三角形，D，E两点是边和上的动点（点D不与点B重合），满足，与交于点F． (1)直接写出的度数； (2)作点B关于直线的对称点M，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形： ②请写出一个k的值，使得对于满足上述条件的任意一点F，总有成立，并证明． ③设等边三角形的边长为2，直接写出周长的最小值为__________． 【答案】(1) (2)①见解析；②当时，，证明见解析；③6 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，则可证明，得到，再根据三角形外角的性质可得答案； （2）①根据题意画出图形即可；②延长到Q，使得，连接，可证明，得到，，则可证明，得到；延长到P，使得，连接，则是等边三角形，证明，得到，则可证明是等边三角形，据此可得结论；③作点M关于直线的对称点T，连接，可证明的周长，则当D、C、T三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长加上2；证明是等边三角形，得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：①依题意补全图形如图所示； ②当时，，证明如下： 由（1）知， 如图所示，延长到Q，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴； 由轴对称的性质可得； ∵点N为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图所示，延长到P，使得，连接，则是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ③如图所示，作点M关于直线的对称点T，连接， ∵等边的边长为2， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点M为定点， ∴点T为定点， ∵， ∴当D、C、T三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长加上2； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 1 / 99 学科网（北京）股份有限公司 $