精品解析：四川省内江市东兴区三校2025-2026学年高三上学期1月联考数学试题

高2026届1月月考数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、单选题（每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 设，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知集合及相等关系确定参数值，即可得. 【详解】由题设，，则. 故选：D 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，利用复数模长公式求出答案. 【详解】，故. 故选：C 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求出，从而可求解. 【详解】由，，所以， 因为，所以，得， 所以，故A正确. 故选：A. 4. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 5. 空间两个平面满足，，是空间两条不重合的直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充要条件的定义结合空间中的线面关系即可求解 【详解】因为，所以， 当时，必有； 反之，时，与可能平行，也可能相交或者在平面内， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 6. 核酸检测主要采用荧光定量PCR方法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：，）（ ） A. 36.9% B. 41.5% C. 58.5% D. 63.1% 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，化简后可求出的值. 【详解】由题意得，即， 整理得，所以， 所以， 故选：C． 7. 已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. 0 C. 2026 D. 4052 【答案】D 【解析】 【分析】根据的解析式，判断其为单调增函数且为奇函数，再结合等差数列的前项和公式，即可求得结果． 【详解】函数，其定义域为， 又，故为奇函数； 又在为单调增函数，在为单调增函数，故在单调递增， 又为上的奇函数，故在上为单调增函数； 又函数为上的奇函数，且为增函数，故为上的单调增函数且为奇函数； ，，则， 即；故． 故选：D 8. 已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数与及极值点间的关系，结合条件即可求出结果. 【详解】由题意，得，关于x的一元二次方程的两根为b，2b， 又极小值点为，极大值点为，所以，即， 由韦达定理得到，所以，，得到． 故选：A． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的按正确选项比例给分） 9. 豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是7.4分，截止至2021年10月24日，共计有437181人参与评分，豆瓣评分表如下．根据猫眼实时数据，该片的票房为53.1亿元，按照平均票价50元来计算，大约有1亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ） A. m的值是32% B. 随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星 C. 若以频率当作概率，记事件A为“评价是一星”，事件B为“评价不高于二星”，则 D. 若从已作评价的观众中随机抽出3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件 【答案】AD 【解析】 【分析】对A选项，由题意参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则二星及以上的频率加和为，即可求解；对B选项，由频率只能推出可能有24人符合条件；对C选项，根据条件概率的性质即可得到答案；对D选项，“至多1人评价五星”即为无人评价或1人评价五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可. 【详解】对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星， 则，所以，故A正确； 对B选项，随机抽取100名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B错误； 对C选项，由A选项，因为，则，故C错误； 对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确； 故选：AD 10. 已知函数，满足，且，则（ ） A. B. 的图象关于对称 C. 在区间单调递减 D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可知的对称性，已知结合正弦函数的对称性以及的范围，可先求出，即可判断A、B；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验C、D即可判断. 【详解】对于A：因为函数满足， 所以的图象关于对称， 因此有，得， 又因为，故取，则，所以，故A正确； 对于B：由A分析可知，的图象关于对称，故B正确； 对于C：由A可知，当时，， 而在上不单调，故C错误； 对于D：由A可知，， 因此由正弦函数的性质可知，的图象关于点对称，故D正确； 故选：ABD． 11. 已知，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由基本不等式判断A；由结合二次函数的单调性、指数函数的单调性判断B；构造函数，利用导数判断CD. 【详解】对于A：（当且仅当时，取等号）， 即，故A错误； 对于B：， 则，故B正确； 对于C：，构造函数， ， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 则，即，故C正确； 对于D： ，构造函数， ， ，即函数在上单调递增； ，即函数在上单调递减； 即，则，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点睛：解决CD选项时，关键在于将双变量变为单变量，利用导数得出其单调性，进而证明不等式. 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 在二项式的展开式中，项的系数是15，则实数a的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 由二项式定理知通项为，项对应的即，即可求a的值. 【详解】由二项式定理，. 当时，，于是的系数为， ∴. 13. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形．则该圆锥的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形的弧长计算出圆锥的底面半径，再结合母线长求出圆锥的高，即可求解. 【详解】设该圆锥的底面半径为，高为． 由扇形圆心角为，半径为， 得圆锥底面圆周长为，解得． 因为扇形半径为，所以，所以． 所以圆锥的体积为． 故答案为：． 14. 曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出在处的切线方程为，函数在点处的切线方程为，根据两切线重合求解，求出，进而求出. 【详解】函数在处的切线斜率为则切线方程为， 函数在处的切线斜率为，则切线方程为，即， 由题意有①且②，故，， 从而，整理得， 所以，即. 代入式②，得，即. 故答案为： 四、解答题（共5个题，77分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 记为数列的前项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系结合等差数列的定义即可证明. （2）根据题目条件利用等差数列的前项和公式计算即可. 【小问1详解】 因为，即①， 当时，②， ①－②得，， 即， 即，所以，且， 当时，由得，解得， 结合，可知数列是公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可得，，， 又成等比数列，所以， 即，解得， 所以． 16. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意化简可得，即，根据正弦定理解三角形即可求解； （2）由题意可得是的重心，即，根据三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 在中，由得， ， ， ，， 又， ，，， 由正弦定理得或， ，，两个解均符合题意. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以， ， ， 是的重心， ， 所以的面积为. 17. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 18. 交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过两段路，若已知路段共要过个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，在路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，记段线路中第个交通岗遇到红灯的概率为. （1）求该司机在路段的行驶过程中遇到红灯次数的分布列与期望； （2）①求该司机在路段行驶过程中第个交通岗遇到红灯的概率的通项公式； ②试判断在最后离开路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于，还是小于，请用数据说明. 【答案】（1）分布列见解析， （2）①；②小于，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，X的取值可能为由二项分布概率公式计算出概率，得分布列，再由二项分布的期望公式计算出期望； （2）①由已知条件得出的递推关系，变形凑配出等比数列，由此可得通项公式；②由通项公式可得其值与的大小关系． 【小问1详解】 由题可知X的取值可能为且易知， 且， 所以 所以的分布列为 1 2 3 4 ； 【小问2详解】 ①由题可知，即 又因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； ②由①可知，，所以最后一个交通岗遇到红灯的概率小于. 19. 对于数列，定义，满足，记，称为由数列生成的“-函数”． （1）试写出“2-函数”，并求的值； （2）若“1-函数”，求的最大值； （3）记函数，其导函数为，证明：“-函数” 【答案】（1） （2）5 （3） 由题意得 ． 由，得， 所以， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）结合新定义可得，结合等差数列及叠加法可求得，代入即可求解； （2）代入，结合数列分组求和及应用导数求最值即可； （3）由，结合导数的运算即可求解. 【小问1详解】 由定义及，知， 所以是公差为的等差数列， 所以． 因为， 所以， 所以，即． 当时，有， ， …… ， 所以， 即． 当时，， 所以“函数”． 当时，． 【小问2详解】 当时，， 故“1-函数” ． 由，得． 令， 则， 所以在上单调递增． 因为， 所以当时，， 所以当时，， 故的最大值为5． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义数列、累加法求数列通项、数列分组求和及应用导数求最值，第三问解题的关键是化简，并结合导数的运算求解，对考生的运算求解能力和逻辑推理能力较强要求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届1月月考数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、单选题（每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 设，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 5. 空间两个平面满足，，是空间两条不重合的直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 核酸检测主要采用荧光定量PCR方法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：，）（ ） A. 36.9% B. 41.5% C. 58.5% D. 63.1% 7. 已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. 0 C. 2026 D. 4052 8. 已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的按正确选项比例给分） 9. 豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是7.4分，截止至2021年10月24日，共计有437181人参与评分，豆瓣评分表如下．根据猫眼实时数据，该片的票房为53.1亿元，按照平均票价50元来计算，大约有1亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ） A. m的值是32% B. 随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星 C. 若以频率当作概率，记事件A为“评价是一星”，事件B为“评价不高于二星”，则 D. 若从已作评价的观众中随机抽出3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件 10. 已知函数，满足，且，则（ ） A. B. 的图象关于对称 C. 在区间单调递减 D. 的图象关于点对称 11. 已知，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 在二项式的展开式中，项的系数是15，则实数a的值为_______. 13. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形．则该圆锥的体积为______． 14. 曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为_______. 四、解答题（共5个题，77分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 记为数列的前项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求． 16. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 17. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 18. 交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过两段路，若已知路段共要过个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，在路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，记段线路中第个交通岗遇到红灯的概率为. （1）求该司机在路段的行驶过程中遇到红灯次数的分布列与期望； （2）①求该司机在路段行驶过程中第个交通岗遇到红灯的概率的通项公式； ②试判断在最后离开路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于，还是小于，请用数据说明. 19. 对于数列，定义，满足，记，称为由数列生成的“-函数”． （1）试写出“2-函数”，并求的值； （2）若“1-函数”，求的最大值； （3）记函数，其导函数为，证明：“-函数” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $