寒假作业16 阶段性复习检测2（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业16 阶段性复习检测2 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 2．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．如图．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 第3题 第4题 4．如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，下列结论：①；②；③；④若，则；正确的是（  ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 6．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绸索，绳索从木柱上端顺木桂下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部9尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，直线与轴正半轴交于点，若，则直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．如图，和都是等边三角形且点A，C，E在一条直线上，相交于点O，与相交于点F，与相交于点G，连接，则①；②；③；④平分；⑤，正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①③④ 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9．化简： ， ． 10．如图，在中，，，，，那么的值是 ． 第10题 第11题 11．如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于 ． 12．若线段轴且，点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 13．将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 第13题 第15题 14．阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是，，则最长边是，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是，，则该三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ． 15．如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为．若小正方形的面积为4，，有下列说法：①，②，③一个直角三角形的面积为10；④大正方形的边长为其中正确的是 填序号 第16题 第17题 第18题 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，与正比例函数的图象交于点，若一次函数的图象与直线，不能围成三角形，则k的值为 ． 18．如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（）与虚线（）表示，那么在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是 ． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题10分）计算 (1) (2) 20．（本题10分）求下列各式中的． (1)； (2)． 21．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标； (2)若点在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点的坐标． 22．（本题10分）如图所示，已知，，． (1)求证：； (2)说明与的位置关系． 23．（本题10分）如图，在中，，点D在上，，点E在上，． (1)求的长度； (2) ，给出证明； (3)求证：点E为线段中点． 24．（本题10分）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 25．（本题12分）【综合与实践】甲乙两人匀速从学校出发到米处的图书馆看书，甲出发分钟后，乙以米/分的速度沿同一路线行走．学习了一次函数以后，同学们用一次函数来研究行程问题．小明同学绘制两人到学校的距离（米）与甲出发时间（分钟）的函数图像（如图），小敏同学绘制了甲乙两人相距（米）与甲行走的时间为（分）函数图像的一部分（如图）．根据图像回答下列问题： (1)甲行走的速度为______米/分；乙到学校的距离的函数表达式______． (2)在图中______分钟；______米； (3)在图坐标系中，补画关于函数图象的剩余部分；这一部分的函数表达式为：______；它对应的自变量的取值范围是______； (4)当甲出发______分钟时甲、乙两人相距米． 26．（本题12分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 27．（本题12分）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，的面积被直线分成的两部分，求此时点C的坐标； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业16 阶段性复习检测2 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意； B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意； C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； D、一角一边不能确定三角形，此项错误，不符合题意； 故选：B． 2．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 3．如图．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，，， ∴，故选项D正确，不符合题意； ∴，选项C错误，符合题意， 故选：C. 4．如图，在中，P、Q分别是、上的点，作，，垂足分别为R、S，若，则这四个结论中正确的有（    ） ①AP平分；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，根据角平分线判定定理即可推出①，根据即可推出②，根据等腰三角形性质推出，推出，根据平行线判定推出③即可；无法证明故④错误． 【详解】解：∵， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故③正确； 在和中，缺少全等条件，故④错误， 故选：B． 5．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，下列结论：①；②；③；④若，则；正确的是（  ）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，含30度角的直角三角形的性质全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 根据角平分线的性质定理得到①正确；根据含30度角的直角三角形的性质得到，可判定②错误；如图所示，连接，证明，得，证明，得，根据含30度角的直角三角形的性质可判定③正确；根据题意，勾股定理得到，由四边形内角和定理，角的转换得到，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴，故①正确； ∵，是角平分线， ∴， ∵， ∴在中，， 同理，， ∴，故②错误； 如图所示，连接，    ∵是线段的垂直平分线， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， 解得，， ∴， 在中，， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， 在中，，故④错误； 综上所述，正确的有①③， 故选：B ． 6．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绸索，绳索从木柱上端顺木桂下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部9尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，直线与轴正半轴交于点，若，则直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据已知条件得到，，求得，，过点作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为，解方程组即可得到结论． 【详解】解：对于一次函数，令，得，令，则， ∴，． ∴，． 如图，过点作交于，过作轴于，则， ， 是等腰直角三角形． ． ， ， ∵， ． ，． ∴． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． 故选：B． 8．如图，和都是等边三角形且点A，C，E在一条直线上，相交于点O，与相交于点F，与相交于点G，连接，则①；②；③；④平分；⑤，正确的是（） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质等知识， 证明，可判断①，由得到，即可得到，可判断②，证明，得到，因为，可判断③，过点分别作于点两点，证明，得到，可判断④，证明为等边三角形，进一步得到，可判断⑤，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即，， 在和中， ， ∴， ∴，故①符合题意； 又∵， ∴，故②符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不符合题意； 过点分别作于点两点，如图： ，， ， 在和中， ， ， ， 又∵在的内部， ∴平分，故④不符合题意； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①②⑤， 故选：C． 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9．化简： ， ． 【答案】 5 4 【分析】本题考查了求算术平方根、立方根，根据算术平方根和立方根的定义直接计算，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：，， 故答案为：；． 10．如图，在中，，，，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，通过 “公共高相等” 建立方程是解题关键． 设，由，可知，再利用公共高，结合勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，由，可知， 在中，， 在中，， 故， 解得，即． 故答案为：． 11．如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点B到边的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题以网格背景考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形，是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，即得点B到的距离为边． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴点B到的距离为． 故答案为：． 12．若线段轴且，点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 由于线段平行于轴，则点和点的纵坐标相同；根据，点的横坐标与点的横坐标相差，可求点的坐标． 【详解】解：轴，点的坐标为， 点的纵坐标为， 又， 点的横坐标为或． 点的坐标为或， 故答案为：或． 13．将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 即， 整理得：． 故答案为：． 14．阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是，，则最长边是，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是，，则该三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ． 【答案】 锐角 或 【分析】（1）先确定最长边，计算最长边的平方与另外两边平方和的大小，根据材料中的规则判断三角形形状； （2）分 “是最长边” 和 “ 是最长边” 两种情况，利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：（1）由， 可知， ∴该三角形是锐角三角形； 故答案为：锐角； （2）∵三边长分别为，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查三角形形状的判断（勾股定理的拓展），涉及的知识点是勾股定理、三角形三边关系．解题中用到的方法是分类讨论法（第二问需考虑最长边的不同情况）．解题关键是准确确定最长边，避免漏解（第二问易忽略 “ 是最长边” 的情况）．易错点是第二问漏算其中一种情况，导致答案不完整． 15．如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键． 由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点B的对应点落在边的三等分点处，， ∴或， 由题意，得， 如图1，当时， 在中，由勾股定理，得：， ， ， ； ②如图2，当时， 在中，由勾股定理，得：， ， ， ． 综上所述，线段的长为或5． 故答案为：或5． 16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为．若小正方形的面积为4，，有下列说法：①，②，③一个直角三角形的面积为10；④大正方形的边长为其中正确的是 填序号 【答案】①②④ 【分析】本题考查勾股定理 ——以弦图为背景的计算题．根据可判断①；根据小正方形的面积为4，可判断②；结合①②，通过计算可判断③；根据勾股定理可判断④． 【详解】解：，， ，故①正确； 小正方形的面积为4， ，故②正确； ，， ，， 一个直角三角形的面积为，故③错误； 大正方形的边长为，故④正确； 故答案为：①②④． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，与正比例函数的图象交于点，若一次函数的图象与直线，不能围成三角形，则k的值为 ． 【答案】或2或 【分析】本题考查一次函数的图象与性质的理解与综合应用能力．主要涉及一次函数图象上点的坐标特征，即经过函数的某点一定在函数的图象上；两直线平行，k值相等．恰当利用待定系数法求出一次函数与坐标轴的交点坐标，巧用“图象信息”进行分析是解本题的关键．利用待定系数法将点代入的解析式中即可求解b的值，再由的解析式得其恒过点，后根据图象移动变化可知当与，平行或经过点时符合题意，最后得出结论． 【详解】解：把点代入得，， ， 的解析式为， 的解析式为，当时，， 恒过点． 、、不能围成三角形， 当与平行时，、、不能围成三角形，则； 当与平行时，、、不能围成三角形，则； 当经过点时，、、不能围成三角形，则，解得． 当，2或时，、、不能围成三角形． 故答案为：或2或． 18．如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（）与虚线（）表示，那么在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用问题，解题的关键是看懂函数图象并掌握待定系数法求一次函数解析式的方法， 先求出第一次相遇的时间，再求出直线的解析式，联立直线的解析式即可得出第二次相遇的时间． 【详解】解：根据甲15-33分钟运动了2千米， 所以可得甲这段时间的速度为：/分， 故从5千米运动至6千米需要9分钟， 即6千米对应的时间为24分钟， 可得：第一次相遇的时间是第24分钟， 故乙的速度为：/分 的解析式为 点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 即直线的解析式为， 联立直线与直线的解析式可得：， 解得：， 即第二次相遇的时间是第38分钟， 所以乙领先甲时的x的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题10分）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可； （2）先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（本题10分）求下列各式中的． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根、立方根的定义是解决本题的关键． （1）将常数项移到等式右边，再将系数化为，开平方求解即可． （2）将系数化为，开立方求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， ． 21．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标； (2)若点在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键． （1）根据第二象限的角平分线上的点横、纵坐标互为相反数可得，求出的值，即可得点的坐标； （2）根据第三象限点的坐标特征为横纵坐标均为负，然后列出方程进行计算即可解答． 【详解】（1）解：点在第二、四象限的角平分线上， ，解得． ，． 点的坐标为． （2）点A在第三象限， ，． 点到两坐标轴的距离之和为6， ， 解得． ，． ∴点的坐标为． 22．（本题10分）如图所示，已知，，． (1)求证：； (2)说明与的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)平行，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定； （1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可得证； （2）根据（1）得出，进而根据，证明得出，进而可得，即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（本题10分）如图，在中，，点D在上，，点E在上，． (1)求的长度； (2) ，给出证明； (3)求证：点E为线段中点． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据求解，即可解题； （2）根据等腰三角形性质得到，再结合角的和差和等量代换求解，即可解题； （3）过点作，交于点，交于点，证明，结合全等三角形性质推出，利用等腰三角形性质进而得出，再结合全等三角形性质推出，最后求出，即可证明点E为线段中点． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：，证明如下： ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）证明：过点作，交于点，交于点， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点E为线段中点． 24．（本题10分）学科实践 【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄． 【包装准备】 如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为；第二种长方体纸箱，尺寸规格为，其中该纸箱有两个扣手，尺寸规格为，并且扣手到所在面相对两条边的距离相等． 【问题解决】 (1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______． (2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开图——最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． （1）根据题意，分三种情况展开长方体，再由勾股定理求出线段长比较大小即可得到答案． （2）将长方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：分三种展开方式求解： ①前与右：； ②左与后：； ③前与下：； ∵， ∴胶带的最短长度为：， 故答案为：． （2）如图所示为长度最短的部分展开图： 如图，连接，，易得． 由题可得． 在中，由勾股定理，得． 所以，这根绳子的最短长度为． 25．（本题12分）【综合与实践】甲乙两人匀速从学校出发到米处的图书馆看书，甲出发分钟后，乙以米/分的速度沿同一路线行走．学习了一次函数以后，同学们用一次函数来研究行程问题．小明同学绘制两人到学校的距离（米）与甲出发时间（分钟）的函数图像（如图），小敏同学绘制了甲乙两人相距（米）与甲行走的时间为（分）函数图像的一部分（如图）．根据图像回答下列问题： (1)甲行走的速度为______米/分；乙到学校的距离的函数表达式______． (2)在图中______分钟；______米； (3)在图坐标系中，补画关于函数图象的剩余部分；这一部分的函数表达式为：______；它对应的自变量的取值范围是______； (4)当甲出发______分钟时甲、乙两人相距米． 【答案】(1)； (2)；； (3)作图见解析， (4)和． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），涉及函数表达式、图像交点、距离计算等知识点，熟练结合行程问题的数量关系（路程速度时间）分析函数图像是解题的关键． （1）利用 “速度路程时间” 结合图像中甲的行程数据，求出甲的速度；根据乙的出发时间、速度，推导其到学校距离的函数表达式； （2）结合 “相遇时路程相等” 列方程求出相遇时间；根据甲、乙到达图书馆的时间，计算对应时刻的路程差得到； （3）分析乙到达图书馆后甲的行程，推导剩余部分的距离函数表达式及自变量范围； （4）分两种情况，结合距离关系列方程求解甲出发的时间 【详解】（1）解：由图可得甲行走的速度为：（米/分钟） 由题意得：； （2）解：由得：， 当时，，， （米）； （3）解：由（2）知，时，乙到达图书馆，此时两人相距米， （分钟）， 甲再经过分钟到达图书馆，此时， 补画关于函数图象的剩余部分如图所示： 这一部分的函数表达式为：， 它对应的自变量的取值范围是； （4）解：由， 得， 由， 得， 甲出发分钟或分钟，甲、乙两人相距米． 26．（本题12分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 【答案】(1)甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元 (2)有购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台，这两种购买方案．方案二能使每小时的分拣量最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出式子． （1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据“购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，故有两种购买方案，购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台．设台机器人每小时的分拣量为，则．得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得， 解得， 答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 故整数可以为和，可以为和， 故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台； 方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台． 设台机器人每小时的分拣量为，则． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， ∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大． 27．（本题12分）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，的面积被直线分成的两部分，求此时点C的坐标； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，C的坐标为，， 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数与三角形面积的综合应用、全等三角形的判定与性质、一次函数动点问题，分类讨论思想（面积比例的两种分割情况、全等三角形的不同对应情况）： （1）将直线与坐标轴的交点坐标代入一次函数解析式，求解系数和，得到直线表达式． （2）先计算的面积，再根据“面积被分为”的两种比例情况，结合动点在直线上的坐标特征，分别求出点的坐标． （3）根据全等三角形的对应边关系，结合一次函数解析式，分类讨论不同的全等对应情况，筛选出与、不重合的动点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入： 代入得：； 代入得：，解得． 故直线AB的解析式为：； （2）解：的面积为：． 直线OC将其分为两部分，即两部分面积分别为2和4． 设，分两种情况： 情况1： 解得，对应，即． 情况2： ，同理解得，对应，即． 故点C坐标：或； （3）解：是直角三角形（直角在O），边长为， 中，D在y轴上，故是y轴上的线段，需使为直角三角形（与全等），分两种直角位置讨论： 情况1：直角在点（轴） 此时， 则， ∴，， ∵，符合题意， 故； 情况2：直角在点 此时，， 则， 则或． 设，则，解得， 当时，，即，此时应该为， 则，符合题意； 同理，当时，，， 则，符合题意； ∴C为或； 综上所述，满足条件的C点有，，． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $