寒假作业08 一次函数（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 一次函数 知识点1：函数的相关概念 1.变量、常量的概念： 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.函数： 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 【点拨】 （1）函数的实质就是两个变量之间的一种对应关系； （2）自变量的取值一般要满足两个要求，一是使其表达式有意义；二是涉及到实际生活的问题，要有实际意义，所以自变量一般都有范围； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应. 3.函数的几种表达方式： （1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式. （2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 【点拨】 · 函数的三种表示方法各有各的优点和缺点. 解析式法能反应变量之间的内在联系，但较抽象，而且不是所有的函数都有解析式； · 列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，但不能列完所有值； · 图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，但不是所有的函数都能画出其图像. 4.函数的图象： 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【点拨】 由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线. 知识点2：一次函数、正比例函数的定义、图象、性质 1.一次函数的概念 一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的图象及性质 · 正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 · 一次函数的图象与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到； b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 知识点3：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标xA就是对应方程kx+b=0的解． 简记：交点的横坐标就是对应方程的解 2．一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 简记：交点的坐标就是对应方程组的解 知识点4：一次函数的实际应用 1． 主要题型： （1）行程问题；（2）销售利润问题． 2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一次函数的识别 1．下列函数：①；②；③；④；⑤其中一定是一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列函数中，属于正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 题型二 根据一次函数的概念求参数的值或范围 4．已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 5．已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是 ． 6．已知．当m，n满足条件 时，是的一次函数；当m，n满足条件 时，是的正比例函数． 题型三 一次函数的图象和性质 7．关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若点在该函数图象上，则 D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的 8．一次函数中变量与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 8 6 4 2 0 下列说法正确的是（　　） A．随的增大而增大 B．点在直线上 C．当时， D．直线与轴的交点坐标是 9．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为 题型四 函数图象问题的共存问题 10．在同一坐标系中，一次函数和的图像可能是（   ） A．B． C． D． 11．直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 12．若直线经过第二、三、四象限，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 题型五 一次函数的图象平移问题 13．已知一次函数（k、b为常数，且）的图象由一次函数的图象向下平移4个单位长度得到，则下列关于一次函数的说法正确的是（   ） A．当时， B．y随x的增大而增大 C．它的图象与y轴交于点 D．它的图象经过第一、二、四象限 14．将直线沿y轴向上平移个单位，则平移后的直线解析式为 ． 15．已知一次函数，当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象与轴、轴的交点分别为点，求线段的长． 题型六 一次函数的增减性比较大小 16．直线经过点和点，已知，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 17．已知点，都在直线上，则，的大小关系是 ． 18．已知点，在直线上，若，，，试比较和的大小，并说明理由． 题型七 待定系数法求函数解析式 19．在平面直角坐标系中，已知函数和，这两个函数的图象交于点． (1)求与的值； (2)当时，求的取值范围． 20．（1）已知y与x成正比例， 且时，． 求y与x之间的函数关系式； （2）已知经过点的直线与直线相交于点，求直线的表达式 21．已知是的一次函数，部分对应值如表所示． (1)求该一次函数的表达式； (2)求的值． 题型八 一次函数与一次方程和不等式的关系 22．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 23．如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 24．如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的取值范围为 ． 题型九 一次函数与二元一次方程组 25．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 26．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为 ． 27．综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 题型十 一次函数的实际应用问题6 28．一辆货车从A地去往B地，一辆轿车从B地去往A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离y（单位：）与货车行驶的时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．货车行驶到达B地 B．货车的速度是 C．轿车比货车早到达目的地 D．货车行驶或，两车相距 29．已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 30．已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从B地出发驶往A地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程S（千米）与该日下午时间t（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)直接写出：甲出发________小时后，乙才开始出发；乙的速度为________千米/时． (2)求甲出发几小时后与乙在途中相遇？（借助一次函数解决） (3)若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米．若乙到达A地后休息半小时原路返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 31．冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） (1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 32．随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． (1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ (2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． 33．国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元． (1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价； (2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，套“哪吒”手办． ①试推算与应满足的数量关系； ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值． 题型十一 一次函数与三角形综合问题 34．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B． 直线与交于点E．若点E坐标为． (1)直接写出E的坐标和m的值：______； (2)当时，x的取值范围是：______； (3)在x轴上是否存在点P，使直线把分成面积之比为的两部分？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．如图，直线与轴、轴交于点A，B，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 36．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． (1)【问题初探】 点的坐标是________，点的坐标是________． 若是直线上一点，求直线的函数表达式． (2)【应用探究】 在直线上是否存在一点（不与点重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)【拓展延伸】 是轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点落在轴上，请直接写出点的坐标． 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数是关于的一次函数，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 3．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 4．以下关于直线说法正确的是（　　） A．与轴相交于点 B．与直线：平行 C．将直线向上平移2个单位长度得到直线 D．直线上有三个点，则 5．已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，一次函数的图象过点，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 7．小张和小王去爬山，小王先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了小王并最终先爬到山顶，两人所爬的高度（米）与小张出发后的时间（分）的函数关系如图所示，下列结论： ①山的高度是米； ②表示的是小王爬山的情况，表示的是小张爬山的情况； ③小张爬山的速度是小王爬山的速度的2倍； ④小王比小张先出发分钟． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．把正比例函数的图像向下平移1个单位长度，得到的函数图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 9．已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知一次函数（为常数），若它的图象过原点，则m的值是 ． 12．已知点，在一次函数的图象上，则k 0．（填“>”或“<”） 13．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 14．已知点，均在正比例函数的图象上，则a b．（填“>”“<”或“=”） 15．平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为 ． 16．一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上找一个点P使为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 17．一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴对称的点的坐标是 ． 18．如图，把直线往下平移后得到直线，点的坐标为，则直线的函数表达式为 ． 19．将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 20．某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元． 1．已知一次函数，若一次函数的图象经过原点，求的值． 2．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x的函数关系式． (2)如果y的取值范围为时，求的取值范围． 3．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)过点且平行于x轴的直线与该函数交于点C，求点C的坐标． 4．如图，直线与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)若一次函数与的边有交点，求b可取的最大值和最小值． 5．某景区的同一线路上依次有，，三个景点（如图1），小兴从景点出发，步行米去景点，共用时分钟；同时，桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点，休息分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早分钟到达景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)________，并说出的实际意义________________； (2)求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达景点，休息分钟再次出发后，当________时，两人相距米． 6．随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？ (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为1.2万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；并求出的最小值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 一次函数 知识点1：函数的相关概念 1.变量、常量的概念： 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.函数： 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 【点拨】 （1）函数的实质就是两个变量之间的一种对应关系； （2）自变量的取值一般要满足两个要求，一是使其表达式有意义；二是涉及到实际生活的问题，要有实际意义，所以自变量一般都有范围； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应. 3.函数的几种表达方式： （1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式. （2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 【点拨】 · 函数的三种表示方法各有各的优点和缺点. 解析式法能反应变量之间的内在联系，但较抽象，而且不是所有的函数都有解析式； · 列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，但不能列完所有值； · 图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，但不是所有的函数都能画出其图像. 4.函数的图象： 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 【点拨】 由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线. 知识点2：一次函数、正比例函数的定义、图象、性质 1.一次函数的概念 一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的图象及性质 · 正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 · 一次函数的图象与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到； b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 知识点3：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标xA就是对应方程kx+b=0的解． 简记：交点的横坐标就是对应方程的解 2．一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 简记：交点的坐标就是对应方程组的解 知识点4：一次函数的实际应用 1． 主要题型： （1）行程问题；（2）销售利润问题． 2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一次函数的识别 1．下列函数：①；②；③；④；⑤其中一定是一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，是解题的关键．根据一次函数的定义（形如，其中），判断各函数是否一定满足条件即可． 【详解】解：①，，是一次函数； ②，，是一次函数； ③，不是一次函数； ④，不是一次函数； ⑤，当时，为常数函数，不是一次函数，故不一定是一次函数； 综上，一定是一次函数的只有①和②，共2个． 故选：B． 2．函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（、为常数，）的函数是一次函数，逐一判断各函数即可，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：①中，未指定，故不一定是一次函数； ②，符合形式，，是一次函数； ③中分母含有，不是整式，故不是一次函数； ④，符合形式，，是一次函数； ⑤，是二次函数，不是一次函数； ∴是一次函数的有②和④，共2个， 故选：B． 3．下列函数中，属于正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握形式为是正比例函数成为解题的关键． 根据正比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：正比例函数定义为 ，则 A．有常数项1，不是正比例函数，不符合题意； B．是反比例函数，不是正比例函数，不符合题意； C．符合形式，且 k = -3 ≠ 0，是正比例函数，符合题意； D．是二次函数，不是正比例函数，不符合题意． 故选C． 题型二 根据一次函数的概念求参数的值或范围 4．已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1，且系数不能为0，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ ∴， 解得m的值为， 故选：A． 5．已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且． 由，得，解得． 由，得． ∴． 故答案为：． 6．已知．当m，n满足条件 时，是的一次函数；当m，n满足条件 时，是的正比例函数． 【答案】 ，n为任意实数 【分析】本题主要考查了通过一次函数和正比例函数求参数，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的定义． 根据一次函数和正比例函数的定义，分别要求指数为1、系数不为零，且正比例函数还需常数项为零，进行求解即可． 【详解】解：①当函数为一次函数时，且系数为任意实数， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：，n为任意实数； ②当函数为正比例函数时，、系数，且常数项， 解得或（舍去），， ∴，， 故答案为：． 题型三 一次函数的图象和性质 7．关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若点在该函数图象上，则 D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质， 根据一次函数的性质逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 对于一次函数 ， 当 时，，故图象不经过点，A错误，不符合题意； ∵ ，， ∴ 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误，不符合题意； ∵ 当 时，； 当 时，， ∴ ，C错误，不符合题意； ∵ 直线 向下平移1个单位长度得到 ，D正确，符合题意. 故选：D． 8．一次函数中变量与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 8 6 4 2 0 下列说法正确的是（　　） A．随的增大而增大 B．点在直线上 C．当时， D．直线与轴的交点坐标是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据表格数据，选取两点求出一次函数的解析式，再根据一次函数的性质逐一判断各选项即可解答． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴， ∴， ∴函数解析式为； A、因为，则y随x增大而减小，故A错误； B、当时，，所以点在直线上，故B正确； C、当时，；因为y随x增大而减小，所以当时，，故C错误； D、当时，，所以与轴的交点坐标是，故D错误； 故选：B． 9．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法，错误的是（   ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与x轴的交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是先求出一次函数的解析式，再根据解析式分析其图象特征、增减性及经过的点等．将已知点代入解析式求出、的值，得到函数表达式；再依次分析各选项的正确性． 【详解】解：∵图象过， ∴； 将代入得：，解得， ∴一次函数解析式为． A、∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； B、∵， ∴随的增大而减小，此选项不符合题意； C、当时，， ∴函数图象经过点，此选项不符合题意； D、令，则，解得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，不是，此选项符合题意． 故选：． 题型四 函数图象问题的共存问题 10．在同一坐标系中，一次函数和的图像可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系是解题的关键． 分别根据分析各选项的图像一次函数和的系数，若存在矛盾，则不符合题意，据此即可解答。 【详解】解：A.由得，而由得，存在矛盾，不符合题意； B. 由得，而由得，即，存在矛盾，不符合题意； C.由得，而由得，即，不存在矛盾，符合题意； D. 由得，而由得，即，存在矛盾，不符合题意. 故选C. 11．直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象判断和的取值范围，看是否一致，逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由图象可得：直线经过第一、二、四象限，故，；直线经过第二、三、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； B、由图象可得：直线经过第一、二、三象限，故，；直线经过第一、二、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； C、由图象可得：直线经过第一、三、四象限，故，；直线经过第二、三、四象限，故，，即，，故符合题意； D、由图象可得：直线经过第一、二、四象限，故，；直线经过第一、三、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； 故选：C． 12．若直线经过第二、三、四象限，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象与性质，熟记直线，当，时，图象经过第一、二、三象限；当，时，图象经过第一、三、四象限；当，时，图象经过第一、二、四象限；当，时，图象经过第二、三、四象限．由直线经过第二、三、四象限，可得，，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵直线经过第二、三、四象限， ∴，， ∴， ∴函数经过第一、二、四象限， ∴函数的大致图象是A选项中的图象， 故选：A． 题型五 一次函数的图象平移问题 13．已知一次函数（k、b为常数，且）的图象由一次函数的图象向下平移4个单位长度得到，则下列关于一次函数的说法正确的是（   ） A．当时， B．y随x的增大而增大 C．它的图象与y轴交于点 D．它的图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的平移、一次函数图象与性质，求出平移后的解析式是解题的关键． 根据一次函数图象平移规则“上加下减”，向下平移4个单位，b值减少4，得出新函数解析式，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵函数向下平移4个单位， ∴新函数为， A：当时， 解得， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，，该选项错误，不符合题意； B：∵， ∴y随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意； C：当时，， ∴图象与y轴交于点，该选项正确，符合题意； D：∵，， ∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，该选项错误，不符合题意． 故选C． 14．将直线沿y轴向上平移个单位，则平移后的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移个单位，则平移后的直线解析式为， 故答案为：． 15．已知一次函数，当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象与轴、轴的交点分别为点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、函数图象的平移以及勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的性质与图象平移规律是解题的关键． （1）将已知的、值代入一次函数解析式，解方程求出、的值，进而得到函数表达式． （2）先根据函数图象平移规律得到平移后的函数解析式，再分别求出平移后图象与轴、轴的交点坐标，最后利用勾股定理计算线段的长． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得， 将，，代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：函数向左平移个单位长度，得平移后的解析式为 ， 令，得， 解得， ∴． 令，， ∴． ∴． 题型六 一次函数的增减性比较大小 16．直线经过点和点，已知，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵直线经过点和点，且， ∴． 故选：A． 17．已知点，都在直线上，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得增减性，由增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴y随x增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ∴， 故答案为：． 18．已知点，在直线上，若，，，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质：将A和B代入，结合已知条件用b表示出k，根据b的范围求出k的范围，再根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型七 待定系数法求函数解析式 19．在平面直角坐标系中，已知函数和，这两个函数的图象交于点． (1)求与的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，函数图象交点问题，以及不等式的求解． （1）可根据函数图象交点坐标代入函数解析式计算与的值即可． （2）利用不等式关系求解的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点分别代入函数和中，得， 解得． （2）解：由（1）可知，， ， ． 解得， ∴的取值范围为． 20．（1）已知y与x成正比例， 且时，． 求y与x之间的函数关系式； （2）已知经过点的直线与直线相交于点，求直线的表达式 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据y与x成正比例，设，再结合当时，，进行计算，即可作答． （2）先求出，再运用待定系数法进行求解直线的表达式，即可作答． 【详解】解：（1）∵y与x成正比例， ∴设， 当时，，则， 解得， ∴； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴， 依题意，把，代入， 得，解得， ∴． 21．已知是的一次函数，部分对应值如表所示． (1)求该一次函数的表达式； (2)求的值． 【答案】(1)该一次函数的表达式为； (2)的值为． 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法和一次函数的性质． （1）设一次函数解析式，代入数据解方程组，即可得一次函数的解析式； （2）把代入（1）所得的解析式，即可得的值． 【详解】（1）解：设该一次函数的表达式为， 把，分别代入， 得，解得，， ∴， 答：该一次函数的表达式为． （2）解：把代入， 得， ∴， ∴， 答：的值为． 题型八 一次函数与一次方程和不等式的关系 22．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，运用数形结合思维分析并正确确定和的交点是解题的关键．由题意首先确定和的交点以及作出的大致图象，进而根据图象进行判断即可． 【详解】解：∵的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 故选：B． 23．如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 直接根据函数图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可得：当时函数的函数值小于2，故不等式的解集为． 故选：A． 24．如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系找出不等式是关键．解不等式，可得出，再根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出不等式的解集，结合二者即可得出结论． 【详解】解：， ； 观察函数图象，发现： 当时，直线的图象在的图象的上方， 不等式的解为． 综上可知：不等式的解集为． 故答案为：． 题型九 一次函数与二元一次方程组 25．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 26．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 【详解】解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 27．综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）3；；图见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】此题考查一次函数的图象与性质以及一次函数和不等式的关系． （1）将代入，令，求出坐标，再根据要求画出图象即可； （2）观察图象，写出交点的坐标即可； （3）根据交点的坐标即可得到结论； （4）根据图象的交点，写出当一次函数位于图象上时求x的取值范围即可． 【详解】解：（1）当时，， 当时，， 两个函数的图象如图所示： 故答案为：3；； （2）观察图象知，交点的坐标为； （3）观察图象知，交点的坐标为， ∴方程组的解为； （4）满足时自变量x的取值范围是． 题型十 一次函数的实际应用问题6 28．一辆货车从A地去往B地，一辆轿车从B地去往A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离y（单位：）与货车行驶的时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．货车行驶到达B地 B．货车的速度是 C．轿车比货车早到达目的地 D．货车行驶或，两车相距 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象在实际行程问题中的运用，正确读取函数图象上的信息，结合题意进行分析是解题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以逐一判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：A、根据函数图象可知，货车行驶与轿车相遇，未到达B地，故该选项错误，不符合题意； B、∵轿车用了从B地到达了A地，两地相距， ∴轿车的速度为：， ∵两车相遇时间为， ∴货车的速度为：，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵货车速度为， 又∵， ∴货车到达目的地用时， 轿车到达目的地用时， ， ， 即轿车比货车早到达目的地，故该选项说法正确，符合题意； D、相遇前两车相距时，货车行驶的时间是： ， ， 根据图象可得：当相遇后两车相距时，轿车到达目的地， ∴两车相遇后两车相距时，货车行驶的时间是： ，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 29．已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 【答案】 180 3.75 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，根据交点的意义可得，求解，即可求解，两地之间的距离； （2）先求出甲车3时走的路程，则即可求解甲车的速度，继而求解甲车到达中点时的时间． 【详解】（1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米， 因为交点的坐标为， 所以出发3时，两车相遇，此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米， 所以， 解得， 所以， 所以，两地之间的距离为180千米， 故答案为：； （2）因为甲车3小时走了72（千米）， 所以甲车的速度为（千米/时）， 所以甲车到达中点时的时间：（时），即的值为3.75． 故答案为：． 30．已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从B地出发驶往A地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程S（千米）与该日下午时间t（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)直接写出：甲出发________小时后，乙才开始出发；乙的速度为________千米/时． (2)求甲出发几小时后与乙在途中相遇？（借助一次函数解决） (3)若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米．若乙到达A地后休息半小时原路返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 【答案】(1)，； (2)甲出发小时后与乙在途中相遇； (3)甲乙两人能够通讯的最大时长为小时. 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解此题的关键． （1）观察图象并根据速度路程时间计算即可得解； （2）求出段的函数关系式为，段对应的函数关系式为，结合当二人相遇时，得，计算即可得解； （3）将二人之间的距离不超过千米的时间段加起来即可． 【详解】（1）解：由图可得：甲出发小时后，乙才开始出发； 乙的速度为千米/时； 故答案为：，； （2）解：设段的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得， 段的函数关系式为， 同理可得：段对应的函数关系式为， 当二人相遇时，得， 解得， （小时）， 故甲出发小时后与乙在途中相遇； （3）解：乙到达地后休息半小时原路返回地的图象（对应线段），如图所示： ， 二人第一次相遇前，相距千米时，得， 解得； 二人第一次相遇后至乙到达地前，相距千米时，得， 解得：； 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米，（小时）， 当时，乙休息结束，乙开始返回地， 当时，乙返回地， 乙返回地过程中离地距离为（千米），这个过程中当二人之间的距离不超过千米时，得， 解得：， 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米，（小时）， （小时）， 故甲乙两人能够通讯的最大时长为小时． 31．冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） (1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进A款玩偶个， B款玩偶个 (2)购进A款玩偶个，购进B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用， 对于（1），设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，根据题意可以列出相应的方程，然后求解即可； 对于（2），设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，根据题意可求出，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得出的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个， 由题意可得：， 解得：， （个）， 答：购进A款玩偶个，B款玩偶个； （2）解：设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元， 由题意可得：． ∵， 随的增大而增大． 网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半， ， 解得：， 当时，取得最大值，此时， （个）， 答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元． 32．随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． (1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ (2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． 【答案】(1)每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元 (2)购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元 【分析】本题考查了二元一次方程组、不等式约束以及一次函数的性质．解题的关键是通过建立方程组求解手办单价，再根据不等式约束确定购买方案，最后利用一次函数的单调性找到总费用最小值． （1）首先设每个哪吒主题手办售价为​x元，每个敖丙主题手办售价为y元，根据题干中“买 2 个哪吒和 3 个敖丙需 160 元”“买 3 个哪吒和 2 个敖丙需 140 元”这两个等量关系，可列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个，结合（1）中求得的单价，建立总费用函数关系式；再根据 “两种手办都得有”“哪吒数量不超过敖丙数量一半” 的要求，列出不等式组​确定m的正整数取值为 1 或 2；最后根据函数的性质确定最优解． 【详解】（1）解：设每个哪吒主题手办的售价为x元，每个敖丙主题手办的售价为y元． 根据题意得：， 解得：， 答：每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元； （2）设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个 根据题意得：   ∵， ∴   为正整数 或2    在中， ，W随m的增大而减小， ∴当时，W最小，此时，（元） 答：购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元． 33．国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元． (1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价； (2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进套“太乙真人”手办，套“哪吒”手办． ①试推算与应满足的数量关系； ②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获得利润的最大值． 【答案】(1)每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元 (2)①；②10860元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出a和b应满足的数量关系，再根据各数量关系找出w关于a的函数关系式． （1）设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元，利用进货总价进货单价进购数量，结合每套“敖丙”手办的 进价比每套“哪吒”手办的进价贵5元，可列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①利用进货总价进货单价进购数量，可列出关于a，b的二元一次方程，整理后，可得出a与b应满足的关系； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元，利用总利润每套利润购进数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元； （2）解：①第一批手办的销售额为元， 第二批每套“哪吒”手办的进价为元， 第二批每套“敖丙”手办的进价为元， 根据题意得：， 整理可得：； ②设销售完第二批手办可获得的利润为w元， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵a与b均为正整数，，且， ∴a的最小值为132， ∴当时，w取得最大值，最大值为元， ∴销售完第二批手办可获得利润的最大值为10860元． 题型十一 一次函数与三角形综合问题 34．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B． 直线与交于点E．若点E坐标为． (1)直接写出E的坐标和m的值：______； (2)当时，x的取值范围是：______； (3)在x轴上是否存在点P，使直线把分成面积之比为的两部分？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． （1）将代入求出E的坐标，再代入求m的值即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）求出、坐标，根据三角形高相等，面积比等于底的比作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，即， 将代入得， 解得：； 故答案为：，； （2）解：由函数图象可知，当时，； 故答案为：； （3）解：当时，，即； 当时，，即； 设， 当直线把分成面积之比为的两部分时，或， 当时，，解得：，； 当时，，解得：，． 35．如图，直线与轴、轴交于点A，B，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与三角形面积的综合应用，解题关键是结合直线解析式确定点的坐标，利用三角形面积公式建立方程求解． （1）求点B坐标：令直线解析式中，解方程得B点坐标． （2）求时的面积：先代入得C点纵坐标，再用三角形面积公式（以为底，C点纵坐标为高）计算． （3）求满足的：先表示出C点坐标，分别计算和含的，根据面积关系列绝对值方程，求解得． 【详解】（1）令，则， 解得， 点的坐标为 （2）点的坐标为， ， 当时，，则， ． （3）令，则， 点A的坐标为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， ，， ， ， 解得或． 的值为． 36．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． (1)【问题初探】 点的坐标是________，点的坐标是________． 若是直线上一点，求直线的函数表达式． (2)【应用探究】 在直线上是否存在一点（不与点重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)【拓展延伸】 是轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点落在轴上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； 先求出m的值，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出，设点D的坐标为，根据的面积等于的面积，列出方程，即可求解； （3）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点， 令，则；令，则， ∴，， 故答案为：，； ∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是． （2）解：存在点D，使的面积等于的面积；理由如下： 由（1）得：点A的坐标是．点B的坐标是， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得（舍）或， ∴； （3）解：设， 如图1，当B点的对称点在x轴负半轴上时， 由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴； 如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时， 由折叠可知，，， ∴， 在中，， 解得， ∴， 综上，或． 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的函数是一次函数，分别判断各选项是否符合该形式. 【详解】解：∵一次函数的标准形式为， 选项A：，x的最高次数为2，是二次函数，不符合； 选项B：，x在分母上，不是一次函数，不符合； 选项C：，即，符合一次函数定义； 选项D：，x的最高次数为2，是二次函数，不符合； 故选：C. 2．已知函数是关于的一次函数，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数．根据一次函数的定义，x的指数必须为1，且系数不为零求解即可．． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴，且， ∴． 故选：C． 3．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号是关键． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 4．以下关于直线说法正确的是（　　） A．与轴相交于点 B．与直线：平行 C．将直线向上平移2个单位长度得到直线 D．直线上有三个点，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，由直线为，则令，则，可得与x轴相交于点，故可判断A；根据两条直线平行，可得与直线平行的直线，故可判断B；依据题意，将直线向上平移2个单位长度得到直线，即，故可判断C；依据题意，由直线为，，则y随x的增大而增大，结合一次函数的性质即可判断D． 【详解】解：∵直线为， ∴令，则，可得与x轴相交于点，故A错误； 根据两条直线平行，可得与直线平行的直线的，故B错误； 由题意，将直线向上平移2个单位长度得到直线，即，故C错误； ∵直线为，， ∴y随x的增大而增大． ∵点在上，且， ∴，则D正确． 故选：D． 5．已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，涉及的知识点是 “一次函数的增减性（当斜率时，函数值随自变量的增大而减小）”．解题方法是根据一次函数的斜率判断其增减性，再比较自变量的大小，进而确定函数值的大小关系；解题关键是牢记一次函数斜率与增减性的对应关系．易错点是混淆斜率的正负对应的增减性，导致函数值大小判断错误．解题思路为：先判断一次函数的斜率符号，确定其增减性，再比较点 的横坐标大小，根据增减性得出与的大小关系． 【详解】∵ 一次函数 中，， ∴ y 随 x 的增大而减小． ∵ 点 和 的横坐标满足 ， ∴ ． 故选A． 6．如图，一次函数的图象过点，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系， 根据一次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程的解解答即可． 【详解】解：∵一次函数与x轴的交点坐标是， ∴方程的解是． 故选：A． 7．小张和小王去爬山，小王先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了小王并最终先爬到山顶，两人所爬的高度（米）与小张出发后的时间（分）的函数关系如图所示，下列结论： ①山的高度是米； ②表示的是小王爬山的情况，表示的是小张爬山的情况； ③小张爬山的速度是小王爬山的速度的2倍； ④小王比小张先出发分钟． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确识图．根据函数图象逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得：山的高度是米，故①正确； 表示的是小张爬山的情况，表示的是小王爬山的情况，故②错误； 小张爬山的速度是（米分），小王爬山的速度是（米分）， 小张爬山的速度是小王的2倍，故③正确； 由图象可得，小王比小张先走米，所需时间是（分钟）， 小王比小张先出发分钟．故④正确． 正确的有①③④三个， 故选：C． 8．把正比例函数的图像向下平移1个单位长度，得到的函数图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图像的平移规律，上加下减，左加右减． 根据一次函数图像的平移规律作答即可． 【详解】解：把正比例函数的图像向下平移1个单位长度，得到的函数图像的解析式为． 故选：D． 9．已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握知识点的应用是解题的关键． 由直线的，则随的增大而增大，当时，，然后根据时，，即，所以，从而求解． 【详解】解：∵直线的， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． ∵当时，，即， ∴，A选项正确，B选项错误； ∵当时，，即， ∴与 1 的大小关系不确定，C选项错误，D选项错误； 故选：． 10．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的性质、勾股定理等知识，正确分类讨论是解题关键．先分别求出，，，，再分两种情况：①和②，根据全等三角形的性质和一次函数的性质求解即可得． 【详解】解：将代入得：，解得， ∴， 将代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的斜边， ∴也是以为顶点的三角形的斜边， 则分以下两种情况： ①如图1，当时， ∴， ∴此时点的坐标为； ②如图2和图3，当时， ∴， ∴点的纵坐标为或， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为； 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为； 综上，这样的点有3个． 故选：C． 11．已知一次函数（为常数），若它的图象过原点，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键． 根据一次函数图象过原点，将点代入函数解析式，求解关于的方程． 【详解】将点代入， 得，即， 解得， 故答案为：1． 12．已知点，在一次函数的图象上，则k 0．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解二元一次方程组． 通过将点坐标代入函数解析式，建立方程组，并利用相减消元法求解k的值． 【详解】将点，代入得： 得：， 即， 解得． 故答案为：． 13．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 【详解】解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 14．已知点，均在正比例函数的图象上，则a b．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义，常数项为零，求出m的值，得到函数表达式，再根据一次函数的性质比较a和b的大小． 【详解】解：因为函数是正比例函数， 所以， 解得， 则函数为． 因为， 所以y随x的增大而减小， 又因为，所以． 故答案为：． 15．平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及正比例函数表达式的求解，解题的关键是根据点所在象限与点到坐标轴的距离确定点P的坐标，再用待定系数法求直线的表达式． 由第三象限点的横、纵坐标均为负，结合点到x轴、y轴的距离确定点P的坐标；设直线的表达式为，将点P坐标代入求出的值，进而得到表达式． 【详解】解：∵点P在第三象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴点P的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 16．一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上找一个点P使为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形．先求出点A、B坐标，再根据等腰三角形的性质分三种情况讨论：，分别求解点P坐标． 【详解】解：由一次函数，当时，，得； 当时，，得． ∵． 设点坐标为． 当时，， ∴， 解得， 即或． 当时，， ∴， 平方得， 解得：，其中时与重合，无效， 故． 当时，，平方得， 化简得：， 解得：， 故． 综上，点坐标为或或或． 17．一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点坐标的求法、点的对称等知识，先求出直线与轴的交点的坐标，再由点的对称性质求解即可得到答案，熟练掌握一次函数图象与性质、点的对称性质是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数的图象与轴相交于点， 当时，，解得，即， 点关于轴的对称点是， 故答案为：． 18．如图，把直线往下平移后得到直线，点的坐标为，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移、求一次函数解析式，根据一次函数平移的性质，设直线的函数表达式为，代入到函数表达式求出的值，即可求解． 【详解】解：∵把直线往下平移后得到直线， ∴设直线的函数表达式为， 代入点得，， 解得， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 19．将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点，再把代入中求出n关于m的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴翻折后的图象函数表达式是， 故答案为：． 20．某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元． 【答案】4 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 1．已知一次函数，若一次函数的图象经过原点，求的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，直接把原点坐标代入一次函数解析式中计算求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点， ∴， ∴， 当时，， ∴符合题意． 2．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x的函数关系式． (2)如果y的取值范围为时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正比例函数，一次函数的性质，将的取值边界代入函数，解出的值，根据一次函数的性质得到取值范围是解题的关键． （1）根据题意设，，再代入已知点的坐标求出的值，即可求解； （2）将和分别代入，然后根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：与成正比例， 设，， 当时，， ， ， ，即； （2）当时，，解得， 当时，，解得， 因为函数中，随的增大而减小， 所以当时，， 所以的取值范围为． 3．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)过点且平行于x轴的直线与该函数交于点C，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求函数上点的坐标等知识﹒ （1）设，根据当时，，得到，求出，即可得到，整理得； （2）根据过点且平行于x轴的直线与函数交于点C，得到点C的纵坐标为3，把代入求出，即可求出点C的坐标为﹒ 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：∵过点且平行于x轴的直线与函数交于点C， ∴点C的纵坐标为3， 把代入得， 解得， ∴点C的坐标为﹒ 4．如图，直线与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)若一次函数与的边有交点，求b可取的最大值和最小值． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)可取的最大值为36，最小值为6 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法和三角形全等的判定方法． （1）过点作轴于点，证明，即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）将的顶点B和C，代入，解方程，即可求得b的最大值和最小值． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的函数表达式为， 将点和点代入得， 解得， 所以直线的函数表达式为； （3）解：当一次函数与点相交时， ， 解得， 当一次函数与点相交时， ， 解得， 所以可取的最大值为36，最小值为6． 5．某景区的同一线路上依次有，，三个景点（如图1），小兴从景点出发，步行米去景点，共用时分钟；同时，桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点，休息分钟后，桐桐改成骑电动车去景点，结果桐桐比小兴早分钟到达景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)________，并说出的实际意义________________； (2)求桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达景点，休息分钟再次出发后，当________时，两人相距米． 【答案】(1)，桐桐步行从景点到达景点所用的时间 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）利用路程除以速度求出的值，根据点的位置，确定的实际意义即可； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出小兴的函数解析式，再令两个函数解析式的差为，分桐桐到达A景点之前与之后两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：桐桐以每分钟米的速度从景点出发，步行米到达景点， （分钟）， 的实际意义为桐桐步行从景点到达景点所用的时间， 故答案为：，桐桐步行从景点到达景点所用的时间； （2）桐桐开始骑车的时间为第（分钟）， 桐桐骑车到达景点的时间为第（分钟）， 设桐桐骑车时距景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式为， 将，代入得， 解得， ； （3）设小兴距景点的路程（米）与（分）之间的函数解析式为，将代入得， 解得， ， 桐桐到达A景点之前，两人相距米， 则， 解得或， 即当或时，两人相距米； 桐桐到达A景点之后，两人相距米， 则， 解得：； 故答案为：或或． 6．随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？ (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为1.2万元一台，型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为万元，问如何购买使得总费用最少；并求出的最小值． 【答案】(1)A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米 (2) (3)购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，W的最小值为14.8万元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、列代数式以及一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系． （1）设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据“2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米”列出方程组即可求出答案； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米列式解答即可； （3）求得总费用，求出ｂ的取值，结合一次函数的性质分析最值即可求解． 【详解】（1）解：设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据题意得， , 解得， ∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米， 答：A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米； （2）解：根据题意，， 整理得， ∴； （3）解：由（2）得，总费用（万元）， 代入得， ∵， ∴W随b增大而增大， 又∵，且a为整数， ∴， 解得， ∴， 同时a为整数，∴为整数，即b为4的倍数， ∴b可取4，8，12， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴W最小值为14.8万元，此时，， 答：购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，W的最小值为14.8万元． 2 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $